Variables aleatorias

Variables aleatorias
Distribuciones continuas
Se dice que una variable aleatoria X tiene
una distribución continua, o que X es una
variable continua, si existe una función no
negativa f, definida sobre los números
reales, tal que para cada intervalo en los
reales, la probabilidad de que X tome un
valor en el intervalo es igual a la integral
sobre ese mismo intervalo
Variables aleatorias
Por ejemplo:
A la función f se le llama función de densidad
de probabilidad o simplemente densidad de
probabilidad
Variables aleatorias
Alternativamente:
Se define la función de densidad de
probabilidad (pdf), f(x), de una variable
aleatoria continua X como aquella que
satisface:
,
es decir, la probabilidad de que x caiga entre
x y x+dx
Variables aleatorias
La densidad de probabilidad, f(x), debe
satisfacer que:
Variables aleatorias
Comentario:
las distribuciones continuas asignan
probabilidad cero a valores individuales, es
decir, si X es una variable continua
Pr(X=a)=0
Esto no implica el evento X=a sea imposible!
Variables aleatorias
Ejemplo:
Distribución uniforme
Variables aleatorias
Comentario:
La densidad de probabilidad NO es la
probabilidad de X cerca de x.
Es la integral de f la que da la probabilidad
Variables
aleatorias
Ejemplo:
Suponga que la función de densidad de
probabilidad (pdf) está dada por:
¿Cuál es el valor de c?
Determine :
Variables aleatorias
Similarmente al caso discreto, se define la
función de distribución cumulativa (cdf) F(x):
De modo que
Además:
,
Variables aleatorias
Comentarios:
- La función de distribución cumulativa F(x)
Es una función no decreciente con x
- Una función de distribución cumulativa es
siempre continua por la derecha:
para cada valor de x
Variables aleatorias
Ejemplo:
Sea X una variable aleatoria con distribución
uniforme en el intervalo [a,b].
¿Cuál es la función de distribución cumulativa
Variables aleatorias
Comentario:
Una variable aleatoria discreta puede tratarse
como una variable aleatoria continua y
asignarse la correspondiente densidad de
probabilidad.
Si X es una variable discreta que toma los
valores x1,...,xn con probabilidades p1,...,pn ,
entonces la densidad de probabilidad
continua puede escribirse como
Varias variables aleatorias
Es común encontrar problemas que
dependen de más de una variable aleatoria.
Los resultados que hemos visto pueden
extenderse a dos o más variables aleatorias.
Veamos el caso de dos variables.
Varias variables aleatorias
Distribucion conjunta discreta.
Sean X y Y dos variables aleatorias y
consideremos el par ordenado (X,Y). Si existe
un número contable de diferentes valores
(xi,yi) para el par (X,Y), entonces X, Y tienen
una distribución discreta.
Definición: La función de probabilidad
conjunta de X,Y se define como la función f
tal que para cada punto (xi,yi) en el plano xy,
Varias variables aleatorias
Con
Si (xi,yi) NO es uno de los valores posibles del
par (X,Y) entonces f(xi,yi) = 0. Además,
Varias variables aleatorias
Similarmente al caso continuo para una
variable tenemos ahora que:
donde f(x,y) es la función de densidad de
probabilidad conjunta que satisface:
y
Varias variables aleatorias
Varias variables aleatorias
Caso especial: variables independientes.
Es frecuente encontrar casos donde las
variables aleatorias X, Y no dependen una de
otra. En este caso la densidad de
probabilidad puede escribirse como
Pr(X=xi ,Y=yi )=g(xi )h(yi ) ,
donde g(xi) y h(yi) son las densidades de
probabilidad de X y Y.
Similarmente para el caso continuo:
Varias variables aleatorias
Sobre el tema de variables aleatorias
independientes, supongamos que nos
interesa saber la densidad de probabilidad de
la suma de variables independientes.
Sea Y = X1 + X2, donde X1 , X2 son variables
aleatorias independientes con densidades de
probabilidad f1 y f2 . La densidad de
probabilidad de Y está dada por (convolución)
Varias variables aleatorias
Varias variables aleatorias
Varias variables aleatorias
Varias variables aleatorias
Varias variables aleatorias
Distribución cumulativa conjunta
La distribución cumulativa conjunta para dos
variables aleatorias X y Y está definida como
la función F tal que para todos los valores de
x e y de modo que
Varias variables aleatorias
Si X e Y tienen una densidad de probabilidad
conjunta f(x,y) entonces
De aquí que
Varias variables aleatorias
Distribución marginal
Frecuentemente en un problema de varias
variables, digamos 2 variables, estamos
interesados en la distribución de una sóla de
las variables. Dicha distribución se obtiene a
través de la distribución conjunta y se le
llama distribución marginal.
Por ejemplo, para el caso discreto, si X e Y
son variables aleatorias con función de
distribución conjunta f(x,y), entonces la
distribución marginal f1 está dada por
Varias variables aleatorias
Por ejemplo, para el caso discreto, si X y Y
son variables aleatorias con distribución
conjunta f(x,y), entonces la distribución
marginal f1 está dada por
Similarmente para el caso continuo:
Varias variables aleatorias
Distribución condicional
Así como en el cálculo de probabilidades era
de interés conocer la probabilidad de un
evento dado que otro había sucedido, ahora
nos preguntamos por la distribución de una
variable X dado que otra, Y, ha tomado un
valor Y=y. La distribución de la probabilidad
condicional viene dada por:
Varias variables aleatorias
Distribución condicional
Para n variables:
donde f2 es la distribución marginal de
X1,... Xk
Varias variables aleatorias
Ley de la probabilidad total y teorema de
Bayes
Para n variables:
donde
y
Y el teorema de Bayes para variables
aleatorias es:
Variables aleatorias
Funciones de variables aleatorias
Frecuentemente se requiere la distribución
de una función de las variables aleatorias. Por
ejemplo, si X es una variable aleatoria,
quisieramos saber la distribución de 1/X, o
bien para dos variables X1,X2, ¿cuál es la
probabilididad de exp(X1+X2)?
Varias variables aleatorias
Funciones de variables aleatorias
o bien
Variables aleatorias
Algunas propiedades de las distribuciones
Las distribuciones de probabilidad tienen toda la
información estadística de las variables
aleatorias en cuestión.
En muchas ocasiones algunas propiedades de las
distribuciones nos dan suficiente información
estadística de las variables aleatorias.
Los llamados valores esperados (o promedios o
momentos) son cantidades estadísticas simples
que nos dan información de las variables
aleatorias.
Variables aleatorias
Valor esperado, valor promedio, promedio, valor
medio, media, o primer momento
La propiedad más utilizada para caracterizar una
distribución de variables aleatorias es el llamado
valor medio.
Si X es una variable aleatoria el valor esperado
E[X] está definido como
f(x) es la función de probabilidad (discreto) o densidad de
probabilidad (continuo)
Variables aleatorias
En general, para una función de variables
aleatorias, tenemos
Variables aleatorias
Una propiedad:
También, si f(x) y g(x) son funciones de
probabilidad discretas (o bien, continuas)
tenemos que:
donde
a y b son constantes (números reales)
Variables aleatorias
Varianza (que tan dispersos son los valores de
una variable aleatoria respecto al valor medio)
Sea X es una variable aleatoria, su varianza está
dada por:
donde
Variables aleatorias
Se pueden demostrar las siguientes igualdades
para la varianza (a y b constantes):
Variables aleatorias
Generalización: k-ésimo momento
Este se define como:
donde
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Similarmente, el k-ésimo momento central viene
definido por
Variables aleatorias
Comentario:
Los momentos centrales
“skewness” y “kurtosis”
y
tienen nombre:
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Función generadora (generatriz) de
probabilidad
donde fn =Pr(X=xn ) y xn toma valores enteros
no negativos
Variables aleatorias
de modo que, por ejemplo, el primer momento
está dado por
Variables aleatorias
Variables aleatorias
Otro tipo de función generadora (generatriz)
es la función generadora de momentos
Para una variable aleatoria X y un número real t,
esta función se define como:
La función generadora existe para todo valor de t
siempre que X esté acotada y MX(t=0)=E(1)=1
Variables aleatorias
Entonces, el n-ésimo momento de X está dado
por:
De esta forma, por ejemplo,
Variables aleatorias
Ejemplo: función generadora de una densidad de
distribución Gaussiana está dada por:
Variables aleatorias
Caso especial: suma de variables independientes
Si X1,...,Xn son variables independientes y
Sn=X1+ ... +Xn,
entonces
Variables aleatorias
Un poco más general: si ahora Sn está dada por la
suma de variables independientes de la forma:
Sn=c1X1+ ... +cnXn ,
entonces la función generatriz viene dada por:
Variables aleatorias
Covarianza y correlación
Estas dos cantidades nos dicen que tanto están
relacionadas/(dependen entre sí) dos variables
aleatorias.
Covarianza: sean X e Y variables aleatorias con
valores bien definidos
y
La covarianza se define como
Variables aleatorias
Covarianza y correlación
Se puede mostrar que la covarianza se puede
escribir como:
De aquí que, si X e Y son variables
independientes
por lo que
Variables aleatorias
Covarianza y correlación
En cuanto a la correlación, ésta se define como
Se puede demostra que:
y
Variables aleatorias
Si hay una dependencia lineal entre las
variables X e Y, digamos Y=aX + b, tenemos
que
Corr[X,Y] =1 , si a es una constante positiva
y
Corr[X,Y]=-1, si a es una constante negativa
Variables aleatorias
Comentarios:
a) El hecho de que haya una relación entre dos
variables aleatorias, digamos Y=X*X, no implica
que ambas variables esten correlacionadas
b) Si las variables son independientes =>
pero no en el otro sentido, i.e, si
no implica que las variables sean independientes
Variables aleatorias
Si X e Y son variables aleatorias con varianza finita
entonces
Si las variables son independientes tenemos
que es un caso particular de
Variables aleatorias
Teorema del límite central
Sean X1,...,Xn n variables aleatorias
independientes cada una descrita
(estadísticamente) por funciones de probabilidad
fi(x) con valores medios
y varianzas
.
Entonces la variable
Tiene las siguientes propiedades
Variables aleatorias
1-El valor esperado está dado por
2-La varianza viende dada por
3-Para
la función de probabilidad de Z
tiene a una distribución normal (Gaussiana) con
media y varianza dada en 1 y 2.
Nota:las funciones fi(x) pueden ser todas distintas
Variables aleatorias
Comentarios:
1) Si las Xi siguen la misma distribución,
para
la distribución de Z se aproxima a
una distribución normal con valor medio
y
varianza
2) Si una variable aleatoria está dada por
podemos hacer
entonces ln(Y) sigue una distribución “log-normal”