Reducción de orden Se ha notado que una ecuación diferencial

ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA
Código del Curso- Ecuaciones Diferenciales
Act 8: Lección Evaluativa Unidad 2
Reducción de orden
Se ha notado que una ecuación diferencial general de segundo orden tiene la
forma
F (x, y, y’, y’’) = 0
Existen tipos especiales de ecuaciones de segundo orden que se pueden resolver
por métodos de primer orden, cuando se hace una reducción de orden, a
continuación se presenta uno.
1) Cuando no aparece la variable independiente “y” explícitamente la ecuación se
escribe
F(x, y’, y’’) = 0
Para este caso, se introduce una nueva variable dependiente, es decir hacemos
un cambio de variable:
Sea u= y’ por lo tanto u’ = y’’, luego la ecuación diferencial se transforma como
sigue f (x, u, u’) = 0
Por lo tanto se reducido una ecuación de segundo orden a primer orden.
Ejemplo:
Resolver la ecuación diferencial xy’’ – y’ = 3x2
La variable “y” no se encuentra en esta ecuación, por lo tanto reducimos la
ecuación haciendo el cambio de variable la ecuación queda de la siguiente
manera:
xu’ – u = 3x2
Resolviendo la ecuación xu’ – u/x = 3x se obtiene: u = 3x2 + c1 x
Como u = y’ se tiene que y’ = 3x2 + c1 x, entonces tendremos como solución la
ecuación:
Y= x3 + c1 x2/2 + c2
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Dependencia lineal e independencia.
Un conjunto de funciones y1(x), y2(x),...,yn(x), se dice que son linealmente
dependientes en un intervalo si existen un conjunto de n constantes, no todas
cero, tales que
C1y1(x) + C2 y2(x) +... + Cnyn(x) = 0
En caso contrario se dice que el conjunto es linealmente independiente.
WRONSKIANO.
Si cada una de las funciones y1(x), y2(x),...,yn(x) posee al menos n-1 derivadas,
entonces el determinante
Se llama Wronskiano.
Sean y1, y2,...,yn las soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea de n ésimo orden. El conjunto de soluciones es linealmente independiente si y solo si
W(y1, y2,...,yn) ≠ 0.
Ejemplo:
Ejemplo: Sean y1= ex e y2=e2x soluciones de una ecuación diferencial, lo cual no
son idénticamente cero. Como el wronskiano
Por lo tanto las soluciones son linealmente independientes.
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Método de coeficientes constantes
La forma general de una ecuación con coeficientes constantes son las que
podemos representar en la forma:
que es de orden n, y es lineal dado que no existen términos de grado superior al
primero en lo que respecta a la variable dependiente y a sus derivadas. Se dice
que la ecuación es HOMOGÉNEA si Q(x)=0.
Para hallar la solución a las ecuaciones diferenciales con coeficientes
constantes, se tiene en cuenta los siguientes teoremas:
TEOREMA 1 Si y=y1(x) es una solución cualquiera de una ecuación diferencial
lineal homogénea y C una constante arbitraria, entonces la solución será
y=Cy1(x).
TEOREMA 2 Si y=y1(x) e y=y2(x) son soluciones de una ecuación diferencial
lineal homogénea entonces la solución general de la ecuación diferencia es
y=y1(x) +y2(x).
TEOREMA 3 Si y=yp(x) es una solución cualquiera de una ecuación diferencial
lineal no homogénea e yh(x) es una solución de la correspondiente ecuación
homogénea, entonces y=yp(x) +yh(x) es también una solución de la ecuación no
homogénea.
Las ECUACIONES HOMOGENEAS de segundo grado son aquellas enunciadas
de la forma:
O
ay’’+ by’ + cy = 0
La solución de las ecuaciones diferenciales de segundo orden generalmente son
de la forma y= emx, entonces y’=memx y y’’= m2emx por lo tanto la ecuación ay’’+
by’ + cy = 0 se transforma en:
am2emx + b memx + c emx = 0, se factoriza y se tiene emx (am2+ bm + c) = 0.
Como emx nunca es igual a 0, entonces la expresión am2+ bm + c = 0. Que es una
ecuación llamada ecuación característica o ecuación auxiliar.
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Con la ecuación característica se consigue la solución de la ecuación diferencial y
para ello se tiene 3 casos:
Caso 1. Donde la ecuación característica tiene dos raíces reales y distintas m1 y
m2, entonces la solución general de la ecuación ay’’+ by’ + cy = 0 es:
Ejemplos Coeficientes constantes
Las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de orden superior se puede
realizar utilizando la ecuación característica o ecuación auxiliar. Con ella podemos
obtener 3 casos,
Caso1: Raíces reales distintas
Resolver la ecuación diferencial y'' - 3y' + 2y = 0
La ecuación auxiliar es m2 - 3m + 2 = 0, por lo tanto (m-1)(m-2)= 0 luego m1=1 y
m2= 2
x
2x
Por consiguiente y = C1e + C2e
Caso 2: Raíces reales iguales
Resolver la ecuación diferencial y'' - 6y' + 9y = 0
La ecuación auxiliar es m2 - 6m + 9 = 0, por lo tanto (m-3)(m-3)= 0 luego m1=3 y
m2= 3
3x
3x
3x
Por consiguiente y = C1e + C2xe = (C1 + C2x)e .
Caso 3: Raíces complejas conjugadas
Resolver la ecuación diferencial y'' - 6y' + 25y = 0
La ecuación auxiliar es m2 – 6m + 25= 0, por lo tanto m1= 3 + 4i y m2= 3 - 4i
3x
Por consiguiente y = e (C1sen 4x + C2cos 4x).
Método de coeficientes indeterminados por el método de
superposición
Con el método de coeficientes constantes se dio la solución de las ecuaciones
diferenciales homogéneas, pero como también se cuenta con ecuaciones
diferenciales no homogéneas entonces tenemos el método que da la solución a
estas ecuaciones. Este método es de los coeficientes indeterminados, que incluye
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a su vez dos métodos uno llamado de superposición y otro llamado método
anulador.
Para resolver una ecuación diferencial lineal no homogénea por coeficientes
indeterminados por el método de superposición se debe hacer los siguientes
pasos:
1) Hallar la solución de la ecuación homogénea que se llama complementaria y se
denota yp, algunos libros la denotan yc.
2) Hallar la solución particular de la ecuación no homogénea que se denota yh.
Para hallar la solución particular yh se ha diseñado una tabla que es útil y permite
encontrar yh.
La tabla es la siguiente:
Función
Forma de yh
K = Constante
A
3x + 2
Ax + B
2x2 + 4x + 1
Ax2 + Bx + C
Sen 2x o Cos 2x
ASen 2x + B Cos 2x
e2x
Ae2x
(3x + 2) e2x
(Ax + B) e2x
X2 e2x
(Ax2 + Bx + C) e2x
e2x Sen 2x
Ae2x Sen 2x + Be2x Cos 2x
X2 Sen 2x
(Ax2 + Bx + C) Cos 2x + (Ex2 + Fx + G) Sen 2x
Xe2x Sen 2x
(Ax + B) e2x Cos 2x + (Cx + D) e2x Sen 2x
3) por último la solución general que será y= yp + yh.
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Método de coeficientes indeterminados por el método del Anulador.
La ecuación diferencial de n-ésimo orden se puede escribir también como:
anDny + an-1Dn-1y+…+ a1Dy+ a0y = g(x)
donde los Dny= dyk/dxk, para k=1,2,…,n. La ecuación anterior se escribe
brevemente como L(y)=g(x), donde L es el operador diferencial o polinomial.
La notación operador L(y)= anDn + an-1Dn-1+…+ a1D+ a0.
En este método no existe regla especial, la solución yh se deduce una vez se
encuentra un operador diferencial lineal que anula a g(x).
Si L es un operador diferencial lineal con coeficientes constantes y f es una
función suficientemente diferenciable tal que L(f(x)) = 0 entonces se dice que L es
un anulador de la función.
A continuación se presenta los operadores diferenciales y las funciones que anula:
Operador Diferencial
Funciones que anula
Dn
1, x, x2, …, xn-1
(D – α)n
eαx, xeαx, x2eαx,…, xn-1eαx
[D2 - 2αD + (α2 + β2)]n
eαx cos βx, xeαx cos βx, x2 eαx cos βx,…,xn-1 eαx cos βx
eαx sen βx, xeαx sen βx, x2 eαx sen βx,…,xn-1eαx sen βx
Otra forma de ver el método Anulador
Una ecuación diferencial lineal de orden n, es una ecuación de la forma:
anDny + an-1Dn-1y + …+ a1Dy + a0y =f(x) (1)
n
Donde D y=dky/dxk
La ecuación (1) se puede factorizar:
(anDn + an-1Dn-1 + …+ a1D + a0)y = f(x), y cuando las ai son números reales
entonces se puede factorizar el operador diferencial:
anDn + an-1Dn-1 + …+ a1D + a0 = P(D).
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Ejemplo:
Una ecuación diferencial y’’ + 6y’ + 9y = 0 se puede escribir en la forma:
(D+3)(D+3) y = 0, o bien (D+3)2 y = 0
Definición 1: Un operador diferencial Dn anula cada una de las siguientes
funciones:
1, x, x2,…, xn-1
Ejemplo:
El operador diferencial de y=1-5x2+8x3 es D4 (1-5x2+8x3)= 0
El operador diferencial de y = x2 + 1 es D3(x2 + 1) =0
Definición 2: El operador diferencial (D- α)n anula cada una de las siguientes
funciones:
eαx, xeαx, x2eαx,…, xn-1eαx
Ejemplo:
El operador diferencial de y= e4x es (D-4)e4x=0, donde n=1 (un término) y α=4
El operador diferencial de y= 2ex+5xex es (D-1)2(2ex+5xex), donde n= 2, α=1
Definición 3: El operador diferencial [D2 - 2αD + (α2 +β2)]n anula cada una de las
siguientes funciones:
eαx cos βx, xeαx cos βx, x2eαxcos βx,…,xn-1eαx cos βx
eαx sen βx, xeαx sen βx, x2eαxsen βx,…,xn-1eαx sen βx
Bibliografia
Edwards J, P. D. (1986). Ecuaciones Diferenciales elementales con aplicaciones.
Mexico: Calypso S.A.
SHEPLEY, R. (1979). Ecuaciones Diferenciales. Barcelona: Reverté S.A.
Simmons, G. F. (1993). ECUACIONES DIFERENCIALES, Con aplicaciones y
notas historicas. Mexico: McGrawHill.
ZILL, D. G. (1997). Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modelado.
Mexico: Thomson Editores.
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