Función Longitud de Arco Rt Si al extremo final de la curva L(t) = kf 0 (t)kdt se deja variable, entonces el lı́mite superior de la a integral depende del parámetro t, y se tiene que la longitud de arco de una curva es función de la variable Rt escalar t o sea L(t) = kf 0 (t)kdt entonces L(t) define un nuevo parámetro para c al que se denomina a parámetro de longitud de arco. Es decir si tenemos una curva c = f (t) y f¯(t) es una reparametrización de c tal que la rapidez con que f¯(t) recorre a C es constante igual a 1 es decir kf (t)k = 1 ∀ t ∈ I, por lo tanto L f¯(t) = Z b kf 0 (t)kdt = Z b 1dt = b − a a a por lo que f¯ sera una reparametrización tal que la longitud de la curva que describe es igual al tiempo que tarda en recorrerla. Ejemplo: Sea f (t) = (r cos t, r sin t). Obtengamos la reparametrizacion por la longitud de arco. t Z Z tq Z t r2 (cos2 (t) + sin2 t)dt = rdt = rt kf 0 (t)kdt = s = L(t) = 0 0 0 Entonces s = rt, por lo tanto rs = t. Entonces el camino f¯(s) = f ( rs ) = (r cos( rs ), r sin( rs )) es la reparametrización por la longitud de arco. Observe que kf¯0 (s)k = k − r sin( rs ) 1r , r cos( rs ) 1r k = k − sin( rs ), cos( rs )k = 1 ∀ s ∈ I, como tenia que ocurrir. Ejemplo: Reparametrice la hélice r(t) = cos tî + sin tĵ + tk̂ con respecto a la longitud de arco. Solución. t Z kr2 (t)kdt = s = s(t) = Z tp Z t√ √ cos2 t + sin2 t + 1dt = 2 dt = 2 t 0 ⇒ s= √ 0 0 2t s √ =t 2 Por lo tanto y t esta en función de s. Por lo tanto la parametrización requerida es r̄(t) = cos s √ 2 , sin s √ 2 s ,√ 2 y 0 kr̄ (s)k = s − sin s √ 2 1 √ 2 1 2 2 2 1 s 1 + √ cos √ + √ = 2 2 2 s √ 1 s 1 s + sin2 √ + cos2 √ = 1 =1 2 2 2 2 como tenia que ser. Ejemplo: Obtenga la reparametrización de la catenaria f (t) = (t, cosh(t)) Solución. Tenemos que: q f 0 (t) = (1, sinh(t)) por lo tanto kf 0 (t)k = 1 + sinh2 (t) de la identidad cosh2 (t) − sinh2 (t) = 1 tenemos que: q q kf 0 (t)k = 1 + sinh2 (t) = cosh2 (t) = cosh(t) Z ⇒s= t kf 0 (t)kdt = Z 0 Por lo tanto s = sinh(t) t cosh(t) = sinh(t) − sinh(0) = sinh(t) 0 y arcsin h(s) = t {z } | ∗ Recordemos que si s = sinh(t), entonces: s= et − e−t ⇒ 2s = et − e−t ⇒ 2set = e2t − 1 ⇒ e2t − 2set − 1 = 0 2 y resolviendo esta última como una ecuación cuadrática de 2do grado en et tenemos que: √ p p 2s 4s2 + 4 = s + s2 + 1 ⇒ es = s + s2 + 1 e = 2 p p 2 Por lo tanto s = ln s + s + 1 ⇒ t = ln s + s2 + 1 t Por lo tanto la reparametrización por longitud de arco es: p p f¯(s) = ln s + s2 + 1 , cosh ln s + s2 + 1 y kf −1 (s)k = p 1 2s 1 2s √ √ 1+ √ , sinh ln s + s2 + 1 1+ √ = 2+1 2+1 2+1 s + s2 + 1 2 s s + s 2 s | {z } ∗ 2 "√ # # "√ 2 1 s2 + 1 + s s +1 +s 1 √ √ √ √ , sinh(arcsin(s)) = 2 2 2 s + s2 + 1 s +1 s+ s +1 s +1 r r √ s 1 s2 + 1 s2 √ 1 s2 + 1 , √s2 + 1 = s2 + 1 + s2 + 1 = s2 + 1 = 1 = 1 Vector tangente unitario, Normal principal y plano osculador Dada una curva f (t), el vector unitario tangente T es otra función vectorial asociada a la curva, y está definida por: T (t) = f 0 (t) kf 0 (t)k siempre que kf 0 (t)k = 6 0. Observese que: 0 f (t) 1 0 kT (t)k = kf 0 (t)k = kf 0 (t)k kf (t)k = 1 T es de magnitud constante, por lo tanto T · T 0 = 0. Si la dirección es lineal T 0 = 0. Si T 0 6= 0 el vector unitario que tiene la misma dirección que T 0 se llama Normal principal a la curva y se designa por N (t). Asi pues N (t) es una nueva función vectorial asociada a la curva y esta dada por la ecuación: N (t) = T 0 (t) kT 0 (t)k kT 0 (t)k = 6 0 siempre que Cuando los dos vectores unitarios T y N están trazados por el punto de la curva f (t), determinan un plano llamado osculador de la curva. El plano osculador es el plano que mejor se adapta a la curva en cada uno de sus puntos. Si la curva es plana, el plano osculador coincide con el plano de la curva. Ejemplo: Consideremos el camino f : R → R3 dado por: f (s) = cos s √ 2 , sin s √ 2 s ,√ 2 el cual es dos veces diferenciable parametrizado por longitud de arco√y que describe una hélice circular en R3 . Obtenga la ecuación del plano osculador en el punto f ( 2 π) = (0, 1, π). Solución. Tenemos que: f 0 (s) T (s) = 0 = kf (s)k 1 − √ sin 2 3 s √ 2 1 , √ cos 2 s √ 2 1 ,√ 2 √ y T ( 2 π) = (0, − √12 , √12 ), por otro lado: T 0 (s) N (s) = = kT 0 (s)k s 1 1 1 s 1 √ √ √ √ √ √ cos ,− sin , 0 (2) = − 2 2 2 2 2 2 s s = − cos √ , , − sin √ ,0 2 2 √ √ √ y N ( 2 π) = (1, 0, 0). Ahora realizamos T ( 2 π) x N ( 2 π) = î −1 √ √s sin 2 = 2 − cos √s 2 ĵ √1 2 cos − sin √s 2 √s 2 k̂ 1 s −1 s 1 √1 2 = √ √ √ √ √ sin , cos , 2 2 2 2 2 0 √ al evaluar en 2 π nos queda (0, √12 , √12 ). Por lo tanto la ecuación del plano osculador en P = (0, 1, π) es: 1 1 (x − 0, y − 1, z − π) · 0, √ , √ 2 2 =0 1 1 ⇒ √ (y − 1) + √ (z − π) = 0 2 2 ⇒y+z =π−1 Un tercer vector definido mediante B = T xN recibe el nombre de Vectror binomial. Los tres vectores unitarios T, N y B forman un conjunto de vectores mutuamente ortogonales de orientación derecha llamado Triedo de Frenet. El plano generado por T y N se denomina plano osculador. El plano generado por N y B se llama plano normal, mientras que el plano generado por T y B se llama plano rectificador. Ejercicio: Obtenga las ecuaciones del plano normal y del plano rectificador del ejercicio anterior y en el mismo punto. √ −1 √1 Solución. Para el plano normal tenemos P = (0, 1, π) y T ( 2 π) = (0, √ , 2 ) por lo tanto la 2 ecuación es: 1 1 ó −y+z =π−1 (x − 0)0 − √ (y − 1) + √ (z − π) = 0 2 2 √ Para el plano rectificador tenemos P = (0, 1, π) y N ( 2 π) = (1, 0, 0), por lo tanto la ecuación es: 1(x − 0) + 0(y − 1) + 0(z − π) = 0 4 ó x=0 −1 √1 , 2 ). La recta Tangente es (x, y, z) = (0, 1, π) + t(0, √ 2 La recta Normal es (x, y, z) = (0, 1, π) + t(1, 0, 0). La recta Binormal es (x, y, z) = (0, 1, π) + t(0, √12 , √12 ). En Resumen: La ecuación del plano Normal es ........... (q − f (s)) · T (s) = 0 La ecuación del plano Rectificador es ..... (q − f (s)) · N (s) = 0 La ecuación del plano Osculador es ........ (q − f (s)) · B(s) = 0 La ecuación de la recta Tangente es ....... q = f (s) + tT (s) La ecuación de la recta Normal es ......... q = f (s) + tN (s) La ecuación de la recta Binormal es ....... q = f (s) + tB(s) En una recta, el vector unitario tangente T no cambia su dirección y por tanto T 0 = 0. Si la curva no es una linea recta, la derivada T 0 mide la tendencia de la tangente a cambiar su diracción. El coeficiente de variación o derivada de la tangente unitaria respecto a la longitud de arco se denomina vector curvatura de la curva. Se designa por dT /ds donde s representa la longitud de arco. La regla de la cadena y la fórmula s0 (t) = kf 0 (t)k permite relacionar el vector curvatura dT /ds con la derivada T 0 respecto al tiempo mediante la ecuación: dT dt 1 1 dT = = T 0 ds = T 0 0 ds dt ds kf (t)k dt y puesto que T 0 (t) = kT 0 (t)kN (t), obtenemos: dT 1 = 0 kT 0 kN (t) ds kf (t)k que dice que el vector curvatura tiene la misma dirección que la normal principal N (t). El factor de escala que multiplica a N (t) es un número no negativo llamado curvatura de la curva en t, y se designa por k(t). Asi la curvatura de k(t) definida como la longitud del vector curvatura esta dado por la fórmula siguiente: k(t) = kT 0 (t)k kf 0 (t)k 5 Ejemplo: Curvatura de una circunferencia. Para un cı́rculo de radio a dado por la ecuación r(t) = (a cos t, a sin t) tenemos: r0 (t) = (−a sin t, a cos t) y T (t) = (− sin t, cos t) y T 0 (t)(− cos t, − sin t) Por lo tanto kT 0 (t)k = 1, por lo tanto k(t) = a1 . Esto prueba que una circunferencia tiene curvatura constante y el reciproco de la curvatura es el radio de la circunferencia cuando k(t) 6= 0, su inverso se denomina radio de curvatura y se designa por ρ. Teorema.- Dada una función vectorial f (t), designamos por n(t) la rapidez en el instante t u(t) = kf 0 (t)k. Entonces el vector aceleración a es una combinación lineal de T y T 0 dada por la fórmula a(t) = u0 (t)T (t) + u(t)T 0 (t). Si T 0 (t) 6= 0, también tenemos a(t) = u0 (t)T (t) + u(t)kT 0 (t)kN (t). Demostración: La fórmula del vector tangente unitario nos da: f 0 (t) f 0 (t) = =T 0 kf (t)k u(t) Por lo tanto f 0 (t) = T · u(t), derivando esto obtenemos: f 00 (t) = T 0 u(t) + u0 (t)T (t) = kT 0 kN (t)u(t) + u0 (t)T (t) Teorema.- Dada una función vectorial f (t) con vector velocidad v(t), rapidez u(t) = kf 0 (t)k, aceleración a(t) y curvatura k(t). Tenemos a(t) = u0 (t)T 0 + k(t)kf 0 (t)k2 N (t). Demostración: Como k(t) = kT 0 (t)k kf 0 (t)k ⇒ kT 0 (t)k = k(t)kf 0 (t)k y de T 0 (t) = N (t) kT 0 (t)k tenemos que T 0 (t) = kT 0 (t)kN (t) = k(t)kf 0 (t)kN (t) y de la ecuación a(t) = u0 (t)T (t) + u(t)T 0 (t) se tiene que a(t) = u0 (t)T (t) + u2 (t)k(t)N (t). Tomando a(t) = u0 (t)T (t) + k(t)u2 (t)N (t) y v(t) = u(t)T (t). Efectuamos a(t) x v(t) = u0 (t)T (t) + k(t)u2 (t)N (t) x u(t)T (t) = u0 (t)T (t) x u(t)T (t) + k(t)u2 (t)N (t) x u(t)T (t) 6 = u0 (t)u(t)T (t) x T (t) + k(t)u3 (t)N (t) x T (t) | {z } 0 ⇒ a(t) x v(t) = k(t)u3 (t)N (t) x T (t) y por lo tanto ka(t) x v(t)k = kk(t)k ku3 (t)k kN (t)k kT (t)k k sin π 2 k ka(t) v(t)k = k(t)u3 (t) Por lo tanto k(t) = ka(t) x v(t)k u3 (t) Definición.- El radio de curvatura es ρ = k1 el reciproco de la curvatura, el cı́rculo de curvatura o circulo osculador en un punto P sobre una curva plana donde k 6= 0 es el circulo en el plano de la curva que: i) ii) iii) iv) Es tangente a la curva en P. Tiene la misma curvaturaque la curva en P. Se encuentra hacia el lado concavo o interior de la curva. El radio de la curvatura de la curva P es el radio del cı́rculo de curvatura o cı́rculo osculador. Asi el centro del cı́rculo osculador (llamado centro de curvatura) debe estar en: c(t) = f (t) + 1 N (t) k(t) Para el caso especial de una curva plana con ecuación y y escribir r(x) = xî + f (x)ĵ entonces r0 (x) = î + f 0 (x)ĵ y î ĵ 0 00 r (x) x r (x) = 1 f 0 (x) 0 f 00 (x) 7 = f (x) podemos escoger x como el parámetro r00 (x) = f 00 (x)ĵ y al efectuar: k̂ 0 = f 00 (x)k̂ 0 Por lo tanto kr0 (x) x r00 (x)k = kf 00 (x)k. Por otro lado kf 0 (x)k = p 1 + [f 0 (x)]2 . Por lo tanto, para una curva plana kf 00 (x)k k(x) = p 1 + [f 0 (x)]2 3/2 Ejemplo: Determine los vectores T y N , la curvatura k y el centro de la curvatura de la parábola y = x2 en el punto (1, 1) Solución. Si la parábola esta parametrizada por x = t y por y =√ t2 , entonces su vector de posición es f (t) = (t, t2 ), por lo tanto f 0 (t) = (1, 2t) ⇒ kf 0 (t)k = tanto: (1, 2t) T (t) = √ 1 + 4t2 T (1) = 1 2 √ ,√ 5 5 1 + 4t2 , y f 00 (t) = (0, 2), por lo N (t) = −2 1 √ ,√ 5 5 perpendicular a T , kf 00 (t)k k = p 1 + [f 0 (t)]2 3 = √ 2 1 + 4t2 3 √ 5 5 ⇒ ρ= 2 2 k(1) = √ 5 5 Por lo tanto el centro de la curvatura es c(t) = f (1, 1) + 1 2 √ 5 5 −2 1 √ ,√ 5 5 = 7 −4, 2 Y la ecuación del cı́rculo osculador a la parábola es, por tanto: 7 (x + 4) + y − 2 2 2 = √ !2 125 5 5 = 2 4 Ejemplo: Calcule la curvatura k de la hélice x(t) = a cos(wt), y(t = a sin(wt)), z(t) = bt Solución. Tenemos que: f 0 (t) = (−wa sin(wt), aw cos(wt), b) ⇒ kf 0 (t)k = p a2 w2 + b2 Por lo tanto T = (−aw sin(wt), aw cos(wt), b) √ 1 a2 w2 + b2 Por lo tanto k= kT 0 k 1 = k − aw2 cos(wt), −aw2 sin(wt), 0k √ = 2 kf 0 k a w 2 + b2 8 = q (aw2 )2 (cos2 (wt) + sin2 (wt)) √ 1 a2 w2 + b2 =√ aw2 + b2 a2 w2 En resumen: B̂ = T̂ x N̂ N̂ = B̂ x T̂ T̂ = N̂ x B̂ y por tanto −B̂ = N̂ x T̂ −N̂ = T̂ x B̂ −T̂ = B̂ x N̂ Dado que B(s) = T (s) x N (s) se tiene que B 0 (s) = T 0 (s) x N (s) + T (s) x N 0 (s) {z } | ∗ * Este sumando es igual a cero ya que T 0 (s) = f 00 (s) es un vector en la dirección de N (s) y por tanto son colineales por lo que su producto cruz es cero, por lo tanto B 0 (s) = T (s) x N 0 (s). Ahora como B 0 (s) es un vector ortogonal a T (s) podemos concluir que B 0 (s) es un vector en el plano osculador. Por lo que si B 0 (s) es un vector paralelo a N (s), entonces existe un escalar z(s) tal que B 0 (s) = z(s)N (s). Por otro lado N 0 (s) es ortogonal a N (s). Por lo tanto se puede escribir como N 0 (s)µ(s)T (s) + z(s)B(s). 9