φ ω π φ ω ω - prof.usb.ve. - Universidad Simón Bolívar

Universidad Simón Bolívar – Conversión de Energía Eléctrica - Prof. José Manuel Aller
Dos motores de corriente continua, excitación independiente están conectados como se
muestra en la figura y poseen los siguientes datos de placa:
Pn = 5 kW
Vna = 230 V
Vnf = 100V
I na = 25 A
I nf = 1.0 A
nn = 2000 rpm
Tb = kbω 2
Rad 1
Rad 2
n = 1800 rpm
Las pérdidas en el hierro y mecánicas alcanzan los 438 W. La tensión de remanencia a velocidad
nominal es de 6 V. El par de la bomba depende del cuadrado de la velocidad y a 1800 rpm
consume 4 kW. Las resistencias adicionales a las excitaciones de ambas máquinas están
convenientemente ajustadas para que circule la corriente nominal por estas bobinas en la condición
de operación. En estas condiciones determine:
a. Todos los parámetros de la máquina de corriente continua considerando pérdidas y flujo de
remanencia.
b. Velocidad de la bomba en la condición ilustrada en la figura.
c. Rendimiento del conjunto completo.
d. Valores de las resistencias adicionales para que la bomba gire a 2000 rpm.
Solución:
a. Todos los parámetros de la máquina de corriente continua considerando pérdidas y flujo de
remanencia.:
1. Cálculo del flujo de remanencia:
E
6V
6V
φr = r = 2000
=
= 2.865 ×10−2 Wb
rad
209.4 s
ωn
60 2π
2. Cálculo del coeficiente de generación G:
P + P + Pfe 5000W + 438W
Tn = ( G ⋅ I fn + φr ) ⋅ I a = n mec
=
= 25.97 Nm
209.4 rads
ωn
T −φ ⋅ I
G = n r an = 1.01 H
I fn ⋅ I an
3. Resistencia de armadura:
V − (Gωn I f + Erem ) 230V − (1.01× 209.4 ×1.0 + 6 V )
Ra = a
=
= 0.512 Ω
Ia
25 A
4. Resistencia del campo:
-1-
Universidad Simón Bolívar – Conversión de Energía Eléctrica - Prof. José Manuel Aller
Rf =
5. Coeficiente de la bomba:
TBn = k ⋅ ω 2
k=
PBn
ω
3
=
V fn
I fn
= 100 Ω
PBn = k ⋅ ω 3
⇒
4000 W
(
1800
60
2π )
3
= 5.97 ×10−4
b. Velocidad de la bomba en la condición ilustrada en la figura:
+
Ra
Ra
I1
I2
EG
+
2A
EM
I1 = I 2 + 2 A
EM ⋅ I 2 = kω 3 + Pmec + Pfe
EM = ( GI fn + φr ) ⋅ ω
EM = EG − Ra ⋅ I1 − Ra ⋅ I 2
Las cuatro ecuaciones anteriores permiten obtener la siguiente expresión de la
velocidad:
kω 3 + Pmec + Pfe
E − 2 Ra
437.2
ω= G
− 2 Ra
= 192.35 − 5.95 × 10−4 ω 2 −
2
ω
( GI fn + φr )
ω ⋅ ( GI fn + φr )
Utilizando el método de Gauss-Seidel para resolver la ecuación anterior se obtiene
el siguiente resultado:
ω 172 rads
⇒
n = 1.644 rpm
c. Rendimiento del conjunto completo:
EM = ( GI fn + φr ) ⋅ ω = 174V
I2 =
kω 3 + Pmec + Pfe
= 20 A ⇒
I1 = I 2 + 2 A = 22 A
EM
PG = EG × I1 + Pmec + Pfe = 4.736W
PB = kω 3 = 3070W
-2-
Universidad Simón Bolívar – Conversión de Energía Eléctrica - Prof. José Manuel Aller
ηT =
PB
×100 = 64.8%
PG
d. Valores de las resistencias adicionales para que la bomba gire a 2000 rpm:
En este caso utilizaremos una aproximación para realizar un cálculo más rápido pero
posteriormente se podría afinar el resultado. La aproximación consiste en suponer
que la corriente del campo del motor se mantiene, con este supuesto se facilita el
cálculo de EM y posteriormente se recalcula I f 2 . Posteriormente se podría iterar
hasta alcanzar la convergencia, pero en este caso los resultados cambian muy poco y
es posible pasar por alto este tanteo:
PB = kω 3 = 5.97 × 10−4 ( 2000
60 2π ) = 5485W
3
PM = PB + Pmec + Pfe = 5923W ⇒
TM =
PM
EM ≈ ( GI fn + φr ) ⋅ ω = 211.6 V
ω
= 28.28 Nm
TM ⋅ ω
= 28 A
EM
Esta corriente indica que se exceden las condiciones nominales de operación al
trabajar el sistema en este punto. Durante un período de tiempo es posible mantener
este punto de operación, pero si se mantiene permanentemente la máquina excederá
su temperatura de diseño y comenzará un deterioro acelerado de sus propiedades
dieléctricas.
EM
− φr
ω
If2 =
= 0.97 A
G
EG = Ra ⋅ I1 + Ra ⋅ I 2 + EM ≅ 0.512 × 30 + 0.512 × 28 + 211.6 = 241V
EG
−φ
ωG r
I f1 ≅
= 1.24 A
G
Con estos resultados aproximados se podría seguir iterando para mejorar la
precisión de los resultados, pero para los fines prácticos son muy cercanos a los
valores finales. Con las dos corrientes de campo y con la tensión del punto medio
entre las dos máquinas se determinan las resistencias totales y de estas, el valor de
las resistencias adicionales que requiere cada campo:
I2 ≅
V = EG − Ra ⋅ I1 = EM + Ra ⋅ I 2 = 226 V
V
= 182 Ω
⇒
RT 1 =
Rad 1 = RT 1 − R f = 82 Ω
I f1
RT 2 =
V
= 232 Ω
If2
⇒
-3-
Rad 2 = RT 2 − R f = 132 Ω