REGULACIÓN AUTOMATICA (3)

REGULACIÓN AUTOMATICA (3)
(Diagrama de bloques y diagramas de Flujos)
Escuela Politécnica Superior
Profesor: Darío García Rodríguez
1
1-2.- Dado el diagrama de bloque de la figura calcular su función de transferencia.
R (s )
C (s)
G1
G3
G2
G4
1
En este problema es importante en observar las direcciones de las flechas, y
observamos, que no existen realimentaciones, solo sumadores. A continuación en las
figuras hacemos los diferentes pasos:
R( s)
C ( s)
G1
G2 +G2
G4
G4
G3
1
R( s)
C (s)
G1 ·(G2 + G4 )G3
1
R( s )
C ( s)
G1 ·(G2 + G4 )G3 − 1
Si queremos realizarlos por el diagrama de flujo y formula de Mason en el dibujo
primitivo tenemos:
Trayectoria directa: P1=G1G2G3 P2=G1G4G3 y P3=-1
Lazos: No tiene L=0
2
C (s)
= P1 + P2 + P3 = G1 (G2 + G4 )G3 − 1
R( s)
Nota Formula de Mason:
C ( s ) ∑ Pi ∆ i
=
R(s)
∆
∆ = 1 − ∑ Li + ∑ Li L j − ∑ Li L j Lk + ....
En el producto de lazos tienen que ser disyunto (ningún punto común).
Así como Pi con los lazos tienen que ser disyunt.
3
2.2.- Dado el diagrama de bloque de la figura calcular su función de transferencia.
R(s)
C (s)
G1
G2
G3
G4
H2
H1
Aquí existe una realimentación negativa, y una suma, luego tendremos:
R (s )
G2 − G 4
G1
C (s )
G3
1 + G3 H 2
H1
R (s )
G3
− G1 ·(G2 − G4 )·
− H1
1 + G3 H 2
C (s )
Si queremos realizarlos por el diagrama de flujo y formula de Mason en el dibujo
primitivo tenemos:
P2 = G1G4G3
P3 = − H 1
Trayectoria directa: P1 = −G1G2 G3
Lazos: L1 = −G3 H 2
P3 y L1 son disyunt. (es decir no tiene ningún punto común)
Aquí el camino P3 es disyunt. Con respecto a L1
Aplicando la formula de Mason:
C ( s ) − G1G2 G3 + G1G4 G3 − H 1 (1 + G3 H 2 )
=
R(s)
1 + G3 H 2
1
4
3.2.- Dado el diagrama de bloque de la figura calcular su función de transferencia.
H3
C (s )
G1
G2
G3
G4
G5
H2
H1
En primer lugar la realimentación negativa G2 H2, hacemos su equivalente, lo
mismo hacemos con G3 y G4, que estan en serie.
H3
C (s )
G2
1 + G2 H 2
G1
G3 G4
G5
H1
Lo mismo hacemos con la realimentación negativa de H1.
H3
R( s)
C (s)
G1G2
1+ G2 H2 + G1G2 H1
G3 G4
G5
Y ahora con la realimentación positiva de H3, quedando el bloque correspondiente a la
función de transferencia.
R(s )
G1G2 G3G4 G5
1 + G2 H 2 + G1G2 H 1 − G1G2 G3G4 H 3
C (s)
Si queremos realizarlos por el diagrama de flujo y formula de Mason en el dibujo
primitivo tenemos:
Trayectoria directa: P1 = G1G2 G3G4G5
Lazos: L1 = −G2 H 2
L2 = −G1G2 H 1
L3 = G1G2G3 H 3
5
Todos los lazos y trayectoria directa son no disyunto entre sí.
Aplicando la formula de Mason:
G1G2 G3G4G5
C (s)
=
R ( s ) 1 + G2 H 2 + G1G2 H 1 − G1G2 G3G4 H 3
6
4.2.- Dado el diagrama de bloque de la figura calcular su función de transferencia.
H1
H2
G1
G2
R (s)
C (s)
G3
G4
H3
H5
H4
En primer lugar, la suma de tres entradas las desglosamos en dos sumas de dos
entradas.
H1
H2
G1
G2
R (s )
C (s)
G3
G4
H3
H5
H4
Tenemos dos realimentaciones negativas ( H1 y H3 ), que lo sustituimos por sus bloques
equivalentes.
H2
R(s )
G1
1 + G1 H 1
C (s)
G2
1 + G2 H 3
H4
G3
G4
H5
Aquí existe una realimentación positiva (H2), que la sustituimos por su bloque
equivalente.
7
R( s )
G1
1 + G1 H 1
C ( s)
G2
1 + G2 H 3 − G2 H 2
H4
G3
G4
H5
Aquí una realimentación negativa (H4·H5).
R (s)
G1G2 G3G4
(1 + G1 H 1 )(1 + G2 H 3 − G2 H 2 ) + G1G2 G3G4 H 4 H 5
C (s)
Es el resultado de la función de transferencia.
Si queremos realizarlos por el diagrama de flujo y formula de Mason en el dibujo
primitivo tenemos:
Trayectoria directa: P1 = G1G2G3G4
Lazos: L1 = −G1 H 1
L2 = −G1G2 G3G4 H 4 H 5
L3 = G2 H 2
L4 = −G2 H 3
La trayectoria directa con los lazos son no disyunto.
El lazo L1 es disyunto. con el L3 y L4
Aplicando la formula de Mason:
P1
C (s)
=
R ( s ) 1 − L1 − L2 − L3 − L4 + L1 L3 + L1 L4
G1G 2 G 3 G 4
C (s)
==
R( s)
1 + G1 H 1 + G1G 2 G 3 G 4 H 4 H 5 − G 2 H 2 + G 2 H 3 + G1 H 1G 2 H 3 − G1 H 1G1 H 2
Llegando al mimo resultado.
8
5.2.- Simplificar el diagrama de bloque siguiente y calcular la función de transferencia.
H2
R ( s)
+
−
G1
C ( s)
−
+
+
+
G2
G3
G4
H1
H3
Lo primero que observamos en la figura que todos los lazos están mezclados, lo
primero que haremos es llevar el extremo anterior de H2 al final, pero se tiene que
cumplir que la ganancia del lazo permanezca constante al anterior.
H2 / G4
R(s )
+
−
−
+
G1
C (s)
+
+
G2
G3
G4
H1
H3
Aquí en tres transformaciones se puede llegar al final, siendo las siguientes:
H2 /G4
R(s)
+
−
−
+
G1
G3 G 4
1 − G3 G 4 H 1
G2
C (s )
H3
R (s )
+
−
G1
G2 G3G4
1 − G3G4 H 1 + G2 G3 H 2
C (s )
H3
9
R(s )
G1G2 G3G4
1 − G3G4 H 1 + G2 G3 H 2 + G1G2 G3G4 H 3
C (s )
Si queremos realizarlos por el diagrama de flujo y formula de Mason en el dibujo
primitivo tenemos:
Trayectoria directa: P1=G1G2G3G4 teniendo puntos comunes con todos los lazos.
Lazos: L1=G3G4H1
L2=-G2G3H2
L3=-G1G2G3G4H3
No hay lazos disyuntos (que no se toquen en ningún punto )
G1G2 G3G4
P1
C (s)
==
=
R(s)
1 − L1 − L2 − L3 1 − G3G4 H 1 + G2G3 H 2 + G1G2 G3G4 H 3
Nota Formula de Mason:
C ( s ) ∑ Pi ∆ i
=
R(s)
∆
∆ = 1 − ∑ Li + ∑ Li L j − ∑ Li L j Lk + ....
10
6-2.-Simplificar el siguiente diagrama de Bloque:
H1
+
+
G1
−
+
−
+
G2
−
C (s)
+
G3
H2
H3
En primer lugar los sumadores 2º y 3º lo intercambiamos para que no se encuentren
cruzados, y el Terminal de entrada de H1, lo pasamos a un lugar posterior a G2.
H 1 / G2
R (s)
+
−
G1
+
+
−
+
G2
−
+
G3
H2
H3
R(s)
+
−
G1
+
+
−
G2
−
H1 + G2
G2
G3
H2
H3
11
R(s)
C (s)
+
−
G1
+
−
H1 + G2
G2
G2
1 + G2 H 2
G3
H3
R(s)
+
−
R (s)
C (s)
G 3 (G 2 + H 1 )
1 + G 2 H 2 + G3 H 3 ( H 1 + G 2 )
G1
G1G3 (G2 + H1 )
1 + G2 H 2 + G3 H 3 ( H1 + G2 ) + G1G3 (G2 + H1 )
C (s)
Si queremos realizarlos por el diagrama de flujo y formula de Mason en el dibujo
primitivo tenemos:
Trayectoria directa: P1=G1G2G3 P2=G1G3H1 teniendo puntos comunes con todos los
lazos.
Lazos: L1=-G2H2
L2=-G2G3H3
L3=-G1G2G3
L4=-G1G3H1
L5=-G3H1H3
No hay lazos disyuntos (que no se toquen en ningún punto )
G1G2G3 + G1G3 H 1
P1 + P2
C (s)
==
=
R(s)
1 − L1 − L2 − L3 − L4 − L5 1 + G2 H 2 + G2 G3 H 3 + G1G2 G3 + G1G3 H 1 + G3 H 1 H 3
12
7-2.- Simplificar el diagrama de bloque siguiente y calcular la función de transferencia.
G1
R(s)
+
+
R(s)
+
G2
−
H1
+
−
H2
El primer paso es poner un solo bloque con H1 y H2 .
G1
R(s)
+
+
C (s)
+
G2
−
H1 − H 2
G1
R(s)
+
C (s)
+
G2
−
H1 − H 2
R (s)
1 + G1
C ( s)
+
+
−
G2
H1 − H 2
13
R(s )
G2
(1 + G1)
1 + G2 ( H1 − H 2 )
C (s )
Si queremos realizarlos por el diagrama de flujo y formula de Mason en el dibujo
primitivo tenemos:
Trayectoria directa: P1=G1G2 P2=G2 teniendo puntos comunes con todos los lazos.
Lazos: L1=-G2H1
L2=G2H2
No hay lazos disyuntos (que no se toquen en ningún punto )
Luego su función de transferencia es:
P + P2
G1G2 + G2
C (s)
= 1
=
R ( s ) 1 − L1 − L2 1 + G2 H 1 − G2 H 2
14
8-2.- Calcular la función de transferencia del siguiente diagrama de flujo.
G4
R (s)
G1
+1
G2
G3
+1
C (s)
− H1
− H2
Trayectoria directa: P1=G1G2G3 P2=G1G4 teniendo puntos comunes con todos los
lazos.
Lazos: L1=-G1H1
L2=-G3H2
Los lazos son disyuntos (que no se toquen en ningún punto ).
La trayectoria directa P2, es disyunta con respecto al lazo L2.
La trayectoria directa P1 es no disyunt. con respecto a los lazos.
∆ = 1 − L1 − L2 + L1 L2
∆1 = 1
∆ 2 = 1 − L2
G1G2 G3 + G1G4 ·(1 + G3 H 2 )
P ·∆ + P ·∆ )
C (s)
== 1 1 2 2 =
R(s)
1 − L1 − L2 + L1 L2 1 + G1 H 1 + G3 H 2 + G1G3 H 1 H 3
15
9-2.- Calcular la función de transferencia del siguiente diagrama de flujo.
a
+1
x(s)
+1
b
c
+1
d
e
y(s)
f
−1
Trayectoria directa: P1= a ce teniendo puntos comunes con todos los lazos.
Lazos: L1=ab
L2=cd
L3=ef L4=-ace
Los lazos L1 y L3 son disyuntos (que no se toquen en ningún punto )
La trayectoria directa P1 toca a todos los lazos.
Cuando la transmitancia es 1, significa que los dos nodos contiguos es el mismo.
De esa forma los lazos L1 y L2, y L2 y L3 , sean no disyuntos.
P1
y ( s)
ace
==
=
x( s)
1 − L1 − L2 − L3 − L4 + L1 L3 1 − ab − cd − ef + ace + abef
16