Capítulo 20 Ondas electromagnéticas

Capítulo 20
Ondas electromagnéticas
1
Ondas electromagnéticas
Las ondas electromagnéticas son transversales. Su campo eléctrico es
perpendicular al magnético, y E × B señala siempre en el sentido de
propagación.
El campo eléctrico de una onda que se propaga en el sentido positivo del
eje Z, con el campo eléctrico oscilando en la dirección Y viene dado por:
2πz
E = E0 sen ωt −
λ
!
ıb
Este campo eléctrico lleva asociado el siguiente campo magnético:
E0
2πz
B=
sen ωt −
c
λ
!
b
Velocidad de la luz
La velocidad de la luz en el vacío vale c = 300.000 km/s.
La velocidad en un medio material es:
c
c
v=√
=
κµ n
√
A la constante n = µ se le denomina índice de refracción del medio.
En el aire n = 1.
La relación entre ω y λ en un medio material viene dada por:
λ=
c
2πc
T =
.
n
nω
Energía e intensidad
La intensidad o cantidad de energía por unidad de área y unidad de tiempo
que transmite una onda electromagnética es igual a:
S = 12 c0 E02
La potencia de una onda electromagnética es igual a la intensidad por el
área de la sección, trasversal a la onda.
La energía transmitida en un cierto intervalo temporal es igual a la potencia por el tiempo.
La intensidad luminosa se mide en W/m2 , la potencia en W y la energía
en J.
Concepto de fotón
La radiación electromagnética está formada por fotones, cuya energía es igual a:
E = hν
h se denomina constante de Planck, y vale 6.63 · 10−34 J s. La constante
reducida de Planck es igual a h̄ = h/2π.
La energía total de una determinada radición es igual al número de fotones que contiene, N , por la energía de cada uno de ellos:
E = N hν
La potencia es igual al número de fotones por unidad de tiempo por la
energía de uno de ellos, y la intensidad al número de fotones por unidad
de área y de tiempo por la energía de uno de ellos.
Los fotones poseen un momento lineal igual a:
p=
h
λ
Efecto fotoeléctrico
La función de trabajo y la frecuencia umbral están relacionadas por:
φ = hνc
La energía cinética máxima de los fotoelectrones vale:
Emax = hν − φ
Problema 20.1
Escribe las expresiones de los campos eléctrico y magnético de una onda plana que viaja en el sentido negativo del
eje Z y está polarizada en la dirección Y , sabiendo que
posee una frecuencia de 2 · 109 Hz y la amplitud del campo
eléctrico es de 0.1 V/m.
Problema 20.2
Obtén la energía por unidad de tiempo y unidad de área
que transporta la onda dada en el ejercicio anterior.
Problema 20.3
El campo eléctrico de una onda electromagnética que se
propaga por el aire viene dado por:
2πx b
k V/m.
E = 3 sen 10 t +
λ
8
!
Determina:
(a) el sentido de propagación de la onda,
(b) su longitud de onda,
(c) la expresión del campo magnético correspondiente,
(d) la energía por unidad de tiempo y unidad de área que
transporta.
Problema 20.4
El campo magnético de una onda electromagnética que se
propaga por el aire viene dado por:
B = 10
−7
2πx
b T.
sen 10 t +
λ
15
!
Determina:
(a) el sentido de propagación de la onda,
(b) su longitud de onda,
(c) la expresión del campo eléctrico correspondiente,
(d) la energía por unidad de tiempo y unidad de área que
transporta,
(e) la energía que transporta a través de una superficie
de 3 m2 durante dos horas.
Problema 20.5
La amplitud del campo eléctrico de una onda electromagnética es de 10 V/m. Obtén la amplitud del campo magnético correspondiente y la intensidad de la onda.
Problema 20.6
La radiación solar en un punto de la superficie terrestre es
de 1.1 kW/m2 de intensidad. Calcula:
(a) la amplitud de los campos eléctrico y magnético que
componen dicha radiación,
(b) la potencia luminosa que se recibe en una placa de 2
m2 de superficie,
(c) la energía que recibe una piscina de 50 m2 de superficie suponiendo que los rayos solares incidieran
perpendicularmente sobre ella durante cuatro horas.
Problema 20.7
Calcula la energía y el momento lineal de los fotones
que componen las ondas electromagnéticas de frecuencia
igual a 1020 Hz.
Problema 20.8
Una radiación electromagnética está compuesta por fotones con una energía de 100 eV. ¿Cuáles son la frecuencia
y la longitud de onda de dicha radiación?
Problema 20.9
Un rayo luminoso posee una potencia de 10 W y una frecuencia angular de 4 · 1015 rad/s. ¿Cuántos fotones por
segundo atraviesan una sección perpendicular a la dirección del rayo?
Problema 20.10
Una onda electromagnética posee una longitud de onda
de 100 nm y una intensidad de 500 W/m2 . ¿Qué energía posee cada uno de los fotones que componen dicha
onda? ¿Cuántos fotones por segundo y por metro cuadrado atraviesan una sección perpendicular a la dirección de
propagación de la onda?
Problema 20.11
Una onda luminosa posee una frecuencia de 1015 Hz y una
intensidad de 800 W/m2 . Determina:
(a) su longitud de onda,
(b) la energía de los fotones que la componen,
(c) el momento lineal de los mismos,
(d) el número de fotones por unidad de tiempo y de superficie que atraviesan una sección perpendicular a
la onda,
(e) el número de fotones que inciden durante un minuto
sobre una circunferencia de 4 cm de radio iluminada
por dicha onda.
Problema 20.12
¿Cuál es la frecuencia umbral para un metal que posee
una función de trabajo de 2.3 eV?
Problema 20.13
Luz de una frecuencia de 1.5·1015 Hz incide sobre un metal
con una función de trabajo de 2.1 eV. Determina:
(a) la frecuencia umbral del metal,
(b) el momento lineal de los fotones que componen la
luz,
(c) la máxima energía cinética de los electrones arrancados al metal por la luz incidente.
20.1 Escribe las expresiones de los campos eléctrico y magnético de una onda
plana que viaja en el sentido negativo del eje Z y está polarizada en la dirección
Y , sabiendo que posee una frecuencia de 2 · 109 Hz y la amplitud del campo
eléctrico es de 0.1 V/m.
La longitud de onda de la onda electromagnética es igual a la velocidad
de la luz dividida por la frecuencia:
λ=
c
3 · 108
=
= 0.15 m.
ν
2 · 109
El campo eléctrico viene dado por:
2πz
2πz
E = E0 sen ωt +
b = 0.1 sen 4π 109 t +
b V/m.
λ
0.15
!
!
Para que la onda viaje en el sentido −kb el campo magnético deberá seb
ñalar hacia ıb cuando el eléctrico lo hace hacia b (ya que b × ıb = −k)
y
por tanto:
E0
2πz
B =
sen ωt +
ıb
c
λ
!
= 3.33 · 10
−10
2πz
sen 4π 10 t +
ıb T.
0.15
9
!
20.2 Obtén la energía por unidad de tiempo y unidad de área que transporta la
onda dada en el ejercicio anterior.
La energía por unidad de tiempo y de área que propaga una onda electromagnética es:
S = 12 c0 E02 = 12 3 · 108
0.12
= 1.33 · 10−5 W/m2 .
9
4π 9 · 10
20.3 El campo eléctrico de una onda electromagnética que se propaga por el
aire viene dado por:
E = 3 sen 108 t +
2πx
λ
b V/m.
k
Determina:
(a) el sentido de propagación de la onda,
(b) su longitud de onda,
(c) la expresión del campo magnético correspondiente,
(d) la energía por unidad de tiempo y unidad de área que transporta.
(a) La onda se propaga hacia el sentido negativo del eje X.
(b) La longitud de onda es igual a la velocidad de la luz dividida por la
frecuencia:
c
3 · 108 2π
λ= =
= 18.8 m.
ν
108
(c) El campo magnético asociado al campo eléctrico dado es:
3
2πx
b
B =
sen 108 t +
(−)
c
λ
= −10−8 sen 108 t + 0.33x b T.
!
(d) La energía por unidad de tiempo y de área correspondiente es:
S=
1
2
c0 E02
32
= 3 · 10
= 1.2 · 10−2 W/m2 .
9
4π 9 · 10
1
2
8
20.4 El campo magnético de una onda electromagnética que se propaga por
el aire viene dado por:
B = 10−7 sen 1015 t +
2πx
λ
b T.
Determina:
(a) el sentido de propagación de la onda,
(b) su longitud de onda,
(c) la expresión del campo eléctrico correspondiente,
(d) la energía por unidad de tiempo y unidad de área que transporta,
(e) la energía que transporta a través de una superficie de 3 m2 durante dos
horas.
(a) La onda se propaga hacia el sentido negativo del eje X.
(b) La longitud de onda es igual a la velocidad de la luz dividida por la
frecuencia:
c
3 · 108 2π
λ= =
= 1.88 · 10−6 m.
ν
1015
(c) El campo eléctrico asociado al campo magnético dado es:
!
2πx
E = B0 c sen 1015 t +
kb
λ
= 30 sen 1015 t + 3.33 · 106 x kb V/m.
(d) La energía que transporta la onda por unidad de tiempo y de área
es:
302
2
8
1
1
S = 2 c0 E0 = 2 3 · 10
= 1.2 W/m2 .
9
4π 9 · 10
(e) La energía transportada después de 2 horas a través de 3 m2 es:
E = StA = 1.2 · 2 · 3600 · 3 = 25900 J.
20.5 La amplitud del campo eléctrico de una onda electromagnética es de 10
V/m. Obtén la amplitud del campo magnético correspondiente y la intensidad
de la onda.
La amplitud del campo magnético es igual a:
B0 =
10
E0
=
= 3.33 · 10−8 T.
8
c
3 · 10
La intensidad de la onda correspondiente es:
I=S=
1
2
c0 E02
102
= 0.133 W/m2 .
= 3 · 10
9
4π 9 · 10
1
2
8
20.6 La radiación solar en un punto de la superficie terrestre es de 1.1 kW/m2
de intensidad. Calcula:
(a) la amplitud de los campos eléctrico y magnético que componen dicha radiación,
(b) la potencia luminosa que se recibe en una placa de 2 m2 de superficie,
(c) la energía que recibe una piscina de 50 m2 de superficie suponiendo que
los rayos solares incidieran perpendicularmente sobre ella durante cuatro
horas.
(a) El valor de la amplitud del campo eléctrico lo encontramos despejando en la expresión de la intensidad:
2I
E0 =
c0
!1/2
2 · 1100
=
36π 109
8
3 · 10
!1/2
= 911 V/m.
La amplitud del campo magnético correspondiente es igual a:
B0 =
E0
911
=
= 3.04 · 10−6 T.
8
c
3 · 10
(b) La potencia luminosa es la intensidad por el área:
P = IA = 1100 · 2 = 2200 W.
(c) La energía es la intensidad por el área y por el tiempo:
E = IA t = 1100 · 50 · 4 · 3600 = 7.92 · 108 J.
20.7 Calcula la energía y el momento lineal de los fotones que componen las
ondas electromagnéticas de frecuencia igual a 1020 Hz.
La energía de un fotón de 1020 Hz es:
E = hν = 6.63 · 10−34 1020 = 6.63 · 10−14 J.
El momento lineal correspondiente vale:
p=
6.63 · 10−34 1020
h hν
=
=
= 2.21 · 10−22 kg m/s.
8
λ
c
3 · 10
20.8 Una radiación electromagnética está compuesta por fotones con una energía de 100 eV. ¿Cuáles son la frecuencia y la longitud de onda de dicha radiación?
La frecuencia correspondiente a fotones de 100 eV es:
100 · 1.6 · 10−19
E
=
= 2.41 · 1016 Hz.
ν=
−34
h
6.63 · 10
La longitud de onda vale:
λ=
c
3 · 108
=
= 1.24 · 10−8 m.
16
ν
2.41 · 10
20.9 Un rayo luminoso posee una potencia de 10 W y una frecuencia angular de 4 · 1015 rad/s. ¿Cuántos fotones por segundo atraviesan una sección
perpendicular a la dirección del rayo?
La energía de cada fotón es:
15
ω
−34 4 · 10
= 6.63 · 10
= 4.22 · 10−19 J.
E = hν = h
2π
2π
El número de fotones por segundo que atraviesa la sección es:
N=
P
10
=
= 2.37 · 1019 s−1 .
−19
E
4.22 · 10
20.10 Una onda electromagnética posee una longitud de onda de 100 nm y
una intensidad de 500 W/m2 . ¿Qué energía posee cada uno de los fotones que
componen dicha onda? ¿Cuántos fotones por segundo y por metro cuadrado
atraviesan una sección perpendicular a la dirección de propagación de la onda?
La energía de un fotón de 100 nm de longitud de onda es:
8
c
−34 3 · 10
E = hν = h = 6.63 · 10
= 1.99 · 10−18 J.
−9
λ
100 · 10
El número de fotones por unidad de área y de tiempo vale:
N=
I
500
=
= 2.51 · 1019 s−1 m−2 .
−18
E
1.99 · 10
20.11 Una onda luminosa posee una frecuencia de 1015 Hz y una intensidad de
800 W/m2 . Determina:
(a) su longitud de onda,
(b) la energía de los fotones que la componen,
(c) el momento lineal de los mismos,
(d) el número de fotones por unidad de tiempo y de superficie que atraviesan
una sección perpendicular a la onda,
(e) el número de fotones que inciden durante un minuto sobre una circunferencia de 4 cm de radio iluminada por dicha onda.
(a) La longitud de onda es:
c
3 · 108
λ= =
= 3 · 10−7 m.
15
ν
10
(b) La energía de cada fotón vale:
E = hν = 6.63 · 10−34 1015 = 6.63 · 10−19 J.
(c) El momento lineal de los fotones es:
h 6.63 · 10−34
p= =
= 2.21 · 10−27 kg m/s.
−7
λ
3 · 10
(d) El número de fotones por unidad de área y de tiempo vale:
NI =
I
800
=
= 1.21 · 1021 s−1 m−2 .
−19
E
6.63 · 10
(e) Tras un minuto, sobre la circunferencia del problema incide un número de fotones igual a:
N = NI 60π r2 = 1.21 · 1021 60π 0.042 = 3.6 · 1020 .
20.12 ¿Cuál es la frecuencia umbral para un metal que posee una función de
trabajo de 2.3 eV?
La frecuencia umbral viene dada por hνc = φ, y por tanto vale:
φ 2.3 · 1.6 · 10−19
νc = =
= 5.55 · 1014 Hz.
h
6.63 · 10−34
20.13 Luz de una frecuencia de 1.5 · 1015 Hz incide sobre un metal con una
función de trabajo de 2.1 eV. Determina:
(a) la frecuencia umbral del metal,
(b) el momento lineal de los fotones que componen la luz,
(c) la máxima energía cinética de los electrones arrancados al metal por la
luz incidente.
(a) La frecuencia umbral es:
φ 2.1 · 1.6 · 10−19
= 5.07 · 1014 Hz.
νc = =
−34
h
6.63 · 10
(b) El momento lineal de un fotón de 1.5 · 1015 Hz es:
h hν
6.63 · 10−34 1.5 · 1015
p= =
=
= 3.31 · 10−27 kg m/s.
λ
c
3 · 108
(c) La máxima energía cinética de los fotoelectrones es igual a la energía de un fotón menos la función de trabajo:
Emax = E − φ = hν − φ = 6.63 · 10−34 1.5 · 1015
− 2.1 · 1.6 · 10−19 = 6.58 · 10−19 J.