Dada la función F(x) = responda razonadamente las siguientes

Curso ON LINE
Tema 8
 x +1
2
3 − ax
Dada la función F(x) = 
008
si
si
x ≤1
responda razonadamente las siguientes
x >1
cuestiones:
(a) ¿Para qué valores de a la función F(x) es continua en x = 1?
(b) Si F(x) es continua cuando x → x0 entonces no existe lím F(x) ¿es cierto?.
(c) Realizar un esbozo de la gráfica de dicha función.
BH2
PAU OVIEDO
Junio 2000
Resolución CON LÁPIZ Y PAPEL apartado (a)
Se trata de una función definida por 2 trozos. Diremos que la función real F(x) es continua en
x = 1 cuando verifica Lím F ( x) = F(1), es decir, se verifican las 3 condiciones siguientes:
x→ 1
(I) Existe Lím F ( x)
x→1
Lím+ F ( x) = Lím+ (3 − ax 2 ) = 3 – a
x→1
x→1
Lím− F ( x) = Lím− ( x + 1) = 2
x→1
x→1
Para que exista este límite, ha de verificarse que:
Lím F ( x) = Lím− F ( x)
x→1 +
x→1
3–a=2 Æ -a=2-3
Æ
a = 1
(II) Existe F(1) = 1 + 1 = 2
(III) F(1) = Lím F ( x)
x→1
2=2
Resolución CON LÁPIZ Y PAPEL apartado (b)
Para que una función F(x) sea continua cuando x → x0 han de verificarse necesariamente, como ya
hemos dicho, 3 condiciones:
(I) Existe Lím F ( x)
x→ x0
(II) Existe F(x0)
(III) F(x0 ) = Lím F ( x)
x→ x 0
Por lo tanto no es cierto que NO EXISTE Lím F ( x) ya que es la primera condición para que exista
x→ x 0
continuidad en x = x0, y además debe coincidir con el valor de la función en ese punto.
Resolución CON LÁPIZ Y PAPEL apartado (c)
Si representamos gráficamente la función se pueden ratificar y comprobar visualmente, de forma fácil y
rápida, todas las conclusiones obtenidas a través del estudio analítico de la función
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