Leonard Euler y la Teoría de Grafos

Leonard Euler y la Teoría
de Grafos
¿Qué tienen en común
un pasatiempo de los habitantes de una
ciudad europea del siglo XVIII;
Colorear el mapa de Colombia;
Planear un viaje de vacaciones;
Evitar problemas cómo el del apagón del
jueves pasado?
Y ¿Qué tienen en común estas cosas con
Leonard Euler, el matemático suizo, que
nació en 1807 y murió el 7 de septiembre de
1783 y cuyos trabajos más importantes se
centraron en el campo de las matemáticas
puras?
¿Qué tienen en común las siguiente
imágenes?
Simulación Química Artificial
Conectividad de Internet
Mapa de Internet, Coloreado por
direcciones IP
WWW: Jerarquía Topológica
Conexiones de Viajes
Todas ellas son ejemplos de problemas que se
pueden modelar usando la Teoría de
Grafos, que es una rama de las
Matemáticas y tiene mucho interés en las
Ciencias de la Computación, y cuyo
precursor fue precisamente Leonard Euler.
La Teoría de Grafos, una rama de la Topología,
es el estudio de estructuras matemáticas que
se usan para modelar relaciones entre
objetos de una colección.
En 1736, época en la que vivió en Prusia,
Euler resolvió el problema conocido como el
Problema de los siete puentes de
Königsberg.
La siguiente es una traducción textual del
artículo que Euler escribió sobre el problema
de los puentes de Königsberg.
“El problema, que entiendo es bien conocido,
dice lo siguiente: En el pueblo de Königsberg,
en Prusia, hay una isla llamada Kneiphof,
rodeada por dos ramas del río Pregel: Hay
siete puentes, a, b, c, d, e, f, y g cruzando las
dos ramas, como se muestra en la figura
La pregunta es si una persona puede
caminar de tal forma que pueda cruzar cada
uno de estos puentes una vez, pero no más
que una vez.
Me han dicho que algunos insisten en que
esto es imposible y que otros tienen dudas,
nadie es capaz de afirmar que es posible.
Con base en lo anterior, he formulado el
siguiente problema general…”
Euler continúa en su trabajo formulando una
teoría general que resuelve el problema
particular y da origen a toda una nueva rama
de las matemáticas, la Teoría de grafos.
Reconstruyamos la forma como resolvió Euler
el problema de los siete puentes:
Primero, analicemos los puentes y el río
Ahora, olvidémonos de las distracciones
Concentrémonos en la información pertinente
Simplifiquemos las cosas aún más:
Por último llegamos simplemente a
Esta figura es
un Grafo
Un grafo está formado por
Vértices
Un grafo está formado por
Vértices
y
Aristas
Un grafo, (grafico o red) se refiere a una
colección de vertices o nodos y una
colección de aristas, donde cada arista
conecta dos vértices.
Se usa como una abstracción de la relación
entre objetos. Los grafos consisten
exclusivamente de vértices y aristas. Todas
las características del sistemas se eliminan o
se reunen dentro de estos conceptos
Grado de un vértice
= Número de aristas
Grado 3
Grado 5
Grado 3
Grado 3
Clave de la Solución
Estudiar los vértices impares
Llegamos a este
Vértice
Ahora salimos
de este
Vértice.
Al volver otra vez
No importa el
camino
No se puede salir.
Tiene que ser un
Vértice Final
Este análisis se le hace a todos los
vértices.
Por tanto, se tiene que
No es posible que haya un camino como
el buscado, ya que hay cuatro vértices
impares.
Variación: Si tenemos un puente mas
*
En términos de la teoría de grafos
Un camino euleriano en un grafo es un
recorrido que usa cada arista exactamente
una sola vez.
Un circuito euleriano es un camino euleriano
que empieza y termina en el mismo punto.
En caso de que exista tal camino se dice que el
grafo es Euleriano.
El problema de los puentes de Königsberg
corresponde a responder a encontrar un
camino euleriano.
Si se exige iniciar y terminar en el mismo
punto, corresponde a encontrar un circuito
euleriano
La solución que dió Euler al problema
establece que:
Un grafo contiene un circuito euleriano si y
sólo si todos sus vértices son pares.
Un grafo contiene un camino euleriano si y
sólo si tiene dos vértices impares y los otros
vértices pares.
Además, cualquier camino euleriano
empieza en uno de los vértices impares y
termina en el otro.
La solución a este problema dada por Euler
es considerada el primer teorema de Teoría
de Grafos.
Euler reconoció que la información clave era
el número de puentes y la lista de sus
extremos, y que no importaba la posición
exacta, sino posiciones relativas.
Estas ideas fueron precursoras de la
Topología, que se llamó inicialmente
Geometría in Situs.
La diferencia entre el mapa exacto de la
ciudad y la situación de los puentes y el grafo
esquemático es un buen ejemplo de la forma
de pensamiento topológico, al que no le
interesa las distancias ni las formas rígidas.
ota Histórica: Situación actual de los
puentes de Königsberg, ahora Kaliningrad.
Dos de los puentes fueron destruidos por
bombardeos durante la Segunda Guerra
Mundial.
Otros dos fueron demolidos y reemplazados
por autopistas modernas. Los otros tres
puentes permanecen, aunque sólo dos de
ellos son los originales de la época de Euler,
pues el otro fue reconstruido en 1935.
Así que ahora el problema de los puentes de
Königsberg es diferente.
La Característica de Euler fue definida
inicialmente para poliedros.
Se usó para probar varios teoremas acerca de
ellos, incluyendo la clasificación de los
sólidos platónicos.
Hoy es un concepto muy importante en la
Topología.
Historia
El artículo Solutio problematis ad geometriam
situs petinentis, escrito por Euler sobre los
siete puentes de Königsberg y publicado en
1736 en la revista anual de la Academia de
San Petersburgo, Tomo VIII, pág. 128-140
es claramente el primer artículo en esta
teoría y por tanto su punto de partida.
Hay una traducción en la enciclopedia Sigma,
El Mundo de las Matemáticas, tomo 4,
páginas 164-171.
Problema del Caballo
Euler presentó el primer artículo matemático
sobre el problema del Caballo. Curiosamente
está publicado en francés, que no era la
costumbre de la época: “Solution d'une
question curieuse qui ne paroit soumise à
aucune analyse”, Mémoires de l'Academie
Royale des Sciences et Belles Lettres, Année
1759, vol.15, pp.310–337, Berlín 1766.
En palabras de Euler:
Me encontré un día en un juego de ajedrez y
alguien propuso el siguiente problema:
recorrer con un caballo todas las celdas de
un tablero de ajedrez, sin pasar dos veces
por la misma celda e iniciando en una celda
dada…
La formula de Euler, que relaciona el número
de vértices, aristas y caras de un poliedro fue
generalizada por Cauchy y L´Huillier y se
constituye en el origen de la Topología.
El artículo de Vandermonde sobre el
problema del caballo del ajedrez continúa
con las ideas de la Geometría in Situs,
iniciadas por Leibniz y Euler
Pasado más de un siglo del trabajo de Euler
sobre los puentes de Königsberg, Cayley
estudió un tipo particular de grafos, los
árboles. Su motivación fue el estudio de
problemas que provenían del cálculo
diferencial.
Los árboles tiene muchas aplicaciones en la
Química Teórica, especialmente en lo que se
refiere al problema de enumeración de grafos
con ciertas propiedades. El origen de parte
de la terminología que se usa hoy en la
Teoría de Grafos proviene de esta
interacción con las ideas de la Química.
El término “grafo” fue introducido por
Sylvester en un artículo publicado en 1878 en
la revista Nature.
El desarrollo de la Topología entre 1860 y
1930 aportó grandes contribuciones a la
Teoría de grafos, en particular con los
trabajos de Jordan, Kuratowski y Whitney.
Otro aporte importante fue el empleo de
técnicas del álgebra moderna.
Un ejemplo de la aplicación de estas técnicas
se encuentra en el trabajo del físico Gustav
Kirchhoff, quien publicó en 1845 la ley de
circuito de Kirchhoff, que permite calcular el
voltaje y la corriente en circuitos eléctricos.
Uno de los problemas más famosos de la
Teoría de Grafos es el problema de los
cuatro colores:
¿Es verdad que en cualquier mapa dibujado en
el plano se pueden colorear sus regiones con
cuatro colores, de tal forma que dos regiones
que tengan un borde común tengan diferente
color?
El problema de los cuatro colores fue
propuesto por primera vez por Francis
Guthrie en 1852
El primer registro escrito es una carta de De
Morgan a Hamilton de ese mismo año.
Durante el tiempo que estuvo el problema sin
resolver se propusieron muchas pruebas
incorrectas, incluso de matemáticos tan
importantes como Cayley.
Este problema permaneció sin resolverse
por más de un siglo y su prueba, dada
en 1976 por Kennet Appel y Wolfgang
Haken, involucró el uso del computador
para chequear las propiedades de 1936
tipos de configuraciones. Este trabajo
es imposible de hacer a mano.
Esta solución creó todo una discusión
entre la comunidad científica, en
especial la comunidad matemática
sobre
¿Qué es una prueba?
Hoy en día esa discusión está más o menos
resuelta, y la solución de Appel y Haken se
considera una prueba correcta.
En 1996 Robertson, Seymour, Sanders y
Thomas publicaron una prueba más simple
de este problema. También requiere el uso
del computador.
Una rama más reciente de la Teoría de grafos
es conocida como Teoría de Grafos
Aleatorios e involucra la introducción de
métodos probabilísticos.
Esta es una rama con mucha investigación.
Aplicaciones
Antes de la introducción de grandes
redes de computadores, la Teoría de
Grafos era un campo de carácter
teórico, sin gran interés por sus
aplicaciones prácticas.
Era una rama de la Topología, que está
dentro de las Matemáticas “Puras”.
Ejemplos de estructuras que se pueden
modelar por grafos aparecen por todas
partes y muchos problemas de interés
práctico se pueden representar por grafos.
La estructura de un sitio web se puede
representar por un grafo dirigido: los vértices
son las páginas web disponibles en el sitio y
existe una arista dirigida entre la página A y
la página B si y sólo si la página A contiene
un vínculo a la página B.
A partir del momento en el que el análisis de
redes adquirió un interés comercial, la Teoría
de Grafos se convirtió en una rama de las
Matemáticas Aplicadas, y despertó un gran
interés, no sólo en el mundo académico sino
también en la comunidad general.
La estructura de un grafo se puede extender si
se le asigna a cada arista un “peso” o
“etiqueta”.
Los grafos con peso se usan para modelar, por
ejemplo, las redes viales, donde cada arista
representa una carretera que une dos
ciudades y el peso representa la longitud de
cada carretera.
Las redes son digrafos con peso, y su
estudio tiene muchas aplicaciones prácticas.
El Análisis de Redes es por tanto una rama
de la Teoría de Grafos.
La Teoría de Grafos se usa para estudiar
moléculas en Química y en Física.
De igual forma se tienen problemas de
diseño de rutas de viajes, problemas de
Biología, diseño de tarjetas para computador.
En este momento es un problema importante
el diseño de algoritmos que permita
manipular eficientemente grafos complejos.