Fórmula de Taylor

FÓRMULA DE TAYLOR
1.- a) Obtener la fórmula de Taylor de la función lnx en un entorno de a=1.
b) Calcular ln(1,1) con el polinomio de Taylor de grado 5 y estimar el error
cometido.
c) Calcular ln(1,1) con un error menor que una diezmilésima.
2.- Hallar una aproximación del valor numérico de ln2, dando una cota del error
cometido, utilizando los polinomios de MacLaurin de grado 5 de las funciones:
a) f(x)=ln(1+x)
1  x
b) g(x)=ln 

1  x
Escribir las fórmulas de MacLaurin de las funciones f(x) y g(x).
3.- Escribir la fórmula de MacLaurin de la función f(x)=ex.
b) Calcular de forma aproximada e tomando el polinomio de MacLaurin de
grado 5.
c) Acotar el error cometido en dicha aproximación.
d) Calcular n en la fórmula de MacLaurin para obtener un valor aproximado de
e con un error menor de 10-6.
e) Dado el polinomio de MacLaurin Tn(ex, 0) obtenido en el apartado a) se pide
calcular:
2
i) T (e2x, 0)
ii) T (e2x+3, 0)
iii) T ( e x , 0).
n
n
n
4.- a) Escribir la fórmula de MacLaurin de la función y=cosx.
b) Calcular cos1 con un error menor de 10-7.
c) Deducir a partir de a) el polinomio Tn(cosx2, 0).
d) Usar c) para estimar

1
2
0
cos(x 2 ) dx con tres cifras decimales exactas.
5.- a) Demostrar que si y=f(x) es una función impar, entonces Tn(f(x), 0) solo
tiene potencias impares. Análogamente si f(x) es una función par, entonces
Tn(f(x), 0) solo tiene potencias pares.
b) Desarrollar tgx en potencias de x hasta el término de grado 5, empleando
la igualdad tg x  sen x .
cos x
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6.- a) Hallar la fórmula de Taylor de la función f(x) 
3
x en el punto a=1.
5x  24x  60x  40
se utiliza cuando x  1 es
81
pequeño, es decir, para x próximos a 1. Acotar el error cometido en dicha
aproximación cuando x  1  0, 01.
b) La aproximación
7.- Calcular lim
x0
3
x 
3
2
tg x  sen x
.
x3
8.- Para cada una de las funciones siguientes y para los valores de a y n
indicados se pide:
a) Hallar el polinomio de Taylor.
b) El resto de Lagrange correspondiente al polinomio obtenido en a)
f(x) = x
para a = 4 y n = 3.
f(x) = 1  x
para a = 0 y n = 4.
f(x) = ln(cos x)
para a = 0 y n = 3.
π
y n = 4.
f(x) = cos x para a =
3
π
f(x) = sen x para a =
y n = 4.
4
f(x) = arctg x
para a = 1 y n = 3.
9.- Utilizando los polinomios y los restos de Lagrange correspondientes obtenidos
en el ejercicio anterior, se pide hallar el valor aproximado y una estimación del
error cometido para: 5
cos1
arctg 2
10.- Explicar la procedencia de las siguientes igualdades aproximadas, válidas
para valores pequeños de x > 0 y acotar el error cometido en las mismas
x2
x4
x2
2x 5


ln(cos x)  
tgx  x 
2
12
3
15
3
3
x
x
arcsenx  x 
arctgx  x 
6
3
x
x
2
4
e  e
x
x
x3
2
cosh x 
 1

ln x  1  x  x 
2
2
24
3!


11.- Sea f(x)  xe x  tg(x)
a) Hallar la fórmula de MacLaurin de orden 3 de f.
b) Hallar una aproximación del valor f(0, 01) con el polinomio de MacLaurin
de orden 3
c) Acotar el error cometido en el cálculo de f(0, 01) en el apartado b)
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12.- Hallar el polinomio de MacLaurin de la función f(x) = cos x, de grado
  
mínimo, que aproxime cos 
 con un error menor que 0.0005. A continuación
 30 
  
calcular el valor aproximado de cos 
 (con las cifras decimales que delimita
 30 
el error permitido).
13.a) Escribir la fórmula de MacLaurin de grado 3 de la función y = arctgx
b) Calcular el valor aproximado de arctg(0,1), utilizando el polinomio de
MacLaurin del apartado a) y acotar el error cometido.
arctg(x)  x
c) Calcular lim
x0
4x 3
ex  e x
14.- Dada la función f(x)=
, calcular el polinomio de MacLaurin de grado
2
4 y hallar el valor aproximado de f(0,1) utilizando dicho polinomio.
15.- ¿Para qué valores de x podemos tomar x 
menor de 0,0001?
16.- Dada la función f(x)=
1
1  x 
5
x3
x5

por senx con un error
6
120
, se pide:
a) Hallar el polinomio de MacLaurin de grado 4 de la función f.
1
, dando una
b) Utilizando el polinomio de MacLaurin de grado 2, hallar
0, 95
estimación del error cometido.
c) ¿Es desarrollable la función f en serie de Taylor en a=2? Justifica la
respuesta.
17.- a) Obtener el polinomio de MacLaurin de grado 2, de la función

f(x)= argshx= ln x 

1  x2 .
b) Utilizando el polinomio anterior, hallar f(0,1).
c) Acotar el error cometido en la aproximación anterior.
18.- Usando Derive y aplicando la fórmula de Taylor, calcular los siguientes
límites
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a) lim
x0
tg2 x  arcsen x2
.
5
2
1  x  cos x  ln(1  x)
6
c) lim  cos  xe x 
x0
b) lim
x  sen x
x2
e 1 x 
2
2
2
cot gx 3
ln (1  x)  sen x
.
 ln(1  x)  x 
d) lim
2
x0
1  e x
x0
.
x
19.- Usando Derive resolver el siguiente problema: Dada la función f(x)=ln(1+x),
se pide:
a) Obtener la expresión de la derivada n-ésima de la función.
b) Obtener la expresión de fn) (0).
c) Obtener los polinomio de MacLaurin de grado 3,4,5,6,7,8,9,10.
d) Representarlos gráficamente junto con la propia función.
e) Escribir la expresión de las fórmulas de MacLaurin de f de grado 3,4 y 5.
f) Utilizar cada uno de los desarrollos del apartado e) para obtener una
aproximación de ln(1.1).
g) Acotar el error cometido en cada caso.
h) Comprobar gráficamente que, en efecto, para x=0.1, f(x) y los tres
polinomios del apartado e) no coinciden.
i) Si se quiere obtener el valor aproximado de ln(1.1) con diez cifras
decimales exactas ¿cuál es el menor orden del desarrollo de MacLaurin de f
que habrá que usar?
j) ¿Es posible utilizar MacLaurin para calcular una aproximación de ln(2.5)?
20.- a) Desarrollar en serie de MacLaurin la función la función f(x)=(1+x)α, αR.
1
,
b) Usando el apartado a) para el valor de “α” adecuado, calcular 3
1.1
tomando los cuatro primeros términos del desarrollo ¿Cuántas cifras exactas
se obtienen con este método?
21.- Hallar el grado mínimo del polinomio de MacLaurin para calcular con un error
menor que 0.001.
a) f(0.5) siendo f(x) = ln(1 + x)
b) f(0.6) siendo f(x) = cos (x2).
a)
x
, se pide:
ex
Escribir la fórmula de MacLaurin.
b)
Hallar el grado del polinomio que aproxima el valor de
22.- Dada la función f(x) =
1
con un error R n <
e
0.00005.
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Con el polinomio obtenido en b, hallar el valor aproximado de
de cifras decimales que delimita el error permitido.
23.- Dada la función f(x) =
1
con el número
e
1
, se pide:
1  x2
a)
Calcular el polinomio de MacLaurin para n = 5.
b)
Hallar el valor aproximado de f(0.1) que se obtiene con el polinomio
anterior.
c)
Estimar el error cometido en la aproximación anterior y corregir la
misma.
d)
Si tomamos polinomios de MacLaurin de grado cada vez mayor (n ),
el error al aproximar f(0,1) ¿aumenta o disminuye? ¿y para f(1)?
 x  1
24.- Dada la función f(x)  log10 
 , se pide:
 2 
a) Escribir la fórmula de Taylor en el punto a=1 .
b) Acotar el error cometido en el cálculo de log10 1,1 utilizando el polinomio
c)
de grado 3.
Calcular el grado del polinomio mínimo necesario para obtener un valor de
log10 1,1 con un error menor a 10-6
25.- Dada la función f(x) 
a)
b)
c)
e

x2
2
2
Utilizar el polinomio de MacLaurin de grado 10 para calcular f(1).
Estimar el error cometido en la aproximación anterior y dar f(1) con las
cifras exactas.
Obtener la aproximación de la integral de la función f(x) entre 0 y 1
utilizando el polinomio del apartado a).
26.- Obtener
5
1.5 con una aproximación inferior a una diezmilésima utilizando el
polinomio de MacLaurin de la función f(x) 
5
1 x.
1
, se pide:
1 x
a) Fórmula de MacLaurin de grado 4 de f(x).
27.- Dada la función f(x) 
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b) Dar un valor aproximado de 1.5 utilizando el polinomio de MacLaurin
obtenido en el apartado anterior.
c) Acotar el error cometido en dicha aproximación.
  1 
28.- Dada la función f(x)  cos  ln 
  Se pide:
  1  x 
a) Polinomio de MacLaurin de grado 5 de f(x) y resto de Lagrange
correspondiente a dicho polinomio.
  1 
b) Calcular el valore aproximados de cos  ln 
mediante el polinomio de

  0.9  
MacLaurin anterior y acotar el error cometido
29.- Dada la función y  e cos x , se pide:
a) Calcular y’, y’’, y’’’
b) Escribir el polinomio de segundo grado de MacLaurin de la función dada
c) Usando el polinomio anterior calcular aproximadamente
acotar el error cometido en dicha aproximación
d) Hallar los extremos relativos de la función y  e cos x
e  e

cos  
 3
y
2
30.-Sea la función f(x)  xe  x , se pide:
a) Hallar una aproximación de f(1/2) y estimar el error cometido al usar el
polinomio de Taylor de f para a=1, n=7.
b) Lo mismo que en el apartado a) tomando el polinomio de MacLaurin de grado 7
de f.
c) Argumentar cuál de ambos polinomios es el más adecuado para aproximar
f(1/2).
d) Obtener el polinomio de MacLaurin de grado n de la función f(x) a partir del
polinomio de grado n de e-x que es el que sigue:
x2
x3
xn
Tn  e  x , a  0,  1  x 

 ...  ( 1)n
2!
3!
n!
31.- Dada la función f(x)   x  1 e
x 1
x 1
, se pide:
a) Comprobar si se verifica la identidad:  x  1 f '(x)   x  3  f(x)  1  0
2
Escribir el polinomio de MacLaurin de grado 5 de la función f(x).
Calcular un valor aproximado de f(0.1) con el polinomio anterior.
Estimar el error cometido en dicha aproximación.
¿Existe algún valor de x (x = a) para el cuál no se cumplan las hipótesis de la
fórmula de Taylor?
b)
c)
d)
e)
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32.- Dada la
a) Hallar una
de grado 10,
b) Estimar el
función f(x) = 4 arctg(x), se pide:
aproximación del valor de f(1) utilizando el polinomio de MacLaurin,
de la función f(x).
error cometido en la aproximación anterior.
33.- a) Calcular aproximadamente cosh 1 utilizando el polinomio de MacLaurin de
grado 10 de la función cosh x.
b) Acotar el error cometido en la aproximación anterior usando el resto de
Lagrange.
34.- a) Calcular aproximadamente arg senh 1 utilizando el polinomio de MacLaurin
de grado 10 de la función arg senh x.
b) Acotar el error cometido en la aproximación anterior usando el resto de
Lagrange.
35.- Dada la función 3 1  2x , se pide:
a) Calcular el polinomio de MacLaurin de grado 5 de dicha función.
b) Utilizar el polinomio anterior para obtener un valor aproximado de 3 3
estimando una cota máxima del error cometido.
c) Utilizar el polinomio anterior para obtener un valor aproximado

1
2 3
1
2
1  2x dx
36.- a) Obtener el polinomio de MacLaurin de grado n de la función:
 1 x
f(x)  ln 

 1 x


b) Tomando en particular n=3 calcular aproximadamente Ln√(11/9) y acotar el
error en la aproximación.
37.- Dada la función f(x) = arctg x se pide:
a) Fórmula de Taylor de grado 5 en el punto a = 1
b) Dar un valor aproximado de arctg (0.8) utilizando el polinomio de Taylor
de grado 5 obtenido en el apartado anterior.
c) Acotar el error cometido en dicha aproximación.
38.- Sea f(x)  x 80  x 40  x20 . Obtener f(1.005) usando el polinomio de Taylor
de grado 2 de f en potencias de (x-1).
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39.- Obtener el polinomio de Taylor de orden dos de la función f(x) 
punto de abscisa 1.
log x
en el
x
40.- ¿Qué error se comete al tomar como valor del número e la fracción 65/24?
41.- Calcular sen 20o tomando n = 3 en el desarrollo de MacLaurin. Hallar una
cota del error cometido en dicho cálculo.
42.- Calcular los polinomios de MacLaurin de grado tres de las funciones cosx y
sen(2x), con sus correspondientes restos de Lagrange. Acotar el error cometido
  
  
en el cálculo de cos 
 y de sen 
 con los dos polinomios anteriores.
 10 
 10 
 x  senx
si x  0

43.- Sea la función continua definida por: f(x)  
. Se pide:
x3
 
si x=0
a) Hallar  para que efectivamente la función sea continua en x=0.
b) Obtener el polinomio de MacLaurin de f(x) de grado 4.
c) Aproximar f(1) utilizando el polinomio obtenido en el apartado anterior y
estimar el error cometido.
44.- Dada la función f(x) 
1 x.
a) Escribir la formula de McLaurin de f.
b) Hallar el valor aproximado de 1.1 , tomando hasta el término de grado 3 en
el desarrollo del apartado a).
c) Acotar el error cometido en el apartado anterior.
45.- Dada la función f(x) 
x . a) Escribir la fórmula de Taylor de f para a=1.
b) Hallar el valor aproximado de 1.1 , tomando hasta el término de grado 5 en
el desarrollo del apartado a). c) Acotar el error cometido en el apartado
anterior.
2
t

1
e 2 dt .
46.- Dada la función f(x)  

2
a) Hallar el valor aproximado de f(0,5), tomando hasta el término de grado 5
en el desarrollo del polinomio de MacLaurin de la función f(x).
x
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b) Acotar el error cometido en el apartado anterior.
47.- Hallar el grado mínimo del polinomio de MacLaurin para calcular f(0.5), con
un error menor que 0.001, siendo f(x) = 1+x3 senx.
48.- a) Hallar el polinomio
f(x)  cos   ln(x)  en a = e.
de
Taylor
de
grado
4
de
la
función
b) Acotar el error cometido si utilizamos el polinomio anterior para evaluar f (2).
1  cos   ln(x) 
c) Calcular, SIN USAR DERIVE, lím
utilizando el polinomio
xe
e x
obtenido en el apartado a).
49.- Obtener
3
e con un error menor que 10 4 .
50.- Para valores de x entre 40º y 50º, obtener una cota del error que se
comete al efectuar la aproximación siguiente:
2
2
 1
 

sen x 
1   x     x    .
2 
4 2
4 

51.- Dada la función f  x  
1
1  x , se pide:
a) Dominio de f.
b) Polinomio de MacLaurin de f de grado 3.
c) Calcular de forma aproximada f(1) utilizando el polinomio anterior.
d) Dar una acotación del error cometido en el apartado anterior y expresar f(1)
sólo con cifras decimales exactas.
e) ¿Existe la fórmula de Taylor de f de algún orden en a = -1?
52.- Si p3 (x)  5  3  x  4   9  x  4  , es el polinomio de Taylor de grado 3
2
3
de una función f(x) en el punto a = 4, se pide:
a) f(4), f ’(4), f ‘’(4)
b) ¿Tiene la función f(x) un máximo o un mínimo relativo en a = 4?
c) ¿Es f cóncava o convexa en un entorno de a = 4?
53.- Dada la función f  x  
1
1  x , se pide:
a) Dominio de f.
b) Polinomio de MacLaurin de f de grado 3.
c) Calcular de forma aproximada f(-1) utilizando el polinomio anterior.
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FÓRMULA DE TAYLOR
d) Dar una acotación del error cometido en el apartado anterior y expresar f(-1)
sólo con cifras decimales exactas.
e) ¿Existe la fórmula de Taylor de f de algún orden en a = 1?
54.- Si p3 (x)  4   x  2   6  x  2  , es el polinomio de Taylor de grado 3 de
2
3
una función f(x) en el punto a = 2, se pide:
a) f(2), f ’(2), f ‘’(2)
b) ¿Tiene la función f(x) un máximo o un mínimo relativo en a = 2?
c) ¿Es f cóncava o convexa en un entorno de a = 2?
55.- Dada la función f(x) = x 2 ln(x  1) , se pide:
a) Hallar una aproximación de f(0,5) usando el polinomio de MacLaurin de grado
5.
b) Acotar el error cometido en el apartado anterior.
56.- Sea la función f (x) = ln (x + 2). Se pide:
a) Dominio de f(x).
b) Aproximación lineal de f(x) en un entorno de a = -1.
c) Polinomio de Taylor de orden 3 de f en a = - 1.
d) Calcular de forma aproximada ln (0.9) utilizando el polinomio anterior.
e) Acotar el error cometido en dicha aproximación y dar ln (0.9) con cifras
decimales exactas.
f) ¿De qué grado debería ser el polinomio de aproximación para que el error
fuera menor que una cienmilésima?
57.- Dada la función f(x) = 10.x.e-x, se pide:
a) Hallar los polinomios de aproximación de Taylor de grado 5 en los puntos a=0 y
a=1
b) Hallar el valor aproximado de f(x) en x=1/2 con cada uno de los polinomios
obtenidos en a).
c) Calcular la cota de error cometido en las aproximadas obtenidas en b)
d) Razonar cuál de las dos aproximaciones es más precisa.
58.- Dada la función y  ln(x  1) , averiguar el grado que hay que tomar en el
polinomio de MacLaurin para aproximar ln(1,5) con un error menor que 0,0001.
59.- a) Hallar el polinomio de Taylor de la función: f(x) = tgx en a = 0 y n = 2
b) Sea la función f(x) = tg(2x), hallar una aproximación del valor tg(0.5) con el
polinomio de MacLaurin de grado 5 y acotar el error cometido.
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FÓRMULA DE TAYLOR
60.- a) Hallar el polinomio de Taylor de la función: f(x) = xex en a= 0 y n = 2.
b) Calcular el grado del polinomio mínimo necesario para obtener un valor de
f(x)=e con un error menor que 10-4
61.- a) Hallar el polinomio de Taylor de la función: f(x) = arc sen (x) en a= 0 y
n = 2.
b) Hallar una aproximación del valor arc sen (0.1) con el polinomio de MacLaurin
de grado 5 y acotar el error cometido.
62.- Sea f(x) = arc sen (2x)
a) Teoría: Escribir la definición del polinomio de MacLaurin de grado n.
b) Hallar una aproximación del valor arc sen (0.1) con el polinomio de MacLaurin rin
de grado 5 y acotar el error cometido.
63.- Dada la función f(x) = x2e-x, se pide:
a) Escribir la fórmula de MacLaurin.
 1
b) Acotar el error cometido en el cálculo de f   utilizando el polinomio de
5
grado 5.
c) Calcular el grado del polinomio mínimo necesario para obtener un valor de
 1
f   con un error menor a 10-6
5
64.- Dada la función f(x) =arctgx, se pide:
a. Escribir la fórmula de Taylor de la función f(x) para n=4 y a=1
b. Hallar el valor aproximado de arctg0.5, con el polinomio obtenido en a)
y una cota del error cometido.
65.- Dada la función f(x) =e-3x, se pide hallar el grado n del polinomio de
MacLaurin que se necesita utilizar para aproximar e-3 con un error menor que
0.001
66.- Dada la función f(x) =lnx se pide:
a. Escribir la fórmula de Taylor de la función f(x) para n=4 y a=1
b. Hallar el valor aproximado de ln2 con el polinomio obtenido en a) y
una cota del error cometido
67.- Dada la función f(x) =ln(1+x), se pide hallar el grado n del polinomio de
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11
FÓRMULA DE TAYLOR
MacLaurin que se necesita utilizar para aproximar ln1,5 con un error menor que
0.001
68.- Dada la función f(x) = ex, se pide:
a) Escribir la fórmula de Taylor de la función f(x) para n=4 y a=1
b) Hallar el valor aproximado de = e2, con el polinomio obtenido en a) y una cota
del error cometido.
69.- Dada la función f(x) =xe-x, se pide hallar el grado n del polinomio que se
necesita utilizar para aproximar f(1)=e-1 con un error menor que 0.001.
70.- Dada la función f(x) =1/x se pide:
a. Escribir la fórmula de Taylor de la función f(x) para n=4 y a=1
b. Hallar el valor aproximado de 1/1.5, con el polinomio obtenido en a)
y una cota del error cometido
71.- Dada la función f(x) =e-5x, se pide hallar el grado n del polinomio de
MacLaurin que se necesita utilizar para aproximar e-5 con un error menor que
0.001.
72.- a) Calcular el polinomio de Taylor de orden 4 de la función f  x   senx , en

a   .
6
  
b) Utilizando el polinomio del apartado anterior calcular sen  
.
 12 
  
c) Estimar el error cometido al calcular sen  
 con el polinomio del apartado
 12 
a).
73.- Dada la función f(x) = ln(1+2x), se pide:
a) Obtener, el polinomio de MacLaurin de grado 5 de la función f(x), así como la
fórmula de MacLaurin para n=5.
b) Calcular un valor aproximado de ln(3/2) y una cota del error cometido
utilizando los resultados del apartado anterior.
c) Usando el procedimiento que consideres más adecuado, calcula el grado de
polinomio que se necesita aplicar para obtener una aproximación de ln(3/2) que
tenga las 3 primeras cifras decimales exactas.
74.- Dada la función f(x) = esenx, con 


 x  , se pide:
2
2
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12
FÓRMULA DE TAYLOR
a) Polinomio de MacLaurin de grado 5 de f
b) Calcular de forma aproximada e , utilizando el polinomio anterior.
c) Acotar el error cometido en la aproximación anterior.
75.- Dada la función f(x) =
e sen
(x+ )
, con 


 x 
se pide:
2
2
a)
Polinomio de MacLaurin de grado 5 de f
b)
c)
Calcular de forma aproximada e , utilizando el polinomio anterior.
Acotar el error cometido en la aproximación anterior.
76.- La medida del radio R de una esfera ha dado 6 cm con una cota de error
de 0.02cm.
a) Usar diferenciales para aproximar el máximo error porcentual posible
cometido al calcular el volumen de la esfera.
b) Estimar el máximo error porcentual posible en la medida de R para que el
error cometido al calcular el volumen no supere el 0.6%.
77.- Sea la función f(x)=arcsenx
a) Comprobar que verifica las condiciones del teorema de Taylor en a=0 y
n=3.
b) Calcular la fórmula de MacLaurin de f(x) para n=3.
c) Calcular arc sen (0.1) utilizando el polinomio de MacLaurin de grado 3 y
acotar el error cometido en la aproximación anterior.
d) Dar arc sen (0.1) con las cifras decimales exactas que los cálculos de c)
te permitan asegurar.
78.- Dada la función f(x) = x ln (x+1), hallar el grado del polinomio de MacLaurin
de la función f(x) necesario para aproximar f(1.1) con un error menor que 10-4.
79.- Hallar, utilizando polinomios de Taylor, el valor de los siguientes límites:
 arcsen x  2x 
x  tgx
arctg(x)  x
a) lim
b)
lim
c)
lim
x0
x0
x  0 4x 3  sin(x 2 )
1  cos x
4x 3
2
d) lim
x0
1  x  cos x
senx
80.- Un topógrafo está a 30m de la base de un árbol y mide el ángulo de
elevación (a la copa) obteniendo =71º con una cota de error de 0,5.
a) Usar diferenciales para aproximar el máximo error porcentual posible
cometido al calcular la altura h del árbol (pasar  a radianes).
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13
FÓRMULA DE TAYLOR
b) Estimar el máximo error porcentual posible en la medida de  para que el
error cometido al calcular la altura del árbol no supere el 1%.
81.- Sea la función f(x)= xsenx
a) Comprobar que verifica las condiciones del teorema de Taylor en a=0 y n=3.
b) Calcular la fórmula de MacLaurin de f(x) para n=3.

c) Calcular f   utilizando el polinomio de MacLaurin de grado 3 y acotar el
9
error cometido en la aproximación anterior.

d) Dar f   con las cifras decimales exactas que los cálculos de c) te permitan
9
asegurar.
82.- Dada la función f(x) = xe  x , hallar el grado del polinomio de MacLaurin de
la función f(x) necesario para aproximar 1/e con un error menor que 10-4.
83.- La medida del radio R de la base de un mástil ha dado 14 cm con una cota
de error de 0.25cm.
a) Usar diferenciales para aproximar el máximo error porcentual posible
cometido al calcular el área de la base del mástil.
b) Estimar el máximo error porcentual posible en la medida de R para que el
error cometido al calcular el área no supere el 1%.
84.- a) Hallar el polinomio de Taylor de grado 3 de la función f  x   cos2 x en

y utilizar el polinomio anterior para calcular un valor aproximado
4


de cos2  1.1   .
4

el punto a 
b) Acotar el error cometido en la aproximación anterior.
85.- Obtener un valor del número e con un error inferior a una millonésima.
1  x
86.- Dada la función f(x)  ln 
 . Obtener la expresión del polinomio de
1  x
MacLaurin de grado 3. Calcular ln(3) con dicho polinomio y acotar el error
cometido.
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14
FÓRMULA DE TAYLOR
 x  1
87.- Dada la función f(x)  ln 
 , se pide:
 2 
a) Calcular la derivada n-ésima de f(x).
b) Escribir la fórmula de Taylor en el punto a=1.
c) Acotar el error cometido en el cálculo de ln(1,1) utilizando el polinomio de
grado 3.
d) Calcular el grado del polinomio mínimo necesario para obtener un valor de
ln(1,1) con un error menor a 10-6
88.- Dada la función f(x)  sen(x)  cos(x) .
a) Hallar el polinomio de MacLaurin de grado 1 de la función f(x).
b) Utilizar el polinomio del apartado a) para calcular un valor aproximado de
f(18º) Nota: Utilizar = 3.1416
89.- Dada la función f(x)  e x se pide:
a) Escribir la fórmula de Taylor de la función f(x) para n = 3 y a=1.
1
b) Hallar el valor aproximado de e 2 , con el polinomio obtenido en a)
c) Hallar una cota del error cometido en b).
90.- Dada la función f(x) 
1
x
se pide:
a) Escribir la fórmula de Taylor de la función f(x) para n = 3 y a=1.
1
b) Hallar el valor aproximado de
, con el polinomio obtenido en a)
2
c) Hallar una cota del error cometido en b).
91.- La medida del lado L, de un cristal cuadrado es de 28 cm con una cota de
error de 0.5 cm.
a) Usar diferenciales para aproximar el máximo error porcentual posible cometido
al calcular el área del cristal.
b) Estimar el máximo error porcentual posible en la medida de L, para que el
error cometido al calcular el área no supere el 1%.
92.- La medida del lado L de un cubo o exaedro regular ha sido 14 cm con una
cota de error de 0.25 cm.
a) Usar diferenciales para aproximar el máximo error porcentual posible cometido
al calcular el volumen del cubo.
b) Estimar el máximo error porcentual posible en la medida de L para que el
error cometido al calcular el volumen no supere el 1%.
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15
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93.- La medida del área de una pieza circular ha sido 25 cm2 con una cota de
error de 0.3 cm2.
a) Aproximar, mediante diferenciales, el porcentaje del error propagado (cota)
cuando calculamos el radio de la pieza.
b) Estimar el máximo error porcentual admisible en la medida del área para que
error cometido al calcular el radio no supere el 1%
94.- Calcular con 3 cifras decimales (exactas) las siguientes integrales utilizando
polinomios de MacLaurin de la función integrando como infinitésimos equivalentes
e indica el menor grado del polinomio necesario
0,1 sen(x)
0,1
 x2
0 x dx ;
0 e dx
95.- La clotoide es una curva (plana) de enlace de vías de comunicación cuyas

s2
s
 x = 0 cos 2 ds

2a
ecuaciones paramétricas son 
, donde a es el parámetro de la
2
s

s
 y  0 sen 2 ds
2a

clotoide y s es la longitud del arco.
Las integrales que las definen no admiten primitiva por lo que se aproximan
utilizando polinomios de MacLaurin para las funciones integrando. Se pide obtener
unas ecuaciones para a=1/2 con cuatro términos no nulos.
96.- Construido un depósito esférico para almacenamiento de líquidos, se le pide
a un topógrafo que estime con la mayor precisión posible el volumen que puede
contener. El topógrafo mide el radio R de la esfera que resulta ser de 11,35 m.
con una cota de error estimado dR < 20 cm.
a) Aplique el concepto de diferencial para aproximar el error propagado
(porcentual) cometido al calcular el volumen V del depósito.
b) Estimar el máximo error en la medida de R, para que el error propagado al
calcular el volumen no supere el 3%.
97.- Para el control de calidad de una pieza cilíndrica de un cohete, con la
medida de la altura igual al diámetro de la base, se le pide a un topógrafo que
mida el radio R de la base con alta precisión y el resultado es de 6,14m. con
una cota de error dR < 6 cm.
a) Usar diferenciales para aproximar el máximo error propagado cometido,
en términos porcentuales, al calcular el volumen del cilindro.
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b) Estimar el máximo error porcentual posible en la medida de R para
que el error cometido al calcular el volumen no supere el 1%.
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1.- a) Obtener la fórmula de Taylor de la función lnx en un entorno de a=1.
b) Calcular ln(1,1) con el polinomio de Taylor de grado 5 y estimar el error
cometido.
c) Calcular ln(1,1) con un error menor que una diezmilésima
Solución:
a) Se calculan las sucesivas derivadas
n
f n)(x) f n)(1)
0
lnx
0
-1
1
x
1
2
-x-2
-1
-3
3
2x
2
4
4
-6x
-6
(
n

1)!
Supongamos que sea f n ) ( x)  (1) n 1
xn
n!
Derivando f n 1) ( x)  (1) n n 1 la cual es la expresión del término general, para el término n+1
x
Calculada la derivada n-ésima se puede escribir la fórmula de Taylor
f '(1)
f ''(1)
f '''(1)
f n ) (1)
2
3
f ( x)  f (1) 
( x  1) 
( x  1) 
( x  1)  ... 
( x  1) n  Rn ( x)
1!
2!
3!
n!
lnx   x  1 
 x  1
2
2

 x  1
b) T  lnx, a  1, n  5   x  1 
3
3

 x  1
 x  1
4
n 1
 .....  ( 1)
4
2

 x  1
3

 x  1
4

 x  1
n
n
 x  1
 ( 1)
n
 x  1
n 1
c (n 1)
n1
c   1,x 
5
2
3
4
5
sustituyendo x=1,1; resulta ln(1,1)0,095310333. Acotamos el error con la formula del resto:
(x  1)6
(x  1)6
R n  5 (x)  f 6) (c)
=(1)5
con c  [1,x]
6!
6c6
(1.1  1)6
cuyo máximo se da en c=1, por ser la función decreciente.
R 5 (1.1)  max (1)5
c[1,1.1]
6c6
| R 5 (1.1) 

0.16
 0.16 106  0.0000002  ln(1,1) = 0,095310
6
c) Ahora el dato es el error E(x)<10-4
( x  1) n 1
E ( x)  Rn ( x)  (1) n
<10-4 con c  [1,x]
n 1
(n  1)c
con n=3 ya se cumple E(1,1)<0.1-4/4
T  lnx, a  1, n  3   x  1
 x  1

2
2
 x  1

3
3
 ln(1,1) = 0,095
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17
FÓRMULA DE TAYLOR
2.- Hallar una aproximación del valor numérico de ln2, dando una cota del error
cometido, utilizando los polinomios de MacLaurin de grado 5 de las funciones:
a) f(x)=ln(1+x)
1  x
b) g(x)=ln 

1  x
Escribir las fórmulas de MacLaurin de las funciones f(x) y g(x).
Solución:
a) Calculando la derivada n-ésima, f n)(x)=(-1)n-1(n-1)!(1+x)n, se puede escribir la fórmula de
MacLaurin:
f '(0)
f ''(0) 2 f '''(0) 3
f n ) (0) n
f (x)  f (0) 
x
x 
x  ... 
x  R n (x)
1!
2!
3!
n!
n
n 1
x2 x3 x4
 (n 1)
n 1 x
n x


 .....  (1)
 (1)
Ln(1  x)  x 
1  c 
2
3
4
n
n 1
c   0,x 
x 2 x3 x4 x5
  
2
3 4
5
sustituyendo x=1; resulta Ln(2)0,783333. Acotamos el error con la formula del resto:
x6
x6
R n 5 (x)  f 6) (c)
=(1)5
con c   0,x 
6!
6(1  c)6
T  Ln(1  x),a  0,n  5  x 
(2  1)6
cuyo máximo se da en c=0.
R 5 (1)  max (1)
c[0,1]
6(1  c)6
5
|R5(1)| 0,167 cota del error
b) Utilizando la expresión anterior:
n
n 1
x2 x3 x4
 (n 1)
n 1 x
n x


 .....  (1)
 (1)
Ln(1  x)  x 
1  c 
2
3
4
n
n 1
c   0,x 
se obtiene
Ln(1  x)   x 
x 2 x3 x 4
x n x n 1
 (n 1)


 ..... 

1  c 
2
3
4
n n 1
c   0,x 
que juntas dan:
2x3
xn
1 x 
 .....   (  1) n 1  1 

Ln 
  Ln (1  x )  Ln (1  x )  2 x 
3
n
1 x 
x n 1 
 ( n  1)
 ( n  1)
 con c   0, x 

(  1) n 1  c 
 1  c 


n 1
  1 x 

2x 3 x 5
1
1 x 
T
Ln
,a
0,n
5
2x





ahora Ln 
y
con
resulta



Ln2
x

 


3
5
3
1 x 
  1 x 

1 2(1/ 3)3 (1/ 3)5

 Ln20,69300411
T  Ln  2  , a  0, n  5  2 
3
3
5
Cota del error: |R5(1/3)|  0,0004  Ln(2) = 0,69
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18
FÓRMULA DE TAYLOR
3.- a) Escribir la fórmula de MacLaurin de la función f(x)=ex.
b) Calcular de forma aproximada e tomando el polinomio de MacLaurin de grado
5.
c) Acotar el error cometido en dicha aproximación.
d) Calcular n en la fórmula de MacLaurin para obtener un valor aproximado de
e con un error menor de 10-6.
e) Dado el polinomio de MacLaurin Tn(ex, 0) obtenido en el apartado a) se pide
2
calcular: i) T (e2x, 0)
ii) T (e2x+3, 0)
iii) T ( e x , 0).
n
n
n
Solución:
a) Las sucesivas derivadas de la función exponencial coinciden con ella, por lo tanto, la fórmula de
MacLaurin es:
ex  1  x 
x2 x3 x4
xn
x n1


 ..... 

e  x con    0, 1 
2! 3! 4!
n ! n  1!
x 2 x3 x 4 x5
b) T  e x , a  0, n  5  1  x 
para e x  e  con x=1/2, obtenemos



2! 3! 4! 5!
e  1, 648697917
c) Para acotar el error utilizamos el término complementario o resto:
x n 1 x
E(x)  R n (x) 
e con    0,1 Siendo x=1/2 y n=5
(n  1)!
6
1
  1
1
 1   2   2 
E    R n 5   
e
6!
2
2
1
 
2
<  
 <1
6!
n 1
1
1
 
 
1
1 2
e 2
d) E    R n   
2
 2  (n  1)!
6
6
1
 
2
<   e <
e<3
e e
6!
e
n 1
1
 
2
<  
e
 <1 (n  1)!
6
1
 
 2  3 = 0,000065  e  1, 648
6!
n 1
n 1
1
1
 
 
2
2

<
e <   3  106  n=7
e<3 (n  1)!
e  e (n  1)!
e) Basta con sustituir en el apartado a) x por 2x, puesto que si x→0, entonces 2x→0:
 2x 
i) T  e , a  0   1  2x 
 ..... 

e 2  x con    0, 1 
2!
n!
n  1!
2
n
n1


 2x 
 2x   2x 
ii) T  e 2 x  3 , 0   e 3 T  e 2 x , 0   e 3  1  2x 
 ..... 

e 2 x 
2!
n!
n  1!


2x
 2x 
2

 si n es par :

2

x
T  e , a  0   
 si n es im par :



 2x 
n
n1
   0, 1  iii)
x4
xn
 ..... 
2!
n
 !
2
4
2
x
x n 1
 ..... 
Tn (e x ,0)=1  x 2 
2!
n1

!
 2 
2
Tn (e x ,0)= 1  x 2 
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19
FÓRMULA DE TAYLOR
4.- a) Escribir la fórmula de MacLaurin de la función y=cosx.
b) Calcular cos1 con un error menor de 10-7.
c) Deducir a partir de a) el polinomio Tn(cosx2, 0).
d) Usar c) para estimar

1
2
0
cos(x 2 ) dx con tres cifras decimales exactas.
Solución:
a) Calculando las sucesivas derivadas, se puede escribir la fórmula de MacLaurin:
n
f n(x)
f n(0)
0
cosx
1
0
1



-senx  cos  x  
2

-1
2


-cosx  cos  x  2 
2

0
3


senx  cos  x  3 
2

1
4


cosx  cos  x  4 
2

……. ……………..............
…….
n



 
cos  x  n 
cos  n 
2

 2
n)
f '(0)
f ''(0) 2 f '''(0) 3
f (0) n
f (x)  f (0) 
x
x 
x  ... 
x  R n (x)
1!
2!
3!
n!
n
x2 x4 x6
  x n1
  x

cos( x )  1 


 .....  cos  n 
 cos   x   n  1  
2!
4!
6!

2  n!
2  n  1!

   0, 1 
O bien,
cos(x )  1 
n
x2
x4 x6
  x n 1 con 0<c<x
  x



 .....  cos  n 
 cos  c   n  1  
2!
4! 6!
2   n  1 !
 2  n!

b) Conocido el error debemos calcular el valor de n
x n 1

x n 1

E(x)  R n (x) 
cos  x   n  1  
 107 y aplicamos que el coseno se acota
2   n  1!
 n  1! 
en valor absoluto por 1. Para x=1 queda:
1n 1
1
 107  7  107  (n  1)!  n  10
10
 n  1!
También podemos usar directamente la expresión:
  1n 1
1


 107
E(1)  R n (1)  máx cos  x   n  1 
[0,1]
2
n
1
!
n
1
!








cos(1)  1 
x 2 x 4 x 6 x 8 x 10




 0,5403023
2! 4! 6! 8! 10!
(para n=10)
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20
FÓRMULA DE TAYLOR
c) Consideramos el polinomio Tn[cosz,0] y sustituimos directamente z por x2, puesto que si x→0,
entonces x2→0, y el polinomio resultante es de grado 2n por lo que hay que quitarle los términos de
grado >n.
Ahora bien, también observamos que, en los términos del polinomio, las potencias de x son
múltiplos de 4, por lo que:
si n =4k, es decir, el grado del polinomio de MacLaurin es múltiplo de 4, entonces:
Tn  4 k (cos( x 2 ), 0)  1 
x4 x8
x 4k

 .....  (  1) k
2! 4!
 2k  !
pero si n=4k+1, 4k+2, 4k+3, entonces: Tn (cos(x 2 ), 0)  T4 k (cos(x 2 ), 0)
d)
#1:
2
TAYLOR(COS(x ), x, 0, 4)
4
x
1 - ⎯⎯
2
#2:
#3:
0.5
⌠
⎮
⎮
⌡
0
#4:
2
TAYLOR(COS(x ), x, 0, 8)
⎛
4 ⎞
⎜
x ⎟
⎜1 - ⎯⎯⎟ dx ≃ 0.496875
⎝
2 ⎠
8
4
x
x
⎯⎯ - ⎯⎯ + 1
24
2
#5:
#6:
0.5
⌠
⎮
⎮
⌡
0
⎛ 8
4
⎞
⎜ x
x
⎟
⎜⎯⎯ - ⎯⎯ + 1⎟ dx ≃ 0.4968840422
⎝ 24
2
⎠
1
2
0

cos(x 2 )dx  0, 496
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21
FÓRMULA DE TAYLOR
5.- a) Demostrar que si y=f(x) es una función impar, entonces Tn(f(x), 0) solo
tiene potencias impares. Análogamente si f(x) es una función par, entonces
Tn(f(x), 0) solo tiene potencias pares.
b) Desarrollar tgx en potencias de x hasta el término de grado 5, empleando la
igualdad tg x  sen x .
cos x
Solución:
a) Si f(x) es una función impar se cumple que: f(-x)=-f(x) y el polinomio de
MacLaurin: Tn  f (x), 0   a 0  a1 x  a 2 x 2  ...  a n x n 
 Tn  f ( x), 0   a 0  a1 x  a 2 x 2  ...  (1) n 1 a n x n resultando a k  0 si k es par o cero, por tanto
Tn  f (x), 0   a1 x  a 3 x 3  ...  a 2k 1 x 2k 1
Si f(x) es una función par se cumple que: f(-x)=f(x) y el polinomio de
MacLaurin: Tn  f (x), 0   a 0  a1 x  a 2 x 2  ...  a n x n 
 Tn  f ( x), 0   a 0  a1 x  a 2 x 2  ...  (1) n a n x n resultando a k  0 si k es impar, por tanto
Tn  f (x), 0   a 0  a 2 x 2  a4 x4  ...  a 2k x 2k
b) Conocidos los desarrollos del seno s en ( x )  x 
cos( x )  1 
x3 x5 x7


 ..... (ejercicio 15) y coseno
3! 5 ! 7 !
x2 x4 x6


 ..... (ejercicio 4) y sabiendo que tgx.cosx=senx:
2! 4! 6!
T5 (tg(x), 0)T5 (cos(x), 0)  T5 (sen(x), 0) excepto los términos de grado superior a 5
Por ser tgx una función impar el polinomio de MacLaurin correspondiente tiene solamente
potencias impares, luego T5 (tg(x), 0)  ax  bx 3  cx 5
 x2 x4  
x3 x5 
Luego T5 (tg(x), 0)T5 (cos(x), 0)   ax  bx 3  cx 5  1 
   x 
   T5 (sen(x), 0)
2! 4!  
3! 5! 

x 3 2x5
3
5
T5 (tg(x), 0)  ax  bx  cx  x  
3 15
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22
FÓRMULA DE TAYLOR
6.- a) Hallar la fórmula de Taylor de la función f(x) 
3
x en el punto a=1.
5x  24x  60x  40
se utiliza cuando x  1 es
81
pequeño, es decir, para x próximos a 1. Acotar el error cometido en dicha
aproximación cuando x  1  0, 01 .
b) La aproximación
3
3
x 
2
Solución:
a) Calculando las sucesivas derivadas, se puede escribir la fórmula de Taylor:
f n(1)
n
f n(x)
0
x1/3
1
2
1
1
1 3
x
3
3
5
2
12
1 2 3

x

33
33
8
3
125
1 2 5 3
x
333
333
…….
……………..............
…….
258 3n 1
n
11  1

11  1
  3
   1 ...  (n  1)  
   1 ...  (n  1)   x

 3 3   3

 3 3   3
f ( x)  f (1) 
3
x  1
f '(1)
f ''(1)
f '''(1)
f n ) (1)
( x  1) 
( x  1) 2 
( x  1)3  ... 
( x  1) n  Rn ( x)
1!
2!
3!
n!
 x  1  x  1
3

9
2
1
 (n  1)
11
 1
   x  1  1  1
 1
   x  1
 ...     1  ...   (n  1)  
    1  ...   n  
c3
  n!
   n  1 !
 3 3   3
 3 3   3
n 1
n
c   1, x 
b) La aproximación es de grado 3: 3 x 
5x 3  24x 2  60x  40
 Tn  3 x ,a  1, n  3 y acotando el
81
1 2 5 8  x  1 113
1 2 5 8  x  1
c
resto: E(x)  R n 3 (x) 

1c x 3 3 3 3
3 3 3 3 4!
4!
4
La acotación de la expresión c

11
3

1
c
11
3
4
5
4
0,01  10-9

5
x 1 0,01 3

puede ser 1, puesto que 1<c<x
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23
FÓRMULA DE TAYLOR
7.- Calcular
lim
x0
tg x  sen x
x3
Solución:
A partir de los polinomios de Taylor de cada función trigonométrica en a=0 (MacLaurin) ejercicio
5, se resuelve:
x3 
x3 
x3
x  x  
Tn  tg x,a  0  Tn sen x,a  0
3 
3! 
1
tg x  sen x
 lim 23 
lim
lim
lim


3
3
3



x
0
x 0
x
0
x
0
2
x
x
x
x
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24
FÓRMULA DE TAYLOR
8.- Para cada una de las funciones siguientes y para los valores de a y n
indicados se pide:
a) Hallar el polinomio de Taylor.
b) El resto de Lagrange correspondiente al polinomio obtenido en a)
f(x) = x
para a = 4 y n = 3.
f(x) = 1  x
para a = 0 y n = 4.
f(x) = ln(cos x)
para a = 0 y n = 3.
π
f(x) = cos x para a =
y n = 4.
3
π
f(x) = sen x para a =
y n = 4.
4
f(x) = arctg x
para a = 1 y n = 3.
Solución:
#1:
#2:
√x
TAYLOR(√x, x, 4, 3)
3
2
x - 20·x + 240·x + 320
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
512
#3:
#4:
⎛d ⎞4
⎜⎯⎯⎟ √x
⎝dx⎠
#5:
El resto de
⎛
#6:R3(x)=⎜⎜
⎝
15
- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
7/2
16·x
Lagrange correspondiente es
4
15
⎞ (x - 4)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟·⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯·con 4<c<x ó x<c<4
7/2 ⎟
4!
16·c
⎠
#7:
#8:
√(1 + x)
TAYLOR(√(1 + x), x, 0, 4)
4
3
2
5·x
x
x
x
#9:
- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯ + 1
128
16
8
2
⎛d ⎞5
#10: ⎜⎯⎯⎟ √(1 + x)
⎝dx⎠
105
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
#11:
9/2
32·(x + 1)
El resto de Lagrange correspondiente es:
5
105
x
#12: R4(x)= ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯·⎯⎯⎯⎯·con 0<c<x ó x<c<0
9/2
5!
32·(c + 1)
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25
FÓRMULA DE TAYLOR
#13:
#14:
LN(COS(x))
TAYLOR(LN(COS(x)), x, 0, 3)
2
x
- ⎯⎯⎯⎯
2
#15:
#16:
⎛d ⎞4
⎜⎯⎯⎟ LN(COS(x))
⎝dx⎠
2
4·SIN(x) + 2
#17:
- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
4
COS(x)
El resto de Lagrange correspondiente es
2
4
4·SIN(c) + 2
x
#18:R3(x)= - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯·⎯⎯⎯⎯·con 0<c<x ó x<c<0
4
4!
COS(c)
#19:
#20:
#21:
COS(x)
⎛
π
⎞
TAYLOR⎜COS(x), x, ⎯⎯⎯, 4⎟
⎝
3
⎠
4
3
2
2
3 ~
81·x + 108·x ·(3·√3 - π) + 54·x ·(π - 6·√3·π - 18) - 12·x·(π ~
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯~
~
2
4
3
2
~
- 9·√3·π - 54·π + 162·√3) + π - 12·√3·π - 108·π + 648·√3·π ~
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯~
3888
~
+ 1944
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
#22:
⎛d ⎞5
⎜⎯⎯⎟ COS(x)
⎝dx⎠
#23:
- SIN(x)
El resto de Lagrange correspondiente es
⎛
π ⎞5
⎜x - ⎯⎯⎯⎟
#24:
⎝
3 ⎠
R4(x)= - SIN(c)·⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯·con π/3<c<x ó x<c<π/3
5!
#25:
#26:
#27:
SIN(x)
⎛
π
⎞
TAYLOR⎜SIN(x), x, ⎯⎯⎯, 4⎟
⎝
4
⎠
4
3
⎛
2
⎞
√2·x
√2·x ·(π + 4)
2 ⎜ √2·π
√2·π
√2 ⎟
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + x ·⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯⎟ 48
48
⎝ 128
16
4 ⎠
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26
FÓRMULA DE TAYLOR
3
2
4
3
2
√2·x·(π + 12·π - 96·π - 384)
√2·π
√2·π
√2·π
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
768
12288
768
64
#28:
√2·π
√2
- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯
8
2
⎛d ⎞5
⎜⎯⎯⎟ SIN(x)
⎝dx⎠
#29:
COS(x)
El resto de Lagrange correspondiente es
⎛
π ⎞5
⎜x - ⎯⎯⎯⎟
#30:
⎝
4 ⎠
R4(x)=COS(c)·⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯·con π/4<c<x ó x<c<π/4
5!
#31:
#32:
ATAN(x)
TAYLOR(ATAN(x), x, 1, 3)
3
2
x - 6·x + 15·x + 3·π - 10
#33:
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
12
⎛d ⎞4
#34: ⎜⎯⎯⎟ ATAN(x)
⎝dx⎠
2
24·x·(1 - x )
#35:
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
2
4
(x + 1)
El resto de Lagrange correspondiente es
2
4
24·c·(1 - c )
(x - 1)
#36: R3(x)= ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯·⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯·con 1<c<x ó x<c<1
2
4
4!
(c + 1)
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27
FÓRMULA DE TAYLOR
9.- Utilizando los polinomios y los restos de Lagrange correspondientes obtenidos
en el ejercicio anterior, se pide hallar el valor aproximado y una estimación del
error cometido para:
5
cos1
arctg 2
Solución:
Para dar un valor aproximado de √5, y una estimación del error, usaremos el
polinomio y resto obtenido para f(x) = x en el ejercicio 8.
Hallaremos primero una estimación del error.
Para ello hacemos x=5 y consideraremos una cota del valor absoluto de la
derivada cuarta en [4,5], es decir:
4
⎮
15
⎮ (5 - 4)
#37: R(5) ≤ max⎮- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎮·⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯·cuando 4≤c≤5
3
⎮
7/2 ⎮
4!
⎮
16·c
⎮
⎛
⎮
15
⎮⎞
IF⎜4 < c < 5, ⎮- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎮⎟
#38:
⎜
⎮
7/2 ⎮⎟
⎝
⎮
16·c
⎮⎠
#39: El máximo se alcanza en c=4 por ser decreciente, luego:
15
1
⎮R(5)⎮ ≤ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯·⎯⎯⎯⎯
#40:
3
7/2
4!
16·4
⎮R(5)⎮ ≤ 0.0003051757812 < 0.0004
#41:
3
Hallamos ahora el valor aproximado de √5 teniendo en cuenta el error
3
2
5 - 20·5 + 240·5 + 320
#42: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
512
#43:
2.236328125
#44: 2.2363 - 0.0004 < √5 < 2.2363 + 0.0004
#45: Operando 2.2359 < √5 < 2.2367
Luego una aproximación de √5 con todas las cifras exactas es 2.23
Para dar un valor aproximado de cos1, y una estimación del error, usaremos
polinomio y resto obtenido para f(x)=cosx en el ejercicio 8.
Hallaremos primero una estimación del error.
Para ello hacemos x=1 y consideraremos una cota del valor absoluto de la
derivada quinta en [1,π/3], es decir:
⎮
π ⎮5
⎮1 - ⎯⎯⎯⎮
#46:
⎮
3 ⎮
π
R (1) ≤ max⎮- SIN(c)⎮· ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯· cuando 1 ≤ c ≤ ⎯⎯⎯
4
5!
3
#47: Como ⎮- SIN(c)⎮ ≤ 1
-9
#49: R (1) ≤ 1.951713585·10
< 0.000000002
4
Hallamos ahora el valor aproximado de cos1 teniendo en cuenta el error
4
3
2
~
π - 12·π ·(√3 + 1) + 54·π ·(2·√3 - 1) + 108·π·(3·√3 + 5) - 1620~
#50: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯~
3888
~
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28
FÓRMULA DE TAYLOR
·√3 + 1053
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
#51:
0.5403023041
#52: 0.5403023041 - 0.000000002 < COS(1) < 0.5403023041 + 0.000000002
#53:
0.540302302 < COS(1) < 0.5403023061
Luego una aproximación de cos 1 con todas las cifras exactas es 0.54030230
Para hallar un valor aproximado de arctg√2, y una estimación del error,
usaremos polinomio y resto obtenido para f(x)=arctg√x en el ejercicio 8.
Hallaremos primero una estimación del error.
Para ello hacemos x=√2 y consideraremos una cota del valor absoluto de la
derivada cuarta en [1,√2], es decir:
⎮
2 ⎮
4
⎮ 24·c·(1 - c ) ⎮ (√2 - 1)
#54: ⎮R (√2)⎮≤ max ⎮⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎮·⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
3
⎮
2
4
⎮
4!
⎮
(c + 1)
⎮
⎛
⎮
2 ⎮⎞
⎜
⎮ 24·c·(1 - c ) ⎮⎟
#55: IF⎜1 < c < √2, ⎮⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎮⎟
⎜
⎮
2
4
⎮⎟
⎝
⎮
(c + 1)
⎮⎠
Geométricamente observamos que 0.5 es una cota superior del máximo buscado en
el intervalo [1,√2]
Hallando el máximo formalmente se obtiene:
2
d
24·x·(1 - x )
#56: ⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
dx
2
4
(x + 1)
4
2
24·(5·x - 10·x + 1)
#57:
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
2
5
(x + 1)
⎛
4
2
⎞
⎜ 24·(5·x - 10·x + 1)
⎟
#58: SOLVE⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, x, Real⎟
⎜
2
5
⎟
⎝
(x + 1)
⎠
⎛
2·√5 ⎞
⎛
2·√5 ⎞
⎛ 2·√5
#59: x = ±∞ ∨ x = - √⎜1 - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟ ∨ x = √⎜1 - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟ ∨ x = - √⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎝
5 ⎠
⎝
5 ⎠
⎝
5
⎞
⎛ 2·√5
⎞
+ 1⎟ ∨ x = √⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + 1⎟
⎠
⎝
5
⎠
#60: Entre 1 y √2 está x = √(2·√5/5 + 1) y en dicho punto
⎮
2 ⎮
⎮ 24·x·(1 - x ) ⎮
⎮⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎮ vale 0.420963728 < 0.5, luego:
⎮
2
4
⎮
⎮
(x + 1)
⎮
4
(√2 - 1)
#61: ⎮R (√2)⎮ ≤ 0.420963728·⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
3
4!
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
29
FÓRMULA DE TAYLOR
⎮R (√2)⎮ ≤ 0.0005163339642 < 0.0006
#62:
3
Hallamos ahora el valor aproximado de arctg√2 teniendo en cuenta el error
3·π + 17·√2 - 22
#63:
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
12
#64:
0.9555340434
#65: 0.9555 - 0.0006 < ATAN(√2) < 0.9555 + 0.0006
#66:
0.9549 < ATAN(√2) < 0.9561
Luego una aproximación de arctg√2 con todas las cifras exactas es 0.95
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30
FÓRMULA DE TAYLOR
10.- Explicar la procedencia de las siguientes igualdades aproximadas, válidas
para valores pequeños de x >0 y acotar el error cometido en las mismas:
x2
x4
x2
2x 5


ln(cos x)  
tgx  x 
2
12
3
15
3
3
x
x
arcsenx  x 
arctgx  x 
6
3
x
x
2
4
e e
x
x
x3
2
 1

cosh x 
ln x  1  x  x 
2
2
24
3!


Solución:
Son los desarrollos de MacLaurin de las funciones correspondientes:
x2 x4
ln(cos x)   
 Tn  4  ln(cos x),a  0
2 12
Acotación del error:
x5
E(x)  R n 4 (x)  f 5) (c)
con c   0,x 
5!
Como f 5) (c) 
8senc 24senc

es una función monótona para 0<c<x, o bien x<c<0 resulta:
cos3 c cos5 c
5
x5
 8senc 24senc  x
 máx 

E(x)  f (c)

3
5
0<c<x
5!
 cos c cos c  5!
5)
5

 8senx 24senx  x
 cos 3 x  cos 5 x  5!


x 2 2x 5

 Tn  5  tgx,a  0
3
15
Acotación del error:
x6
6)
E(x)  R n 5 (x)  f (c)
con c   0,x 
6!
tgx  x 
Como f 6) (c) 
32senc 480senc 720senc


es una función monótona para 0<c<x, o bien x<c<0
cos3 c
cos5 c
cos7 c
resulta:
E(x)  f 6) (c)
x6
 máx
0<c<x
6!
6
 32senc 480senc 720senc  x




3
cos5 c
cos 7 c  6!
 cos c

6
 32senx 480senx 720senx  x



3
cos 5 x
cos 7 x  6!
 cos x
x3
 Tn  3  arcsenx,a  0
6
Acotación del error:
x4
E(x)  R n 3 (x)  f 4) (c)
con c   0,x 
4!
arcsenx  x 
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31
FÓRMULA DE TAYLOR
Como f 4) (c) 
3c(3  2c 2 )
1  c 
2
E(x)  f 4) (c)
7
es una función monótona para 0<c<x, o bien x<c<0 resulta:
x4
3c(3  2c 2 ) x 4
 máx
7
0<c<x
4!
2

1
c
  4!

3x(3  2x 2 ) x4
7
 1  x2  4!
x3
 Tn 3  arctgx,a  0
3
Acotación del error:
x4
4)
E(x)  R n 3 (x)  f (c)
con c   0,x 
4!
arctgx  x 
Como f 4) (c) 
24c(1  c 2 )
1  c 
2 4
es una función acotada y una cota superior puede ser 5 resulta:
E(x)  f 4) (c)
x4
24c(1  c 2 ) x 4
 máx 
4
0<c<x
4!
1  c2  4!
 5
x4
4!
e x  e x
x2 x4
1

 Tn  4  cosh x,a  0
2
2 24
Acotación del error:
x5
E(x)  R n 4 (x)  f 5) (c)
con c   0,x 
5!
cosh x 
Como f 5) (c)  senh(c) es una función monótona para 0<c<x, o bien x<c<0 resulta:
x5
x5
E(x)  f (c)
 máx senh(c)
0<c<x
5!
5!
5)

ln x  1  x
2


x5
 senh(x)
5!

x3
 x
 Tn 3 ln x  1  x 2 ,a  0 


3!
Acotación del error:
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32
FÓRMULA DE TAYLOR
x4
E(x)  R n 3 (x)  f (c)
4!
4)
Como f 4) (c) 
3c(3  2c 2 )
1  c 
2
E(x)  f 4) (c)
7
con c   0,x 
es una función acotada y una cota superior puede ser 2 resulta:
x4
3c(3  2c 2 ) x 4
 máx
7
0<c<x
4!
1  c2  4!

2
x4
4!
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33
FÓRMULA DE TAYLOR
11.- Sea f(x)  xe x  tg(x)
a) Hallar la fórmula de MacLaurin de orden 3 de f.
b) Hallar una aproximación del valor f(0, 01) con el polinomio de MacLaurin
de orden 3
c) Acotar el error cometido en el cálculo de f(0, 01) en el apartado b)
Solución:
Calculando las sucesivas derivadas, se puede escribir la fórmula de MacLaurin:
n
f n(x)
f n(0)
0
0
xe x  tg ( x)
1
2
1
e x  x  1 
2
cos x
2
2
2senx
ex  x  2 
3
cos x
3
5
4
6

e x  x  3 
2
4
cos x cos x
4
8senx 24 senx

ex  x  4 
cos3 x cos5 x
f '(0)
f ''(0) 2 f '''(0) 3
x
x 
x  R n 3 (x)
1!
2!
3!
8senc 24senc x 4
2
5
a) f ( x )  2x  x 2  x 3   c  4  ec 

donde c es algún número
2!
3!
cos3 c cos5 c 4 !
comprendido entre 0 y x.
f (x)  f (0) 
b) f (0.01)  2(0.01) 
2
5
(0.01)2 
(0.01)3  0.020100833
2!
3!
c) El error que se comete es
5
8senc 24senc (0.01) 4
E(x)  R n  3 (x)  f (x)  (2x  x 2  x 3 )   c  4  ec 

 
cos3 c cos5 c
4!
6
Observando la gráfica de la función del numerador se tiene:
 c  4  ec 
8senc 24senc

5
cos3 c cos5 c
por tanto
 
1
5
 108

8
480 000 000
4 ! 10
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34
FÓRMULA DE TAYLOR
12.- Hallar el polinomio de MacLaurin de la función f(x) = cos x, de grado
  
mínimo, que aproxime cos 
 con un error menor que 0.0005. A continuación
 30 
  
calcular el valor aproximado de cos 
 (con las cifras decimales que delimita
 30 
el error permitido).
Solución:
El desarrollo del coseno es:
cos( x )  1 
x2 x4 x6
xn
x n1
 
  

cos  n  
cos   x   n  1  


 ... 
2! 4! 6!
n!
2  (Véase ejercicio 4)
 2  n  1!

   0, 1 
Independientemente del valor de θ que elijamos el coseno siempre se acota por
1, nos proporciona la inecuación:
⎮ ⎛ π ⎞n + 1 ⎮
⎮ ⎜⎯⎯⎯⎯⎟
⎮
#26:
⎮ ⎝ 30 ⎠
⎮
⎮R (π/30)⎮ ≤ ⎮⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎮ ≤ 0.0005
⎮ n
⎮
⎮
(n + 1)! ⎮
⎛⎮ ⎛ π ⎞n + 1 ⎮
⎞
⎜⎮ ⎜⎯⎯⎯⎯⎟
⎮
⎟
#27:
⎜⎮ ⎝ 30 ⎠
⎮
⎟
TABLE⎜⎮⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎮ ≤ 0.0005, n, 1, 4⎟
⎝⎮
(n + 1)! ⎮
⎠
⎡ 1 false ⎤
⎢
⎥
⎢ 2 true ⎥
#28:
⎢
⎥
⎢ 3 true ⎥
⎢
⎥
⎣ 4 true ⎦
Luego basta tomar el polinomio de grado 2 para obtener una aproximación de
cos(π/30) con un error menor que 0.0005
#29: TAYLOR(COS(x), x, 0, 2)
2
x
#30:
1 - ⎯⎯⎯⎯
2
⎛ π ⎞2
⎜⎯⎯⎯⎯⎟
#31:
⎝ 30 ⎠
1 - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
2
#32:
0.9945168864
⎛ π ⎞
#33: 0.9945 - 0.0005 < COS⎜⎯⎯⎯⎯⎟ < 0.9945 + 0.0005
⎝ 30 ⎠
⎛ π ⎞
#34:
0.994 < COS⎜⎯⎯⎯⎯⎟ < 0.995
⎝ 30 ⎠
Una aproximación de cos(π/30) con todas las cifras exactas es 0.99
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35
FÓRMULA DE TAYLOR
13.a) Escribir la fórmula de MacLaurin de grado 3 de la función y = arctgx
b) Calcular el valor aproximado de arctg(0,1), utilizando el polinomio de
MacLaurin del apartado a) y acotar el error cometido.
arctg(x)  x
c) Calcular lim
x0
4x 3
Solución:
f(x) = arc tg (x)
f(0) = 0
1
 (1  x 2 ) -1
f’(0) = 1
f’(x) =
2
1 x
f”(x) = -1  (1 + x2)-2  2x
f’’(0) = 0
f’’’(0) = -2
f’’’(x) = ..... = 8 x2 (1 + x2)-3 – 2 (1 + x2) –2
24 x - 24 x 3
24t  24 t 3
IV
fIV (x) = .................... =
(t)
=
f
(1  x 2 ) 4
(1  t 2 ) 4
a) arc tg (x) = 0 + 1 x + 0 -
2 3
24 t - 24 t 3 x 4
x 
con 0<t<x
3!
(1  t 2 ) 4 4!
1
0,13 = 0,099667
3
La función derivada cuarta es monótona se acota
por 3:
b) arc tg (0,1) = 0,1 -
E(0,1) 
(0,1) 4 24t - 24t 3 (0,1) 4  3
 0,00001
<
4! 1  t 2 4
4!
arc tg (x) - x
 lim
x 0
x 0
4 x3
 x3 
- 
0
Ind  lim  33  
x 0
0
 4x 




c) lim
x3
- x
1
3
  , o bien,
3
4x
2
 3x 2

L' Hôpital  lim  - 3 2
x 0
 12x


x-


 



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...  -
2
24
 -
1
12
36
FÓRMULA DE TAYLOR
ex  e x
14.- Dada la función f(x)=
, calcular el polinomio de MacLaurin
2
de grado 4 y hallar el valor aproximado de f(0,1) utilizando dicho
polinomio.
Solución:
Calculando las sucesivas derivadas, se puede escribir elpolinomio de MacLaurin:
n
fn(x)
fn(0)
0
1
2
3
4
cosh=
e x  e x
2
senhx
coshx
senhx
coshx
1
0
1
0
1
x2 x4
f '(0)
f ''(0) 2 f '''(0) 3 f iv) (0) n
x
x 
x 
x  1 
2 24
1!
2!
3!
4!
sustituyendo el valor de x por 0,1, resulta f(0,1) 1,00500 .
Tn  4  cosh x,a  0  f (0) 
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37
FÓRMULA DE TAYLOR
15.- ¿Para qué valores de x podemos tomar
con un error menor de 0,0001.
x
x3
x5

por senx
6
120
Solución:
Calculando las sucesivas derivadas, se puede escribir la fórmula de MacLaurin:
n
fn(x)
fn(0)
0
senx
0



cosx  s en  x  
1
1
2



-senx  s en  x  2 
2
0
2



-cosx  s en  x  3 
3
-1
2



senx  s en  x  4 
4
0
2

……. ……………..............
…….

 


s en  x  n 
s en  n 
n
2

 2
n)
f '(0)
f ''(0) 2 f '''(0) 3
f (0) n
f (x)  f (0) 
x
x 
x  ... 
x  R n (x)
1!
2!
3!
n!
x3 x5 x 7
xn
x n 1

 


 .....  sen  n  
s en(x)  x  
s en   x   n  1 
3! 5! 7!
n!
2
 2   n  1!

   0,1
x3 x5

 Tn  5 senx,a  0
6 120
Conocido el error 0,0001 y el valor de n=5
x6

x6

E(x)  R n 5 (x) 
s en  x  6  
 104 puesto que el seno se acota en valor
6!
2
6!


absoluto por 1. Queda:
3
3
3
3
x6
9
9
x
 104  6! 104  x 6  6! 10 4  
 x6 

6!
125
125
5
5
Entonces x 
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38
FÓRMULA DE TAYLOR
16.- Dada la función f(x)=
1
1  x 
5
, se pide:
a) Hallar el polinomio de MacLaurin de grado 4 de la función f.
1
b) Utilizando el polinomio de MacLaurin de grado 2, hallar
,
0, 95
dando una estimación del error cometido.
c) ¿Es desarrollable la función f en serie de Taylor en a=2?
Justifica la respuesta.
Solución:
a) Calculando las sucesivas derivadas, se puede escribir la fórmula de MacLaurin:
n
f n(x)
f n(0)
5
0
1
1

 1  x  2
5
1  x 
1
7
5
5

1  x  2
2
2
9
2
57
57

1  x  2
22
22
11
3
579
579

1  x  2
222
222
13
4
5 7 9 11
5 7 9 11

1  x  2
222 2
222 2
iv)
f '(0)
f ''(0) 2 f '''(0) 3 f (0) 4
T4  f , 0  f (0) 
x
x 
x 
x 
1!
2!
3!
4!
5
5  7 x 2 5  7  9 x 3 5  7  9  11 x4


= 1 x  2
2
2 2!
23 3!
24
4!
1
1

 x  0,1 sustituyendo en el polinomio de Taylor de grado n=2
b)
0,95
(1  x)5
5 5  7 0,12
 1  2
 1.29375
2 2 2!
0.95
11
x3
579
x3

Estimación del error: E(x)  R n  2 (x)  f '''(c)

1  c  2
3!
222
3!
1
 (*)
0  c  0.1
0,13
(*) f '''(c)  71  R n=2 (0,1)  71

3!
1
 1.305583 .
< 0, 01183  1.281916 
5
0.9
c) No , porque no existe f(2) pues f(2)=
1
1
 R.
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39
FÓRMULA DE TAYLOR
17.- a) Obtener el polinomio de MacLaurin de grado 2, de la función


f(x)= argshx= ln x 
1  x2 .
b) Utilizando el polinomio anterior, hallar f(0,1).
c) Acotar el error cometido en la aproximación anterior.
Solución:
a) Calculando las sucesivas derivadas, se puede escribir el polinomio de MacLaurin:
n
f n(x)
f n(0)
0
0
ln x  1  x 2


1
1
1
2
1 x
x

3
2
0
3
2 2
1  x 
2x 2  1
3
2 2
1  x 
T4  f , 0  f (0) 
f '(0)
f ''(0) 2
x
x x
1!
2!
b) f(0,1)≃ 0,1
2  x   1 x 3
x3
x3
1
c) Estimación del error: E(x)  R n 2 (x)  f '''(x)


3
01
3!
3!
2 2 3!
1   x 
2

Ya que f ''' (c) 
(2c 2  1)
1  c 
2
3

es una función acotada y una cota superior puede ser 1 resulta:
R n=2 (0,1) 
0,13
 0, 00016
3!
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40
FÓRMULA DE TAYLOR
18.- Usando Derive y aplicando la fórmula de Taylor, calcular los siguientes
límites:
tg2 x  arcsen x2
x  sen x
a) lim
.
.
b) lim
5
x0
x0
x2
x
1  x 2  cos x  ln(1  x)
e 1 x 
6
2
2
3
cot gx
ln (1  x)  sen2 x
c) lim  cos  xe x   ln(1  x)  x 
d) lim
2
x0
x0
1  e x
Solución:
tg 2 x  arcsen x 2
a) lim
.
x 0
5
2
1  x  cos x  ln(1  x)
6
2
2
#1:
TAYLOR(TAN(x) - ASIN(x ), x, 0, 4)
4
2·x
#2:
⎯⎯⎯⎯
3
⎛
2
5
⎞
#3:
TAYLOR⎜√(1 + x ) - COS(x) - ⎯·LN(1 - x), x, 0, 4⎟
⎝
6
⎠
4
3
2
x
5·x
17·x
5·x
#4:
⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯
24
18
12
6
4
2·x
4
⎯⎯⎯⎯·x
32
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
#5:
3
lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0
x→0
4
3
2
x
5·x
17·x
5·x
⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯
24
18
12
6
b) lim
x 0
#1:
#2
x  sen x
x2
ex  1  x 
2
.
3
x
TAYLOR(x - SIN(x), x, 0, 3) = ⎯⎯
6
3
⎛
2
⎞
3
⎜ x
x
⎟
x
TAYLOR⎜e - 1 - x - ⎯⎯, x, 0, 3⎟ = ⎯⎯
⎝
2
⎠
6
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41
FÓRMULA DE TAYLOR
3
x
⎯⎯
6
lim ⎯⎯⎯⎯ = 1
x→0
3
x
⎯⎯
6
#3:
c)
lim cos  xe
x 0
x
  ln(1  x)  x 
 
 lim e
Ln cos xe x  ln(1 x )  x 


t gx 3
x 0
#1:
#2:
#3:
#4:
e

e
cot gx 3
 lim e
 
Ln cos xe x  ln(1 x )  x 


cot gx 3
x 0
 lim e
 
cot gx 3 Ln cos xe x  ln(1 x )  x 


x 0

 
Ln cos xe x  ln(1 x )  x 


x 0
t gx 3
lim
3
3
TAYLOR(TAN(x) , x, 0, 3) = x
x
TAYLOR(LN(COS(x·e ) - LN(1 - x) - x), x, 0, 3)
3
2·x
- ⎯⎯⎯⎯
3
3
2·x
⎯⎯⎯⎯
3
2
lim - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = - ⎯
x→0
3
3
x
2
3
d) lim
x 0
ln 2 (1  x)  sen 2 x
1  e x
2
2
#1:
#2:
#3:
2
3
- SIN(x) , x, 0, 3) = – x
3
⎛
2
⎞
⎜
- x
⎟
2
TAYLOR⎝1 - e
, x, 0, 3⎠ = x
3
x
lim - ⎯⎯ = 0.
x→0
2
x
TAYLOR(LN(1 + x)
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42
FÓRMULA DE TAYLOR
19.- Usando Derive resolver el siguiente problema: Dada la función
f(x)=ln(1+x), se pide:
a) Obtener la expresión de la derivada n-ésima de la función.
b) Obtener la expresión de fn) (0).
c) Obtener los polinomio de MacLaurin de grado 3,4,5,6,7,8,9,10.
d) Representarlos gráficamente junto con la propia función.
e) Escribir la expresión de las fórmulas de MacLaurin de f de grado 3,4 y 5.
f) Utilizar cada uno de los desarrollos del apartado e) para obtener una
aproximación de ln(1.1).
g) Acotar el error cometido en cada caso.
h) Comprobar gráficamente que, en efecto, para x=0.1, f(x) y los tres
polinomios del apartado e) no coinciden.
i) Si se quiere obtener el valor aproximado de ln(1.1) con diez cifras
decimales exactas ¿cuál es el menor orden del desarrollo de MacLaurin de f
que habrá que usar?
j) ¿Es posible utilizar MacLaurin para calcular una aproximación de ln(2.5)?
Solución:
⎛⎛d ⎞n
⎞
TABLE⎜⎜⎯⎯⎟ LN(1 + x), n, 1, 4, 1⎟
⎝⎝dx⎠
⎠
⎡
1
⎢ 1
⎯⎯⎯⎯⎯
⎢
x + 1
⎢
⎢
1
⎢ 2 - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎢
2
⎢
(x + 1)
⎢
⎢
2
⎢ 3
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎢
3
⎢
(x + 1)
⎢
⎢
6
⎢ 4 - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎢
4
⎣
(x + 1)
#1:
#2:
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
 1 (n  1)!
(x) 
n
 x  1
n 1
a) f
n)
b) f n ) (0)   1 
n 1
(n  1)!
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43
FÓRMULA DE TAYLOR
c)
#3:
TABLE(TAYLOR(LN(1 + x), x, 0, n), n, 3, 10, 1)
3
2
x
x
⎯⎯ - ⎯⎯ + x
3
2
4
3
2
x
x
x
- ⎯⎯ + ⎯⎯ - ⎯⎯ + x
4
3
2
5
4
3
2
x
x
x
x
⎯⎯ - ⎯⎯ + ⎯⎯ - ⎯⎯ + x
5
4
3
2
6
5
4
3
2
x
x
x
x
x
- ⎯⎯ + ⎯⎯ - ⎯⎯ + ⎯⎯ - ⎯⎯ + x
6
5
4
3
2
7
6
5
4
3
2
x
x
x
x
x
x
⎯⎯ - ⎯⎯ + ⎯⎯ - ⎯⎯ + ⎯⎯ - ⎯⎯ + x
7
6
5
4
3
2
8
7
6
5
4
3
2
x
x
x
x
x
x
x
- ⎯⎯ + ⎯⎯ - ⎯⎯ + ⎯⎯ - ⎯⎯ + ⎯⎯ - ⎯⎯ + x
8
7
6
5
4
3
2
9
8
7
6
5
4
3
2
x
x
x
x
x
x
x
x
⎯⎯ - ⎯⎯ + ⎯⎯ - ⎯⎯ + ⎯⎯ - ⎯⎯ + ⎯⎯ - ⎯⎯ + x
9
8
7
6
5
4
3
2
10
9
8
7
6
5
4
3
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
⎯⎯⎯ + ⎯⎯ - ⎯⎯ + ⎯⎯ - ⎯⎯ + ⎯⎯ - ⎯⎯ + ⎯⎯ - ⎯⎯ + x
10
9
8
7
6
5
4
3
2
d)
x3 x2
x4
e)

x
3
2
4(c  1) 4
x4 x3 x2
x5



x
4
3
2
5(c  1) 5
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44
FÓRMULA DE TAYLOR
x
x4 x3 x2
x6



x
5
4
3
2
6(c  1) 6
#5:
#6:
#7:
f) ln(1.1)  0.095333333333
⎛d ⎞4
#8:
⎜⎯⎯⎟ LN(1 + x)
⎝dx⎠
-5
2.5·10
⎛d ⎞5
⎜⎯⎯⎟ LN(1 + x)
⎝dx⎠
24
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ < 24
5
(x + 1)
#13:
#14:
ln(1.1)  0.095310333333
4
6·x
⎯⎯⎯⎯
4!
#11:
#12:
ln(1.1)  0.09530833333
6
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ < 6
4
(x + 1)
#9:
#10:
0.09533333333
0.09530833333
0.09531033333
5
24·x
⎯⎯⎯⎯⎯
5!
-6
#15:
#16:
2·10
⎛d ⎞6
⎜⎯⎯⎟ LN(1 + x)
⎝dx⎠
120
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
6
(x + 1)
#17:
#18:
#19:
<120
6
120·x
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
6!
-7
1.666666666·10
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45
FÓRMULA DE TAYLOR
g) E <10-5, 10-6, 10-7 respectivamente
⎛
n + 1
⎜
·0.1
-11
#20: TABLE⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ < 10
, n,
⎝
(n + 1)
⎡ 5 false
⎢ 6 false
#23:
⎢ 7 false
⎢ 8 false
⎢ 9 false
⎣ 10 true
⎞
⎟
5, 10, 1⎟
⎠
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
i) n=10
j) Sí , pero no debe utilizarse ya que el error que se comete es relativamente grande (ver gráfica)
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46
FÓRMULA DE TAYLOR
20.- a) Desarrollar en serie de MacLaurin la función la función f(x)=(1+x)α,
αR.
1
b) Usando el apartado a) para el valor de “α” adecuado, calcular 3
,
1.1
tomando los cuatro primeros términos del desarrollo ¿Cuántas cifras exactas
se obtienen con este método?
Solución:
a) Calculando las sucesivas derivadas, se puede escribir la fórmula de MacLaurin:
n
f n(x)
f n(0)

0
1
1  x 
1
 1  x 
2
    11  x 
….
n

 1
    1
2
….
    1   2  .....   n  11  x 
n
….
    1   2  .....    n  1
f '(0)
f ''(0) 2 f '''(0) 3
f n ) (0) n
x
x 
x  ... 
x  R n (x)
1!
2!
3!
n!
x
x2
x3
xn
f(x)  1    (  1)  (  1)(  2)    (  1)...(  n  1) 
1!
2!
3!
n!
n 1
x

(  1)...(  n)(1  c) n 1 con 0<c<x
(n  1)!
a) f (x)  f (0) 
1

1

  
b) 3
 1  x   
3 y los cuatro primeros términos nos indica que n=3, luego
1.1
 x  0.1
x
x2
x3
Tn 3  f (x),a  0  1    (  1)  (  1)(  2) sustituyendo los valores de x=0.1 y
1!
2!
3!
1
 0.9687160
α=-1/3 obtenemos 3
1.1
Estimación del error: E(x)  R n 3 (x)  f iv) (c)
Ya que f ''' (c) 
280
811  c 
13
3
x4
280
x4

13
4!
811  c  3 4!

0c0.1
280 x 4
81 4!
es una función monótona y una cota superior puede ser
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47
FÓRMULA DE TAYLOR
para c=0 resulta
280  0.14
R n=3 (0.1) 
 1.4 105 , es decir, podemos asegurar cuatro cifras decimales exactas.
81 4!
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48
FÓRMULA DE TAYLOR
21.- Hallar el grado mínimo del polinomio de MacLaurin para calcular con un error
menor que 0.001.
a) f(0.5) siendo f(x) = ln(1 + x)
b) f(0.6) siendo f(x) = cos (x2).
Solución:
a) Del ejercicio 2 obtenemos el desarrollo de la función f(x)=ln(1+x):
ln(1  x)  x 
x 2 x 3 x4
xn
xn 1
 (n  1)
   .....  ( 1)n 1  ( 1)n
1  c 
2
3 4
n
n1
c   0,x 
Ahora el dato es el error E(x)<10-3
E ( x)  Rn ( x)  (1) n
x n 1
(n  1) 1  c 
n 1
para x=0.5 E (0.5)  Rn (0.5)  (1) n
<10-3 con c  [0,x]
0.5n1
(n  1) 1  c 
<
n1 0<c<0.5
0.5n1
<10-3 con c  [0,0.5]
(n  1)
⎛
n + 1
⎞
⎜ 0.5
⎟
#1:
TABLE⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ < 0.001, n, 5, 10, 1⎟
⎝
n + 1
⎠
⎡ 5 false ⎤
⎢
⎥
⎢ 6 false ⎥
⎢
⎥
⎢ 7 true ⎥
#2:
⎢
⎥
⎢ 8 true ⎥
⎢
⎥
⎢ 9 true ⎥
⎢
⎥
⎣ 10 true ⎦
se cumple para n=7
x 2 x3 x 4 x5 x 6 x 7
 



 f(0.5)=Ln(1.5)= 0.405 .
T  Ln 1  x  ,a  0,n  7   x 
2
3
4
5
6
7
b) Del ejercicio 4 obtenemos el desarrollo de la función f(x) = cos (x2):
si n es par
Tn (cos( x 2 ), 0)  1 
si n es impar
Tn (cos( x ), 0)  1 
2
 2x 4
2!
 2x 4
2!


 4x 8
4!
 4x8
4!
n
 ..... 
 ..... 
 2xn
n 
cos 

n
2 2
 !
2
n 1
2
  n  1  
x n 1
cos 

 n 1
2
 2
!


 2 

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49
FÓRMULA DE TAYLOR
Vamos calculando los sucesivos polinomios hasta conseguir la aproximación deseada:
2
#1:
TAYLOR(COS(π·x ), x, 0, 4)
#2:
2 4
π ·x
1 - ⎯⎯⎯⎯⎯
2
#3:
0.3604496348
#4:
2
TAYLOR(COS(π·x ), x, 0, 8)
#5:
4 8
2 4
π ·x
π ·x
⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯⎯ + 1
24
2
#6:
0.4286204130
#7:
2
TAYLOR(COS(π·x ), x, 0, 12)
#8:
6 12
4 8
2 4
π ·x
π ·x
π ·x
- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯⎯ + 1
720
24
2
#9:
0.4257138366
#10:
2
TAYLOR(COS(π·x ), x, 0, 16)
#11:
8 16
6 12
4 8
2 4
π ·x
π ·x
π ·x
π ·x
⎯⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯⎯ + 1
40320
720
24
2
#12:
0.4257802260
f(0.6) = cos (0.62)= 0.425 .
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
50
FÓRMULA DE TAYLOR
x
, se pide:
ex
a) Escribir la fórmula de MacLaurin.
22.- Dada la función f(x) =
b) Hallar el grado del polinomio que aproxima el valor de
1
con un error R n <
e
0.00005.
c) Con el polinomio obtenido en b, hallar el valor aproximado de
1
con el número
e
de cifras decimales que delimita el error permitido.
Solución:
a) Buscamos previamente una expresión general para la derivada de orden n
⎛⎛d ⎞n
-x
⎞
#1:
TABLE⎜⎜⎯⎯⎟ (x·e ), n, 1, 5⎟
⎝⎝dx⎠
⎠
⎡
-x
⎤
⎢ 1 e ·(1 - x) ⎥
⎢
-x
⎥
⎢ 2 e ·(x - 2) ⎥
⎢
-x
⎥
#2:
⎢ 3 e ·(3 - x) ⎥
⎢
-x
⎥
⎢ 4 e ·(x - 4) ⎥
⎢
-x
⎥
⎣ 5 e ·(5 - x) ⎦
La derivada de orden n viene dada por fn)(x) = (-1)n ·e-x·(x - n)
Probamos la veracidad de la expresión aplicando el principio de inducción
completa
d
n -x
-x
n
#3:
Derivando:·⎯⎯ ((-1) ·e ·(x - n)) = - e ·(x - n - 1)·(-1) =
dx
n + 1 -x
(-1)
·e ·(x - (n + 1))
n + 1 -x
#4:
Sustituyendo n por (n+1):·(-1)
·e ·(x - (n + 1))
Las dos expresiones son idénticas, luego la expresión de la derivada n-ésima
es cierta.
Hallamos el valor de, por ejemplo, las tres primeras derivadas en 0 y, en
consecuencia, la fórmula de MacLaurin es:
⎡ 1
1 ⎤
#5:
⎢ 2 -2 ⎥
⎣ 3
3 ⎦
2
3
n -x
x
2·x
3·x
(-1) ·e ·(0 - n)
n
#6:
⎯⎯⎯⎯ = 0 + x - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ - ··· + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯·x +
x
2!
3!
n!
e
n + 1 -c
(-1)
·e ·(c - (n + 1))
n + 1
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯·x
(n + 1)!
Simplificando
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
51
FÓRMULA DE TAYLOR
3
n -x
x
2
x
(-1) ·e
n
#7:
⎯⎯⎯⎯ = x - x + ⎯⎯⎯⎯ - ··· - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯·x +
x
2!
(n - 1)!
e
n + 1 -c
(-1)
·e ·(c - (n + 1))
n + 1
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯·x
·con 0<c<x ó x<c<0
(n + 1)!
1
-1
b) ⎯⎯⎯ = 1·e
e
que 0.00005
, luego se trata de aproximar f(1) con un error menor
n + 1
⎮
n+1 -c
⎮
1
⎮R (1)⎮ ≤ max·⎮(-1)
·e ·(c - (n + 1))⎮·⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯·para·0 < c < 1
⎮ n
⎮
(n + 1)!
⎮
n + 1 -c
⎮
⎮ -c
⎮
max⎮(-1)
·e ·(c - (n + 1))⎮ ≤ max⎮e ·(c - (n + 1))⎮ ≤n+1·para·0<c<1·por
tratarse de funciones decrecientes
n + 1
1
⎮R (1)⎮ ≤ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯ < 0.00005
⎮ n
⎮
(n + 1)!
n!
⎛ 1
⎞
#8: TABLE⎜⎯⎯⎯⎯ < 0.00005, n,5, 9 ⎟
⎝ n!
⎠
⎡ 5 false ⎤
⎢ 6 false ⎥
#9:
⎢ 7 false ⎥
⎢ 8 true ⎥
⎣ 9 true ⎦
Luego para n=8 el polinomio de MacLaurin aproxima 1/e con un error menor que
0.00005
c)
-x
#10: TAYLOR(x·e , x, 0, 8)
8
7
6
5
4
3
x
x
x
x
x
x
2
#11:
- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯ - x + x
5040
720
120
24
6
2
8
7
6
5
4
3
1
1
1
1
1
1
2
#12: - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯ - 1 + 1
5040
720
120
24
6
2
#13:
0.3678571428
1
#14: 0.36785 - 0.00005 < ⎯⎯⎯ < 0.36785 + 0.00005
e
1
#15:
0.3678 < ⎯⎯⎯ < 0.3679
e
1
#16: O bien·⎯⎯⎯ = 0.36785 ± 0.00005
e
Una aproximación de 1/e con todas las cifras exactas es 1/e = 0.367
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
52
FÓRMULA DE TAYLOR
23.- Dada la función f(x) =
1
, se pide:
1  x2
a) Calcular el polinomio de MacLaurin para n = 5.
b) Hallar el valor aproximado de f(0.1) que se obtiene con el polinomio
anterior.
c) Estimar el error cometido en la aproximación anterior y corregir la
misma.
d) Si tomamos polinomios de MacLaurin de grado cada vez mayor (n
), el error al aproximar f(0,1) ¿aumenta o disminuye? ¿y para f(1)?
Solución:
a)
#1:
⎛
1
⎞
TAYLOR⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, x, 0, 5⎟
⎜
2
⎟
⎝ 1 + x
⎠
4
#2:
b)
x
4
2
#3: 0.1 - 0.1 + 1
#4:
c)
Hallamos la derivada de orden 6
⎛d ⎞6
1
⎜⎯⎯⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
#5:
⎝dx⎠
2
1 + x
2
- x
+ 1
0.9901
6
4
2
720·(7·x - 35·x + 21·x - 1)
#6:
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
2
7
(x + 1)
El error estimado viene dado por
⎮
6
4
2
⎮
6
⎮ 720·(7·c - 35·c + 21·c - 1) ⎮ 0.1
⎮R (0.1)⎮≤max⎮⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎮·⎯⎯⎯⎯⎯⎯·con 0<c<0.1
5
⎮
2
7
⎮
6!
⎮
(c + 1)
⎮
⎛
⎮
6
4
2
⎮⎞
⎜
⎮ 720·(7·c - 35·c + 21·c - 1) ⎮⎟
#7:
IF⎜0 < c < 0.1, ⎮⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎮⎟
⎜
⎮
2
7
⎮⎟
⎝
⎮
(c + 1)
⎮⎠
La derivada es estrictamente decreciente en [0,0.1] luego el máximo se alcanza
en c = 0 y vale 720
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
53
FÓRMULA DE TAYLOR
#8:
720
6
#9:
0.1
⎮R (0.1)⎮ ≤ 720·⎯⎯⎯⎯⎯⎯
5
6!
-6
⎮R (0.1)⎮ ≤ 10
5
Hallamos ahora el valor aproximado de f(0.1) teniendo en cuenta el error
-6
-6
#11: 0.9901 - 10
< f(0.1) < 0.9901 + 10
#12: 0.990099 < f(0.1) < 0.990101
Luego una aproximación de f(0.1) con todas las cifras exactas es f(0.1) =
0.990
d)
Al estudiar este apartado nos encontramos con la dificultad de que el cálculo
de la expresión de la derivada n-ésima no es trivial, por ello se va a dar una
explicación menos rigurosa (léela hasta el final).
Si hallamos el valor de f(0.1) en los polinomios de MacLaurin (para n =
4...10) por ejemplo
⎛
⎛
1
⎞
⎞
TABLE⎜TAYLOR⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, x, 0, n⎟, n, 4, 10⎟
#13:
⎜
⎜
2
⎟
⎟
⎝
⎝ 1 + x
⎠
⎠
⎡
4
2
⎤
⎢ 4
x - x + 1
⎥
⎢
4
2
⎥
⎢ 5
x - x + 1
⎥
⎢
6
4
2
⎥
⎢ 6
- x + x - x + 1
⎥
⎢
6
4
2
⎥
#14:
⎢ 7
- x + x - x + 1
⎥
⎢
8
6
4
2
⎥
⎢ 8
x - x + x - x + 1
⎥
⎢
8
6
4
2
⎥
⎢ 9
x - x + x - x + 1
⎥
⎢
10
8
6
4
2
⎥
⎣ 10 - x
+ x - x + x - x + 1 ⎦
⎡ 4
0.9901
⎤
⎢ 5
0.9901
⎥
⎢ 6
0.990099
⎥
#15:
⎢ 7
0.990099
⎥
⎢ 8 0.9900990099 ⎥
⎢ 9 0.9900990099 ⎥
⎣ 10 0.9900990099 ⎦
Observamos que conforme n aumente se va estabilizando el valor de más cifras
decimales. Hallando f(1) en los polinomios de MacLaurin calculados
#10:
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54
FÓRMULA DE TAYLOR
anteriormente
⎡ 4 1 ⎤
⎢ 5 1 ⎥
⎢ 6 0 ⎥
#16:
⎢ 7 0 ⎥
⎢ 8 1 ⎥
⎢ 9 1 ⎥
⎣ 10 0 ⎦
Dada la forma de dichos polinomios las aproximaciones en x=1 tienen un error
significativo
Por otro lado, el error estimado, al evaluar f(0.1) cuando tomamos un
polinomio de grado n viene dado por
n + 1
⎮ n + 1
⎮ 0.1
#17: ⎮R (0.1)⎮ ≤ max ⎮f
(c)⎮·⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯·con 0 < c < 0.1
n
(n + 1)!
Operando
⎮ n + 1
⎮
1
⎮R (0.1)⎮≤ max⎮f
(c)⎮·⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯·con 0 < c < 0.1
#18:
n
n + 1
10
·(n + 1)!
1
Cuando n → ∞·⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯·→ 0 con mucha rapidez mientras que
#19:
n + 1
10
·(n + 1)!
⎮ n + 1
⎮
⎮f
(c)⎮ es una función acotada en [0,0.1]
Para estudiar el comportamiento del resto de Lagrange con ayuda de DERIVE,
vamos a considerar en [0,0.1] las funciones
⎮ n + 1
⎮
1
⎮f
(c)⎮·⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯·con n variando de 4 a 9
#20:
n + 1
10
·(n + 1)!
⎛ ⎛d ⎞n
1
⎞
⎜ ⎜⎯⎯⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎟
⎜ ⎝dx⎠
2
⎟
#21:
⎜
1 + x
⎟
TABLE⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, n, 5, 10⎟
⎜
n
⎟
⎝
10 ·n!
⎠
⎡
4
2
⎤
⎢
x·(3·x - 10·x + 3)
⎥
⎢ 5
- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎥
⎢
2
6
⎥
⎢
50000·(x + 1)
⎥
⎢
6
4
2
⎥
⎢
7·x - 35·x + 21·x - 1
⎥
⎢ 6
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎥
⎢
2
7
⎥
⎢
1000000·(x + 1)
⎥
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
55
FÓRMULA DE TAYLOR
⎢
6
4
2
⎥
⎢
x·(x - 7·x + 7·x - 1)
⎥
⎢ 7
- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎥
⎢
2
8
⎥
⎢
1250000·(x + 1)
⎥
⎢
8
6
4
2
⎥
⎢
9·x - 84·x + 126·x - 36·x + 1
⎥
#22:
⎢ 8
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎥
⎢
2
9
⎥
⎢
100000000·(x + 1)
⎥
⎢
8
6
4
2
⎥
⎢
x·(5·x - 60·x + 126·x - 60·x + 5)
⎥
⎢ 9
- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎥
⎢
2
10
⎥
⎢
500000000·(x + 1)
⎥
⎢
10
8
6
4
2
⎥
⎢
11·x
- 165·x + 462·x - 330·x + 55·x - 1
⎥
⎢ 10
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎥
⎢
2
11
⎥
⎣
10000000000·(x + 1)
⎥
⎢
⎦
Dibujando estas funciones error en [0,0.1] se observa que su máximo es un
infinitésimo de orden alto (cuando n→∞) El error estimado, al evaluar f(1)
cuando tomamos un polinomio de grado n viene dado por
n + 1
⎮ n + 1
⎮
1
#23: ⎮R (1)⎮ ≤ max⎮f
(c)⎮·⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯·con 0 < c < 1
n
(n + 1)!
⎮ n + 1
⎮
1
#24: Es decir, ⎮R (1)⎮ ≤ max⎮f
(c)⎮·⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯·con 0 < c < 1
n
(n + 1)!
1
#25: Cuando n → ∞·⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯·→ 0 pero no con la rapidez del caso anterior y
(n + 1)!
⎮ n + 1
⎮
⎮f
(c)⎮ aunque es una función acotada en [0,1] su máximo va aumentando
cuando n→∞. Para estudiar el comportamiento del resto con ayuda de DERIVE,
vamos a considerar en [0,1] las funciones
⎮ n + 1
⎮
1
#26: ⎮f
(c)⎮·⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯·con n variando de 4 a 9
(n + 1)!
⎛ ⎛d ⎞n
1
⎞
⎜ ⎜⎯⎯⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎟
⎜ ⎝dx⎠
2
⎟
#27:
⎜
1 + x
⎟
TABLE⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, n, 5, 10⎟
⎝
n!
⎠
⎡
4
2
⎤
⎢
2·x·(3·x - 10·x + 3)
⎥
⎢ 5
- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎥
⎢
2
6
⎥
⎢
(x + 1)
⎥
⎢
6
4
2
⎥
⎢
7·x - 35·x + 21·x - 1
⎥
⎢ 6
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎥
⎢
2
7
⎥
⎢
(x + 1)
⎥
⎢
6
4
2
⎥
⎢
8·x·(x - 7·x + 7·x - 1)
⎥
⎢ 7
- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎥
⎢
2
8
⎥
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56
FÓRMULA DE TAYLOR
⎢
(x + 1)
⎥
⎢
8
6
4
2
⎥
⎢
9·x - 84·x + 126·x - 36·x + 1
⎥
#28:
⎢ 8
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎥
⎢
2
9
⎥
⎢
(x + 1)
⎥
⎢
8
6
4
2
⎥
⎢
2·x·(5·x - 60·x + 126·x - 60·x + 5)
⎥
⎢ 9
- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎥
⎢
2
10
⎥
⎢
(x + 1)
⎥
⎢
10
8
6
4
2
⎥
⎢
11·x
- 165·x + 462·x - 330·x + 55·x - 1
⎥
⎢ 10
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎥
⎢
2
11
⎥
⎣
(x + 1)
⎦
Si dibujamos estas funciones en [0,1] se observa que el máximo se mantiene en
1.
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
57
FÓRMULA DE TAYLOR
 x  1
24.- Dada la función f(x)  log10 
 , se pide:
 2 
a) Escribir la fórmula de Taylor en el punto a=1 .
b) Acotar el error cometido en el cálculo de log10 1,1 utilizando el polinomio
de grado 3.
Calcular el grado del polinomio mínimo necesario para obtener un valor de
log10 1,1 con un error menor a 10-6
c)
a) CÁLCULO DEL POLINOMIO DE TAYLOR
 1 x 
f ( x)  log10 

 2 
Se calculan las sucesivas derivadas
1
f '( x) 
(1  x) Ln10
1
f ''( x)  
(1  x) 2 Ln10
2
f '''( x) 
(1  x)3 Ln10
3.2
f 4) ( x)  
(1  x) 4 Ln10
….
(n  1)!
Supongamos que sea f n ) ( x)  (1) n 1
(1  x) n Ln10
n.(n  1)!
n!
Derivando f n 1) ( x)  (1)n 1 (1)
 (1) n
la cual es la expresión
n
(1  x) (1  x) Ln10
(1  x) n 1 Ln10
del término general, para el término n+1
Calculada la derivada n-ésima se puede escribir la fórmula de Taylor
f '(1)
f ''(1)
f '''(1)
f n ) (1)
2
3
f ( x)  f (1) 
( x  1) 
( x  1) 
( x  1)  ... 
( x  1) n  Rn ( x)
n!
1!
2!
3!
1
2!
1

(1  1) Ln10
(1  1) 2 Ln10
(1  1)3 Ln10
2
f ( x)  0 
( x  1) 
( x  1) 
( x  1)3  ...
1!
2!
3!
(1) n 1
.
(n  1)!
(1  1) n Ln10
( x  1) n  R ( x)
n!
1
1
1
( x  1)  
( x  1)2  3
( x  1)3  ..
2
2 Ln10
2(2) Ln10
2 .3. Ln10
Siendo
1
n 1
n
..  ( 1)
( x  1)  R( x )
2n nLn10
1
Rn ( x)  (1) n
( x  1) n 1 con c  [1,x]
n 1
(n  1)(1  c) Ln10
Para calcular log10 1,1
Con el polinomio de grado 3 se obtiene
f ( x)  0 
f ( x) 
1
1
1
( x  1)  
( x  1) 2  3
( x  1)3
2
2 Ln10
2(2) Ln10
2 .3.Ln10
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58
FÓRMULA DE TAYLOR
x 1
 x 1 
f ( x)  log10 
 1,1  x  1  2, 2  x  1, 2
  log10 1,1 
2
 2 
f (1, 2)  0.04140274060
b)
1
( x  1) 4 con c  [1,x]
4
4(1  c) Ln10
1
R3 (1.2)  max
(1.2  1) 4 cuyo máximo se da en c=1
c[1,1.2] 4(1  c ) 4 Ln10
R3 ( x)  (1)3
R 3 (1.2)  1.0857.105
c)
El polinomio de grado 3 no es suficiente para obtener la aproximación con un error menor que 10-6
1
Como Rn (1.2)  (1) n
(1.2  1) n 1
n 1
(n  1)(1  1) Ln10
Sustituyendo n=3
se obtiene R < 1.085736204·10-5 > 10-6
Sustituyendo n=4
se obtiene R < 8,685889638·10-7 < 10-6
El grado del polinomio de Taylor pedido es 4
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59
FÓRMULA DE TAYLOR
25.- Dada la función f(x) 
a)
b)
c)
e

x2
2
2
Utilizar el polinomio de MacLaurin de grado 10 para calcular f(1).
Estimar el error cometido en la aproximación anterior y dar f(1) con las
cifras exactas.
Obtener la aproximación de la integral de la función f(x) entre 0 y 1
utilizando el polinomio del apartado a).
Solución:
a)
#2:
#3:
#4:
#5:
⎛
2
⎞
⎜ - x /2
⎟
⎜ e
⎟
TAYLOR⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, x, 0, 10⎟
⎝ √(2·π)
⎠
10
8
6
4
2
√2·x
√2·x
√2·x
√2·x
√2·x
√2
- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯
7680·√π
768·√π
96·√π
16·√π
4·√π
2·√π
2329·√2
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
7680·√π
0.2419626487
x n 1
(n  1)!
Primeramente calculamos la deriva de orden n+1=10+1=11:
2
- c /2
#6:
⎛d ⎞11 e
⎜⎯⎯⎟
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎝dc⎠
√(2·π)
2
- c /2
10
8
6
4
2
√2·c·e
·(c
- 55·c + 990·c - 6930·c + 17325·c - 10395)
#7:- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
2·√π
Buscamos el máximo entre a=0 y x=1; volvemos a derivar:
⎛
2
⎞
⎜
- c /2
10
8
6
4
2
⎟
#8:d ⎜
√2·c·e
·(c - 55·c + 990·c - 6930·c + 17325·c - 10395)⎟
⎯⎯ ⎜- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟
dc ⎝
2·√π
⎠
2
- c /2
12
10
8
6
4
2
#9:√2·e
·(c -66·c +1485·c -13860·c +51975·c - 62370 c +10395)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯~
2·√π
b) E(x)  Rn(x)  f n 1) (c)
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
60
FÓRMULA DE TAYLOR
⎛
2
⎞
⎜
- c /2
12
10
8
6
4
2
⎟
#10: ⎜√2·e
·(c -66c +1485c -13860c +51975c - 62370·c + 10395)⎟
NSOLVE⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟
⎝
2·√π
⎠
#11:
c = 0.444403002
sustituyendo en la derivada de orden 11
#12:
1162.279412
Una cota superior puede ser 1200.
11
1200·x
#13: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
11!
1
#14:
⎯⎯⎯⎯⎯
33264
#15:
3.006253006·10-5
nos indica cuatro cifras decimales exactas, es decir
f(1)=0.2419
c)
1
⌠ ⎛
10
8
6
4
2
⎞
⎮ ⎜
√2·x
√2·x
√2·x
√2·x
√2·x
√2
⎟
#16:⎮ ⎜- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯+⎯⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯⎯+⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯⎯+⎯⎯⎯⎯⎟ dx
⌡ ⎝
7680·√π
768·√π
96·√π
16·√π
4·√π
2·√π ⎠
0
455383·√2
#17:
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
1064448·√π
#18:
0.3413441191
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61
FÓRMULA DE TAYLOR
26.- Obtener
1.5 con una aproximación inferior a una diezmilésima utilizando el
polinomio de MacLaurin de la función f(x)  5 1  x .
5
Solución:
⎛⎮
1/5 ⎮
⎞
⎜⎮
n + 1 ⎛d ⎞n + 1 (1 + x)
⎮
-4
⎟
#1:
TABLE⎜⎮0.5
·⎜⎯⎯⎟
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎮ < 10 , n, 1, 7, 1⎟
⎝⎮
⎝dx⎠
(n + 1)! ⎮
⎠
⎡
1
1
⎤
⎢ 1
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ < ⎯⎯⎯⎯⎯
⎥
⎢
9/5
10000
⎥
⎢
50·⎮x + 1⎮
⎥
⎢
3
1
⎥
⎢ 2
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ < ⎯⎯⎯⎯⎯
⎥
⎢
2
4/5
10000
⎥
⎢
500·(x + 1) ·⎮x + 1⎮
⎥
⎢
21
1
⎥
⎢ 3
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ < ⎯⎯⎯⎯⎯
⎥
⎢
2
9/5
10000
⎥
⎢
10000·(x + 1) ·⎮x + 1⎮
⎥
⎢
399
1
⎥
⎢ 4
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ < ⎯⎯⎯⎯⎯
⎥
#2:
⎢
4
4/5
10000
⎥
⎢
500000·(x + 1) ·⎮x + 1⎮
⎥
⎢
399
1
⎥
⎢ 5
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ < ⎯⎯⎯⎯⎯ ⎥
⎢
4
9/5
10000
⎥
⎢
1250000·(x + 1) ·⎮x + 1⎮
⎥
⎢
1653
1
⎥
⎢ 6 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ < ⎯⎯⎯⎯⎯ ⎥
⎢
6
4/5
10000
⎥
⎢
12500000·(x + 1) ·⎮x + 1⎮
⎥
⎢
28101
1
⎥
⎢ 7 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ < ⎯⎯⎯⎯⎯ ⎥
⎢
6
9/5
10000 ⎥
⎣
500000000·(x + 1) ·⎮x + 1⎮
⎦
Las derivadas sucesivas son de la forma 1/(x+1) se acotan por x=0,
resultando:
⎡ 1 false ⎤
⎢ 2 false ⎥
⎢ 3 false ⎥
#3:
⎢ 4 false ⎥
⎢ 5 false ⎥
⎢ 6 false ⎥
⎣ 7 true ⎦
El primer n que cumple la condición es n=7, luego:
1/5
#4:
TAYLOR((1 + x)
, x, 0, 7)
7
6
5
4
3
2
6612·x
1596·x
399·x
21·x
6·x
2·x
x
#5:⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯+⎯+1
390625
78125
15625
625
125
25
5
3389097
#6:
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
3125000
#7:
1.08451104
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62
FÓRMULA DE TAYLOR
1
, se pide:
1 x
a) Fórmula de MacLaurin de grado 4 de f(x).
b) Dar un valor aproximado de 1.5 utilizando el polinomio de MacLaurin
obtenido en el apartado anterior.
c) Acotar el error cometido en dicha aproximación.
27.- Dada la función f(x) 
Solución:
a) Fórmula de MacLaurin = Polinomio de MacLaurin + Resto de Lagrange
Cálculo del polinomio de MacLaurin


35 x 4 5 x 3 3x 2 x
1


 1
Taylor 
, x,0,4  se obtiene
128
16
8
2

 1 x
Cálculo del resto de Lagrange E(x)  Rn(x)  f n 1) (c)
x n 1
(n  1)!
5
1
945SIGN(c  1)

11
1 c
32(c  1) 2
NOTA: El significado de SIGN(c+1) se puede obtener en la ayuda de Derive:
 d 
 
 dc 
SIGN(c) se simplifica al signo de c. Cuando c es positivo, SIGN(c) se simplifica a 1. Si es negativo,
SIGN(c) se simplifica a -1. SIGN(0) se simplifica a más/menos 1.
No aparece si se tiene la precaución de definir el dominio de c (c> -1)
Fórmula de MacLaurin:
1
x 3x 2 5x 3 35x 4
945
x5
 1 


c  [0,x]

11
1 x
2
8
16
128
5!
2
32(c  1)
b) Se calcula el valor de x tal que f(x) = 1,5
1
1
 1.5 se resuelve con Derive obteniéndose x  
3
1 x
Se sustituye este valor en el polinomio
2
3
4
 1
 1
 1
 1
5  
35  
   3  
1
3
3
3
3



 1


 
 1.223283179
2
8
16
128
 1
1  
 3
c) E  max 
1
c[  ,x]
3
945
11
32(c  1) 2
x5
5!
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63
FÓRMULA DE TAYLOR
La gráfica de
d 
 
 dx 
5
1
945SIGN ( x  1)

11
1 x
32( x  1) 2
Al ser una función estrictamente decreciente en el intervalo estudiado, tiene su máximo en x  
max 
1
c[  , x ]
3
945
32(c  1)
11
2

945
 1 
32   1
 3 
11
2
1
3
por lo tanto
5
E
945
11
 1 2
32    1
 3 
 1
 
 3   0.009418814317
5!
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64
FÓRMULA DE TAYLOR
  1 
28.- Dada la función f(x)  cos  ln 
  Se pide:
  1  x 
a) Polinomio de MacLaurin de grado 5 de f(x) y resto de Lagrange
correspondiente a dicho polinomio.
  1 
b) Calcular el valore aproximados de cos  ln 
mediante el polinomio de

  0.9  
MacLaurin anterior y acotar el error cometido
Solución:
a) Con Derive se obtiene el polinomio de MacLaurin
x 5 5x 4 x 3 x 2
T5 ( x)  


1
3
12
2
2
x n 1
Siendo el resto de Lagrange: E(x)  Rn(x)  f n 1) (c)
(n  1)!

  1 
  1 
10  9sen  ln 
   19 cos  ln 

d 
  1 
  1 c  
  1 c   

Dado que
 cos  ln 
 
6
dc 
  1 c   
 c  1
6

  1 
  1 
10  9sen  ln 
   19 cos  ln 
 6
  1 c  
  1 c    x

R 5 (x) 
con c   0,x 
6
6!
 c  1
1
1

 x  0.1
1  x 0.9
(0.1)5 5(0.1) 4 (0.1)3 (0.1) 2
  1 
cos  ln 
T
(
0.1)






 1  0.994455
5

3
12
2
2
  0.9  
b)

  1 
  1 
10  9sen  ln 
6
   19 cos  ln 

  1 c  
  1  c     0.1

R 5 (0.1)  max
6
c-0.1,0
6!
 c  1
Para acotar el resto, nos basamos en lo siguiente: dado que, en general se cumple para cualquier
ángulo α que 1  sen  1 y  1  cos   1
Y que se observa que el valor más pequeño que puede tomar el denominador es en
c=-0.1
Se puede acotar:
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65
FÓRMULA DE TAYLOR

  1 
  1 
10  9 sen  ln 
6
   19 cos  ln 

  1 c  
  1  c     0.1

R5 ( 0.1) 
c  [-0.1,0]
6
6!
 c  1
Por: R5 (0.1) 
10  9*1  19*  1  0.16
280 0.16
0.16 7.319*107
527



6
6!
0.96 6!
6!
 0.1  1
NOTA:
Teniendo DERIVE se puede acotar el resto de forma más precisa puesto que se puede representar la
derivada sexta de la función, que tiene la forma que aparece en el siguiente gráfico, se puede
deducir que el máximo valor (en valor absoluto) se obtiene en c=-0.1. Y además se pueden calcular
los valores de las funciones sen  ln  1   y cos  ln  1  
1 x
1 x
 

 

Y vale

  1 
  1 
10  9sen  ln 
6
   19 cos  ln 

  1  0.1  
  1  0.1     0.1


R 5 (0.1) 
6
6!
 0.1  1
 337.727
0.16
 4.691*107
6!
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66
FÓRMULA DE TAYLOR
29.- Dada la función y  e cos x , se pide:
a) Calcular y’, y’’, y’’’
b) Escribir el polinomio de segundo grado de MacLaurin de la función dada.
c) Usando el polinomio anterior calcular aproximadamente
error cometido en dicha aproximación.
d) Hallar los extremos relativos de la función y  e cos x
e  e

cos  
 3
y acotar el
Solución:
a)
#1:
COS(x)
y(x) ≔ e
#2:
y'(x) =
#3:
y''(x) =
#4:
y'''(x) =
b)
#5:
TAYLOR(y(x), x, 0, 2)
- e
COS(x)
·SIN(x)
COS(x)
2
e
·(SIN(x) - COS(x))
COS(x)
2
e
·(SIN(x)·COS(x) + 3·SIN(x)·COS(x))
2
e·x
e - ⎯⎯⎯⎯
2
#6:
c)
⎛
2 ⎞
⎜
π ⎟
e·⎜1 - ⎯⎯⎟
⎝
18 ⎠
1.227817034
#7:
#8:
x n 1
(n  1)!
⎛
π
COS(c)
2
⎞
#9:
IF⎜0 < c < ⎯, e
·(SIN(c)·COS(c) + 3·SIN(c)·COS(c))⎟
⎝
3
⎠
Buscamos el máximo de y''' entre a=0 y x=pi/3
d
COS(c)
2
#10: ⎯⎯ (e
·(SIN(c)·COS(c) + 3·SIN(c)·COS(c)))
dc
COS(c)
4
3
2
#11:
e
·(COS(c) + 6·COS(c) - 5·COS(c) - 5·SIN(c) + 2)
⎛ COS(c)
4
3
2
π ⎞
#12:NSOLVE⎜e
·(COS(c)+6·COS(c)-5·COS(c)-5·SIN(c) + 2), c, 0, ⎯⎟
⎝
3 ⎠
#13:
c = 0.61161385
COS(0.61161385)
2
#14: e
·(SIN(0.61161385)·COS(0.61161385) +
E(x)  Rn(x)  f n 1) (c)
3·SIN(0.61161385)·COS(0.61161385))
#15:
4.070770899
Una cota superior puede ser 4,07770899, y por tanto, el error:
⎛ π ⎞3
4.070770899·⎜⎯⎟ / 3!
#16:
⎝ 3 ⎠
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67
FÓRMULA DE TAYLOR
3
1356923633·π
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
54000000000
0.7791323999
#17:
#18:
d)
#19:
#20:
#21:
#22:
SOLVE(- e
COS(x)
·SIN(x), x, Real)
x = -π ∨ x = π ∨ x = 0
y(0) = e
-1
y(π) = e
Máximos en (0+2πk,e) y mínimos en (π+2πk,1/e) para todo k número entero.
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68
FÓRMULA DE TAYLOR
2
30.-Sea la función f(x)  xe  x , se pide:
a) Hallar una aproximación de f(1/2) y estimar el error cometido al usar el
polinomio de Taylor de f para a=1, n=7.
b) Lo mismo que en el apartado a) tomando el polinomio de MacLaurin de grado 7
de f.
c) Argumentar cuál de ambos polinomios es el más adecuado para aproximar
f(1/2).
d) Obtener el polinomio de MacLaurin de grado n de la función f(x) a partir del
polinomio de grado n de e-x que es el que sigue:
x2
x3
xn

 ...  ( 1)n
Tn  e  x , a  0,  1  x 
2!
3!
n!
Solución:
⎛
2
⎞
⎜
- x
⎟
#1:
TAYLOR⎝x·e
, x, 1, 7⎠ =
-1
7
6
5
4
3
2
e ·(103·x -518·x +462·x +1750·x -3815·x +1302·x +1288·x + 58)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
630
⎛
2
⎞
7
5
⎜
- x
⎟
x
x
3
#2:
TAYLOR⎝x·e
, x, 0, 7⎠ = - ⎯⎯ + ⎯⎯ - x + x
6
2
Las gráficas de las tres funciones son:
a)
El valor aproximado de f(x=1/2) con el polinomio de Taylor:
⎛
2
⎞
⎜
- x
⎟
#3:
TAYLOR⎝x·e
, x, 1, 7⎠ =
-1
7
6
5
4
3
2
e ·(103·x -518·x +462·x + 1750·x - 3815·x + 1302·x + 1288·x + 58)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
630
-1 ⎛
⎛ 1 ⎞7
⎛ 1 ⎞6
⎛ 1 ⎞5
⎛ 1 ⎞4
⎛~
e ·⎜103·⎜⎯⎟ - 518·⎜⎯⎟ + 462·⎜⎯⎟ + 1750·⎜⎯⎟ - 3815·⎜~
#4: ⎝
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠
⎝~
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯~
630
~
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69
FÓRMULA DE TAYLOR
1 ⎞3
⎛ 1 ⎞2
1
⎞
⎯⎟ + 1302·⎜⎯⎟ + 1288·⎯ + 58⎟
2 ⎠
⎝ 2 ⎠
2
⎠
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
#5:
0.389571737
n 1
(x  a)
(n  1)!
El error estimado en esta aproximación viene dado por la expresión
⎛
1 ⎞8
⎜1 - ⎯⎟
#6:
⎮
1 ⎮
⎮ 8) ⎮ ⎝
2 ⎠
1
⎮R (⎯)⎮ ≤ max ⎮f (c)⎮·⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯·con·⎯ < c < 1
⎮ 7 2 ⎮
8!
2
⎛d ⎞8 ⎛
2⎞
#7:
⎜⎯⎯⎟ ⎜
- c ⎟
⎝dc⎠ ⎝x·e
⎠
2
#8:
- c
8
6
4
2
16·c·e
·(16·c - 288·c + 1512·c - 2520·c + 945)
⎛
⎮
2
⎮⎞
⎜ 1
⎮
- c
8
6
4
2
⎮⎟
#9:IF⎜⎯ < c < 1, ⎮16·c·e
(16·c - 288·c +1512·c -2520·c + 945)⎮⎟
⎝ 2
⎠
E(x)  Rn(x)  f n 1) (c)
Vemos que el máximo de la octava derivada de f(c) se alcan-za en c
=1/2, luego
⎮ 8) ⎮
1
- (1/2) ⎛
⎛ 1 ⎞8
⎛ 1 ⎞6
#11: max ⎮f (c)⎮ ≤ 16·⎯·e
·⎜16·⎜⎯⎟ - 288·⎜⎯⎟ +
2
⎝
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠
⎛ 1 ⎞4
⎛ 1 ⎞2
⎞
1512·⎜⎯⎟ - 2520·⎜⎯⎟ + 945⎟ < 2524
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠
⎠
⎛
1 ⎞8
⎜1 - ⎯⎟
⎮
1 ⎮
⎝
2 ⎠
#12
⎮R (⎯)⎮ < 2524· ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
= 0.0002445 < 0.0003
⎮ 7 2 ⎮
8!
Luego 0.3892 < f(1/2) < 0.3895
b) El valor aproximado de f(1/2)con el polinomio de Taylor:
⎛
2
⎞
7
5
⎜
- x
⎟
x
x
3
#13 TAYLOR⎝x·e
, x, 0, 7⎠ = - ⎯⎯ + ⎯⎯ - x + x
6
2
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
70
FÓRMULA DE TAYLOR
⎛ 1 ⎞7
⎛ 1 ⎞5
⎜⎯⎟
⎜⎯⎟
#14:
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠
⎛ 1 ⎞3
1
- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎜⎯⎟ + ⎯
6
2
⎝ 2 ⎠
2
#15:
0.3893229166
El error estimado en esta aproximación viene dado por la expresión
⎛ 1
⎞8
⎜ ⎯ - 0⎟
#16: ⎮
1 ⎮
⎮ 8) ⎮ ⎝ 2
⎠
1
⎮R (⎯)⎮ ≤ max ⎮f (c)⎮·⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯·con·0 < c < ⎯
⎮ 7 2 ⎮
8!
2
⎛
⎮
2
⎮⎞
⎜
1
⎮
- c
8
6
4
2⎮⎟
#17:IF⎜0 < c < ⎯, ⎮16·c·e
·(16·c -288·c +1512·c -2520·c +945)⎮⎟
⎝
2
⎠
En este caso el máximo no se alcanza en un extremo del
intervalo sino en un punto interior y una cota de ese
máximo es 3.300
(obtenida aproximadamente a partir de la gráfica), luego
⎮
1 ⎮
-7
#18: ⎮R (⎯)⎮ < 3300·10
= 0.00033 < 0.0004
⎮ 7 2 ⎮
Luego 0.3888 < f(1/2) < 0.3897
c) Con el primer polinomio (a=1) se fijan 3 cifras decimales y con el segundo
solo 2, luego recomendar utilizar el primero de los polinomios es más
adecuado.
d) Escribimos el polinomio de MacLaurin de e-z de grado r
2
3
r
z
z
z
r
#19: 1 - z + ⎯⎯ - ⎯⎯ + ··· + ⎯⎯ (-1)
2!
3!
r!
Sustituimos z=x2
4
6
2·r
2
x
x
x
r
#20: 1 - x + ⎯⎯ - ⎯⎯ + ··· + ⎯⎯⎯⎯ (-1)
2!
3!
r!
Multiplicamos por x
5
7
2·r + 1
3
x
x
x
r
#21: x - x + ⎯⎯ - ⎯⎯ + ··· + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ (-1)
2!
3!
r!
Observamos que solo hay términos de grado impar (se trata de una función
impar), luego el polinomio de MacLaurin de la función f(x)=xe^(x^2) de grado n
es:
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
71
FÓRMULA DE TAYLOR
Si n es un nº impar n=2r+1, luego r=(n-1)/2 y el polinomio es:
5
7
n
3
x
x
x
r
x - x + ⎯⎯ - ⎯⎯ + ··· + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ (-1)
#22:
2!
3!
⎛ n - 1 ⎞
⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎟!
⎝
2
⎠
Si n es un nº par n=2r, el último exponente, que ha de ser impar, será n1=2r+1 luego r=(n-2)/2 y el polinomio es:
5
7
n - 1
3
x
x
x
r
x - x + ⎯⎯ - ⎯⎯ + ··· + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ (-1)
#23:
2!
3!
⎛ n - 2 ⎞
⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎟!
⎝
2
⎠
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
72
FÓRMULA DE TAYLOR
x 1
31.- Dada la función f(x)   x  1 e x  1 , se pide:
a) Comprobar si se verifica la identidad:  x  1 f '(x)   x  3  f(x)  1  0
2
Escribir el polinomio de MacLaurin de grado 5 de la función f(x).
Calcular un valor aproximado de f(0.1) con el polinomio anterior.
Estimar el error cometido en dicha aproximación.
¿Existe algún valor de x (x = a) para el cuál no se cumplan las hipótesis de la
fórmula de Taylor?
b)
c)
d)
e)
Solución:
a)
(x - 1)/(x + 1)
#1:
#2:
f(x) ≔ (x + 1)·e
d
⎯⎯ f(x)
dx
- 2/(x + 1) ⎛ 2·e
⎞
e
·⎜⎯⎯⎯⎯⎯ + e⎟
⎝ x + 1
⎠
#3:
#4:
#5:
NO
b)
#6:
#7:
2 d
(1 + x) ·⎯⎯ f(x) - (x + 3)·f(x) - 1
dx
-1
TAYLOR(f(x), x, 0, 5)
5 -1
3 -1
4·x ·e
2·x ·e
2 -1
-1
-1
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + 2·x ·e
+ 3·x·e
+ e
15
3
c)
#8:
#9:
#10:
5 -1
3 -1
4·0.1 ·e
2·0.1 ·e
2 -1
-1
-1
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + 2·0.1 ·e
+ 3·0.1·e
+ e
15
3
-1
164917·e
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
125000
f(0.1) = 0.4853565903
x n 1
(n  1)!
⎮⎛d ⎞6
⎮
6
⎮⎜⎯⎯⎟ f(c)⎮·0.1
⎮⎝dc⎠
⎮
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
6!
d) E(x)  Rn(x)  f n 1) (c)
#11:
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73
FÓRMULA DE TAYLOR
Consideramos una parte de la expresión
⎮⎛d ⎞6
⎮
⎮⎜⎯⎯⎟ f(c)⎮
#12:
⎮⎝dc⎠
⎮
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
6!
⎮
4
3
⎮
1 - 2/(c + 1) ⎮ 45·c + 60·c - 24·c - 7 ⎮
2·e
·⎮⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎮
#13:
⎮
c + 1
⎮
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
10
45·(c + 1)
La expresión 12 está acotada por 0.2, por tanto una cota del error
es:
#16:
0.2·10-6
e) SÍ, a=-1, puesto que no es del dominio de la función
(x - 1)/(x + 1)
#17: TAYLOR(f(x) ≔ (x + 1)·e
, x, -1, 5)
#18:
?
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74
FÓRMULA DE TAYLOR
32.- Dada la
a) Hallar una
de grado 10,
b) Estimar el
función f(x) = 4 arctg(x), se pide:
aproximación del valor de f(1) utilizando el polinomio de MacLaurin,
de la función f(x).
error cometido en la aproximación anterior.
Solución:
a)
#1:
TAYLOR(4·ATAN(x), x, 0, 10)
9
7
5
3
4·x
4·x
4·x
4·x
#2:
⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯ + 4·x
9
7
5
3
sustituyendo x=1, nos da el valor aproximado de f(1)
#3:
3.339682539
x n 1
(n  1)!
Primeramente calculamos la deriva de orden n+1=10+1=11:
⎛d ⎞11
#4:
⎜⎯⎯⎟
(4·ATAN(c))
⎝dc⎠
10
8
6
4
2
14515200·(11·c
- 165·c + 462·c - 330·c + 55·c - 1)
#5:
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
2
11
(c + 1)
Buscamos el máximo entre a=0 y x=1; para ello representamos el val
or absoluto de la derivada úndecima entre 0 y 1
b) E(x)  Rn(x)  f n 1) (c)
El máximo se obtiene en c=0, luego una cota superior puede ser: 14
515200.
f n 1) (c)
f 11 (c) 14515200

R n (f (x), a) 
(x  a) n 1 
a 0
(n  1)!
11!
11!
n 10
x 1
#6:
#7:
14515200
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
11!
0.3636363636
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75
FÓRMULA DE TAYLOR
33.- a) Calcular aproximadamente cosh 1 utilizando el polinomio de MacLaurin de
grado 10 de la función cosh x.
b) Acotar el error cometido en la aproximación anterior usando el resto de
Lagrange.
Solución:
a)
#1:
TAYLOR(COSH(x), x, 0, 10)
10
8
6
4
2
x
x
x
x
x
#2:
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯ + ⎯⎯ + ⎯⎯ + 1
3628800
40320
720
24
2
799933
#3:
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
518400
#4:
1.543080632
cosh1 es aproximadamente 1,543080632
x n 1
b) E(x)  Rn(x)  f n 1) (c)
(n  1)!
⎛d ⎞11
#5:
⎜⎯⎯⎟
COSH(c)
⎝dc⎠
c
-c
e
e
#6:
⎯⎯ - ⎯⎯⎯
2
2
⎛
c
-c ⎞
⎜
e
e
⎟
#7:
IF⎜0 < c < 1, ⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎟
⎝
2
2 ⎠
El máximo se obtiene en c=1, una cota superior puede ser: 2
11
2·x
#8:
⎯⎯⎯⎯⎯
11!
1
#9:
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
19958400
#11:
5.010421677·10-8
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76
FÓRMULA DE TAYLOR
34.- a) Calcular aproximadamente arg senh 1 utilizando el polinomio de MacLaurin
de grado 10 de la función arg senh x.
b) Acotar el error cometido en la aproximación anterior usando el resto de
Lagrange.
Solución:
a)
#1:
TAYLOR(ASINH(x), x, 0, 10)
9
7
5
3
35·x
5·x
3·x
x
#2:
⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯ + x
1152
112
40
6
argsh1 es aproximadamente:
#3:
0.8940724206
n 1
x
b) E(x)  Rn(x)  f n 1) (c)
(n  1)!
⎛d ⎞11
#4:
⎜⎯⎯⎟
ASINH(c)
⎝dc⎠
10
8
6
4
2
14175·(256·c
- 5760·c + 20160·c - 16800·c + 3150·c -63)
#5: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
2
21/2
(c + 1)
El máximo se obtiene en c=0, una cota superior puede ser:
⎮
10
8
6
4
2
⎮
⎮ 14175·(256·0
- 5760·0 + 20160·0 - 16800·0 + 3150·0 - 63) ⎮
#6:⎮⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎮
⎮
2
21/2
⎮
⎮
(0 + 1)
⎮
#7:
893025
5 11
8.93025·10 ·x
#8:
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
11!
63
#9:
⎯⎯⎯⎯
2816
#10:
0.02237215909
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
77
FÓRMULA DE TAYLOR
35.- Dada la función 3 1  2x , se pide:
a) Calcular el polinomio de MacLaurin de grado 5 de dicha función.
b) Utilizar el polinomio anterior para obtener un valor aproximado de
estimando una cota máxima del error cometido.
c) Utilizar el polinomio anterior para obtener un valor aproximado

1
2 3
1
2
3
3
1  2x dx
Solución:
a)
1/3
#1:
#2:
#3:
(1 + 2·x)
1/3
TAYLOR((1 + 2·x)
, x, 0, 5)
5
4
3
2
704·x
160·x
40·x
4·x
2·x
⎯⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯ + 1
729
243
81
9
3
b)
1475
⎯⎯⎯⎯
729
2.023319615
#4:
#5:
x n 1
E(x)  Rn(x)  f (c)
(n  1)!
⎛d ⎞6
1/3
#6:
⎜⎯⎯⎟ (1 + 2·c)
⎝dc⎠
n 1)
#7:
#8:
788480
- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
17/3
729·(2·c + 1)
⎛
⎮
788480
⎮⎞
IF⎜0 < c < 1, ⎮- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎮⎟
⎜
⎮
17/3 ⎮⎟
⎝
⎮
729·(2·c + 1)
⎮⎠
El máximo se obtiene en c=0, luego una cota superior puede ser:
788480
#9:
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
729
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
78
FÓRMULA DE TAYLOR
#10:
6
788480
x
⎯⎯⎯⎯⎯⎯·⎯⎯
729
6!
9856
⎯⎯⎯⎯
6561
1.502210028
#11:
#12:
c)
#13:
#14:
1/2
⌠
⎮
⎮
⌡
- 1/2
⎛
5
4
3
2
⎞
⎜ 704·x
160·x
40·x
4·x
2·x
⎟
⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯ + 1⎟ dx
⎝
729
243
81
9
3
⎠
232
⎯⎯⎯
243
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
79
FÓRMULA DE TAYLOR
36.- a) Obtener el polinomio de MacLaurin de grado n de la función:
 1 x
f(x)  ln 

 1 x


b) Tomando en particular n=3 calcular aproximadamente Ln√(11/9) y acotar el
error en la aproximación.
Solución:
⎛ ⎛ 1 + x ⎞⎞
#1:
LN⎜√⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎟⎟
⎝ ⎝ 1 - x ⎠⎠
⎛
⎛ ⎛ ⎛ 1 + x ⎞⎞
⎞
⎞
#2:
TABLE⎜TAYLOR⎜LN⎜√⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎟⎟, x, 0, n⎟, n, 1, 10, 1⎟
⎝
⎝ ⎝ ⎝ 1 - x ⎠⎠
⎠
⎠
⎡ 1
x
⎤
⎢
⎥
⎢ 2
x
⎥
⎢
⎥
⎢
3
⎥
⎢
x
⎥
⎢ 3
⎯⎯ + x
⎥
⎢
3
⎥
⎢
⎥
⎢
3
⎥
⎢
x
⎥
⎢ 4
⎯⎯ + x
⎥
⎢
3
⎥
⎢
⎥
⎢
5
3
⎥
⎢
x
x
⎥
⎢ 5
⎯⎯ + ⎯⎯ + x
⎥
⎢
5
3
⎥
⎢
⎥
⎢
5
3
⎥
⎢
x
x
⎥
#3:
⎢ 6
⎯⎯ + ⎯⎯ + x
⎥
⎢
5
3
⎥
⎢
⎥
⎢
7
5
3
⎥
⎢
x
x
x
⎥
⎢ 7
⎯⎯ + ⎯⎯ + ⎯⎯ + x
⎥
⎢
7
5
3
⎥
⎢
⎥
⎢
7
5
3
⎥
⎢
x
x
x
⎥
⎢ 8
⎯⎯ + ⎯⎯ + ⎯⎯ + x
⎥
⎢
7
5
3
⎥
⎢
⎥
⎢
9
7
5
3
⎥
⎢
x
x
x
x
⎥
⎢ 9 ⎯⎯ + ⎯⎯ + ⎯⎯ + ⎯⎯ + x ⎥
⎢
9
7
5
3
⎥
⎢
⎥
⎢
9
7
5
3
⎥
⎢
x
x
x
x
⎥
⎢ 10 ⎯⎯ + ⎯⎯ + ⎯⎯ + ⎯⎯ + x ⎥
⎣
9
7
5
3
⎦
si n es impar x+x^3/3+...+x^n/n y
si n es par x+x^3/3+...+x^(n-1)/(n-1)
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
80
FÓRMULA DE TAYLOR
b)
⎛ ⎛ 1 + x ⎞⎞
⎛ ⎛ 11 ⎞⎞
LN⎜√⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎟⎟ = LN⎜√⎜⎯⎯⎟⎟
⎝ ⎝ 1 - x ⎠⎠
⎝ ⎝ 9 ⎠⎠
⎛ ⎛ ⎛ 1 + x ⎞⎞
⎛ ⎛ 11 ⎞⎞
⎞
#5:
SOLVE⎜LN⎜√⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎟⎟ = LN⎜√⎜⎯⎯⎟⎟, x⎟
⎝ ⎝ ⎝ 1 - x ⎠⎠
⎝ ⎝ 9 ⎠⎠
⎠
1
#6:
x = ⎯⎯
10
⎛ ⎛ ⎛ 1 + x ⎞⎞
⎞
#7:
TAYLOR⎜LN⎜√⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎟⎟, x, 0, 3⎟
⎝ ⎝ ⎝ 1 - x ⎠⎠
⎠
3
x
#8:
⎯⎯ + x
3
⎛ 1 ⎞3
⎜⎯⎯⎟
#9:
⎝ 10 ⎠
1
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯
3
10
301
#10:
⎯⎯⎯⎯
3000
#11:
0.1003333333
ln‹(11/9) es aproximadamente 0.100333333
x n 1
E(x)  Rn(x)  f n 1) (c)
(n  1)!
acotar el error cometido en la aproximación:
⎛d ⎞4
⎛ ⎛ 1 + c ⎞⎞
#12: ⎜⎯⎯⎟ LN⎜√⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎟⎟
⎝dc⎠
⎝ ⎝ 1 - c ⎠⎠
2
24·c·(c + 1)
#13:
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
4
4
(c + 1) ·(c - 1)
#4:
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81
FÓRMULA DE TAYLOR
El máximo se obtiene en c=0.1, luego una cota superior
puede ser:
#14:
2
24·0.1·(0.1 + 1)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
4
4
(0.1 + 1) ·(0.1 - 1)
#15:
#16:
también podíamos considerar 3
n + 1
4
3 x
3·0.1
#17: --------- = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
(n + 1)!
4!
80800000
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
32019867
2.523433342
-5
#18:
1.25·10
-5
#20:
#21:
0.1003333333 + 1.25·10
0.10034583333
-5
0.1003333333 - 1.25·10
#22:
#23:
0.10032083333
El error es inferior a una diezmilésima
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82
FÓRMULA DE TAYLOR
37.- Dada la función f(x) = arctg x se pide:
a) Fórmula de Taylor de grado 5 en el punto a = 1
b) Dar un valor aproximado de arctg (0.8) utilizando el polinomio de Taylor
de grado 5 obtenido en el apartado anterior.
c) Acotar el error cometido en dicha aproximación.
Solución:
ATAN(1)=π/4
Cálculo del polinomio de Taylor
TAYLOR(ATAN(x), x, 1, 5)
3x 5 - 15x 4 + 20x 3 + 30x 2 - 135x - 30 + 97
120
6
d
240c(3c 4 - 10c 2 + 3)
arctgc  
Obtención del resto de Lagrange:
dc
(c 2 +1)6
Tn=5  arctgx,x=1 =

R6 ( x)  
240x(3c 4 - 10c 2 + 3) 1
( x  1)6 , c  [1, x]
(c 2 +1)6
6!
a) Fórmula de Taylor
3x 5 - 15x 4 + 20x 3 + 30x 2 - 135x - 30 + 97 240x(3c4 - 10c 2 + 3) 1
f ( x) 

( x  1)6 ,
2
6
120
(c +1)
6!
c  [1, x ]
b) Valor aproximado de arctg0.8
Sustituyendo x=0.8 en el polinomio calculado en el apartado a) se obtiene
93750 + 41497
arctg (0.8) 
 0.6747394967 rad = 38º39'35''
375000
c) Acotación del error cometido: E(x)  Rn(x)  f n 1) (c)
R6 (1.2)  
x n 1
(n  1)!
240c(3c4 - 10c2 + 3) 1
(1  0.8)6 , c  [0.8,1]
6!
(c 2 +1)6
1
240c(3c4 - 10c 2 + 3)
(1  0.8)6 máx 
6!
(c2 +1)6
c[0.8,1]
Se trata de acotar la función g(c) dada por:
240c(3c 4 - 10c 2 + 3)
g (c )  
en el intervalo dado.
(c2 +1)6
Representando esta función con Derive y con una escala adecuada en los ejes X e Y, se observa que
el máximo valor dentro de [0.8,1] se da en c=0.8
R 6 (1.2) 
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83
FÓRMULA DE TAYLOR
Si hubiera duda en la gráfica se calcularía el máximo de la función dentro del intervalo [0.5,1]
3·(7c6 - 35c 4 + 21c 2 - 1)
g '(c) 
(c 2  1)7
Resolviendo 7c6 - 35c 4 + 21c 2 - 1=0 se obtiene
c = 0.7974733888 que no pertenece al intervalo [0.8,1] con lo que se comprueba que el
máximo se obtiene para c=0.8 y vale (sustituyendo 0.8 en g(c) )
g(0.8) = 0.08927435662
1
siendo R6 (1.2)  (1  0.8)6 0.08927435662 = 1.9 10-6 que es una cota del error cometido.
6!
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84
FÓRMULA DE TAYLOR
38.- Sea f(x)  x 80  x 40  x20 . Obtener f(1.005) usando el polinomio de Taylor
de grado 2 de f en potencias de (x-1).
Solución:
Calculando las sucesivas derivadas, se puede escribir el polinomio de Taylor para a=1 y n=2:
n
f n(x)
f n(1)
1
0
f (x)  x 80  x 40  x 20
1
f '(x)  80x 79  40x 39  20x19
60
2
f ''(x)  6329x 78  1560x 38  380x18
5140
f '(1)
f ''(1)
5140
(x  1) 
(x  1) 2  1  60(x  1) 
(x  1) 2
1!
2!
2
5140
5457
 1.36425
f (1.005)  1  60(1.005  1) 
(1.005  1) 2 
2
4000
Tn  2  f (x), a  1  f (1) 
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85
FÓRMULA DE TAYLOR
39.- Obtener el polinomio de Taylor de orden dos de la función f(x) 
el punto de abscisa 1.
log x
en
x
Solución:
Calculando las sucesivas derivadas, se puede escribir el polinomio de Taylor para a=1 y n=2:
n
f n(x)
f n(1)
0
0
log x
f (x) 
x
1
1
1  ln x
f '(x) 
2
x
-3
2
2 ln x  3
f '''(x) 
3
x
Tn  2  f (x), a  1  f (1) 
f '(1)
f ''(1)
(x  1) 
(x  1) 2  0  1(x  1)  3(x  1)2
1!
2!
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86
FÓRMULA DE TAYLOR
40.- ¿Qué error se comete al tomar como valor del número e la fracción 65/24?
Solución:
Del ejercicio 3, la fórmula de MacLaurin es:
ex  1  x 
La fracción
x2 x3 x4
xn
x n 1  x
e con    0,1 


 ..... 

2! 3!
4!
n !  n  1 !
65
12 13 14
corresponde al polinomio de MacLaurin de ex para n=4 y
 11


24
2! 3! 4 !
sustituyendo x por 1.
Acotación del error:
E(x)  Rn(x)  f
n 1)
E(1)  R n  4 (1)  f
4 1)
x n 1
(c)
(n  1)!
141
1
1
1
1
(c)
 ec  e1  3 
 0,025
c

1
e

3
(4  1)!
5!
5!
5! 40
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87
FÓRMULA DE TAYLOR
41.- Calcular sen 20o tomando n = 3 en el desarrollo de MacLaurin. Hallar una
cota del error cometido en dicho cálculo.
Solución:
Del ejercicio 15, la fórmula de MacLaurin es:
s en(x)  x 
x3 x5 x 7
xn
x n 1

 

s en   x   n  1 


 .....  s en  n  
3! 5! 7!
n!
2
 2   n  1!

   0,1
Tn 3 s en(x), a  0  x 
x3
3!
Debemos expresar x=20º en radianes, luego x 

9
3
 
 
9
  
sen        0,8558007815
3!
9 9
Acotación del error:
E(x)  Rn(x)  f n 1) (c)
x n 1
(n  1)!
4




 
9
9


E    R n 3    f 4) (c)    cos(c)  
4!
4!
9
9
4
4

 
4
9
 0, 00061  103
   
cos 1 4!
157464
el error es inferior a una diezmilésima y podemos asegurar dos cifras decimales exacta:
 
sen    0, 85
9
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88
FÓRMULA DE TAYLOR
42.- Calcular los polinomios de MacLaurin de grado tres de las funciones cosx y
sen(2x), con sus correspondientes restos de Lagrange. Acotar el error cometido
  
  
en el cálculo de cos 
 y de sen 
 con los dos polinomios anteriores.
 10 
 10 
Solución:
a) Polinomios de MacLaurin
*
x2
TAYLOR(COS(x), t, 0, 3) = 1 
2
*
TAYLOR(SIN(2·x), t, 0, 3) = 2 x 
E(x)  Rn(x)  f n 1) (c)
x n 1
(n  1)!
Restos de Lagrange:
d4
cos x  cos x
dx
*
*
4 3
x
3
siendo
R3 ( x) cos x
x4
 cos c
4!
c  [0, x]
x4
d4
sen(2 x)  16sen(2 x) siendo R3 ( x) sen ( 2 x )  16 sen(2c)
dx
4!
c  [0, x]
Cota de errores cometidos:
*cos(π/10) 
 
R3  
 10  cos x
 
 
10
 max cos c  

4!
c[0, ]
4
10
4
 
 
10
 1.0    0.0004058712126
4!
0.00041 (el máximo se da para c=0 donde cos(c)=1)
*sen(π/10)  sen(π/10) como la función es sen(2x) el valor de x para el que se obtiene sen(π/10)
es 2x = π/10  x = π/20
 
R3  
 10  sen ( 2 x )
 
 
20
 max 16sen(2c)  

4!
c[0, ]
4
20
4
 
 
    20 
 16 sen 2 
 0.0001254211022
 20  4!
0.00012 (el máximo se da en c = π/20)
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89
FÓRMULA DE TAYLOR
 x  senx
si x  0

43.- Sea la función continua definida por: f(x)  
. Se
x3
 
si x=0
pide:
a) Hallar  para que efectivamente la función sea continua en x=0.
b) Obtener el polinomio de MacLaurin de f(x) de grado 4.
c) Aproximar f(1) utilizando el polinomio obtenido en el apartado anterior y
estimar el error cometido.
Solución:
a) El valor de f(0) debe ser igual al límite: lím
x 0
x  senx
x3
Usando la fórmula de MacLaurin del seno:
x3 x5 x7
xn
x n 1

 

s en(x)  x 
s en  n  
s en   x   n  1 


 ..... 
3! 5! 7!
n!
2  deducimos que
 2   n  1 !

   0,1

x 
x x  
3!  1 1
x  senx

  f (0)  lím
 lím
 
3
3
x 0
x 0
x
x
3! 6
NOTA: con Derive sale directamente.
3

x3 x5 x7 
x x    
3! 5! 7!  1 x 2 x4
 x  senx
 x  Tn 7 senx, a  0

 
,
a
0




b) Tn  4 
3

3! 5! 7!
x3
x3
 x
1 12 14
c) La aproximación pedida es: f (1)     0,158531746
3! 5! 7!
Para estimar el error cometido,

x3 x5 x7
x8 


 sen(x) 
x x 
3! 5! 7!
8!  1 x 2 x 4
x  senx
x5








f (x) 
sen(
x)
3! 5! 7!
8!
x3
x3
x5
x5
 Tn  4  f (x), 0  sen(x)
 Tn  4  f (x), 0  R n  4 (x)  R n  4 (x)  sen(x)
8!
8!
5
5
1
1
E  x  1  sen()   2, 48  105
8! 8!
0.1585069444 < f(1) < 0.1585565475, luego f(1)=0,1585
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90
FÓRMULA DE TAYLOR
44.- Dada la función f(x) 
1 x.
a) Escribir la formula de McLaurin de f.
b) Hallar el valor aproximado de 1.1 , tomando hasta el término de grado 3 en
el desarrollo del apartado a).
c) Acotar el error cometido en el apartado anterior.
Solución:
#1: √(1 + x)
a) La fórmula de MacLaurin es el polinomio de MacLaurin+Resto:
f '(0)
f ''(0) 2 f '''(0) 3
f n ) (0) n
f (x)  f (0) 
x
x 
x  ... 
x  R n (x)
1!
2!
3!
n!
1  3  5     2n  3
. Resulta
Conocida la derivada n-ésima: f n ) (x)  (1) n 1
2n 1
n
2  x  1 2
1  3  5     2n  3  xn
x
x2
3x 3
 2
 3  .....  ( 1)n 1

2 2  2! 2 3!
2n
n!
1  3  5     2n  1 xn 1
 ( 1)n
con c   0,x 
2n  1
n  1 !

n 1
2
2  c  1
3
2
x
x
x
#2: TAYLOR(√(1 + x), x, 0, 3) = ⎯⎯ - ⎯⎯ + ⎯ + 1
16
8
2
b) sustituyendo x=0.1
16781
#3:
⎯⎯⎯⎯⎯  1,0488125
16000
⎛d ⎞4
#5:
⎜⎯⎯ ⎟ √(1 + x)
⎝dx ⎠
15
- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
#6:
7/2
16·(x + 1)
⎛
⎮
15
⎮⎞
IF⎜0 < x < 0.1, ⎮⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎮⎟
#7:
⎜
⎮
7/2 ⎮⎟
⎝
⎮ 16·(x + 1)
⎮⎠
una cota se obtiene para c= 0 por ser decreciente y la expresión del error:
15
4
#8: ⎯⎯·x / 4!
16
Y ahora x=0.1
c) Error:
1
#9 :
⎯⎯⎯⎯⎯⎯  3.90625·10-6
256000
#10:
1.048808593 < √1.1 < 1.048816406
(1  x)  1 
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91
FÓRMULA DE TAYLOR
45.- Dada la función f(x) 
x . a) Escribir la fórmula de Taylor de f para a=1.
b) Hallar el valor aproximado de 1.1 , tomando hasta el término de grado 5 en
el desarrollo del apartado a). c) Acotar el error cometido en el apartado
anterior.
Solución:
a) La fórmula de MacLaurin es el polinomio de MacLaurin+Resto:
f '(1)
f ''(1)
f '''(1)
f n ) (1)
( x  1) 
( x  1) 2 
( x  1)3  ... 
( x  1) n  Rn ( x)
f ( x)  f (1) 
1!
2!
3!
n!
Conocida la derivada n-ésima:
1  3  5     2n  3
f n ) (x)  (1) n 1
2n 1
2n x 2
3  x  1
1  3  5     2n  3   x  1
x  1  x  1
(1  x)  1 
 2

 .....  ( 1)n 1

3
2
2  2!
2 3!
2n
n!
2
3
n
1  3  5     2n  1  x  1
( 1)
con c   1,x 
2n  1
n

1
!


n 1
2 c 2
5
4
3
2
7·x - 45·x + 126·x - 210·x + 315·x + 63
b) #1:
TAYLOR(√x, x, 1, 5) =
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
256
sustituyendo x=1.1
26849507
#2:
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯  1.048808867
25600000
⎛d ⎞6
#3:
⎜⎯⎯⎟ √x
⎝dx⎠
945
- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
#4:
11/2
64·x
⎛
⎮
945
⎮⎞
IF⎜1 < c < 1.1, ⎮- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎮⎟
#5:
⎜
⎮
11/2 ⎮⎟
⎝
⎮
64·c
⎮⎠
una cota se obtiene para c=1 por ser decreciente y la expresión del error:
945
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
#7:
11/2
64·1
945
6
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯·(x - 1)
11/2
#8:
64·1
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
6!
Y ahora x=1.1
c)
21
#9:
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯  2.05078125·10-8
1024000000
#10:
1.048808846 < √1.1 < 1.048808887
n 1
n
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92
FÓRMULA DE TAYLOR
2
t

1
46.- Dada la función f(x)  
e 2 dt .

2
a) Hallar el valor aproximado de f(0,5), tomando hasta el término de grado 5 en
el desarrollo del polinomio de MacLaurin de la función f(x).
b) Acotar el error cometido en el apartado anterior.
x
Solución:
a)
⎛ x
⎞
⎜⌠
2
⎟
⎜⎮
1
- t /2
⎟
#1:
TAYLOR⎜⎮
⎯⎯⎯⎯⎯⎯·e
dt, x, 0, 5⎟
⎜⌡
√(2·π)
⎟
⎝ -∞
⎠
5
3
√2·x
√2·x
√2·x
1
#2:
⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯ + ⎯
80·√π
12·√π
2·√π
2
Sustituyendo x por 0.5
5
3
√2·0.5
√2·0.5
√2·0.5
1
#3:
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯
80·√π
12·√π
2·√π
2
#4:
0.6914715163
b) Acotación del error:
E(x)  Rn(x)  f
n 1)
x n 1
(c)
(n  1)!
x
#5:
⌠
⎛d ⎞6 ⎮
⎜⎯⎯⎟ ⎮
⎝dx⎠ ⌡
2
1
- t /2
⎯⎯⎯⎯⎯⎯·e
dt
√(2·π)
-∞
2
⎛
3
⎞
2
⎛
5
3
- x /2 ⎜ 2·√2·x
6·√2·x ⎟
- x /2 ⎜ √2·x
3·√2·x
#6:
e
·⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟ - e
·⎜⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ +
⎝
√π
√π
⎠
⎝ 2·√π
√π
⎞
3·√2·x ⎟
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟
2·√π ⎠
⎛
⎮
2
⎛
3
⎞
2
⎛
5
⎜
⎮ - c /2 ⎜ 2·√2·c
6·√2·c ⎟
- c /2 ⎜ √2·c
#7:IF⎜0 < c < 0.5, ⎮e
·⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟ - e
·⎜⎯⎯⎯⎯⎯
⎝
⎮
⎝
√π
√π
⎠
⎝ 2·√π
3
⎞⎮⎞
3·√2·c
3·√2·c ⎟⎮⎟
- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟⎮⎟
√π
2·√π ⎠⎮⎠
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93
FÓRMULA DE TAYLOR
una cota se obtiene para c=0.5 por ser creciente:
- 1/8
201·√2·e
#8:
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
64·√π
#9:
2.211410333
y la expresión del error:
6
2.211410333·0.5
#10: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
6!
#11:
4.799067562·10-5
Para terminar acotamos el valor aproximado:
-5
-5
#12:0.6914715163-4.799067562·10 <f(0.5)<0.6914715163+4.799067562·10
#13:
0.6914235256 < f(0.5)< 0.6915195069
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94
FÓRMULA DE TAYLOR
47.- Hallar el grado mínimo del polinomio de MacLaurin para calcular f(0.5), con
un error menor que 0.001, siendo f(x) = 1+x3 senx.
Solución:
3
#1:
1 + x ·SIN(x)
Según la fórmula del resto para calcular el error, hallamos las sucesivas derivadas de la función
y=f(x) y vamos probando hasta encontrar el primer n que lo cumpla:
Para n=5:
⎛d ⎞6
3
#2:
⎜⎯⎯⎟ (1 + x ·SIN(x))
⎝dx⎠
2
3
#3:
(18·x - 120)·COS(x) + (90·x - x )·SIN(x)
⎮
2
3
⎮
#4:
IF(0 < c < 0.5, ⎮(18·c - 120)·COS(c) + (90·c - c )·SIN(c)⎮)
#5:
120
Una posible cota es 120
x
x6
E(x)  R n 5 (x)  f 6) (c)
con c   0,x 
 máx f 6) (c)
6!
6!
6
120·x
#6:
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
6!
1
#7:
⎯⎯⎯
384
E(x=0.5)<1/384
#8:
0.002604166666
En este caso no es menor a una milésima
Para n=6:
⎛d ⎞7
3
#9: ⎜⎯⎯⎟ (1 + x ·SIN(x))
⎝dx⎠
3
2
#10:
(126·x - x )·COS(x) + (210 - 21·x )·SIN(x)
⎮
3
2
⎮
#11: IF(0 < c < 0.5, ⎮(126·c - c )·COS(c) + (210 - 21·c )·SIN(c)⎮)
6
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95
FÓRMULA DE TAYLOR
Una posible cota es 154
x7
x7
E(x)  R n 6 (x)  f 7) (c)
con c   0,x 
 máx f 7) (c)
7!
7!
7
154·x
#12: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
7!
11
#13:
⎯⎯⎯⎯⎯
46080
E(x=0.5)<11/46080
#14:
0.0002387152777<0.001
Ahora si lo cumple
El primer n=6 que da un error inferior a una milésima
3
#15: TAYLOR(1 + x ·SIN(x), x, 0, 6)
6
x
4
#16:
- ⎯⎯ + x + 1
6
407
#17:
⎯⎯⎯
384
#18:
1.059895833
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96
FÓRMULA DE TAYLOR
48.a) Hallar el polinomio de Taylor de grado 4 de la función f(x)  cos   ln(x)  en
a = e.
b) Acotar el error cometido si utilizamos el polinomio anterior para evaluar f (2).
1  cos   ln(x) 
c) Calcular, SIN USAR DERIVE, lím
utilizando el polinomio
xe
e x
obtenido en el apartado a).
Solución:
#1:
COS(π·LN(x))
a)
#2:
TAYLOR(COS(π·LN(x)), x, e, 4) = -
-4
2 4
2
2
3
2
2 2 2
2~
e ·(π ·x ·(π - 11) + 4·π ·e·x ·(14 - π ) + 6·π ·e ·x ·(π ~ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
~
24
~
2 3
2
4
4
2
19) + 4·π ·e ·x·(26 - π ) + e ·(π - 35·π + 24))
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
b)
⎛d ⎞5
⎜⎯⎯⎟ COS(π·LN(x))
⎝dx⎠
2
4
5
3
(50·π - 10·π )·COS(π·LN(x))
(π - 35·π + 24·π)·SIN(π·LN(x))
#4: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
5
5
x
x
Buscamos el máximo entre x=2 y a=e, para ello
⎛
⎮
2
4
⎜
⎮ (50·π - 10·π )·COS(π·LN(c))
#5:
IF⎜2 < c < e, ⎮⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎜
⎮
5
⎝
⎮
5
3
⎮⎞
(π - 35·π + 24·π)·SIN(π·LN(e)) ⎮⎟
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎮⎟
5
⎮⎟
c
⎮⎠
#3:
Una cota superior puede ser para c=2, puesto que la función es decreciente
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97
FÓRMULA DE TAYLOR
2
2
4
2
5·π ·(5 - π )·COS(π·LN(2))
π·(π - 35·π + 24)·SIN(π·LN(2))
#6:⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
16
32
#7:
26.63191469
5
5
f 5 (c)  e  2 
27  e  2 
f n 1) (c)
n 1
E(x)  R n (f (x), a) 
(x  a)


a e
(n  1)!
5!
5!
n 4
x 2
#8:
⎮
5 ⎮
⎮ 26.63191469·(2 - e) ⎮
⎮⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎮
⎮
5!
⎮
#9:
0.04243219932
Sustituyendo en el polinomio obtenido en el apartado a)
#10:
-0.5621210605
#11: -0.5621210605 - 0.04243219932
#12:
-0.6045532598
#13: -0.5621210605 + 0.04243219932
#14:
-0.5196888611
Por tanto, -0.6045532598 < f(2) < -0. 5196888611
c)
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98
FÓRMULA DE TAYLOR
49.- Obtener
3
e con un error menor que 10 4 .
Solución:
La función adecuada es la exponencial f(x)=ex.
Las sucesivas derivadas de la función exponencial coinciden con ella, por lo tanto, la fórmula de
MacLaurin es:
ex  1  x 
x2 x3 x4
xn
x n 1  x


 ..... 

e con    0,1 
2! 3!
4!
n !  n  1 !
Hay que calcular aproximadamente
3
1
e  f   de forma que para acotar el error utilizamos el
 3
término complementario o resto:
x n 1 x
E(x)  R n (x) 
e con    0,1 Siendo x=1/3
(n  1)!
n 1
 1  (1 / 3)
Rn  
e c < 10 4 , siendo 0 < c <1/3. Para estos valores de c se verifica que
n  1!
3
e c  e1 / 3  31 / 3  2 , luego:
2
1
. Por tanto, para que el error sea menor que 10 4 es suficiente que n sea tal
R n    n 1
3


3
n

1
!
 
2
 10  4  2  10 4  3 n 1 n  1! .
que n 1
3 n  1!
Lo cual se empieza a verificar para n = 4. De esta forma, la aproximación pedida es:
2
3
4
1 / 3 1 / 3  1 / 3 1 / 3
3



 1.39557
e  1
1!
2!
3!
4!
Pudiendo asegurar que las tres primeras cifras decimales después de la coma son exactas.
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99
FÓRMULA DE TAYLOR
50.- Para valores de x entre 40º y 50º, obtener una cota del error que se
comete al efectuar la aproximación siguiente:
2
2
 1
 





sen x 
1
x
x




 .
2 
4 2
4 

Solución:
El desarrollo de la función sen x en potencias de x 

hasta el término de grado 2, viene dado por
4

. La fórmula de Taylor queda:
4
2

 1

 



sen x  T2 senx,   R 2 x   sen   x   cos   x   sen  R 2 x  
4
4 
4
4 2
4
4

su polinomio de Taylor correspondiente en a =
2
2
2
3
 


  1 

 1
ó < c < x.
1   x     x      x   cos c , con x < c <
4
4
4 2
4   3! 
4
 
3
3
1
1


x
cos c  x 
, independientemente de c. Y, para los x considerados,
6
4
6
4
2
5
< x < 50º =
, se verifica:
40º =
9
18
3
3
3
1
1 5 
1  

R2 x  x 


    0.0001107
6
4
6 18 4
6  36 
que es la cota pedida.
R 2 x  
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100
FÓRMULA DE TAYLOR
51.- Dada la función f  x  
1  1  x , se pide:
a) Dominio de f.
b) Polinomio de MacLaurin de f de grado 3.
c) Calcular de forma aproximada f(1) utilizando el polinomio anterior.
d) Dar una acotación del error cometido en el apartado anterior y expresar
f(1) sólo con cifras decimales exactas.
e) ¿Existe la fórmula de Taylor de f de algún orden en a = -1?
Solución
#1:
√(1 + √(1 + x))
a) Dom f = [-1, ∞)
b) Polinomio de MacLaurin de f de grado 3:
#2:
TAYLOR(√(1 + √(1 + x)), x, 0, 3)
3
2
21·√2·x
5·√2·x
√2·x
#3:
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯ + √2
1024
128
8
c) f(1) aprox:
3
2
21·√2·1
5·√2·1
√2·1
#4:
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯ + √2
1024
128
8
#5:
1.564749966
d) Acotación del error: E  R 4 ( x ) 
x4 4
1 4
1
f (c ) 
f (c) , con 0 <c <1. Luego, E  M ,
x 1 4!
4!
4!
siendo M una cota de f 4 ( x ) , en (0, 1):
⎛d ⎞4
#6: if (0 < x < 1, ⎜⎯⎯⎟ √(1 + √(1 + x)))
⎝dx⎠
Luego, una cota de la derivada cuarta de f en (0, 1) es M = 1/2. Una cota superior del error es:
1
⎯⎯
#9:
4!
⎯⎯⎯⎯
2
#10:
0.02083333333
#11: 1.564749966 - 0.02083333333
#12:
1.543916632
#13: 1.564749966 + 0.02083333333
#14:
1.585583299
Por tanto, sólo pueden garantizarse las décimas y f(1) es aprox. 1.5 , con las cifras decimales
exactas.
e) No existe la fórmula de Taylor de f de grado ≥ 1 en a = -1 puesto que no existe la derivada
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101
FÓRMULA DE TAYLOR
primera de f en -1:
d
#19: ⎯⎯ √(1 + √(1 + x))
dx
#20:
#21:
1
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
4·√(x + 1)·√(√(x + 1) + 1)
1
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
4·√(-1 + 1)·√(√(-1 + 1) + 1)
3/2
#22:
∞·(±1)
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102
FÓRMULA DE TAYLOR
52.- Si p3 (x)  5  3  x  4   9  x  4  , es el polinomio de Taylor de grado 3
2
3
de una función f(x) en el punto a = 4, se pide:
a) f(4), f ’(4), f ‘’(4)
b) ¿Tiene la función f(x) un máximo o un mínimo relativo en a = 4?
c) ¿Es f cóncava o convexa en un entorno de a = 4?
Solución
(x  4) 2
(x  4)3
2
3
T3 f  x  , 4   f (4)  (x  4)f '(4) 
f ''(4) 
f '''(4)  5  3x  4   9x  4 
2!
3!
a) Igualando coeficientes en ambos polinomios, se obtiene:
f(4) = 5
f ' ( 4) = 0
f ''(4)
 3  f ''(4)  6
2!
b) Como f ' ( 4) = 0
relativo en a = 4.
y
f ' ' ( 4) < 0, se deduce que la función f(x) tiene un máximo
c) Por ser f ' ' ( 4) > 0, la función f es convexa en un entorno de a = 4.
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
103
FÓRMULA DE TAYLOR
53.- Dada la función f  x  
1
1  x , se pide:
a) Dominio de f.
b) Polinomio de MacLaurin de f de grado 3.
c) Calcular de forma aproximada f(-1) utilizando el polinomio anterior.
d) Dar una acotación del error cometido en el apartado anterior y expresar
f(-1) sólo con cifras decimales exactas.
e) ¿Existe la fórmula de Taylor de f de algún orden en a = 1?
Solución
#1:
√(1 + √(1 - x))
a) Dominio: (- ∞, 1]
b) Polinomio de Maclaurin de grado 3:
#2:
TAYLOR(√(1 + √(1 - x)), x, 0, 3)
3
2
21·√2·x
5·√2·x
√2·x
#3:
- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯ + √2
1024
128
8
c) Aproximación de f(-1):
3
2
21·√2·(-1)
5·√2·(-1)
√2·(-1)
#4:
- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + √2
1024
128
8
#5:
1.564749966
d) Acotación del error:
x4 4
1 4
1
E  R 4 (x) 
f (c) 
f (c) , con -1 <c <0. Luego, E  M , siendo M una cota de
x


1
4!
4!
4!
f 4 ( x ) , en (-1, 0):
⎛d ⎞4
#6: if (-1 < x < 0, ⎜⎯⎯⎟ √(1 + √(1 - x)))
⎝dx⎠
Luego, una cota de la derivada cuarta de f en (-1, 0) es 1/2. Una cota
superior del error es:
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104
FÓRMULA DE TAYLOR
#9:
1
⎯⎯
4!
⎯⎯⎯⎯
2
#10:
0.02083333333
#11: 1.564749966 - 0.02083333333
#12:
1.543916632
#13: 1.564749966 + 0.02083333333
#14:
1.585583299
Por tanto, sólo pueden garantizarse las décimas y f(-1) es aprox. 1.5, con las
cifras decimales exactas.
e) No existe la fórmula de Taylor de f de grado ≥ 1 en a = 1 puesto que no
existe la derivada primera de f en 1:
d
#19: ⎯⎯ √(1 + √(1 - x))
dx
1
#20:
- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
4·√(1 - x)·√(√(1 - x) + 1)
1
#21: - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
4·√(1 - 1)·√(√(1 - 1) + 1)
3/2
#22:
- ∞·(±1)
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105
FÓRMULA DE TAYLOR
54.- Si p3 (x)  4   x  2   6  x  2  , es el polinomio de Taylor de grado 3 de
2
3
una función f(x) en el punto a = 2, se pide:
a) f(2), f ’(2), f ‘’(2)
b) ¿Tiene la función f(x) un máximo o un mínimo relativo en a = 2?
c) ¿Es f cóncava o convexa en un entorno de a = 2?
Solución
( x  2) 3
( x  2) 2
2
3
f ' ' ' (2)  4  x  2   6x  2 
f ' ' (2) 
T3 f x , 2  f (2)  ( x  2)f ' (2) 
3!
2!
a) Igualando coeficientes en ambos polinomios, se obtiene:
f(2) = 4
f ' (2) = 0
f ''(2)
 1  f ''(2)  2
2!
b) Como f ' (2) = 0
relativo en a = 2.
y
f ' ' (2) > 0, se deduce que la función f(x) tiene un mínimo
c) Por ser f ' ' (2) > 0, la función f es cóncava en un entorno de a = 2.
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106
FÓRMULA DE TAYLOR
55.- Dada la función f(x) = x 2 ln(x  1) , se pide:
a) Hallar una aproximación de f(0,5) usando el polinomio de MacLaurin de grado
5.
b) Acotar el error cometido en el apartado anterior.
Solución:
a)
2
#1:
x ·LN(x + 1)
2
#2:
TAYLOR(x ·LN(x + 1), x, 0, 5)
5
4
x
x
3
#3:
⎯⎯ - ⎯⎯ + x
3
2
Para obtener una aproximación de f(0.5) con el anterior polinomio hacemos
x=0.2
5
4
0.5
0.5
3
#4:
⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯ + 0.5 = 0.1041666666
3
2
x6 6
0.56 6
b) E  R 5 (x) 
f (c) 
f (c) con 0 < c < 0.5
x  0.5
6!
6!
Obtenemos ahora una cota del error, estudiando previamente el máximo de la
sexta derivada de f en [0,0.5]
2
⎛d ⎞6
2
12·(x + 6·x + 15)
#5:
⎜⎯⎯⎟ (x ·LN(x + 1)) = - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎝dx⎠
6
(x + 1)
⎛
⎮
2
⎮⎞
⎜
⎮
12·(x + 6·x + 15) ⎮⎟
#6:
IF⎜0 < x < 0.5, ⎮- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎮⎟
⎜
⎮
6
⎮⎟
⎝
⎮
(x + 1)
⎮⎠
El máximo se alcanza en x=0 y vale
⎮
2
⎮
⎮
12·(0 + 6·0 + 15) ⎮
#7:
⎮- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎮ = 180
⎮
6
⎮
⎮
(0 + 1)
⎮
luego una cota del error es
6
180·0.5
#8:
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0.00390625
6!
Redondeando por exceso el error(0.5)<0.004, por tanto, f(0,2)=0.104±0.004, es
decir,
2
#9:
0.1 < 0.5 ·LN(1.5) < 0.108
Se asegura pues el valor exacto de los dos primeras cifras decimales.
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107
FÓRMULA DE TAYLOR
56.- Sea la función f (x) = ln (x + 2). Se pide:
a) Dominio de f(x).
b) Aproximación lineal de f(x) en un entorno de a = -1.
c) Polinomio de Taylor de orden 3 de f en a = - 1.
d) Calcular de forma aproximada ln (0.9) utilizando el polinomio anterior.
e) Acotar el error cometido en dicha aproximación y dar ln (0.9) con cifras
decimales exactas.
f) ¿De qué grado debería ser el polinomio de aproximación para que el error
fuera menor que una cienmilésima?
Solución:
a) Dominio de f: Ha de ser 2+x>0 pues sólo existe el logaritmo de números positivos.
2 + x > 0, luego:
x > -2
Por tanto, Dom f = (-2,∞)
Calculando las sucesivas derivadas, se puede escribir el polinomio de Taylor:
n
f n)(x)
f n)(-1)
ln(x+2)
0
0

1
1
1
1  x 
2
 1  x 
2
-1
3
2 1  x 
3
2
b) Aproximación lineal de f(x) en un entorno de a = -1:
f '( 1)
Tn 1  f , 1  f ( 1) 
(x  1)  0  1  x  1
1!
c) Polinomio de Taylor de orden 3 de f en a = - 1:
f '( 1)
f ''(1)
f '''( 1)
Tn 3  f , 1  f (1) 
(x  1) 
(x  1) 2 
(x  1)3 
1!
2!
3!
= 0  1  x  1 
 x  1
2
2!
2
 x  1
3
3!
Con DERIVE
3
2
2·x + 3·x + 6·x + 5
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
6
#8:
d) Aproximación de ln 0.9 con el polinomio anterior:
ln(x  2)  ln(0,9)  x  2  0,9  x  1,1
Sustituyendo en el polinomio anterior
3
2
2·(-1.1) + 3·(-1.1) + 6·(-1.1) + 5
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
6
-0.105333333
e) Acotación del error:
E(x)  R n 3 (x)  f
4)
 x  1
(c)
4!
4
con c   -1.1,-1
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108
FÓRMULA DE TAYLOR
Como f 4) (c) 
6
c  2
4
es una función acotada y una cota superior puede ser 2 resulta:
La derivada cuarta de f, en valor absoluto, es decreciente en el intervalo (-1.1, -1) y alcanza su valor
máximo en -1.1:
Tomamos como cota superior: M = 10. El error queda, entonces, menor que:
E(x)  f
4)
 x  1
(c)
4!
4
 máx
-1.1<c<-1
 x  1
6
c  2
4
4!
4
 1.1  1
 10
4!
4
 4.166666666·10-5
Dar ln(0.9) con cifras decimales exactas:
-5
-5
-0.10533333 - 4.1666666·10 <ln(0.9)< -0.10533333 + 4.1666666·10
-0.105375<ln(0.9)< -0.10529166
Luego, ln(0.9) es aproximadamente -0.105
f) Grado del polinomio para que el error en la aproximación sea menor que una cienmilésima:
Método 1:
#27: TABLE(TAYLOR(LN(2 + x), x, -1, n), n, 1, 5)
⎡ 1
x + 1
⎢
2
⎢
1 - x
⎢ 2
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎢
2
⎢
3
2
⎢
2·x + 3·x + 6·x + 5
⎢ 3
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎢
6
⎢
4
3
2
#28:
⎢
3·x + 8·x + 12·x - 7
⎢ 4
- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎢
12
⎢
5
4
3
2
⎢
12·x + 45·x + 80·x + 60·x + 60·x + 47
⎢ 5
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎣
60
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
Sustituyendo x por -1.1:
#29:
⎡ 1
-0.1
⎢
⎢ 2
-0.105
⎢
⎢ 3 -0.1053333333
⎢
⎢ 4 -0.1053583333
⎢
⎣5 -0.1053603333
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
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109
FÓRMULA DE TAYLOR
Se observa que las cienmilésimas se mantienen a partir del polinomio de grado
5, por tanto, tomando n = 5 puede asegurarse que el error es menor que una
cienmilésima.
2º Método: Haciendo una tabla de restos y sendas acotaciones.
⎛⎮
n + 1
⎮
⎞
⎜⎮ (-1.1 + 1)
⎛d ⎞n + 1
⎮
⎟
#30: TABLE⎜⎮⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯·⎜⎯⎯⎟
LN(2 + x)⎮, n, 1, 9 ⎟
⎝⎮
(n + 1)!
⎝dx⎠
⎮
⎠
#31:
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
2
200·(x + 2)
1
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
3
3000·⎮x + 2⎮
1
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
4
40000·(x + 2)
1
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
5
500000·⎮x + 2⎮
1
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
6
6000000·(x + 2)
1
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
7
70000000·⎮x + 2⎮
1
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
8
800000000·(x + 2)
1
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
9
9000000000·⎮x + 2⎮
1
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
10
100000000000·(x + 2)
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
110
FÓRMULA DE TAYLOR
Una cota superior de todos ellos
[-1.1,-1]
⎡ 1
⎢ 2
⎢
⎢ 3
⎢
⎢ 4
⎢
⎢ 5
#32:
⎢
⎢ 6
⎢
⎢ 7
⎢
⎢ 8
⎢
⎣ 9
se alcanza para x = -1.1, en
0.006172839506
0.0004572473708
-5
3.810394756·10
-6
3.387017561·10
-7
3.136127371·10
-8
2.986787973·10
-9
2.903821640·10
-10
2.867971990·10
-11
2.867971990·10
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
Por tanto, puede asegurarse que el error es menor que una cienmilésima tomando
n = 4
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111
FÓRMULA DE TAYLOR
57.- Dada la función f(x) = 10.x.e-x, se pide:
a) Hallar los polinomios de aproximación de Taylor de grado 5 en los puntos
a=0 y a=1
b) Hallar el valor aproximado de f(x) en x=1/2 con cada uno de los polinomios
obtenidos en a).
c) Calcular la cota de error cometido en las aproximadas obtenidas en b)
d) Razonar cuál de las dos aproximaciones es más precisa.
Solución:
-x
#1:
10·x·e
a) Para a=0
5
4
-x
5·x
5·x
3
2
#2:TAYLOR(10·x·e , x, 0, 5) = ⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯ + 5·x - 10·x + 10 x
12
3
Para a=1
#3:
TAYLOR(10·x·e
-x
, x, 1, 5) =
-1
5
4
3
2
e ·(4·x - 35·x + 140·x - 310·x + 320·x + 1)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
12
b) Sustituyendo x por ½ en cada polinomio:
⎛ 1 ⎞5
⎛ 1 ⎞4
5·⎜⎯⎟
5·⎜⎯⎟
#4:
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠
⎛ 1 ⎞3
⎛ 1 ⎞2
1
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + 5·⎜⎯⎟ - 10·⎜⎯⎟ + 10·⎯ =
12
3
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠
2
= 3.033854166
-1 ⎛ ⎛ 1 ⎞5
⎛ 1 ⎞4
⎛ 1 ⎞3
⎛ 1 ⎞2
1
⎞
e ·⎜4·⎜⎯⎟ - 35·⎜⎯⎟ + 140·⎜⎯⎟ - 310·⎜⎯⎟ + 320·⎯ + 1⎟
⎝ ⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠
2
⎠
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
12
= 3.03308935
1
c) La cota de error para la aproximación f   obtenida con el primer polinomio de Taylor (a=0)
2
6
1
0
1
2
1

(6
es: E  x    R5    máx f ( x)
6!
2
 2   0, 1 

 2
Buscamos el máximo de la derivada sexta en [0,1/2]
⎛d ⎞6
-x
-x
-x
#6:
⎜⎯⎯⎟ (10·x·e ) = e ·(10·x - 50) - 10·e
⎝dx⎠
⎛
1
⎮ -x
-x⎮⎞
#7:
IF⎜0 < x < ⎯, ⎮e ·(10·x - 50) - 10·e ⎮⎟
⎝
2
⎠
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112
FÓRMULA DE TAYLOR
Observamos que en el intervalo [0,1/2] la función es estrictamente decreciente
por lo que el máximo se alcanza en el extremo izquierdo, es decir, para x=0
⎮ -0
-0⎮
#8:
⎮e ·(10·0 - 50) - 10·e ⎮ = 60
El máximo de la función en [0,1/2] es 60, luego la cota de error es:
⎮⎛
1 ⎞6⎮
60·⎮⎜0 - ⎯⎟ ⎮
#9:
⎮⎝
2 ⎠ ⎮
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0.001302083333 < 0.002
6!
1
La cota de error para la aproximación f   obtenida con el segundo polinomio de Taylor (a=1) es:
2
1
1

E  x    R5  
2
2

#10:
1
1
2
(6
 máx f ( x)
1 
6!
 ,1
6
2 
⎛ 1
⎮ -x
-x⎮⎞
IF⎜⎯ < x < 1, ⎮e ·(10·x - 50) - 10·e ⎮⎟
⎝ 2
⎠
En este intervalo la derivada sexta también es estrictamente decreciente por lo que
su máximo se encuentra en x=1/2
⎮ - 1/2 ⎛
1
⎞
- 1/2⎮
⎮e
·⎜10·⎯ - 50⎟ - 10·e
⎮ = 33.35918628 < 34
⎮
⎝
2
⎠
⎮
El máximo de la función derivada en [1/2,1] es menor que 34
#11:
#12:
⎛
1 ⎞6
34·⎜1 - ⎯⎟
⎝
2 ⎠
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0.0007378472222 < 0.0008
6!
d)
Luego es más precisa la aproximación obtenida con el polinomio desarrollado en
a=1 que es: 3.033<f(1/2)<3.034
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113
FÓRMULA DE TAYLOR
58.- Dada la función y  ln(x  1) , averiguar el grado que hay que tomar en el
polinomio de MacLaurin para aproximar ln(1,5) con un error menor que 0,0001.
Solución
Con la función VECTOR(TAYLOR(LN(1+x),x,0,n),n,1,4) calculamos conjuntamente los
polinomios de Taylor de grados 1 a 4.
Con la función: VECTOR(DIF(LN(1+x),x,n),n,2,5) =[x, x - x2/2, x3/3 - x2/2 + x, - x4/4 + x3/3 x2/2 + x] para obtener conjuntamente las derivadas de órdenes 2 a 5 de f(x) y, a partir de ellas, los
f ( n 1 (c) n 1
x , 0<c<x
restos de Lagrange: R n x  
n  1!
Grado
Polinomio de MacLaurin
1
x
2

3
4
Resto de Lagrange

x2
x
2
2c  1
2
, 0cx
x2
2
x2

, 0cx
2! 1  c 3 1  c 3
x3 x2

x
3
2

x2

x4 x3 x2


x
4
3
2
x4
6
x4


, 0cx
4
4! 1  c 4
41  c 
x 5 24
x5

, 0cx
5! 1  c 5 51  c 5
f n ) x  
n  1!  1n 1
1  x n
Luego, el valor absoluto del resto de Lagrange de la Fórmula de MacLaurin es:
Rn x 
x n 1 (n 1
x n 1
n!
x n 1
x n 1
1


f (c) 
max
para
n 1
n 1
 n  1!
 n  1! 1  c 
 n  1 0,x 1  c n 1
 n  11  c 
x=0,5, puesto que ln(1+x)=ln1,5
0,5n 1
1
0,5n 1
R n  0,5  
max

 0, 0001
 n  1 0c0,5 1  c n 1  n  1
¿Para qué grado se obtiene una aproximación de ln 1,5 con un error menor que 0,0001?
⎛
n + 1
⎜ 0.5
#6:
TABLE⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ < 0.0001, n, 1,
⎝
n + 1
⎡ 1
⎢ 2
⎢ 3
⎢ 4
⎢ 5
#7:
⎢
⎢ 6
⎢ 7
⎢ 8
⎢ 9
⎣ 10
El primer valor de n que lo cumple es n=9 .
⎞
⎟
10, 1⎟
⎠
false ⎤
false ⎥
false ⎥
false ⎥
false ⎥
⎥
false ⎥
false ⎥
false ⎥
true ⎥
true ⎦
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114
FÓRMULA DE TAYLOR
59.- a) Hallar el polinomio de Taylor de la función: f(x) = tgx en a = 0 y n = 2
b) Sea la función f(x) = tg(2x), hallar una aproximación del valor tg(0.5) con el
polinomio de MacLaurin de grado 5 y acotar el error cometido.
Solución
a)
f(x) =
Para a = 0
sin x
cos x
f(0) = 0
cos 2 x  sen 2 x
1
f’(x) =

2
cos x
cos 2 x
f’’(x) =
2 cos x.senx 2 senx

cos 4 x
cos 3 x
T2(x) = f(0) +
b)
#1:
f’(0) x +
f’’(0) = 0
f' ' (0) 2
x = 0 + x + 0 = x
2!
TAYLOR(TAN(2·x), x, 0, 5)
5
3
64·x
8·x
⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯ + 2·x
15
3
#2:
#3:
#4:
f’(0) = 1
2·x = 0.5
SOLVE(2·x = 0.5, x)
#5:
#6:
T5(0.25) = 0.5458333333
1
x = ⎯
4
x = 0.25
Cálculo del Error. Cálculo de la derivada sexta
Calculamos la cota superior de la función:
⎛d ⎞6
#7:
⎜⎯⎯⎟ TAN(2·x)
⎝dx⎠
#8:
3
5
17408·SIN(2·x)
61440·SIN(2·x)
46080·SIN(2·x)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
3
5
7
COS(2·x)
COS(2·x)
COS(2·x)
Cambiar x por c
#9:
#10:
3
5
17408·SIN(2·c)
61440·SIN(2·c)
46080·SIN(2·c)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
3
5
7
COS(2·c)
COS(2·c)
COS(2·c)
⎛
⎮
3
⎜
⎮ 17408·SIN(2·c)
61440·SIN(2·c)
IF⎜0 < c < 0.25, ⎮⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ +
⎜
⎮
3
5
⎝
⎮
COS(2·c)
COS(2·c)
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115
FÓRMULA DE TAYLOR
5 ⎮⎞
46080·SIN(2·c) ⎮⎟
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎮⎟
7
⎮⎟
COS(2·c)
⎮⎠
Observamos que la derivada sexta se hace máxima para c = 0.25. Luego
sustituimos en la derivada sexta c por 0.25
Cálculo del error:
⎮
3
5 ⎮
⎮ 17408·SIN(2·0.25)
61440·SIN(2·0.25)
46080·SIN(2·0.25) ⎮
#11: ⎮⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎮
⎮
3
5
7
⎮
⎮
COS(2·0.25)
COS(2·0.25)
COS(2·0.25)
⎮
4
#12:
2.826660189·10
4
6
2.826660189·10 ·0.25
#13: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
6!
#14:
0.009584758127
Verdadero valor:
#15: 0.5458333333 - 0.009584758127
#16:
0.5362485752
#17: 0.5458333333 + 0.009584758127
#18:
0.5554180914
El verdadero valor está comprendido entre: (0.5362485752, 0.5554180914)
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116
FÓRMULA DE TAYLOR
60.- a) Hallar el polinomio de Taylor de la función: f(x) = xex en a= 0 y n = 2.
b) Calcular el grado del polinomio mínimo necesario para obtener un valor de
f(x)=e con un error menor que 10-4
Solución
a)
Para a = 0
f(x) = xex
f(0) = 0
f’(x) = ex + xex = (1 + x) ex
f’(0) = 1
f’’(x) = ex + (1 + x) ex
f’’(0) = 2
T2(x) = f(0) +
f’(0) x +
T2(x) = 0 + 1 x +
= (2 + x) ex
f' ' (0) 2
x
2!
2 2
x = x + x2
2!
b) Cálculo del error:
x
#1:
x·e
x
#2:
x·e = e
x
#3:
SOLVE(x·e = e, x)
#4:
x = 1
Cálculo del primer Error. Calculamos la derivada segunda:
⎛d ⎞2
x
#5:
⎜⎯⎯⎟ (x·e )
⎝dx⎠
x
#6:
e ·(x + 2)
c
#7:
e ·(c + 2)
0 <c <1. La función e^c ·(c + 2) es máxima para c = 1, ya que si c =0 vale 2
y si c = 1 → e*3 > 2. Además Ver gráfico:
⎮ c
⎮
IF(0 < c < 1, ⎮e ·(c + 2)⎮)
⎮ c
⎮
⎮e ·(c + 2)⎮·1
#9:
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
2!
Sustituimos c por 1
#8:
3·e
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117
FÓRMULA DE TAYLOR
#10:
#11:
⎯⎯⎯
2
3·e
-4
⎯⎯⎯ < 10
2
#12:
Calculamos el Error(n=2)
Calculamos la derivada 3ª
⎛d ⎞3
x
#13: ⎜⎯⎯⎟ (x·e )
⎝dx⎠
false
x
e ·(x + 3)
c
#15:
e ·(c + 3)
Esta función se hace máxima para c =1 Razonamiento análogo al anterior caso.
⎮ c
⎮
⎮e ·(c + 3)⎮·1
#16: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
3!
Sustituir c por 1
2·e
#17:
⎯⎯⎯
3
2·e
-4
#18: ⎯⎯⎯ < 10
3
#19:
false
#14:
Seguimos calculando errores: Error (n=3)
Calculamos la derivada 4ª
d
c
#20: ⎯⎯ (e ·(c + 3))
dc
c
#21:
e ·(c + 4)
⎮ c
⎮
⎮e ·(c + 4)⎮·1
#22: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
4!
Sustituir c por 1
5·e
#23:
⎯⎯⎯
24
5·e
-4
#24: ⎯⎯⎯ < 10
24
#25:
false
Cálculo Error(n=4). Calculamos derivada 5ª
d
c
#26: ⎯⎯ (e ·(c + 4))
dc
c
#27:
e ·(c + 5)
⎮ c
⎮
⎮e ·(c + 5)⎮·1
#28: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
5!
Sustituir c por 1. Razonamiento análogo al Error(n=1)
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118
FÓRMULA DE TAYLOR
e
⎯⎯
20
#29:
#30:
e
-4
⎯⎯ < 10
20
#31:
false
Seguimos calculando errores hasta que de true.
Calculo Error(n=5). Derivada 6
d
c
#32: ⎯⎯ (e ·(c + 5))
dc
c
#33:
e ·(c + 6)
⎮ c
⎮
⎮e ·(c + 6)⎮·1
#34: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
6!
7·e
#35:
⎯⎯⎯
720
7·e
-4
#36: ⎯⎯⎯ < 10
720
#37:
false
Calculo Error(n=6). Derivada 7ª
d
c
#38: ⎯⎯ (e ·(c + 6))
dc
c
#39:
e ·(c + 7)
⎮ c
⎮
⎮e ·(c + 7)⎮·1
#40: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
7!
e
#41:
⎯⎯⎯
630
e
-4
#42: ⎯⎯⎯ < 10
630
#43:
false
Cálculo Error(n=7). Derivada 8ª
d
c
#44: ⎯⎯ (e ·(c + 7))
dc
c
#45:
e ·(c + 8)
⎮ c
⎮
⎮e ·(c + 8)⎮·1
#46: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
8!
c
e ·⎮c + 8⎮
#47:
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
40320
e
-4
#48: ⎯⎯⎯⎯ < 10
4480
#49:
false
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119
FÓRMULA DE TAYLOR
Calculo Error(n=8). Derivada 9ª
d
c
#51: ⎯⎯ (e ·(c + 8))
dc
c
e ·(c + 9)
#52:
#53:
⎮ c
⎮
⎮e ·(c + 9)⎮·1
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
9!
e
⎯⎯⎯⎯⎯
36288
#54:
#55:
e
-4
⎯⎯⎯⎯⎯ < 10
36288
#56:
true
El error es menor que 10-4 a partir de n=8
Otra forma de calcular el primer valor de n es con la derivada n-ésima:
⎛⎛d ⎞n
x
⎞
#4:
TABLE⎜⎜⎯⎯⎟ (x·e ), n, 1, 6⎟
⎝⎝dx⎠
⎠
⎡
x
⎤
⎢ 1 e ·(x + 1) ⎥
⎢
x
⎥
⎢ 2 e ·(x + 2) ⎥
⎢
x
⎥
⎢ 3 e ·(x + 3) ⎥
⎢
x
⎥
⎢ 4 e ·(x + 4) ⎥
⎢
x
⎥
⎢ 5 e ·(x + 5) ⎥
⎢
x
⎥
⎣ 6 e ·(x + 6) ⎦
Se observa con cierta facilidad que la derivada n-ésima de la función es
fn) (x)= ex ·(x + n), luego:
1n1
<0.0001
error(x=1) máx e x  x  (n  1) 
0,1
n  1!
En el intervalo [0,1], todas las derivadas son crecientes y alcanzan el máximo
en x=1, luego: máx e x  x  (n  1)  =e ·(1 + (n + 1))
0,1
n + 1
1
1
#8:
e ·(1 + (n + 1))·⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ < 0.0001
(n + 1)!
⎛
n + 1
⎞
⎜ 1
1
⎟
#9:
TABLE⎜e ·(1 + (n + 1))·⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ < 0.0001, n, 1, 10⎟
⎝
(n + 1)!
⎠
⎡ 1 false ⎤
⎢ 2 false ⎥
⎢ 3 false ⎥
⎢ 4 false ⎥
⎢ 5 false ⎥
⎢ 6 false ⎥
⎢ 7 false ⎥
⎢ 8 true ⎥ Luego n=8
⎢ 9 true ⎥
⎣ 10 true ⎦
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120
FÓRMULA DE TAYLOR
61.- a) Hallar el polinomio de Taylor de la función: f(x) = arc sen (x) en a= 0 y
n = 2.
b) Hallar una aproximación del valor arc sen (0.1) con el polinomio de MacLaurin
de grado 5 y acotar el error cometido.
Solución
a)
Para a = 0
f(x) = arc sen (x)
f(0) = 0
f’(x) =
1
1 x
2
= (1 – x2)-1/2
f’(0) = 1
x
1
(1 – x2)-3/2(-2x) = 
2
2
(1  x ) 1  x 2
f' ' (0) 2
T2(x) = f(0) + f’(0) x +
x
2!
f’’(x) = 
T2(x) = 0 +
b)
#1:
#2:


f’’(0) = 0
1 x + 0 x2 = x
ASIN(x)
TAYLOR(ASIN(x), x, 0, 5)
5
3
3·x
x
#3:
⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯ + x
40
6
En este caso x = 0.1. Sustituimos en el polinomio x por 0.1
5
3
3·0.1
0.1
#4:
⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯ + 0.1
40
6
1202009
#5:
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
12000000
#6:
0.1001674166
Cálculo del error. Calculamos la derivada sexta
⎛d ⎞6
#7:
⎜⎯⎯⎟ ASIN(x)
⎝dx⎠
4
2
15·x·(8·x + 40·x + 15)
#8:
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
2 11/2
(1 - x )
Cambiamos x por c
4
2
15·c·(8·c + 40·c + 15)
#9:
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
2 11/2
(1 - c )
Estudiamos por qué valor esta función está acotada, nos ayudamos con su
gráfica:
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
121
FÓRMULA DE TAYLOR
#11:
⎛
⎮
4
2
⎮⎞
⎜
⎮ 15·c·(8·c + 40·c + 15) ⎮⎟
IF⎜0 < c < 0.1, ⎮⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎮⎟
⎜
⎮
2 11/2
⎮⎟
⎝
⎮
(1 - c )
⎮⎠
Observamos que la cota superior se encuentra para c = 0.1. Luego sustituimos
en la derivada sexta c por 0.1
⎮
4
2
⎮
⎮ 15·0.1·(8·0.1 + 40·0.1 + 15) ⎮
#12: ⎮⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎮
⎮
2 11/2
⎮
⎮
(1 - 0.1 )
⎮
#13:
24.41411409
Luego el error será:
6
24.41411409·0.1
#14: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
6!
-8
#15:
3.390849179·10
Verdadero valor:
-8
#16: 0.1001674166 - 3.390849179·10
#17:
0.1001673826
-8
#18: 0.1001674166 + 3.390849179·10
#19:
0.1001674505
El verdadero valor estará comprendido entre: (0.1001673826,0.1001674505)
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
122
FÓRMULA DE TAYLOR
62.- Sea f(x) = arc sen (2x)
a) Teoría: Escribir la definición del polinomio de MacLaurin de grado n.
b) Hallar una aproximación del valor arc sen (0.1) con el polinomio de MacLaurin de
grado 5 y acotar el error cometido.
Solución:
f '(0)
f ''(0)
f n) (0)
a)
Tn  f (x), a  0   f (0) 
(x - 0) 
(x - 0) 2  ... 
(x - 0) n
1!
2!
n!
b)
#1:
TAYLOR(ASIN(2·x), x, 0, 5)
5
3
12·x
4·x
#2:
⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯ + 2·x
5
3
#3: SOLVE(2·x = 0.1, x)
1
#4:
x = ⎯⎯
20
Sustituimos en el polinomio x por 0.05
T5(0.05) = 0.1001674166
Cálculo del Error:
⎛d ⎞6
#5:
⎜⎯⎯⎟ ASIN(2·x)
⎝dx⎠
4
2
1920·x·(128·x + 160·x + 15)
#6:
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
2 11/2
(1 - 4·x )
#7:
x = 0.05
⎛
⎮
4
2
⎮⎞
⎜
⎮ 1920·x·(128·x + 160·x + 15) ⎮⎟
#8:
IF⎜0 < x < 0.05, ⎮⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎮⎟
⎜
⎮
2 11/2
⎮⎟
⎝
⎮
(1 - 4·x )
⎮⎠
Acotamos con 1600
6
1600·0.05
#10: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
6!
-8
#11:
3.472222222·10
El verdadero valor está comprendido entre: 0.1001673818 y 0.1001674513
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123
FÓRMULA DE TAYLOR
63.- Dada la función f(x) = x2e-x, se pide:
a) Escribir la fórmula de MacLaurin.
 1
b) Acotar el error cometido en el cálculo de f   utilizando el polinomio
5
de grado 5.
c) Calcular el grado del polinomio mínimo necesario para obtener un valor de
 1
f   con un error menor a 10-6
5
Solución:
a) Fórmula de MacLaurin
f '(0)
f ''(0)
f n) (0)
2
f (x)  Tn  f (x), a  0   R n (x)  f (0) 
(x - 0) 
(x - 0)  ... 
(x - 0) n 
1!
2!
n!
n+1)
f (c)
(x - 0) n+1
con a=0<c<x ó bien x<c<0=a

(n+1)!
Hallamos las primeras derivadas para encontrar una fórmula de recurrencia para
las derivadas
⎛⎛d ⎞n
2 -x
⎞
#1:
TABLE⎜⎜⎯⎯⎟ (x ·e ), n, 1, 6⎟
⎝⎝dx⎠
⎠
⎡
-x
2 -x
⎤
⎢ 1
2·x·e
- x ·e
⎥
⎢
⎥
⎢
-x
-x
2
⎥
⎢ 2
e ·(2 - 2·x) + e ·(x - 2·x)
⎥
⎢
⎥
⎢
-x
-x
2
⎥
⎢ 3
e ·(2·x - 4) - e ·(x - 4·x + 2)
⎥
#2:
⎢
⎥
⎢
-x
-x
2
⎥
⎢ 4
e ·(6 - 2·x) + e ·(x - 6·x + 6)
⎥
⎢
⎥
⎢
-x
-x
2
⎥
⎢ 5
e ·(2·x - 8) - e ·(x - 8·x + 12) ⎥
⎢
⎥
⎢
-x
-x
2
⎥
⎣ 6 e ·(10 - 2·x) + e ·(x - 10·x + 20) ⎦
Sacamos factor común e^(-x) en cada derivada
⎡
-x
2
⎤
⎢ 1
- e ·(x - 2·x)
⎥
⎢
⎥
⎢
-x
2
⎥
⎢ 2
e ·(x - 4·x + 2)
⎥
⎢
⎥
⎢
-x
2
⎥
⎢ 3
- e ·(x - 6·x + 6) ⎥
#3:
⎢
⎥
⎢
-x
2
⎥
⎢ 4
e ·(x - 8·x + 12) ⎥
⎢
⎥
⎢
-x
2
⎥
⎢ 5 - e ·(x - 10·x + 20) ⎥
⎢
⎥
⎢
-x
2
⎥
⎣ 6
e ·(x - 12·x + 30) ⎦
Con un poco de atención se observa que la fórmula que proporciona la derivada
n-ésima de la función es
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124
FÓRMULA DE TAYLOR
⎛d ⎞n
2 -x
n -x
2
⎜⎯⎯⎟ (x ·e ) = (-1) ·e ·(x - 2·n·x + n·(n - 1))
⎝dx⎠
Por lo tanto, sustituyendo x=0 para obtener el valor de las derivadas y
aplicando la fórmula del polinomio de MacLaurin se obtiene:
4
n
2
3
x
(-1) ·(n·(n - 1))
n
#5:
x - x + ⎯⎯ + . . . + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯·x
2
n!
#4:
Para hallar el resto de Lagrange correspondiente necesitamos la derivada de
orden n+1 en x=c, la cual se obtiene sustituyendo n por n+1 y x por c en la
expresión #4
n + 1 -c
2
#6:
(-1)
·e ·(c - 2·(n + 1)·c + n·(n + 1)), luego el resto es Rn(x)=
n + 1 -c
2
(-1)
·e ·(c - 2·(n + 1)·c + n·(n + 1))
n + 1
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯·x
(n + 1)!
Y la fórmula de MacLaurin de la función dada es:
#7:
4
n
2
3
x
(-1) ·(n·(n - 1))
n
x - x + ⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯·x + . . . +
2
n!
n + 1 -c
2
(-1)
·e ·(c - 2·(n + 1)·c + n·(n + 1))
n + 1
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯·x
(n + 1)!
b) Acotar el error cometido en el cálculo de f(1/5) al usar el polinomio de
grado 5.
Como error(1/5)=abs(Rn(1/5))<max⎜f(6(x)⎜(1/5)^6/6! con x[0,1/5]
Lo primero que debemos hallar es el máximo o una cota de la derivada sexta, en
valor absoluto, en el intervalo [0,1/5]
⎛d ⎞6
2 -x
-x
2
#8:
⎜⎯⎯⎟ (x ·e ) = e ·(x - 12·x + 30)
⎝dx⎠
⎛
1
⎮ -x
2
⎮⎞
#9:
IF⎜0 < x < ⎯, ⎮e ·(x - 12·x + 30)⎮⎟
⎝
5
⎠
Observamos que la derivada sexta es decreciente y su máximo en [0,1/5] se
alcanza para x=0 y vale 30
⎮ -x
2
⎮
#10: MAX (⎮e ·(x - 12·x + 30)⎮) = 30
[0,1/5]
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
125
FÓRMULA DE TAYLOR
Por lo tanto una cota del error es:
⎛ 1 ⎞6
⎜⎯⎟
#11:
⎝ 5 ⎠
-6
30·⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 2.666666666·10
< 3·10-6
6!
c) Calcular n para que error(1/5)<10^-6.
⎛ 1 ⎞n + 1
⎜⎯⎟
⎛⎮⎛d ⎞n + 1
2 -x ⎮⎞ ⎝ 5 ⎠
err0r(1/5)=abs(Rn(1/5))<MAX⎜⎮⎜⎯⎯⎟
(x ·e )⎮⎟·⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ < 0.000001
⎝⎮⎝dx⎠
⎮⎠
(n + 1)!
Es decir,
⎛
⎛ 1 ⎞n + 1 ⎞
⎜
⎜⎯⎟
⎟
⎜⎮
n + 1 -x
2
⎮ ⎝ 5 ⎠
⎟< 0.000001
MAX⎜⎮(-1)
·e ·(x - 2·(n + 1)·x + n·(n + 1))⎮·⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟
⎝
(n + 1)! ⎠
Obsérvese que las funciones derivadas de f(x), en valor absoluto, son todas
decrecientes pues sus derivadas son negativas, en consecuencia, la expresión
anterior alcanza el máximo en x=0, luego
⎛ 1 ⎞n + 1
⎜⎯⎟
#14:
⎝ 5 ⎠
n·(n + 1)·⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ < 0.000001
(n + 1)!
⎛
⎛ 1 ⎞n + 1
⎞
⎜
⎜⎯⎟
⎟
#15:
⎜
⎝ 5 ⎠
⎟
TABLE⎜n·(n + 1)·⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ < 0.000001, n, 5, 9⎟
⎝
(n + 1)!
⎠
⎡ 5 false ⎤
⎢
⎥
⎢ 6 true ⎥
⎢
⎥
#16:
⎢ 7 true ⎥
⎢
⎥
⎢ 8 true ⎥
⎢
⎥
⎣ 9 true ⎦
Luego n=6
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
126
FÓRMULA DE TAYLOR
64.- Dada la función f(x) =arctgx, se pide:
a) Escribir la fórmula de Taylor de la función f(x) para n=4 y a=1
b) Hallar el valor aproximado de arctg0.5, con el polinomio obtenido en a) y una
cota del error cometido.
Solución:
a) Fórmula de Taylor de f(x)=atan√x
f '(1)
f ''(1)
f '''(1)
f (x)  Tn  4  f (x), a  1  R n  4 (x)  f (1) 
(x - 1) 
(x - 1)2 
(x - 1)3 
1!
2!
3!
IV)
5)
f (1)
f (c)
+
(x - 1) 4 
(x - 1)5
con a=1<c<x ó bien x<c<1=a
4!
5!
Calculamos el polinomio de grado 4 en a=1 y el resto de Lagrange
correspondiente
#1:
#2:
4
3
2
9·x - 50·x + 120·x - 174·x - 48·π + 95
TAYLOR(ATAN(√x), x, 1, 4) = - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
192
4
3
2
⎛d ⎞5
3·(315·x + 420·x + 378·x + 180·x + 35)
⎜⎯⎯⎟ ATAN(√x) = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎝dx⎠
9/2
5
32·x
·(x + 1)
La fórmula de Taylor pedida es:
#3:
4
3
2
9·x - 50·x + 120·x - 174·x - 48·π + 95
atan(√x) = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ +
192
4
3
2
5
3·(315·c + 420·c + 378·c + 180·c + 35)
⎮1 - x⎮
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯·⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ con 1<c<x
9/2
5
5!
32·c
·(c + 1)
b) Valor aproximado de atan√0.5
Sustituimos x=0.5 en el polinomio
#4:
4
3
2
9·0.5 - 50·0.5 + 120·0.5 - 174·0.5 - 48·π + 95
- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0.6171038925
192
Cálculo de una cota superior del error cometido:
(x  a) n 1
(x  a) n 1
(x  1)5
E(x)  R n  x   f n 1) (c)
 max f n 1) (c)
 max f 5 (c)
5!
 n  1! x,a 
 n  1! an14 0.5c1
x  0.5
Hallamos primero una cota de la derivada quinta en [0.5,1]
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127
FÓRMULA DE TAYLOR
#5:
⎛
⎮
4
3
2
⎮⎞
⎜
⎮ 3·(315·x + 420·x + 378·x + 180·x + 35) ⎮⎟
IF⎜0.5 < x < 1, ⎮⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎮⎟
⎜
⎮
9/2
5
⎮⎟
⎝
⎮
32·x
·(x + 1)
⎮⎠
Es decreciente en el intervalo [0.5,1], por lo que el máximo se alcanza en
x=0.5
#6:
⎮
4
3
2
⎮
⎮ 3·(315·0.5 + 420·0.5 + 378·0.5 + 180·0.5 + 35) ⎮
4667·√2
⎮⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎮ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎮
9/2
5
⎮
81
⎮
32·0.5
·(0.5 + 1)
⎮
Una cota del error es
#7:
5
4667·√2
0.5
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯·⎯⎯⎯⎯ = 0.02121956885 < 0.03
81
5!
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128
FÓRMULA DE TAYLOR
65.- Dada la función f(x) =e-3x, se pide hallar el grado n del polinomio de
MacLaurin que se necesita utilizar para aproximar e-3 con un error menor que
0.001
Solución:
El valor pedido e^-3 corresponde a x=1
(x  a) n 1
(x  a) n 1
(x  0) n 1
E(x)  R n  x   f n 1) (c)
 max f n 1) (c)
 max f n 1) (c)
 0, 001
(n  1)!
 n  1! x,a 
 n  1! ax10 0c1
Primer procedimiento:
Para estimar el error utilizando la acotación del resto de Lagrange, hemos de
hallar la expresión de la derivada n-ésima. Para ello calculamos las primeras
derivadas de e^(-3x) con objeto de obtener la ley de recurrencia
#8:
⎛⎛d ⎞n - 3·x
⎞
TABLE⎜⎜⎯⎯⎟ e
, n, 1, 6⎟
⎝⎝dx⎠
⎠
#9:
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
- 3·x
1
2
3
4
5
6
⎤
⎥
⎥
- 3·x
⎥
9·e
⎥
⎥
- 3·x ⎥
- 27·e
⎥
⎥
- 3·x ⎥
81·e
⎥
⎥
- 3·x ⎥
- 243·e
⎥
⎥
- 3·x ⎥
729·e
⎦
- 3·e
luego
#10:
⎛d ⎞n 3·x
n n - 3·x
⎜⎯⎯⎟ e
= (-1) ·3 ·e
⎝dx⎠
La derivada de orden n+1 es:
#11:
n + 1 n + 1 - 3·x
(-1)
·3
·e
El valor pedido e^-3 corresponde a x=1. Por otro lado, en el intervalo [0,1]
la derivada n+1, en valor absoluto, es decreciente por serlo e^(- 3·x), luego
el máximo se alcanza en x=0
#12:
⎮
n + 1 n + 1 - 3·x⎮
n + 1
⎮(-1)
·3
·e
⎮ = 3
Calculamos para qué valor de n el resto es <0.001 con la función table
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129
FÓRMULA DE TAYLOR
#13:
⎛
n + 1
⎞
⎜ n + 1
1
⎟
TABLE⎜3
·⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ < 0.001, n, 10, 14⎟
⎝
(n + 1)!
⎠
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
#14:
10
11
12
13
14
false ⎤
⎥
false ⎥
⎥
true ⎥
⎥
true ⎥
⎥
true ⎦
Luego, se necesita un polinomio de grado n=12 o superior.
Segundo procedimiento:
Vamos a calcular aproximaciones sucesivas de e^-3 utilizando polinomios de
Taylor sucesivos de la siguiente forma:
Hallamos los polinomios de Taylor desde n=10 a 14, sustituimos x=1 y
aproximamos su valor en forma decimal. El error ha de ser <0.001, entonces el
grado n pedido será, en general, aquél a partir del cual, las 3 primeras
cifras decimales quedan "fijas", es decir, invariantes por las aproximaciones
posteriores
#15:
TABLE(TAYLOR(e
- 3·x
, x, 0, n), n, 10, 15)
Pulsamos el comando = para obtener los polinomios y sustituimos x=1
#16:
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
10
11
12
13
14
15
0.05332589285 ⎤
⎥
0.04888798701 ⎥
⎥
0.04999746347 ⎥
⎥
0.04974143044 ⎥
⎥
0.04979629466 ⎥
⎥
0.04978532182 ⎦
Igual que en el método anterior obtenemos que se necesita un polinomio de
grado n=12 o superior
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
130
FÓRMULA DE TAYLOR
66.- Dada la función f(x) =lnx se pide:
a) Escribir la fórmula de Taylor de la función f(x) para n=4 y a=1
b) Hallar el valor aproximado de ln2 con el polinomio obtenido en a) y una cota
del error cometido
Solución:
a) Fórmula de Taylor de f(x) = ln√x
f '(1)
f ''(1)
f '''(1)
f (x)  Tn  4  f (x), a  1  R n  4 (x)  f (1) 
(x - 1) 
(x - 1)2 
(x - 1)3 
1!
2!
3!
IV)
5)
f (1)
f (c)
+
(x - 1) 4 
(x - 1)5
con a=1<c<x ó bien x<c<1=a
4!
5!
Calculamos el polinomio de grado 4 en a=1 y el resto de Lagrange
correspondiente
#17:
3
2
(1 - x)·(3·x - 13·x + 23·x - 25)
TAYLOR(LN(√x), x, 1, 4) = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
24
#18:
⎛d ⎞5
12
⎜⎯⎯⎟ LN(√x) = ⎯⎯
⎝dx⎠
5
x
La fórmula de Taylor pedida es:
#19:
3
2
5
(1 - x)·(3·x - 13·x + 23·x - 25)
12
(x - 1)
LN(√x) = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯·⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯con 1<c<x
24
5
5!
c
b) Valor aproximado de ln√2
Sustituimos x=2 en el polinomio
#20:
3
2
(1 - 2)·(3·2 - 13·2 + 23·2 - 25)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0.2916666666
24
Cálculo de una cota superior del error cometido:
(x  a) n 1
(x  a) n 1
(x  1)5
E(x)  R n  x   f n 1) (c)
 max f n 1) (c)
 max f 5 (c)
5!
 n  1! a,x 
 n  1! an14 1c2
x 2
Hallamos primero la cota de la derivada quinta en [1,2]
#21:
⎛
⎮ 12 ⎮⎞
IF⎜1 < x < 2, ⎮⎯⎯⎮⎟
⎜
⎮ 5 ⎮⎟
⎝
⎮ x ⎮⎠
Es decreciente en el intervalo [1,2], por lo que el máximo se alcanza en x=1
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
131
FÓRMULA DE TAYLOR
#22:
⎮ 12 ⎮
⎮⎯⎯⎮ = 12
⎮ 5 ⎮
⎮ 1 ⎮
Una cota del error es
#23:
5
(2 - 1)
12·⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0.1
5!
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
132
FÓRMULA DE TAYLOR
67.- Dada la función f(x) =ln(1+x), se pide hallar el grado n del polinomio de
MacLaurin que se necesita utilizar para aproximar ln1,5 con un error menor que
0.001.
Solución:
El valor pedido ln(1.5) corresponde a x=0.5.
(x  a) n 1
(x  a) n 1
(x  0) n 1
E(x)  R n  x   f n 1) (c)
 max f n 1) (c)
 max f n 1) (c)
 0.001
(n  1)!
 n  1! a ,x
 n  1! ax00.5 0c0.5
Primer procedimiento:
Para estimar el error utilizando la acotación del resto de Lagrange, hemos de
hallar la expresión de la derivada n-ésima. Para ello calculamos las primeras
derivadas de ln(1+x) con objeto de obtener la ley de recurrencia
#24:
⎛⎛d ⎞n
⎞
TABLE⎜⎜⎯⎯⎟ LN(1 + x), n, 1, 4⎟
⎝⎝dx⎠
⎠
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
#25:
1
2
3
4
1
⎯⎯⎯⎯⎯
x + 1
⎤
⎥
⎥
⎥
1
⎥
- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎥
2 ⎥
(x + 1)
⎥
⎥
2
⎥
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎥
3
⎥
(x + 1)
⎥
⎥
6
⎥
- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎥
4 ⎥
(x + 1)
⎦
Luego
#26:
⎛d ⎞n
n - 1 (n - 1)!
⎜⎯⎯⎟ LN(1 + x) = (-1)
·⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎝dx⎠
n
(x + 1)
La derivada de orden n+1 es:
#27:
n
n!
(-1) ·⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
n + 1
(x + 1)
El valor pedido ln(1.5) corresponde a x=0.5. Por otro lado, en el intervalo
[0,0.5], la derivada n+1, en valor absoluto, es decreciente por serlo
1/(x+1)^(n+1), luego el máximo se alcanza en x=0 y vale
n!
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = n!
#28:
n + 1
(0 + 1)
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
133
FÓRMULA DE TAYLOR
Calculamos para qué valor de n el resto es <0.001 con la función table
#29:
⎛
n + 1
⎞
⎜
0.5
⎟
TABLE⎜n!·⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ < 0.001, n, 5, 8⎟
⎝
(n + 1)!
⎠
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
#30:
5
6
7
8
false ⎤
⎥
false ⎥
⎥
true ⎥
⎥
true ⎦
Luego, se necesita un polinomio de grado n=7 o superior.
Segundo procedimiento:
Vamos a calcular aproximaciones sucesivas de ln√1.5 utilizando polinomios de
Taylor sucesivos de la siguiente forma:
Hallamos los polinomios de Taylor desde n=5 a 10, sustituimos x=0.5 y
aproximamos su valor en forma decimal. El error ha de ser <0.001, entonces el
grado n pedido será, en general, aquél a partir del cual, las 3 primeras
cifras decimales quedan "fijas", es decir, invariantes por las aproximaciones
posteriores
#31:
TABLE(TAYLOR(LN(1 + x), x, 0, n), n, 5, 10)
Pulsamos el comando = para obtener los polinomios y sustituimos x=0.5
#32:
⎡ 5
⎢
⎢ 6
⎢
⎢ 7
⎢
⎢ 8
⎢
⎢ 9
⎢
⎣ 10
0.4072916666 ⎤
⎥
0.4046875 ⎥
⎥
0.4058035714 ⎥
⎥
0.4053152901 ⎥
⎥
0.405532304 ⎥
⎥
0.4054346478 ⎦
Igual que en el método anterior obtenemos que se necesita un polinomio de
grado n=7 o superior
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
134
FÓRMULA DE TAYLOR
68.- Dada la función f(x) = ex, se pide:
a) Escribir la fórmula de Taylor de la función f(x) para n=4 y a=1
b) Hallar el valor aproximado de = e2, con el polinomio obtenido en a) y una cota
del error cometido
Solución:
a) Fórmula de Taylor de f(x) = e^√x
f '(1)
f ''(1)
f '''(1)
f (x)  Tn  4  f (x), a  1  R n  4 (x)  f (1) 
(x - 1) 
(x - 1)2 
(x - 1)3 
1!
2!
3!
f IV) (1)
f 5) (c)
+
(x - 1) 4 
(x - 1)5
con a=1<c<x ó bien x<c<1=a
4!
5!
Calculamos el polinomio de grado 4 en a=1 y el resto de Lagrange
correspondiente
#33:
4
3
2
√x
e·(5·x - 28·x + 54·x - 236·x - 179)
TAYLOR(e , x, 1, 4) = - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
384
#34:
√x
2
3/2
⎛d ⎞5 √x
e ·(x - 10·x
+ 45·x - 105·√x + 105)
⎜⎯⎯⎟ e
= ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎝dx⎠
9/2
32·x
La fórmula de Taylor pedida es:
#35:
4
3
2
√x
e·(5·x - 28·x + 54·x - 236·x - 179)
e
= - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ +
384
√c
2
3/2
5
e ·(x - 10·c
+ 45·c - 105·√c + 105)
(x - 1)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯·⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ con 1<c<x
9/2
5!
32·c
b) Valor aproximado de e^√2
Sustituimos x=2 en el polinomio
#36:
4
3
2
e·(5·2 - 28·2 + 54·2 - 236·2 - 179)
- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 4.098659319
384
Cálculo de una cota superior del error cometido:
E(x)  R n  x   f n 1) (c)
(x  a) n 1
(x  a) n 1
(x  1)5
 max f n 1) (c)
 max f 5 (c)
5!
 n  1! a,x 
 n  1! an14 1c2
x 2
Hallamos primero la cota de la derivada quinta en [1,2]
⎛
⎮
√x
2
3/2
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
⎮⎞
135
FÓRMULA DE TAYLOR
#37:
⎜
⎮ e ·(x - 10·x
+ 45·x - 105·√x + 105) ⎮⎟
IF⎜1 < x < 2, ⎮⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎮⎟
⎜
⎮
9/2
⎮⎟
⎝
⎮
32·x
⎮⎠
Observamos que es decreciente, luego el máximo se obtiene en x=1
#38:
⎮ √1
2
3/2
⎮
⎮ e ·(1 - 10·1
+ 45·1 - 105·√1 + 105) ⎮
⎮⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎮ = 3.058067057 < 3.1
⎮
9/2
⎮
⎮
32·1
⎮
Y una cota de error es
#39:
5
(2 - 1)
3.1·⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0.02583333333 < 0.03
5!
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
136
FÓRMULA DE TAYLOR
69.- Dada la función f(x) =xe-x, se pide hallar el grado n del polinomio que se
necesita utilizar para aproximar f(1)=e-1 con un error menor que 0.001
Solución:
E(x)  R n  x   f n 1) (c)
(x  a) n 1
(x  a) n 1
(x  0) n 1
 max f n 1) (c)
 max f n 1) (c)
 0.001
(n  1)!
 n  1! a ,x
 n  1! ax10 0c1
Primer procedimiento:
Para estimar el error utilizando la acotación del resto de Lagrange, hemos de
hallar la expresión de la derivada n-ésima. Para ello calculamos las primeras
derivadas de ln(1-x) con objeto de obtener la ley de recurrencia
#40:
⎛⎛d ⎞n
⎞
TABLE⎜⎜⎯⎯⎟ LN(1 - x), n, 1, 5⎟
⎝⎝dx⎠
⎠
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
#41:
#42:
1
2
3
4
5
1
⎯⎯⎯⎯⎯
x - 1
⎤
⎥
⎥
⎥
1
⎥
- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎥
2 ⎥
(x - 1)
⎥
⎥
2
⎥
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎥
3
⎥
(x - 1)
⎥
⎥
6
⎥
- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎥
4 ⎥
(x - 1)
⎥
⎥
24
⎥
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎥
5
⎥
(x - 1)
⎦
⎛d ⎞n
n - 1 (n - 1)!
⎜⎯⎯⎟ LN(1 + x) = (-1)
·⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎝dx⎠
n
(x - 1)
La derivada de orden n+1 es
#43:
n
n!
(-1) ·⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
n + 1
(x - 1)
El valor pedido ln(0.5) corresponde a x=0.5
Por otro lado, en el intervalo [0,0.5], la derivada de orden n+1, en valor
absoluto, alcanza el valor máximo cuando el denominador es mínimo, es decir,
en x=0.5 y vale
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
137
FÓRMULA DE TAYLOR
#44:
⎮
n
n!
⎮
n + 1
⎮(-1) ·⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎮ = 2
·⎮n!⎮
⎮
n + 1 ⎮
⎮
(0.5 - 1)
⎮
Observamos que sale un valor muy alto
La expresión del resto queda:
#45:
n + 1
n + 1
0.5
1
2
·n!·⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯ < 0.001
(n + 1)!
n + 1
Para calcular
directamente
qué valor de n hace al resto <0.001 podemos despejar
#46:
1
⎯⎯⎯⎯⎯ < 0.001
n + 1
#47:
1
n + 1 > ⎯⎯⎯⎯⎯ = 1000
0.001
Luego, se necesita un polinomio de grado n=999 o superior
Con la función table
#48:
#49:
⎛
1
⎞
TABLE⎜⎯⎯⎯⎯⎯ < 0.001, n, 997, 1003⎟
⎝ n + 1
⎠
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
997
998
999
1000
1001
1002
1003
false ⎤
⎥
false ⎥
⎥
false ⎥
⎥
true ⎥
⎥
true ⎥
⎥
true ⎥
⎥
true ⎦
Segundo procedimiento:
Vamos a calcular aproximaciones sucesivas de ln√0.5 utilizando polinomios de
Taylor sucesivos de la siguiente forma:
Hallamos los polinomios de Taylor desde n=5 a 10, sustituimos x=0.5 y
aproximamos su valor en forma decimal. El error ha de ser <0.001, entonces el
grado n pedido será, en general, aquél a partir del cual, las 3 primeras
cifras decimales quedan "fijas", es decir, invariantes por las aproximaciones
posteriores
#50:
TABLE(TAYLOR(LN(1 - x), x, 0, n), n, 5, 12)
Pulsamos el comando = para obtener los polinomios y sustituimos x=0.5
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138
FÓRMULA DE TAYLOR
⎡ 5
⎢ 6
⎢ 7
⎢ 8
⎢ 9
⎢ 10
⎢ 11
⎣ 12
-0.6885416666
-0.6911458333
-0.6922619047
-0.692750186
-0.6929671999
-0.6930648561
-0.6931092453
-0.6931295904
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
Aquí parece que hay duda pues aparece fija la tercera cifra decimal en n≥10 y
no en n≥7. En estos casos de ambigüedad conviene hallar la diferencias de
aproximaciones Tn-T(n-1) para comprobar si "la mejora es <0.001" a partir de
n=7 o n=10.
Así desde n=7, la diferencia entre los valores es <0.001, es decir la
aproximación en n=8 menos la aproximación en n=7 es menor que 5 diezmilésimas,
como se observa obteniendo con "table" las diferencias entre la aproximación
de grado n y la aproximación de grado n-1, para n= 5...12, por lo que para
n=7 ya se consigue un error menor que 0.001
#52:
12)
TABLE(TAYLOR(LN(1 - x), x, 0, n) - TAYLOR(LN(1 - x), x, 0, n - 1), n, 5,
Pulsamos el comando = para obtener los polinomios y sustituimos x=0.5, el
número de orden 5 indica T4-T(3) y así sucesivamente
#53:
⎡ 5
⎢ 6
⎢ 7
⎢ 8
⎢ 9
⎢
⎢
⎢ 10
⎢
⎢
⎢ 11
⎢
⎢
⎣ 12
-0.00625
-0.002604166666
-0.001116071428
-0.00048828125
-0.0002170138888
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
-5 ⎥
- 9.765625·10
⎥
⎥
-5 ⎥
- 4.438920454·10
⎥
⎥
-5 ⎥
- 2.034505208·10
⎦
(Cualquiera de las tres soluciones n=7, n=10, n= 999 se admite como correcta)
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139
FÓRMULA DE TAYLOR
70.- Dada la función f(x) =1/x se pide:
a) Escribir la fórmula de Taylor de la función f(x) para n=4 y a=1
b) Hallar el valor aproximado de 1/1.5, con el polinomio obtenido en a) y una
cota del error cometido
Solución:
a) Fórmula de Taylor de f(x)=1/√x
f '(1)
f ''(1)
f '''(1)
f (x)  Tn  4  f (x), a  1  R n  4 (x)  f (1) 
(x - 1) 
(x - 1)2 
(x - 1)3 
1!
2!
3!
IV)
5)
f (1)
f (c)
+
(x - 1) 4 
(x - 1)5
con a=1<c<x ó bien x<c<1=a
4!
5!
Calculamos el polinomio de grado 4 en a=1 y el resto de Lagrange
correspondiente
4
3
2
⎛ 1
⎞
35·x - 180·x + 378·x - 420·x + 315
#54: TAYLOR⎜⎯⎯, x, 1, 4⎟ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎝ √x
⎠
128
⎛d ⎞5
1
945
⎜⎯⎯⎟ ⎯⎯ = - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
#55: ⎝dx⎠
√x
11/2
32·x
Luego la fórmula de Taylor es:
4
3
2
5
1
35·x - 180·x + 378·x - 420·x + 315
⎛
945
⎞ (x - 1)
#56:⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎜- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟·⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
√x
128
⎜
11/2 ⎟
5!
⎝
32·c
⎠
b) Valor aproximado de 1/√1.5 con el polinomio anterior
Sustituimos x=1.5 en el polinomio
4
3
2
35·1.5 - 180·1.5 + 378·1.5 - 420·1.5 + 315
#57: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0.8217773437
128
Cálculo de una cota superior del error cometido:
(x  a) n 1
(x  a) n 1
(x  1)5
E(x)  R n  x   f n 1) (c)
 max f n 1) (c)
 max f 5) (c)
5!
 n  1! a ,x
 n  1! an14 1c1.5
x 1.5
Hallamos ahora la cota de la derivada quinta en [1,1.5]
#58:
⎛
⎮
945
⎮⎞
IF⎜1 < x < 1.5, ⎮- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎮⎟
⎜
⎮
11/2 ⎮⎟
⎝
⎮
32·x
⎮⎠
Observamos que es decreciente, luego el máximo se obtiene en x=1
⎮
945
⎮
⎮- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎮ = 29.53125 < 30
#59: ⎮
11/2 ⎮
⎮
32·1
⎮
Y una cota del error es:
#60:
5
(1.5 - 1)
30·⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0.0078125 < 0.008
5!
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
140
FÓRMULA DE TAYLOR
71.- Dada la función f(x) =e-5x, se pide hallar el grado n del polinomio de
MacLaurin que se necesita utilizar para aproximar e-5 con un error menor que
0.001
Solución:
El valor pedido e^-5 corresponde a x=1.
(x  a) n 1
(x  a) n 1
(x  0) n 1
E(x)  R n  x   f n 1) (c)
 max f n 1) (c)
 max f n 1) (c)
 0.001
(n  1)!
 n  1! a ,x
 n  1! ax10 0c1
Primer procedimiento:
Para estimar el error utilizando la acotación del resto de Lagrange, hemos de
hallar la expresión de la derivada n-ésima. Para ello calculamos las primeras
derivadas de e^(-5x) con objeto de obtener la ley de recurrencia
#61:
⎛⎛d ⎞n - 5·x
⎞
TABLE⎜⎜⎯⎯⎟ e
, n, 1, 5⎟
⎝⎝dx⎠
⎠
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
#62:
- 5·x
1
2
3
4
5
⎤
⎥
⎥
2 - 5·x ⎥
5 ·e
⎥
⎥
3 - 5·x ⎥
- 5 ·e
⎥
⎥
4 - 5·x ⎥
5 ·e
⎥
⎥
5 - 5·x ⎥
- 5 ·e
⎦
- 5·e
luego
#63:
⎛d ⎞n - 5·x
n n - 5·x
⎜⎯⎯⎟ e
= (-1) ·5 ·e
⎝dx⎠
La derivada de orden n+1 es:
#64:
n + 1 n + 1 - 5·x
(-1)
·5
·e
El valor pedido e^-5 corresponde a x=1. Por otro lado, en el intervalo [0,1]
la derivada n+1, en valor absoluto, es decreciente por serlo e^(- 3·x), luego
el máximo se alcanza en x=0
#65:
⎮
n + 1 n + 1 - 5·0⎮
n + 1
⎮(-1)
·5
·e
⎮ = 5
#66:
⎛
n + 1
⎞
⎜ n + 1
1
⎟
TABLE⎜5
·⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ < 0.001, n, 14, 18⎟
⎝
(n + 1)!
⎠
⎡ 14
false ⎤
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
141
FÓRMULA DE TAYLOR
⎢
⎢
⎢
⎣
#67:
15
16
17
18
false
false
true
true
⎥
⎥
⎥
⎦
Luego, se necesita un polinomio de grado n=17
Segundo procedimiento:
Vamos a calcular aproximaciones sucesivas de e-5 utilizando polinomios de
Taylor sucesivos de la siguiente forma:
Hallamos los polinomios de Taylor desde n=5 a 10, sustituimos x=1 y
aproximamos su valor en forma decimal. El error ha de ser < 0.001, entonces el
grado n pedido será, en general, aquél a partir del cual, las 3 primeras
cifras decimales quedan "fijas", es decir, invariantes por las aproximaciones
posteriores
#68:
TABLE(TAYLOR(e
- 5·x
, x, 0, n), n, 12, 20)
Pulsamos el comando = para obtener los polinomios y sustituimos x=1
#69:
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
12
13
14
15
16
17
18
19
20
0.1504780464
-0.04555520354
0.02445667144
0.001119379782
0.008412283427
0.006267311767
0.006863137228
0.006706341054
0.006745540097
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
Igual que con el método anterior obtenemos que se necesita un polinomio de
grado n=17 o superior
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
142
FÓRMULA DE TAYLOR
72.- a) Calcular el polinomio de Taylor de orden 4 de la función f  x   senx , en

a   .
6
  
b) Utilizando el polinomio del apartado anterior calcular sen  
.
 12 
  
c) Estimar el error cometido al calcular sen  
 con el polinomio del apartado
 12 
a).
Solución:
 
fk  
k


6

a) Tn  4  f (x)  sen(x), a      

x


6  k 0
k! 
6

n 4
2
3

1
3
 1

3

1 


Tn  4  f (x)  sen(x), a      
x   x   
x    x  
6
2 2 
6 4
6  12 
6  48 
6

2
3
4
4
1
3   1  
3  
1 
 
b) f      
    
      -0.2588281294
2 2  12  4  12  12  12  48  12 
 12 
  
n 1
n 1
  
(x  a)
(x  a)
12 6 

n 1)
n 1)
n 1)
c) E(x)  R n  x   f (c)
 max f (c)
 max f (c)
(n  1)!
 n  1! a,x 
 n  1! a   a c x
x 
n 1
6

12
La expresión del error al aproximar con un polinomio de grado 4 es:
max f 5) (c)   5 max cos(c)   5


Rn=4<
  
  con   c  
5!
5!
6
12
 12 
 12 
5
1 
Rn=4 <   < 1.024853732·10-5
5!  12 
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
143
FÓRMULA DE TAYLOR
73.- Dada la función f(x) = ln(1+2x), se pide:
a) Obtener, el polinomio de MacLaurin de grado 5 de la función f(x), así como la
fórmula de MacLaurin para n=5.
b) Calcular un valor aproximado de ln(3/2) y una cota del error cometido
utilizando los resultados del apartado anterior.
c) Usando el procedimiento que consideres más adecuado, calcula el grado de
polinomio que se necesita aplicar para obtener una aproximación de ln(3/2) que
tenga las 3 primeras cifras decimales exactas.
Solución:
#1:
LN(1 + 2·x)
a) Polinomio de MacLaurin
f (a)
f "(a)
f (n (a)
2
Tn  f (x), a   f (a) 
(x  a) 
(x  a)  ....... 
(x  a) n
1!
2!
n!
5
3
32·x
4
8·x
2
#2:
TAYLOR(LN(1 + 2·x), x, 0, 5) = ⎯⎯⎯⎯⎯ - 4·x + ⎯⎯⎯⎯ - 2·x + 2·x
5
3
Cálculo del resto de MacLaurin del polinomio anterior
⎛d ⎞6
7680
⎜⎯⎯⎟ LN(1 + 2·x) = - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
#3:
⎝dx⎠
6
(2·x + 1)
6
7680
x
#4:
- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯·⎯⎯
6
6!
(2·c + 1)
Fórmula de MacLaurin para n=5, con a=0<c<x o bien x<c<0=a
f (n 1 (c)
f (x)  Tn  f (x), a   R n (x)  Tn  f (x), a  
(x  a) n 1
(n  1)!
5
3
6
32·x
4
8·x
2
7680
x
#5:
⎯⎯⎯⎯⎯ - 4·x + ⎯⎯⎯⎯ - 2·x + 2·x - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯·⎯⎯
5
3
6
6!
(2·c + 1)
b)
Valor aproximado de ln(3/2) con el polinomio anterior
⎛
3
⎞
#6:
SOLVE⎜1 + 2·x = ⎯, x, Real⎟
⎝
2
⎠
1
#7:
x = ⎯
4
⎛ 1 ⎞5
⎛ 1 ⎞3
32·⎜⎯⎟
8·⎜⎯⎟
#8:
⎝ 4 ⎠
⎛ 1 ⎞4
⎝ 4 ⎠
⎛ 1 ⎞2
1
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ - 4·⎜⎯⎟ + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ - 2·⎜⎯⎟ + 2·⎯ = 0.4072916666
5
⎝ 4 ⎠
3
⎝ 4 ⎠
4
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144
FÓRMULA DE TAYLOR
n 1
1
 
n 1
n 1
(x  a)
(x  a)
4
E(x)  R n  x   f n 1) (c)
 max f n 1) (c)
 max f n 1) (c)  
(n  1)!
 n  1! a ,x
 n  1! a 01 a c x
x
4
Cálculo de una cota del error
⎛
1
⎮
7680
⎮⎞
IF⎜0 < x < ⎯, ⎮- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎮⎟
#9:
⎜
4
⎮
6 ⎮⎟
⎝
⎮
(2·x + 1) ⎮⎠
Se observa que la sexta derivada es decreciente en [0,1/4], luego el máximo se
alcanza en x=0 y su valor es 7680, luego una cota del error es
⎛ 1 ⎞6
⎜⎯⎟
#10:
⎝ 4 ⎠
7680·⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0.002604166666 < 0.003
6!
Por lo tanto, ln(3/2)= 0.407±0.003
c) Primer procedimiento: calculamos los restos a partir de n=6 sucesivamente
Previamente calculamos las derivadas (desde n=7 hasta 12 por ejemplo)
⎛⎛d ⎞n
⎞
#11: VECTOR⎜⎜⎯⎯⎟ LN(1 + 2·x), n, 7, 11⎟
⎝⎝dx⎠
⎠
⎡
92160
1290240
20643840
371589120
7431782400 ⎤
⎢⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎥
⎢
7
8
9
10
11 ⎥
⎣ (2·x + 1)
(2·x + 1)
(2·x + 1)
(2·x + 1)
(2·x + 1)
⎦
En valor absoluto son
⎡
92160
1290240
20643840
371589120
7431782400 ⎤
⎢⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎥
#12: ⎢
7
8
9
10
11 ⎥
⎣ ⎮2·x + 1⎮
(2·x + 1)
⎮2·x + 1⎮
(2·x + 1)
⎮2·x + 1⎮
⎦
Observamos que en el intervalo [0,1/4] son todas decrecientes, por lo que, en
todas ellas, el máximo se alcanza en x=0, es decir:
#13: [92160, 1290240, 20643840, 371589120, 7431782400]
luego unas cotas de los restos de Lagrange son sucesivamente
⎛ 1 ⎞7
⎜⎯⎟
#14:
⎝ 4 ⎠
92160·⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0.001116071428 < 0.0012
7!
⎛ 1 ⎞8
⎜⎯⎟
#15:
⎝ 4 ⎠
1290240·⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0.00048828125 < 0.0001
8!
Para n=7, el polinomio me proporciona una aproximación con 3 cifras decimales
exactas
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145
FÓRMULA DE TAYLOR
Comprobación
#16: TAYLOR(LN(1 + 2·x), x, 0, 7)
7
6
5
3
128·x
32·x
32·x
4
8·x
2
#17:
⎯⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯ - 4·x + ⎯⎯⎯⎯ - 2·x + 2·x
7
3
5
3
⎛ 1 ⎞7
⎛ 1 ⎞6
⎛ 1 ⎞5
⎛ 1 ⎞3
128·⎜⎯⎟
32·⎜⎯⎟
32·⎜⎯⎟
8·⎜⎯⎟
⎝ 4 ⎠
⎝ 4 ⎠
⎝ 4 ⎠
⎛ 1 ⎞4
⎝ 4 ⎠
⎛ 1 ⎞2
1
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ - 4·⎜⎯⎟ + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ -2·⎜⎯⎟ + 2·⎯
7
3
5
⎝ 4 ⎠
3
⎝ 4 ⎠
4
 0.4058035714
El error afecta solo a la 4ª cifra decimal pues 0.4058035714  0.0001 no
afecta a la 3ª cifra.
Segundo procedimiento: hallamos los polinomios de Taylor desde n=6 en adelante
hasta el grado 15 por ejemplo
#18: TABLE(TAYLOR(LN(1 + 2·x), x, 0, n), n, 6, 15)
Por su extensión no lo transcribimos, a continuación sustituimos por x=1/4 y
aproximamos
⎡ 6 0.4046875
⎤
⎢
⎥
⎢ 7 0.4058035714 ⎥
⎢
⎥
⎢ 8 0.4053152901 ⎥
⎢
⎥
⎢ 9 0.405532304 ⎥
⎢
⎥
⎢ 10 0.4054346478 ⎥
#19: ⎢
⎥
⎢ 11 0.405479037 ⎥
⎢
⎥
⎢ 12 0.4054586919 ⎥
⎢
⎥
⎢ 13 0.4054680819 ⎥
⎢
⎥
⎢ 14 0.4054637223 ⎥
⎢
⎥
⎣ 15 0.4054657568 ⎦
Se observa que a partir de n=7 las 3 primeras cifras decimales son constantes
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146
FÓRMULA DE TAYLOR


 x  , se pide:
2
2
a) Polinomio de MacLaurin de grado 5 de f
74.- Dada la función f(x) = esenx, con 
b) Calcular de forma aproximada e , utilizando el polinomio anterior.
c) Acotar el error cometido en la aproximación anterior.
Solución
a) Polinomio de Maclaurin de grado 5 de f
f '(0)
f ''(0) 2 f '''(0) 3 f iv (0) 4 f v (0) 5
Tn 5 [f (x), a  0]  f (0) 
x
x 
x 
x 
x
1!
2!
3!
4!
5!
SIN(x)
#1:
e
SIN(x)
#2:
TAYLOR(e
, x, 0, 5)
5
4
2
x
x
x
#3:
- ⎯⎯ - ⎯⎯ + ⎯⎯ + x + 1
15
8
2
b) Calcular de forma aproximada e , utilizando el polinomio anterior.
SIN(x)
#4:
e
= √e
SIN(x)
#5:
SOLVE(e
= √e, x, Real)
7·π
5·π
π
#6:
x = - ⎯⎯⎯ ∨ x = ⎯⎯⎯ ∨ x = ⎯
6
6
6
5
4
2
π
π
π
π
#7:
- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯ + ⎯ + 1
116640
10368
72
6
#8:
1.648657821
c) Acotar el error:


 0

n 1
n 1
(x  a)
(x  a)
6

 max f n 1) (c)
 max f vi) (c) 
E(x)  R n  x   f n 1) (c)


a
0
a,x


6!
 n  1!
 n  1!  0c
x
6
n 5
6
6
⎛d ⎞6 SIN(x)
⎜⎯⎯⎟ e
⎝dx⎠
SIN(x)
6
4
2
2
e
·(COS(x) - COS(x) ·(15·SIN(x) + 23) + COS(x) ·(42·SIN(x) +
3
2
78·SIN(x) + 19) - 12·SIN(x) - 15·SIN(x) - 4·SIN(x))
⎛
π
⎮ SIN(x)
6
4
#10: IF⎜0 < x < ⎯, ⎮e
·(COS(x) - COS(x) ·(15·SIN(x) + 23) +
⎝
6
2
2
3
2
COS(x) ·(42·SIN(x) + 78·SIN(x) + 19) - 12·SIN(x) - 15·SIN(x) #9:
⎮⎞
4·SIN(x))⎮⎟
⎠
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147
FÓRMULA DE TAYLOR
1/2
1753·e
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
64
45.15950605
#13:
#14:
#15:
#16:
⎛ π ⎞6
⎜⎯⎟
⎝ 6 ⎠
⎯⎯⎯⎯⎯⎯·45.16
6!
0.001292448273
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148
FÓRMULA DE TAYLOR
75.- Dada la función f(x) =
e sen
(x+ )
, con 
a) Polinomio de MacLaurin de grado 5 de f


 x 
se pide:
2
2
b) Calcular de forma aproximada e , utilizando el polinomio anterior.
c) Acotar el error cometido en la aproximación anterior.
Solución
a) Polinomio de Maclaurin de grado 5 de f
f '(0)
f ''(0) 2 f '''(0) 3 f iv (0) 4 f v (0) 5
Tn 5 [f (x), a  0]  f (0) 
x
x 
x 
x 
x
1!
2!
3!
4!
5!
SIN(x + π)
#1:
e
SIN(x + π)
#2:
TAYLOR(e
, x, 0, 5)
5
4
2
x
x
x
#3:
⎯⎯ - ⎯⎯ + ⎯⎯ - x + 1
15
8
2
b) Calcular de forma aproximada e , utilizando el polinomio anterior.
1
#4:
⎯ = SIN(x + π)
2
⎛ 1
⎞
#5:
SOLVE⎜⎯ = SIN(x + π), x, Real⎟
⎝ 2
⎠
7·π
5·π
π
#6:
x = ⎯⎯⎯ ∨ x = - ⎯⎯⎯ ∨ x = - ⎯
6
6
6
π
#7:
x = - ⎯
6
⎛
π ⎞5
⎛
π ⎞4
⎛
π ⎞2
⎜- ⎯⎟
⎜- ⎯⎟
⎜- ⎯⎟
#8:
⎝
6 ⎠
⎝
6 ⎠
⎝
6 ⎠
π
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ - - ⎯ + 1
15
8
2
6
#9:
1.648657821
c) Acotar el error:
 

  0

n 1
n 1
(x  a)
(x  a)
6

 max f n 1) (c)
 max f vi) (c) 
E(x)  R n  x   f n 1) (c)


a
0
a,x


6!
 n  1!
 n  1!   c0
x 
n 5
6
6
6
#10:
⎛d ⎞6 SIN(x + π)
⎜⎯⎯⎟ e
⎝dx⎠
#11:
- SIN(x)
4
2
e
·(COS(x) ·(5·SIN(x) - 40) + COS(x) ·(60 - 75·SIN(x)) +
- SIN(x)
16·SIN(x) - 15) + e
6
·(COS(x)
4
+ COS(x) ·(10·SIN(x) - 25)
2
+ COS(x) ·(16 - 15·SIN(x)))
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149
FÓRMULA DE TAYLOR
#12:
⎛
π
⎮ - SIN(x)
4
IF⎜- ⎯ < x < 0, ⎮e
·(COS(x) ·(5·SIN(x) - 40) +
⎝
6
2
- SIN(x)
6
COS(x) ·(60 - 75·SIN(x)) + 16·SIN(x) - 15) + e
·(COS(x)
4
2
⎮⎞
+ COS(x) ·(10·SIN(x) - 25) + COS(x) ·(16 - 15·SIN(x)))⎮⎟
⎠
#13:
M = 50
#14:
⎛
π ⎞6
⎜- ⎯⎟
⎝
6 ⎠
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯·50
6!
#15:
0.001430965758
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150
FÓRMULA DE TAYLOR
76.- La medida del radio R de una esfera ha dado 6 cm con una cota de error
de 0.02cm.
a) Usar diferenciales para aproximar el máximo error porcentual posible
cometido al calcular el volumen de la esfera.
b) Estimar el máximo error porcentual posible en la medida de R para que el
error cometido al calcular el volumen no supere el 0.6%.
Solución:
a) El volumen de una esfera es V= 4/3 R3
ep
dV
4/3  3R2 dR
3·0,02
Eporc = ⎯⎯⎯⎯100  ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 100= ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 1 %
V
V
4/3 R3
6
b) Eporc < 0,6% , luego procediendo de manera inversa que en el
apartado a)
dV
4/3  3R2 dR
3·dR
dR
Eporc =  ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 100= ⎯⎯⎯⎯⎯⎯100< 0,6  ⎯⎯⎯⎯ 100< 0,2%
V
4/3 R3
R
R
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151
FÓRMULA DE TAYLOR
77.- Sea la función f(x)=arcsenx
a) Comprobar que verifica las condiciones del teorema de Taylor en a=0 y n=3.
b) Calcular la fórmula de MacLaurin de f(x) para n=3.
c) Calcular arc sen (0.1) utilizando el polinomio de MacLaurin de grado 3 y acotar
el error cometido en la aproximación anterior.
d) Dar arc sen (0.1) con las cifras decimales exactas que los cálculos de c) te
permitan asegurar.
Solución
a) f(x) verifica las condiciones del teorema de Taylor pues la función f(x) y sus derivadas hasta el
orden 4 son continuas en todo intervalo de a=0 contenido en (-1,1) por ser cociente de
funciones continuas, cuyo denominador no se anula en (-1,1)
#2:
#3:
⎛⎛d ⎞n
TABLE⎜⎜⎯⎯⎟ ASIN(x), n,
⎝⎝dx⎠
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎞
1, 4⎟
⎠
1
2
3
4
1
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
2
√(1 - x )
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
x
⎥
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎥
2 3/2
⎥
(1 - x )
⎥
⎥
2
⎥
2·x + 1
⎥
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎥
2 5/2
⎥
(1 - x )
⎥
⎥
2
⎥
3·x·(2·x + 3) ⎥
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎥
2 7/2
⎥
(1 - x )
⎦
b) La fórmula de Taylor pedida es:
3
2
4
x
3·c·(2·c + 3)
x
#4:
ASIN(x) = ⎯⎯ + x + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯·⎯⎯
6
2 7/2
4!
(1 - c )
c) El valor aproximado es
3
0.1
Asin(0,1)  ⎯⎯⎯⎯ + 0.1 = 0.1001666666
6
⎛
⎮
2
⎮⎞
⎜
⎮ 3·x·(2·x + 3) ⎮⎟
#6:
IF⎜0 < x < 0.1, ⎮⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎮⎟
⎜
⎮
2 7/2 ⎮⎟
⎝
⎮
(1 - x )
⎮⎠
El máximo se alcanza en x=1 y su valor es:
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152
FÓRMULA DE TAYLOR
#7:
⎮
2
⎮
⎮ 3·0.1·(2·0.1 + 3) ⎮
⎮⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎮ = 0.9384367711 < 1
⎮
2 7/2
⎮
⎮
(1 - 0.1 )
⎮
Luego una cota del error es
4
1·0.1
-6
Err(x=0,1)<
⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 4.166666666·10
< 0.000005
4!
y arcsen(0,1)= 0.100166 ± 0.000005
d) arcsen(0,1)=0.1001
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153
FÓRMULA DE TAYLOR
78.- Dada la función f(x) = x ln (x+1), hallar el grado del polinomio de MacLaurin
de la función f(x) necesario para aproximar f(1.1) con un error menor que 10-4.
Solución
Primer método: Calculamos aproximaciones del valor pedido con polinomios de Taylor
sucesivos hasta que el valor de la 4ª cifra decimal se hace fijo
#10: TABLE(TAYLOR(x·LN(x + 1), x, 0, n), n, 1, 10)
Obtenemos los polinomios mediante Derive y sustituimos x=1.1 en los polinomios
hallados y aproximamos obteniendo:
⎡ 1
⎢
⎢ 2
⎢
⎢ 3
⎢
⎢ 4
⎢
⎢ 5
⎢
⎢ 6
⎢
⎢ 7
⎢
⎢ 8
⎢
⎢ 9
⎢
⎣ 10
#11:
0
1.21
0.5445
1.032533333
0.6299058333
0.9842180333
0.6594318499
0.9656588228
0.6709153614
0.9591089681
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
Se observa que salvo la parte entera 0 ninguna otra cifra decimal se hace constante.
De igual manera pasa tomando n cada vez mayor pues el termino general del polinomio
(-1)n xn/(n-1) va creciendo por encima de 0,0001 por ser x=1,1>1
Segundo método: Hallamos la expresión del resto para el polinomio de grado n, para lo
cual necesitamos la expresión de la derivada n-ésima
#12:
#13:
⎛⎛d ⎞n
TABLE⎜⎜⎯⎯⎟ (x·LN(x +
⎝⎝dx⎠
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎞
1)), n, 1, 4⎟
⎠
1
2
3
x
LN(x + 1) + ⎯⎯⎯⎯⎯
x + 1
x + 2
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
2
(x + 1)
x + 3
- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
3
(x + 1)
4
2·(x + 4)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
4
(x + 1)
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
La derivada de orden n es
n
(-1) ·(n - 2)!·(x + n)
#14: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
n
(x + 1)
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154
FÓRMULA DE TAYLOR
La derivada de orden n+1 se obtiene sustituyendo n por n+1:
n+1
(-1)
·(n - 1)!·(x + n+1)
#14: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
n+1
(x + 1)
Su máximo (en valor absoluto) en el intervalo [0, 1.1] se alcanza en x=0, pues
para ese valor el denominador es mínimo y el numerador máximo, y vale (n 1)!(n+1), luego el error al aproximar x=1,1 con el polinomio de grado n
verifica que
n + 1
(n - 1)!·(n+1) ·1.1
#15: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ < 0.0001, simplificando queda
(n + 1)!
1 ⎛ 11 ⎞n + 1
⎯⎯⎯ ⎜⎯⎯⎟
> 0,0001 para cualquier n≥1
n ⎝ 10 ⎠
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155
FÓRMULA DE TAYLOR
79.- Hallar, utilizando polinomios de Taylor, el valor de los siguientes límites:
 arcsen x  2x 
x  tgx
arctg(x)  x
a) lim
c) lim
b) lim
3
3
2
x0
x  0 4x  sin(x )
x0
1  cos x
4x
Solución
2
d) lim
x0
1  x  cos x
senx
a)
#29:
#31:
3
x
TAYLOR(x - TAN(x), x, 0, 3) = - ⎯⎯
3
3
x
- ⎯⎯
x-ATAN(x)
3
1
lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =  ⎯
x→0
3
x→0
3
12
4·x
4 x
b)
3
x
TAYLOR(ATAN(x) - x, x, 0, 3) = - ⎯⎯
3
#29:
3
#30:
#31:
2
2
- SIN(x ), x, 0, 2) = - x
3
x
- ⎯⎯
ATAN(x) - x
3
x
lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = lim ⎯ = 0
x→0
3
2
x→0
2
x→0 3
4·x - SIN(x )
- x
TAYLOR(4·x
c)
 arcsen x  2x 
lim
x 0
1  cos x
2
9x 2
 18
x 0 x 2
2
 lim
d)
x
1
1  x  cos x
 lim 2 
lim
x 0
x

0
2
senx
x
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156
FÓRMULA DE TAYLOR
80.- Un topógrafo está a 30m de la base de un árbol y mide el ángulo de
elevación (a la copa) obteniendo =71º con una cota de error de 0,5.
a) Usar diferenciales para aproximar el máximo error porcentual posible
cometido al calcular la altura h del árbol (pasar  a radianes).
b) Estimar el máximo error porcentual posible en la medida de  para que el
error cometido al calcular la altura del árbol no supere el 1%.
Solución
a) Pasamos en primer lugar los grados a radianes
=
71·π
⎯⎯⎯⎯ = 1.239183768
180
0.5·π
d= ⎯⎯⎯⎯ = 0.00872
180
h = 30 tg
2
0.5·π
30 (1 + TAN(1.239183768) )·⎯⎯⎯⎯⎯
180
Er= ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0.02834884627  eporc<2,9%
30 TAN(1.239183768)
b)
2
30(1 + TAN(1.239183768) )·d
Er= ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ < 0.01
30 TAN(1.239183768)
#5:
d = 0.003078307775, luego el error porcentual al medir  debe ser:
#6:
0.003078307775
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯·100 < 0.25%
1.239183768
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157
FÓRMULA DE TAYLOR
81.- Sea la función f(x)= xsenx
a) Comprobar que verifica las condiciones del teorema de Taylor en a=0 y n=3.
b) Calcular la fórmula de MacLaurin de f(x) para n=3.

c) Calcular f   utilizando el polinomio de MacLaurin de grado 3 y acotar el
9
error cometido en la aproximación anterior.

d) Dar f   con las cifras decimales exactas que los cálculos de c) te permitan
9
asegurar.
Solución
a) f(x) verifica las condiciones del teorema de Taylor, pues, tanto la función f(x) como sus
derivadas hasta el orden 4 son continuas en cualquier intervalo de a=0 por ser suma de
funciones continuas en todo R
#9:
#10:
⎛⎛d ⎞n
⎞
TABLE⎜⎜⎯⎯⎟ (x·SIN(x)), n, 1, 4⎟
⎝⎝dx⎠
⎠
⎡ 1
x·COS(x) + SIN(x)
⎢
⎢ 2
2·COS(x) - x·SIN(x)
⎢
⎢ 3 - x·COS(x) - 3·SIN(x)
⎢
⎣ 4
x·SIN(x) - 4·COS(x)
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
b) Para escribir la fórmula de Taylor hallamos el polinomio de grado 3 y
2
#12: TAYLOR(x·SIN(x), x, 0, 3) = x
xsenx = x2 + (c·SIN(c) - 4·COS(c)) x4/4!
Siendo c un nº real desconocido entre 0 y x.
c) La aproximación pedida con el polinomio de taylor obtenido es:
⎛ π ⎞2
#14: ⎜⎯⎟ = 0.1218469679
⎝ 9 ⎠
Para hallar la cota del error cometido obtenemos una cota de la derivada cuarta
⎛
π
⎞
#15: IF⎜0 < x < ⎯, ⎮x·SIN(x) - 4·COS(x)⎮⎟
⎝
9
⎠
y por ser la función decreciente el máximo se obtiene en x=0 y vale 4
#16:
⎛ π ⎞4
4 ⎜⎯⎟
⎝ 9 ⎠
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0.002474447265 < 0.003, luego
4!
(/9)=0.121± 0.003
d) f(/9) 0.1
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158
FÓRMULA DE TAYLOR
82.- Dada la función f(x) = xe  x , hallar el grado del polinomio de MacLaurin de
la función f(x) necesario para aproximar 1/e con un error menor que 10-4.
Solución
Primer método: Calculamos aproximaciones del valor pedido con polinomios de Taylor
sucesivos hasta que el valor de la 4ª cifra decimal se hace fijo
-x
1
= ⎯
e
#17:
x·e
#18:
⎛
-x
1
⎞
SOLVE⎜x·e
= ⎯, x, Real⎟
⎝
e
⎠
#19:
#20:
x = 1
TABLE(TAYLOR(x·e
-x
, x, 0, n), n, 3, 10)
Sustituimos x=1 en los polinomios hallados y aproximamos obteniendo:
#22:
⎡ 3
⎢
⎢ 4
⎢
⎢ 5
⎢
⎢ 6
⎢
⎢ 7
⎢
⎢ 8
⎢
⎢ 9
⎢
⎣ 10
0.5
0.3333333333
0.375
0.3666666666
0.3680555555
0.3678571428
0.3678819444
0.3678791887
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
Se observa que la 4ª cifra decimal se hace constante para n≥8 (en general no es
seguro pero sí en este caso pues cada término del polinomio de Taylor para x=1 es de
la forma 1/n! y para n≥8 1/n!<0.0001.
Segundo método: Hallamos la expresión del resto para el polinomio de grado n, para lo
cual necesitamos la expresión de la derivada n-ésima
#23:
#24:
⎛⎛d ⎞n
-x
⎞
TABLE⎜⎜⎯⎯⎟ (x·e ), n, 1, 5⎟
⎝⎝dx⎠
⎠
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
-x
1
2
3
4
5
⎤
·(1 - x) ⎥
⎥
-x
⎥
e ·(x - 2) ⎥
⎥
-x
⎥
e ·(3 - x) ⎥
⎥
-x
⎥
e ·(x - 4) ⎥
⎥
-x
⎥
e ·(5 - x) ⎦
e
La derivada n-ésima es de la forma (-1)^(n)e^(-x)·( x-n), luego la derivada (n+1)
ésima será
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159
FÓRMULA DE TAYLOR
n + 1
#25:
(-1)
·e
-x
·(x - (n + 1))
El máximo en [0,1] del valor absoluto de dicha función es (n+1) pues para x=0 toman
el máximo valor la exponencial e^(-x) y la diferencia abs(x - (n+1)), luego
#26:
n + 1
1
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯ < 0.0001
(n + 1)!
n!
#27:
⎛ 1
⎞
TABLE⎜⎯⎯ < 0.0001, n, 3, 10⎟
⎝ n!
⎠
#28:
⎡ 3
⎢
⎢ 4
⎢
⎢ 5
⎢
⎢ 6
⎢
⎢ 7
⎢
⎢ 8
⎢
⎢ 9
⎢
⎣ 10
false ⎤
⎥
false ⎥
⎥
false ⎥
⎥
false ⎥
⎥
false ⎥
⎥
true ⎥
⎥
true ⎥
⎥
true ⎦
Luego n≥8
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160
FÓRMULA DE TAYLOR
83.- La medida del radio R de la base de un mástil ha dado 14 cm con una cota
de error de 0.25 cm.
a) Usar diferenciales para aproximar el máximo error porcentual posible cometido
al calcular el área de la base del mástil.
b) Estimar el máximo error porcentual posible en la medida de R para que el
error cometido al calcular el área no supere el 1%.
Solución
a)
S =  R 2 , R = 14 cm, dR  0.25 cm
S  dS = S’ (R) dR = 2  R dR  2  14  0.25   21.99 cm 2
S  21.99
 0.036  Error porcentual al calcular el área  3.6%

S
14 2
b)
S
 0.01  S  14 2 0.01  6.16
S
S  dS = S’ (R) dR = 2  R dR = 2  14 dR  6.16  dR 
6.16
 0.07 cm
214
dR 0.07

 0.005  Error porcentual al medir el radio  0.5%
R
14
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161
FÓRMULA DE TAYLOR
84.- a) Hallar el polinomio de Taylor de grado 3 de la función f  x   cos2 x en

y utilizar el polinomio anterior para calcular un valor aproximado
4


de cos2  1.1   .
4

el punto a 
b) Acotar el error cometido en la aproximación anterior.
Solución:
a) El polinomio de Taylor de tercer grado que aproxima la función cos2x alrededor del punto x 

4

 1
f    cos 2    ;
4
4 2
es:
f ' x   2senx cos x

f '    1 ;
4
f ' ' x   2  4 cos 2 x ;

f ''   0
4
f ' ' ' x   8senx cos x

f '''   4 
4
3
 4 

 1 1 

T3 cos 2 x ,  =   x     x   .
4  3! 
4
4  2 1! 

3

 
    1  2   
cos  1.1   T3 cos2 1.1  ,        0.421783165 .
 4
 4  4  2 40 3  40 

2
b) La estimación del error la obtenemos a partir del cálculo del resto de Lagrange del polinomio de
grado 3.
f iv  c  

R3 
x 
4! 
4
4
f IV  x   16cos2 x  8 es creciente en
como
4

    1  
16 cos 2 1.1   8  


4

  

 4    10 4 

sen    1.984132688·10 6 

 4 ,1.1 4  R 4 
4!
7680000
 20 
 
cos 2  1.1   0.4217831  0.000002
 4
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162
FÓRMULA DE TAYLOR
85.- Obtener un valor del número e con un error inferior a una millonésima.
Solución:
La fórmula de MacLaurin de la función f(x)=ex es:
ex  1  x 
x2 x3 x4
xn
x n 1
e c con c   0, x 


 ..... 

2 ! 3! 4 !
n !  n  1!
Acotación del error:
E(x)  Rn(x)  f n 1) (c)
E(1)  R n (1)  f n 1) (c)
x n 1
(n  1)!
1n 1
1
1
1
 ec
 e1
3
 106  n  9
c

1
e

3
(n  1)!
(n  1)!
(n  1)!
(n  1)!
Calculamos el polinomio de MacLaurin de orden 9 y sustituimos el valor de x por 1:
e  e1  1  1 
12 13 14
19
 
 ..... 
 2.71828
2 ! 3! 4 !
9!
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163
FÓRMULA DE TAYLOR
1  x
86.- Dada la función f(x)  ln 
 . Obtener la expresión del polinomio de
1  x
MacLaurin de grado 3. Calcular ln(3) con dicho polinomio y acotar el error
cometido.
Solución:
Para todo x  (1,1) se verifica
 1 x 
f (x)  ln 
  ln(1  x)  ln(1  x)  T3  ln 1  x  , a  0   T3  ln 1  x  , a  0 
 1 x 
f '(0)
f "(0) 2 f '"(0) 3
T3  ln(1  x);a  0  f (0) 
x
x 
x 
1!
2!
3!
1
1
 T3  ln(1  x);a  0  0  x  x 2  x 3 .
2
3
f '(0)
f "(0) 2 f '"(0) 3
T3  ln(1  x);a  0  f (0) 
x
x 
x
1!
2!
3!
1
1
T3  ln(1  x);a  0  0  x  x 2  x 3
2
3
2 3
1 x 
f (x)  ln 
  T3 ln 1  x  , a  0   T3  ln 1  x  , a  0   2x  x
3
 1 x 
1
 1 x 
Como ln 
  ln3  x  :
2
 1 x 
1 2 1 13
1
 .
f    ln  3  2 
2 3 8 12
2
Donde el error cometido, evaluado por el método de Lagrange, sería
48c  c2  1
100 1
 1 x
  c  1  c  1 4
R n 3 ln
, a  0] 
x 
 0 .3
4!
4 ! 24
 1 x

4
4
o  c 1/2
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164
FÓRMULA DE TAYLOR
 x  1
87.- Dada la función f(x)  ln 
 , se pide:
 2 
e) Calcular la derivada n-ésima de f(x).
f) Escribir la fórmula de Taylor en el punto a=1.
g) Acotar el error cometido en el cálculo de ln(1,1) utilizando el polinomio de
grado 3.
h) Calcular el grado del polinomio mínimo necesario para obtener un valor de
ln(1,1) con un error menor a 10-6
Solución:
 1 x 
a) Cálculo de las derivadas n-ésimas de f (x)  ln 

 2 
f '(x) 
1
2
; f ''(x)   1  x  ; f '''(x)  2(1  x) 3 ; f IV (x)  2·3(1  x) 4 ; f V (x)  2·3·4(1  x) 5 ;
(1  x)
………; f n ) (x)  (1) n  n  1 ! x  1 .
n
b) Cálculo de la fórmula de Taylor en el punto a=1.
Calculadas las derivadas hasta el orden n se puede escribir la fórmula de Taylor
f '(1)
f ''(1)
f '''(1)
f n ) (1)
f (x)  f (1) 
(x  1) 
(x  1) 2 
(x  1)3  ... 
(x  1) n  R n (x)
1!
2!
3!
n!
n (n  1)!
1 2
2 3
1
 1
2n (x  1) n  R (x) 
f (x)  0  2 (x  1)  2 (x  1) 2  2 (x  1)3  ... 
n
1!
2!
3!
n!
1
1
1
1
n
f (x)  (x  1)  2 (x  1) 2  3 (x  1)3  ...   1
(x  1) n  R n (x)
n
2
2·2
3·2
n·2
n 1
(1) n !
Siendo
 c  1
R ( x) 
n 1
(n  1)!
n
( x  1) n 1 con c  [1,x]
c) Calculamos ln 1,1 utilizando el polinomio de grado 3
x 1
 x 1
 1, 2  x  1  2, 2  x  1, 2
f (x)  ln 
  ln 1,1 
2
 2 

1
1
1
f (1.2)  (1.2  1)  2 (1.2  1) 2  3 (1.2  1)3  0.097583
2
2·2
3·2
El error cometido, sería
3!
 c  1
R ( x) 
3
R3 1.2   max
1
1.2  1
4 
4  c  1
Una cota del error podría ser
c[1,1.2]
4
( x  1) 4 con c  [1,x]
4!
4

0.24
4  c  1
4
, para un cierto valor de c, 1 < c < 1.2
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165
FÓRMULA DE TAYLOR
Error 
0.24
0.24

 2.5·105
4(1  c) 4 4·24
d) El polinomio de grado 3 no es suficiente para obtener la aproximación con error menor que 106
.

0.26
0.26

 1.6·107
Como Error 
6
6
6(1  c)
6·2
Es suficiente el polinomio de grado 5 para obtener un error menor que 10-6.
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166
FÓRMULA DE TAYLOR
88.- Dada la función f(x)  sen(x)  cos(x) .
a) Hallar el polinomio de MacLaurin de grado 1 de la función f(x).
b) Utilizar el polinomio del apartado a) para calcular un valor aproximado de
f(18º) Nota: Utilizar = 3.1416
Solución:
a) Calculamos los valores de f(0) y f’(0) para sustituir en la fórmula de MacLaurin
T1 f  x  ; x  0   f  0   f '(0)·x .
f  0   sen(0)  cos(0)  1 ; f '  x   cos x  senx  f '  0   1 .
por tanto
P  x   T1  f  x  ; x  0   1  x
 13.1416


b) f 18º   f    P    1  
 1.31416
10
10
 10 
 10 
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167
FÓRMULA DE TAYLOR
89.- Dada la función f(x)  e
x
se pide:
a) Escribir la fórmula de Taylor de la función f(x) para n = 3 y a=1.
1
b) Hallar el valor aproximado de e 2 , con el polinomio obtenido en a)
c) Hallar una cota del error cometido en b).
Solución:
a) Fórmula de Taylor de f (x)  e
x
f (x)  T3  f (x), a  1  R 3 (x)  f (1) 
f '(1)
f ''(1)
f '''(1)
(x - 1) 
(x - 1)2 
(x - 1)3 
1!
2!
3!
f 4) (c)
(x - 1) 4 , con a = 1 < c < x ó bien x < c < 1 = a
4!
Calculamos el polinomio de grado 3 en a = 1 y el resto de Lagrange correspondiente
 32

c  6c  15 c  15 

3
2
 x  3x  27x  23 ; R (x)  f 4) c  e c 

T3  f (x), a  1  e
 
3
7
48
16c 2
La fórmula de Taylor pedida es:
 32

c  6c  15 c  15 

3
2
 x  3x  27x  23  e c 
 con 1 < c < x ó x < c < 1
f (x)  e·
7
48
16c 2
+
b) Valor aproximado de e
1
2
1
en el polinomio
2
x3  3x 2  27 x  23
1
P3    e·
= 2.031632512
48
2
, para ello, sustituimos x 


c) Cálculo de una cota superior del error cometido:
1
(  1) 4
4
4
(x
1)
(x
1)


E(x)  R 3  x   f 4) (c)
 max f 4) (c)
 max f 5 (c) 2
(a,x )
4!
4! x  1 ; 1 c1
4!
2 2
Hallamos un valor mayor que la derivada cuarta de f(c) cuando c(1/2, 1).
Observamos que f4)(c) es decreciente, por tanto, una cota es 11 que se obtiene para c<1/2
Así pues, una cota del error es
 0.5  1
11
4!
4
 0.0286  0.03 , es decir, menor que 3 centésimas.
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168
FÓRMULA DE TAYLOR
90.- Dada la función f(x) 
1
se pide:
x
a) Escribir la fórmula de Taylor de la función f(x) para n = 3 y a=1.
1
b) Hallar el valor aproximado de
, con el polinomio obtenido en a)
2
c) Hallar una cota del error cometido en b).
Solución:
1
para n=3 y a=1 es:
x
f '(1)
f ''(1)
f '''(1)
f 4) (c)
f (x)  T3  f (x), a  1  R 3 (x)  f (1) 
(x -1) 
(x -1) 2 
(x -1)3 
(x -1) 4
1!
2!
3!
4!
1<c<x ó x<c<1
Calculamos el polinomio de grado 3 en a = 1 y el resto de Lagrange correspondiente
105 9/2
35  35x  21x 2  5x 3
; R 3 (x)  f 4)  c  
c
T3  f (x), a  1 
16
16
La fórmula de Taylor pedida es:
35  35x  21x 2  5x 3 105 9/2
con 1 < c < x ó x < c < 1
c
f (x) 

16
16
a) La fórmula de Taylor de f (x) 
b) Valor aproximado de
1
, para ello, sustituimos x  2 en el polinomio
2
35  35x  21x 2  5x 3
= 0.5625
P3 (2) 
16
c) Cálculo de una cota superior del error cometido:
(x  1)4
(x  1)4
(2  1)4
E(x)  R 3  x   f 4) (c)
 max f 4) (c)
 max f 5 (c)
(a,x )
4!
4! x  2; 1c 2
4!
Hallamos un valor mayor que la derivada cuarta de f(c) cuando c(1, 2).
Observamos que f4)(c) es decreciente, por tanto, una cota es 7 que se obtiene para c<1
Así pues, una cota del error es
 2  1
7
4!
4
 0.2916  0.3 , es decir, menor que 3 décimas.
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169
FÓRMULA DE TAYLOR
91.- La medida del lado L, de un cristal cuadrado es de 28 cm con una cota de
error de 0.5 cm.
a) Usar diferenciales para aproximar el máximo error porcentual posible cometido
al calcular el área del cristal.
b) Estimar el máximo error porcentual posible en la medida de L, para que el
error cometido al calcular el área no supere el 1%.
Solución:
a) S = L2; L = 28 cm; dL  0.5
S  dS=2·L·dL  2·28·(0.5)  28 cm2.
S 28
 2  0.036  El error porcentual al calcular el área del cristal es 3.6%
28
S
b)
S
 0.01  S  282 ·0.01  7.84
S
S  dS  S '( L)·dL  2· L·dL  2·28·dL  7.84  dL  0.14cm
dL 0.14

 0.005  El error porcentual al medir el lado  0.5%
28
L
El error porcentual al medir el lado es  0.5%
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170
FÓRMULA DE TAYLOR
92.- La medida del lado L de un cubo o exaedro regular ha sido 14 cm con una
cota de error de 0.25 cm.
a) Usar diferenciales para aproximar el máximo error porcentual posible cometido
al calcular el volumen del cubo.
b) Estimar el máximo error porcentual posible en la medida de L para que el
error cometido al calcular el volumen no supere el 1%.
Solución:
a)
b)
V = L3 , L = 14 cm, dL  0.25
V  dV=3·L2·dL  3·142·(0.25)  147 cm3.
V 147

 0.054  El error porcentual al calcular el área del cristal es 5.4%
143
V
V
 0.01  V  143·0.01  27.44
V

V  dV  V '( L)·dL  3·L2 ·dL  3·142 ·dL  27.44  dL  0.046cm

dL 0.046

 0.004  El error porcentual al medir el lado  0.4%
L
14
El error porcentual al medir el lado es  0.4%
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171
FÓRMULA DE TAYLOR
93.- La medida del área de una pieza circular ha sido 25 cm2 con una cota de
error de 0.3 cm2.
a) Aproximar, mediante diferenciales, el porcentaje del error propagado (cota)
cuando calculamos el radio de la pieza.
b) Estimar el máximo error porcentual admisible en la medida del área para que
error cometido al calcular el radio no supere el 1%
Solución:
a)
S = π r2  r 
r  dr 
1
S

1
 2 S
, S = 25 cm2, dS  0.3
dS 
1
1
 0.3  0.01693 cm.
 2 25
r 0.01693

 0.006  El error porcentual al calcular el área del cristal es 0.6%
2.82095
r
b)
S
 0.01  S  25·0.01  0.25
S
S  dS  2· ·r ·dr  2·3.14·2.82095·dr  0.25  dr  0.0142cm
dr 0.0142

 0.005 
r 2.82095
El error porcentual al medir el radio es  0.5%
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172
FÓRMULA DE TAYLOR
94.- Calcular con 3 cifras decimales (exactas) las siguientes integrales utilizando
polinomios de MacLaurin de la función integrando como infinitésimos equivalentes e indica
el menor grado del polinomio necesario

0,1
0
sen(x)
dx ;
x

0,1
0
2
e  x dx
Solución:
 senx 
El proceso que utilizaremos es hallar polinomios sucesivos Tn 
, 0  como integrando y
 x

calculando la integral correspondiente hasta que la tercera cifra decimal quede constante.
senx
una función par.
Observamos los sucesivos polinomios de MacLaurin que son pares por ser
x

0,1
0
0,1 
sen( x)
x2 
dx   1   dx  0.099 9444444
0
x
6 

0,1 
sen( x)
x2 x4 
1
dx


.
0 x
0  6  120  dx  0.099 94446111
0,1 sen( x )
0,1 
x2 x4
x6 
dx

1



0 x
0  6 120 5040  dx  0.099 94446110
0,1
Como vemos basta usar el polinomio de grado 2 para obtener la aproximación pedida.
2
Se utiliza el mismo procedimiento para la función e  x , casualmente también es par, y se obtiene:

0,1
0
e  x dx  
2
0,1
0
1  x  dx  0.099 66666666
2
0,1 
2
 x2
0 e dx  0 1  x 
0,1
0,1 
2
 x2
e
dx

0
0 1  x 
0,1
x4 
 dx  0.099 66766666
2
x4 x6 
  dx  0.099 66766428
2 6
También basta usar el polinomio de grado 2 para obtener la aproximación pedida.
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176
FÓRMULA DE TAYLOR
95.- La clotoide es una curva (plana) de enlace de vías de comunicación cuyas

s2
s
 x = 0 cos 2 ds

2a
ecuaciones paramétricas son 
, donde a es el parámetro de la
2
s

s
 y  0 sen 2 ds
2a

clotoide y s es la longitud del arco.
Las integrales que las definen no admiten primitiva por lo que se aproximan
utilizando polinomios de MacLaurin para las funciones integrando. Se pide obtener
unas ecuaciones para a=1/2 con cuatro términos no nulos.
Solución

s2
s
x
=
cos
ds  0s cos 2s 2 ds
 0
2

2a
,
Para a =1/2, 
s2

s
s
2
 y  0 sen 2a 2 ds  0 sen 2 s ds
Como sabemos la función coseno es par y la función seno es impar por lo que sus polinomios de
MacLaurin van a tener términos nulos, utilizando Derive observamos que para conseguir 4
términos no nulos hemos de utilizar polinomios de grado 12 y 14 respectivamente:
2 s8 4 s12
4 s 6 4 s10 8s14
y T14 sin 2 s 2 , 0   2 s 2 
T12 cos 2 s 2 , 0   1  2 s 4 







3
45
3
15
315
Sustituyendo en las integrals:
8

4 s12 
2 s5 2s 9 4s13
s
s
2
4 2s
x
cos
2
s
ds

1

2
s


ds

s



=
 0

0 
3
45
5
27
585




6
4s10 8s14 
2s3 4s 7 4 s11 8s15

s
s  2 4s
2









y
sen
2
s
ds
2
s
ds




0
0

3
15
315 
3
21 165 4725


 
 
 
 
 
 
Hemos obtenido unas ecuaciones paramétricas de la clotoide con una aproximación adecuada para
la construcción de curvas en vías de comunicación.
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177
FÓRMULA DE TAYLOR
96.- Construido un depósito esférico para almacenamiento de líquidos, se le pide
a un topógrafo que estime con la mayor precisión posible el volumen que puede
contener. El topógrafo mide el radio R de la esfera que resulta ser de 11,35 m.
con una cota de error estimado dR < 20 cm.
a) Aplique el concepto de diferencial para aproximar el error propagado
(porcentual) cometido al calcular el volumen V del depósito.
b) Estimar el máximo error en la medida de R, para que el error propagado al
calcular el volumen no supere el 3%.
Solución
a) R=11,35 ±  0.20, es decir, se toma como valor aproximado R = 11.35 m. y la cota de
error, |dR|< 0.20 m, nos indica que el verdadero valor de R está entre 11.15 y 11.55 m.
Este error de R se propaga al calcular el volumen del depósito:
Luego el error propagado en porcentaje es <5,3%
Por lo tanto, la cota de error al medir R no debe superar los 12 cm, es decir |dR| < 12 cm
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178
FÓRMULA DE TAYLOR
97.- Para el control de calidad de una pieza cilíndrica de un cohete, con la
medida de la altura igual al diámetro de la base, se le pide a un topógrafo que
mida el radio R de la base con alta precisión y el resultado es de 6,14m. con
una cota de error dR < 6 cm.
a) Usar diferenciales para aproximar el máximo error propagado cometido, en
términos porcentuales, al calcular el volumen del cilindro.
b) Estimar el máximo error porcentual posible en la medida de R para que
el error cometido al calcular el volumen no supere el 1%.
Solución
a) R=6,14  0.06, es decir, se toma como valor aproximado R = 6.14 m. y la cota de
error, dR=0.06m, nos indica que el verdadero valor de R está entre 6.08 y 6.2 m.
Este error de R se propaga al calcular el volumen del depósito:
V =  R2 2R 2 R3 2 6.143  1454.403737m3.
Para obtener una cota del error V se usa la diferencial V dV
dV = V’ (R) dR= 23R2dR 6R2dR
El error propagadoporcentual es:
Luego el error propagado en porcentaje es <3%
Por lo tanto, la cota de error al medir R no debe superar 0.34% de la medida de R.
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179
Fórmula de Taylor
Sea f(x) una función derivable hasta el orden n+1, con derivadas continuas hasta el
orden n en un entorno del punto a, entonces, existe c  (a , x ) tal que:
f ( x )  f (a ) 
f (a )
f " (a )
f n ) (a )
f n 1) (c)
(x  a ) 
( x  a ) 2  ... 
(x  a ) n 
( x  a ) n 1
1!
2!
n!
(n  1)!
con a<c<x ó bien x<c<a
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82
Fórmula de Maclaurin
Sea f(x) una función derivable hasta el orden n+1, con derivadas continuas hasta el
orden n en un entorno del punto a=0, entonces, existe c  (0, x) tal que:
f ( x )  f (0) 
f (0)
f " ( 0) 2
f n ) (0) n f n 1) (x ) n 1
x
x  ... 
x 
x con 0    1
1!
2!
n!
(n  1)!
Si a=0 en la fórmula de Taylor se obtiene la fórmula de Maclaurin:
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81
Polinomio de Taylor de grado n de f en a
Dada una función y=f(x) con derivadas hasta un cierto orden n en un punto a,
se denomina polinomio de Taylor de grado n de f en a:
f (a )
f " (a )
f n ) (a )
2
Pn ( x )  f (a ) 
(x  a ) 
( x  a )  ... 
(x  a )n
1!
2!
n!
k)
n
f (a )
(x  a ) k
o abreviadamente Tn f ( x ), a   
k!
k 0
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132
Polinomio de MacLaurin de grado n de f
Dada una función y=f(x) con derivadas hasta un cierto orden n en un punto a,
se denomina polinomio de Taylor de grado n de f en a:
f (a )
f " (a )
f n ) (a )
2
Pn ( x )  f (a ) 
(x  a ) 
( x  a )  ... 
(x  a )n
1!
2!
n!
Para el valor concreto de a=0 el polinomio de Taylor se dice Polinomio de
MacLaurin:
f k ) (0) k
x
k!
k 0
n
Tn  f (x), 0  
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132
Acotación del error
E(x)  f (x)  P(x) 
f n 1) (c)
(x  a) n 1
(x  a) n 1
(x  a) n 1  máx f n 1) (c)
k
c a,x 
(n  1)!
(n  1)!
(n  1)!
Podemos aproximar una función, f(x), que cumpla el teorema de Taylor, por un
polinomio P(x) en un entorno de x=a con la precisión deseada sin más que tomar n
suficientemente grande ya que para cada x fijo, nlim

(x  a) n 1
= 0.
(n  1)!
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3
Función impar
Función, que a valores opuestos de la variable, hace corresponder valores también
opuestos. Su gráfica es simétrica respecto al origen de coordenadas.
f (x) simétrica respecto el eje OY (Función par)
f ( x)  
- f(x) simétrica respecto el origen O (Función impar)
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88
Función par
Función, que a valores opuestos de la variable, hace corresponder los mismos valores. Su
gráfica es simétrica respecto el eje de ordenadas.
f (x) simétrica respecto el eje OY (Función par)
f ( x)  
- f(x) simétrica respecto el origen O (Función impar)
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88
Esfera
Esfera: sólido terminado por una superficie curva cuyos puntos equidistan todos de
otro interior llamado centro.
Área  4 r 2
Volumen 
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4 3
r
3
69
Resto de orden n de f (x) en a
Sea f(x) una función para la cual existe el Polinomio de Taylor de orden n en el punto a, se
define resto de orden n de f (x) en a:
f n 1) (c)
(x  a) n 1 con a<c<x ó x<a<c expresión que se
R n  f (x), a   f (x)  Tn  f (x), a  
(n  1)!
conoce como el resto de Lagrange o término complementario.
VÍDEO EXPLICATIVO
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144
Clotoide
La clotoide o espiral de Cornu o espiral de Euler o espiral de Fresnel
Es una curva plana en forma de espiral doble, con simetría central cuyo radio de curvatura
disminuye de manera inversamente proporcional a la distancia recorrida:
 s  a2
 es el radio de la curvatura;
s longitud de la curva o distancia recorrida
a parámetro de la clotoide
Ecuaciones paramétricas de la espiral de Cornu
x'(t)2+y'(t)2=sen2(t2)+cos2(t2)=1
que nos lleva a unas primitivas desconocidas:
Integrales de Fresnel
t
 s2 
x(t)   cos  2 ds
0
 2a 
t
 s2 
y(t)   s en  2 ds
0
 2a 
"Cloto era una de las tres Parcas que hilan el destino de los hombres"
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22
Diferencial
 Diferencial de una función f en un punto a es la aplicación lineal:
df (a) : R  R
siendo f derivable en a.
x  f '(a)  x
Suele denotarse dx a la variable de la aplicación lineal diferencial. Será, por tanto,
una función de dos variables a y dx.
df(a)(dx)=df(a,dx)=f ’(a)dx
 Se dice que la función z=f(x,y) es diferenciable en el punto P0(x0,y0) si y
solo si su incremento total en dicho punto (al pasar del punto P0 a P) se
puede escribir en la forma :
z 0  f ( x , y )  f ( x 0 , y 0 ) 


f
P0 x  x 0   f P0 y  y 0   O( v )
x
y


siendo v  P0 P  x  x 0 , y  y 0  y O( v) un infinitésimo de orden mayor que v
Se llama diferencial total, o simplemente diferencial, de una función
z=f(x,y) y se designa dz, o bien, df a la expresión.
dz 

f
f
dx 
dy  f  dx, dy 
x
y
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Ecuaciones paramétricas
Ecuaciones en las que intervienen parámetros.
 Ecuaciones paramétricas de una curva plana son ecuaciones de la forma
x=x(t), y=(t) donde el parámetro t recorre los valores del campo de
existencia.
 Ecuaciones paramétricas de un subespacio vectorial son las coordenadas de
un vector del subespacio vectorial como combinación lineal de los vectores
de una base.
 Ecuaciones paramétricas de una recta:

En el plano: siendo P(x0,y0) un punto cualquiera y v   v1 , v 2  un vector director.
 x  x 0  tv1
 y  y 0  tv 2
En el espacio: Siendo P=(p1,p2,p3) un punto cualquiera y v  ( v 1 , v 2 , v 3 ) un vector
Ecuaciones paramétricas de la recta: 
director de la recta.
 x 1  p1  tv 1
Ecuaciones paramétricas: x 2  p 2  tv 2 .
 x  p  tv
3
3
 3
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