Funciones Inyectivas suprayectiva y Biyectiva

(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje)
FUNCIONES INYECTIVA, SUPRAYECTIVA Y BIYECTIVA
Esta clasificación obedece a la forma en que están
relacionados los elementos del dominio con los del
codominio. Conviene utilizar la notación:
f : Df → Cf
“Función que mapea al dominio Df en el codominio Cf ”
Función Inyectiva (uno a uno)
Definición. Una función f : Df → Cf es inyectiva o uno a uno y
se denota como 1− 1, si a diferentes elementos del dominio le
corresponden diferentes elementos del codominio. En esta
función, para dos valores cualesquiera x1 y x2 de su
dominio se cumple que:
x1 ≠ x2 ⇒ f ( x1 ) ≠ f ( x2 )
Ejemplo. La función f ( x ) = 3 x + 1 es 1− 1 ya que si se define
como
f:\→\
entonces se tendrá que a diferentes
elementos del dominio les corresponden diferentes
elementos del codominio.
Ejemplo. Sea M el conjunto de mujeres con hijos, H el
conjunto de los hijos y f la función que asocia a cada mujer
con su hijo primogénito. Es una función 1− 1 o inyectiva.
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
2
H (hijos )
M1
HP M2
M2
HP M1
M3
HP M3
M4
HP M4
M ( mujeres )
HP
Ejemplo. Sea la función f : \ → \ dada por f ( x ) = x 2 .
y
f ( x1 ) = f ( x2 )
x1 ≠ x2
( x ,f ( x ))
1
( x ,f ( x ))
1
2
x1
x2
2
x
Para comprobar analíticamente si una función es 1− 1 se
despeja, cuando esto es posible, la variable independiente
" x " en términos de la variable dependiente " y " y se
comprueba que para cada valor de " y " exista un solo valor
de " x " .
Para comprobar gráficamente que una función es 1− 1 basta
con comprobar que toda recta paralela al eje " x " corta a la
gráfica de la función en un solo punto.
Si en el ejemplo anterior se limita el dominio de la función es
evidente que se obtienen funciones inyectivas:
f : \ + ∪ {0} → \ dada por f ( x ) = x 2
o bien
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
f : \ ∪ {0} → \ dada por f ( x ) = x
−
3
2
⎡ π π⎤
Ejemplo. Sea la función f : ⎢ − , ⎥ → \ ; f ( x ) = cos x . Si se
⎣ 2 2⎦
grafica se observa que no es 1− 1. Sin embargo, si se cambia
su dominio y ahora se define como:
f : ⎡⎣0,π ⎤⎦ → \ ; f ( x ) = cos x
se verá que cualquier recta horizontal corta a la gráfica en un
solo punto por lo que sí es 1− 1.
y
y
⎡ π π⎤
Df = ⎢ − , ⎥
⎣ 2 2⎦
−
Df = ⎡⎣0,π ⎤⎦
π
π
2
2
x
π
0
x
" sí inyectiva"
"no inyectiva"
Ejemplo. Dos funciones, una que sí es 1− 1 y otra que no
Cf
Df
a
1
d
e
3
sí es 1-1
1
b
c
2
Df
Cf
a
2
3
b
no es 1-1
Ejemplo. Verificar analíticamente que la función f : ⎡⎣0, ∞ ) → \
dada por f ( x ) = x 2 + 4 , es inyectiva.
Solución.
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Función Suprayectiva (sobre)
Definición. Una función es suprayectiva o sobre si todo
elemento de su Codominio es imagen de por lo menos un
elemento de su Dominio, lo que se expresa como:
Sea f : Df → Cf
Si ∀ b ∈ Cf existe a ∈ Df tal que f ( a) = b,
entonces f es sobre
Otra forma de expresar que una función es sobre es decir
que debe cumplir con que su Codominio y su Recorrido sean
iguales, esto es, Rf = Cf
Ejemplo.
Sea la función
f ( x ) = 3x + 1
definida como
f : \ → \ . En este caso se ve que todo número real es imagen
de algún otro número real bajo la función f . Esto significa
que el recorrido es igual al codominio y por lo tanto la
función dada es suprayectiva o sobre.
Ejemplo. Analizar si la función definida como f : \ → \ dada
por f ( x ) = x 2
es suprayectiva y, en caso de no serlo,
determinar bajo qué condiciones podría serlo.
Solución.
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Ejemplo. se presentan en este ejemplo dos casos, uno en
que la función es sobre y otra en la que no lo es:
Cf
Cf
Df
Df
1
a
a
1
c
2
2
3
b
sí es sobre
b
d
3
e
no es sobre
Ejemplo.
Verificar que la función definida como
f : ( 0, ∞ ) → ( −∞,0 ) y dada por f ( x ) = − x , es suprayectiva.
Solución.
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Función Biyectiva (1-1 y sobre)
Definición. Una función es biyectiva si al mismo tiempo es
inyectiva y suprayectiva, y la relación entre los elementos del
dominio y los del codominio es biunívoca.
Una función puede ser:
i) 1-1 y sobre (biyectiva)
ii) 1-1, pero no sobre
iii) No 1-1, pero sí sobre
iv) Ni 1-1 ni sobre
Ejemplo. Aquí se presentan los casos antes citados:
a
c
1
a
b
2
b
Biyectiva
1-1 y sobre
1
3
c
2
1-1 no y sobre sí
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a
1
a
2
2
b
b
3
c
1
c
4
1-1 sí y sobre no
4
3
1-1 no y sobre no
Ejemplo. Dada la función f : ⎡⎣0, ∞ ) → ⎡⎣0, ∞ ) dada por f ( x ) = x 2 ,
investigar si es biyectiva:
Solución.
Ejemplo. Decir si la siguiente función es biyectiva y, en caso
de serlo, hacer un trazo de su gráfica:
f : ⎡⎣0,1⎤⎦ → ⎡⎣0,1⎤⎦ dada por
f ( x ) = + 1− x 2
Solución.
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FUNCIÓN INVERSA
Si en una función biyectiva se cambian " x " por " y " y
" y " por " x " , y se despeja la nueva variable dependiente
" y " , la relación resultante es una nueva función que se llama
“función inversa” y se denota con " f −1 " .
Definición. Sea f una función biyectiva. Entonces su función
inversa es " f −1 " y está definida por la siguiente condición:
si y sólo si
( x, y ) ∈ f −1
( y, x ) ∈ f
El dominio de f se convierte en el recorrido de f −1 y el
recorrido de f en el dominio de f −1, esto es,
Df = Rf −1
y
Rf = Df −1
Las gráficas de f y f −1 son simétricas con respecto a la
gráfica de la función identidad y = x .
Como se dijo, para que una función admita función inversa,
debe ser biyectiva, aunque cabe decir que lo importante
para que esta exista es que sea inyectiva, ya que para ser
suprayectiva bastará considerar siempre que el codominio es
igual al recorrido.
Ejemplo. Investigar si la función dada por:
f : ( x, y ) y = 2 x + 1; x ∈ ⎡⎣−2,2⎤⎦ ; x ∈ \
{
}
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es biyectiva y, en caso de serlo, obtener su función inversa y
dar dominio, recorrido y trazo de la gráfica de f y f −1.
Solución.
Ejemplo. Dadas las seis funciones trigonométricas, explicar
las condiciones que deben guardar sus respectivos dominios
para que tengan funciones inversas y definir éstas.
Solución.
f ( x ) = sen x . Se limita su dominio al intervalo
⎡ π π⎤
⎢− 2 , 2 ⎥ , y
⎣
⎦
entonces sí tiene función inversa:
y = sen x ; x = seny ⇒ y = angsenx
∴ f −1 ( x ) = angsenx ; Df −1 = ⎡⎣−1,1⎤⎦ = Rf
f ( x ) = cos x . Se limita su dominio al intervalo ⎡⎣0,π ⎤⎦, entonces
sí tiene función inversa:
y = cos x ; x = cos y ⇒ y = ang cos x
∴ f −1 ( x ) = ang cos x ; Df −1 = ⎡⎣−1,1⎤⎦ = Rf
⎛ π π⎞
f ( x ) = tan x . Se limita su dominio al intervalo ⎜ − , ⎟ y de
⎝ 2 2⎠
esta forma admite función inversa:
y = tan x ; x = tan y → y = ang tan x
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∴ f
−1
( x ) = ang tan x
;
Df −1 = ( −∞, ∞ ) = Rf
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f ( x ) = cot x . Si se fija el dominio al intervalo ( 0,π ) , entonces
tiene función inversa:
y = cot x ; x = cot y ⇒ y = ang cot x
∴ f −1 ( x ) = ang cot x ; Df −1 = ( −∞, ∞ ) = Rf
⎧π ⎫
⎡⎣0,π ⎤⎦ − ⎨ ⎬ ,
⎩2⎭
tendrá función inversa, la que se define como:
y = sec x ; x = sec y ⇒ y = ang sec x
∴ f −1 ( x ) = ang sec x ; Df −1 = ( −∞, −1⎤⎦ ∪ ⎡⎣1, ∞ )
f ( x ) = sec x . Se limita su dominio al intervalo
⎡ π π⎤
f ( x ) = csc x . Se limita su dominio al intervalo ⎢ − , ⎥ − {0} y
⎣ 2 2⎦
su función inversa será:
y = csc x ; x = csc y ⇒ y = ang csc x
∴ f −1 ( x ) = ang csc x ; Df −1 = ( −∞, −1⎤⎦ ∪ ⎡⎣1, ∞ )
Como ilustración de esto, considérese el siguiente ejercicio:
Ejemplo.
Dada la función definida como
f : ⎡⎣0,π ⎤⎦ → ⎡⎣−1,1⎤⎦
dada por f ( x ) = cos x , dar dominio y recorrido de f
f −1 y
y
graficarlas.
Solución.
Se trabaja con la tabla siguiente para graficar las dos
funciones (directa e inversa):
x
0
y = f ( x)
1
π
π
π
2
2π
3
5π
6
π
y = f −1 ( x )
6
3
0.866
0.5
0
−0.5
−0.866
−1
x
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π
y
f −1
1
−1
f
1
π
x
−1
Ejemplo. Dada la siguiente función, decir si es biyectiva y si
lo es, dar dominio, recorrido y gráfica de f y f −1 y definir
la regla de correspondencia de la función inversa.
⎧ x 2 + 2 si − 2 ≤ x < 0
⎪
f ( x) = ⎨ −x + 6
si
0≤ x≤6
⎪
⎩ 3
Solución.
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Ejemplo. Investigar si la siguiente función es biyectiva y en
caso de serlo, obtener su función inversa y determinar
dominio, recorrido y gráfica de f y f −1.
⎧ 1− x 2
si − 2 ≤ x ≤ 0
⎪
f ( x) = ⎨
π
⎪1+ sen x si 0 < x ≤
2
⎩
Solución.
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Ejemplo. Sea la función:
⎧
⎪x2 + 4x − 1
⎪
1
⎪
f (x ) = ⎨ − x − 6
2
⎪
⎪ − x − 24
⎪⎩
4
si
− 4 ≤ x ≤ −2
si
−2 < x < 0
si
0 ≤ x < 4
Investigar si es biyectiva y en caso afirmativo, obtener su
función inversa, así como dominio, recorrido y gráfica de
f y f −1.
Solución.
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Composición de una función con su función inversa
Coma ya se vio, las gráficas de una función y su inversa son
simétricas con respecto a la gráfica de la función identidad
y = x . Es por ello que resulta sencillo probar los resultados de
las siguientes composiciones de funciones:
f D f −1 = f f −1 ( x ) = x ∀ x ∈ Rf
(
)
f −1 D f = f −1 ( f ( x ) ) = x
∀ x ∈ Df
La verificación gráfica de estas expresiones se muestra en la
siguiente figura:
f
(
x = f f −1 ( x )
)
f −1
f −1 ( x )
x = f −1 ( f ( x ) )
f −1
f ( x)
f
FORMULACIÓN DE FUNCIONES
Secuela para formular funciones:
- Lectura e identificación de magnitudes e incógnitas
- Modelo geométrico con magnitudes
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- Modelo matemático preliminar
- Ecuaciones auxiliares
- Modelo matemático definitivo
Ejemplo. Si se supone que la resistencia a la flexión de una
viga es directamente proporcional al ancho y al cuadrado
del peralte de su sección, formular una expresión
matemática que represente a la resistencia de dicha viga en
términos únicamente de su ancho. La viga se saca de un
tronco de sección circular cuyo diámetro es de 50 cm .
Solución.
Ejemplo. Un ingeniero desea construir un tanque cilíndrico
con tapas semiesféricas como el que se muestra en la figura.
El costo del material con el que se construye el cilindro es de
120 pesos por m2 y el de las tapas es de 140 pesos por
m2 . Si el volumen del tanque debe ser de 15000 litros , el
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ingeniero se pregunta: ¿Cuáles serán las dimensiones
" x " y " y " del tanque para que el costo de los materiales sea
el mínimo? Para responder a esta pregunta, decide formular
la función que relaciona al costo del cilindro en términos de
una de las variables, ya sea " x " o " y " . Se pide ahora
formular un modelo teórico del costo de los materiales para
construir el tanque, en términos únicamente del radio " x " de
las semiesferas de los lados.
x
x
y
Solución.
Ejemplo. Obtener una expresión que defina el volumen de
un cilindro circular recto, inscrito en un cono circular recto de
radio 5 m y altura 12 m , en función exclusivamente del
radio del cilindro.
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17
Solución.
Ejemplo. Se trata de inscribir un cono circular recto, cuyo
radio de la base es " x " y su altura " y " , en una esfera de
radio " R " . Obtener una expresión para el volumen del cono,
en función únicamente de su altura.
Solución.
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Ejemplo. El lado de un terreno rectangular debe colindar con
un muro de piedra. Si un ingeniero cuenta con 1000 m de
cerca lineal, pretende saber qué dimensiones debe tener el
terreno para que el área sea máxima. Y para ello, el
ingeniero construye un modelo matemático con una función
a optimizar que considere como variable únicamente a la
longitud de los lados que no colindan con el muro. ¿Cómo
define este modelo?
Solución.
Ejemplo. Una recta que pasa por el punto
( 3,4 )
forma con
los ejes coordenados, en el primer cuadrante, un triángulo
rectángulo. Definir una expresión del área del triángulo
formado en términos exclusivamente de la longitud desde el
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19
origen de coordenadas al punto donde la recta corta el eje
de las ordenadas, es decir, en términos de la ordenada al
origen.
Solución.
Ejemplo. Un tanque en forma de cilindro recto con tapa
debe contener 10,000 litros de una determinada substancia
química. Los materiales para su construcción tienen el costo
siguiente: $200 / m2 para la base, $100 / m2 para la tapa y
$180 / m2 para la superficie lateral. Obtener una expresión
que defina al costo de la cantidad de material empleado en
la construcción del tanque en función solamente del radio de
su base.
Solución.
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