Funciones

(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje)
Capítulo I
Funciones
INTRODUCCIÓN
Uno de los conceptos de mayor importancia y trascendencia
en las matemáticas es el de función, que constituye una
herramienta fundamental e indispensable en el quehacer de
quienes, como el ingeniero, deben representar con modelos
diversos fenómenos de la naturaleza, con la finalidad de
interpretarlos, manejarlos, modificarlos y utilizarlos para el
mejoramiento de la calidad de la vida.
CONCEPTOS PRELIMINARES
Conjuntos numéricos
Conjunto de números naturales. Se denota con
y está
formado por todos los números que se utilizan para contar.
= {1,2,3,4,5,…}
Como se observa, se trata de un conjunto no finito, es decir,
que contiene un número infinito de elementos.
Conjunto de números enteros. Se denota con
y está
formado por todos aquellos números que son el resultado de
la diferencia de dos números naturales. Como se observa,
⊂ .
= {p p = m − n ; m, n ∈ }
o, en forma explícita,
= {… , −4, −3, −2, −1,0,1,2,3,4,…}
y está
Conjunto de número racionales. Se denota con
formado por todos los números que pueden ser expresados
como el cociente de dos enteros.
p
⎧
⎫
= ⎨r r =
; p, q ∈ ; q ≠ 0 ⎬
q
⎩
⎭
ING, PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
2
Estos números tienen dos formas de expresarse, como
cociente y como decimal. Por ejemplo,
4
cociente:
;
decimal: 0.8
5
Además, en la forma de cociente su expresión no es única
sino que existe un número infinito de expresiones. Por
ejemplo,
2 4 8 16 32
= =
=
=
=
3 6 12 24 48
La expresión decimal de un número racional es siempre
periódica, esto es, que uno o un grupo de dígitos (marcados
con testa) se repiten indefinidamente a la derecha del punto
decimal. Considérense los siguientes ejemplos:
2
5
= 0.4 = 0.4000... = 0.40 ;
= 0.4545... = 0.45
5
11
−7 = −7.000... = −7.0
Los números enteros y los naturales son racionales, ya que
basta con dividirlos entre la unidad para expresarlos de la
p
.
forma
q
Conjunto de números irracionales. Se denota con Ι y está
formado por los números que no pueden expresarse en
forma decimal periódica. Algunos ejemplos son:
2 = 1.414213562...
− 7 = −2.645751311...
π = 3.141592654...
e = 2.718281828...
Conjunto de número reales. Se denota con
y está
formado por los números racionales y por los irracionales. A
cada número real le corresponde un punto de la recta
numérica y viceversa, lo que se ilustra como:
−π
−2 −1.09
0
1
e
3.750
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3
En el siguiente esquema se presenta la clasificación de los
números reales:
⎧
⎧
Naturales
⎧
⎪
⎪
⎪
Enteros
cero
⎪
⎨
⎪Racionales
⎪
⎨
⎪Enteros negativos
Reales ⎨
⎩
⎪
⎪
⎪⎩ Fracionarios
⎪
⎪⎩ Irracionales
La recta
y = mx + b
y
m = tanα
α
y = mx + b
b
x
y
P ( x1, y1 )
y − y1 =
y 2 − y1
( x − x1 )
x2 − x1
x
Q ( x2 , y 2 )
Las cónicas
Circunferencia.
( x − h)
2
y
+ (y − k ) = r 2
k
O
2
r
C
h
x
Parábola. ( y − k ) = 4 p ( x − h)
2
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4
y
V
k
F
x
h
p
( x − h)
2
= 4p ( y − k )
y
F
p
Elipse.
( x − h)
a2
2
V
h
k
(y − k)
+
b2
x
2
=1
y
F1 k
F2
C
b
x
h
c
(y − k)
a2
2
( x − h)
+
b2
a
2
=1
y
F1
a
h
C
k
x
c
F2
y
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
Hipérbola.
( x − h)
a2
2
−
(y − k)
=1
b2
y
a
V1
F1
5
2
c
C
k
V2
F2
x
h
(y − k)
a2
2
( x − h)
−
b2
2
=1
y
F1
V1
k
C
h V2
a
c
x
F2
Variables
En matemáticas las magnitudes constantes y variables son de
suma importancia y generalmente se habla de ellas
independientemente de su significado físico.
Intervalos de variación
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6
Considérese el eje numérico de las abscisas, con " x " como
magnitud variable, y a dos valores de " x " , a y b , tales que
a < b . Se llama intervalo abierto al conjunto de todos los
números reales mayores que " a " y menores que " b " . Este
intervalo se denota con ( a, b ) y se expresa como:
( a, b ) = {x x ∈
; a < x < b}
Estos valores se ubicarían en la recta numérica como se
observa en la figura
(
a
)
b
Se llama intervalo cerrado, denotado con
x
[a, b] , al formado
por los valores reales del intervalo abierto, junto con los
valores a y b . Se expresa como:
⎡⎣a, b⎤⎦ = { x x ∈ ; a ≤ x ≤ b}
Y en la recta numérica se representa como:
⎡⎣
a
⎤⎦
x
b
Se conoce como intervalo semiabierto por la izquierda y se
denota con ( a, b] , al expresado y representado como:
( a, b⎤⎦ = {x x ∈
(
a
; a < x ≤ b}
⎤⎦
x
b
Se conoce como intervalo semiabierto por la derecha y se
denota con [a, b ) , al expresado y representado como:
( a, b ) = {x x ∈
⎡⎣
a
; a ≤ x < b}
)
b
x
FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL
Concepto de función
a) Concepto tradicional
b) Enfoque con la teoría de conjuntos
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7
Concepto tradicional. Cuando dos variables están
relacionadas en tal forma que a cada valor de la primera
corresponde un valor y sólo uno de la segunda, se dice que
la segunda es función de la primera.
1A variable
f
2 A variable
Notación. Si en una expresión funcional " x " es la variable
"y"
es la variable dependiente, se
independiente y
acostumbra escribir y = f ( x ) para representar a la función en
estudio y se lee:
" y es igual a f de x"
y = g( x); y = F ( x); y = φ ( x); …
Ejemplo. Sea:
Obtener:
f (0)
f ( x ) = x 2 − 5 x + 12
; f ( −2 )
; f (3)
;
f ( a)
;
f (b − 2)
Solución.
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8
Ejemplo. Sea:
Comprobar que:
f ( x ) = 2 x 4 − 5 x 2 + 10
f ( a ) − f ( −a ) = 0
Solución.
Ejemplo. Sea:
Verificar que:
g ( x ) = ax
g ( z + 1) − g ( z ) = ( a − 1) g ( z )
Solución.
Es posible escribir que:
g ( z + 1) = a z +1 y g ( z ) = a z
de donde:
g ( z + 1) − g ( z ) = a z +1 − a z = a z a − a z = a z ( a − 1) = ( a − 1) g ( z )
Enfoque con la teoría de conjuntos
Conjunto producto. Sean A y B dos conjuntos. Si se colectan
todas las parejas ordenadas ( a, b ) en donde el primer
elemento pertenece a A y el segundo elemento pertenece
a B , entonces esta colección de parejas ordenadas forma
un conjunto que se denota por:
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A× B =
9
{( a, b) a ∈ A, b ∈ B}
que se llama conjunto producto o producto cartesiano de
A y B.
Al producto cartesiano de un conjunto por sí mismo se le
denota como:
A × A = A2 ; B × B = B2
Ejemplo. Dados los conjuntos:
A = {−1,0,1} ; B = {2,3,4} ; C = {5,6}
Calcular:
A × B ; B × C ; C × B ; C2
Solución.
Se colectan de manera ordenada las parejas como se ha
expresado y se llega a:
A × B = {( −1,2 ) , ( −1,3 ) , ( −1,4 ) , ( 0,2 ) , ( 0,3 ) , ( 0,4 ) , (1,2 ) , (1,3 ) , (1,4 )}
B × C = {( 2,5 ) , ( 2,6 ) , ( 3,5 ) , ( 3,6 ) , ( 4,5 ) , ( 4,6 )}
C × B = {( 5,2 ) , ( 5,3 ) , ( 5,4 ) , (6,2 ) , (6,3 ) , (6,4 )}
C2 = C × C = {( 5,5 ) , ( 5,6 ) , ( 6,5 ) , ( 6,6 )}
Nota. Como se observa en B × C y C × B , el producto
cartesiano no es conmutativo, es decir, que B × C ≠ C × B .
Ejemplo. Sean los conjuntos:
A = {x − 2 ≤ x ≤ 3 ; x ∈ } y
Representar gráficamente:
A× B ; B × A ;
Solución.
B = {y − 3 < y < 4 ; y ∈
A2
;
}
B2
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10
RELACIÓN
Definición. Una relación binaria o simplemente una relación,
consiste en:
Un conjunto A
Un conjunto B
Una proposición P que es falsa o verdadera para toda
pareja ordenada ( a, b ) del producto cartesiano A × B .
Una relación R de un conjunto A a un conjunto B es un
subconjunto del producto cartesiano A × B , esto es: R ⊂ A × B
A
1
2
3
4
5
6
B
0
2
1
C
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11
Al conjunto A se le llama Dominio y al conjunto B
Codominio. El número 7 no es un elemento de A . Como se
observa en la figura, en el Codominio B existe un elemento
que no está asociado con alguno del Dominio. Al conjunto
C ⊂ B , formado por aquellos elementos de B que sí están
asociados con elementos del Dominio A , se le denomina
Recorrido, Rango o Imagen. Entonces, para la figura anterior,
es posible escribir:
Relación = RR = {(1,1) , ( 2,0 ) , ( 3,1) , ( 4,0 ) , ( 5,1) , ( 6,0 )}
Dominio = DR = {1,2,3,4,5,6}
Codominio = CR = {0,1,2}
Recorrido = RR = {0,1}
Si cada elemento del Dominio está asociado con un solo
elemento del Codominio, la relación se denomina Uniforme;
si está asociado con dos o más, es Multiforme; finalmente, la
relación es Biunívoca si es Uniforme de A hacia B y de B
hacia A , lo que quiere decir, que cada elemento de A está
asociado con uno y sólo un elemento de B y viceversa. En
la siguiente figura se ilustran con diagramas de Venn los tres
tipos de relaciones:
a
b
a
b
c
d
e
1
2
3
4
1
2
3
R. Uniforme
R. Multiforme
a
b
c
1
2
3
R. Biunívoca
Simbólicamente y de manera explícita, una Relación se
puede escribir como sigue:
R = ( a, b ) a ∈ A, b ∈ B; P ( x, y )
{
}
Donde P ( x, y ) representa la proposición que es falsa o
verdadera para toda pareja ordenada del producto
cartesiano A × B .
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12
Ejemplo. Sean los conjuntos:
A = {−2, −1,0,1,2} y B = {−3, −2, −1,0,1,2,3}
Obtener las siguientes relaciones y dar dominio y recorrido
de cada una:
R1 = ( x, y ) x ∈ A, y ∈ B; y = x
R2
R3
{
}
= {( x, y ) x ∈ A, y ∈ B; x − y = 2}
= {( x, y ) x ∈ A, y ∈ B; x + y = 5}
2
2
Solución.
Para representar gráficamente una relación, como es
subconjunto del producto cartesiano, se utiliza la misma
convención que para graficar este, por lo que los primeros
elementos corresponden a abscisas y los segundos a
ordenadas.
Ejemplo. Representar gráficamente la siguiente relación:
R = ( x, y ) x ∈ , y ∈ ; y = x
{
}
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13
Solución.
Ejemplo. Representar gráficamente la siguiente relación
definida en los reales y dar su dominio y recorrido:
R = ( x, y ) x ∈ , y ∈ ; y < 1+ x
{
}
Solución.
Ejemplo. Representar gráficamente la siguiente relación
definida en los reales y dar su dominio y recorrido:
⎧
⎫
x2 y 2
+
= 1⎬
R = ⎨( x, y ) x ∈ , y ∈ ;
4
1
⎩
⎭
Solución.
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14
Ejemplo. Representar gráficamente la siguiente relación
definida en los reales y dar su dominio y recorrido:
R = ( x, y ) x ∈ , y ∈ ; x 2 + y 2 ≥ 1
{
}
Solución.
Ahora se tratará el concepto de función real de variable real,
a partir del hecho de que se trata de una relación, pero la
selección de las parejas ordenadas que la conforman se
sujeta a ciertas propiedades que no necesariamente tienen
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15
las relaciones, razón por la cual se puede decir que toda
función es relación, pero no toda relación es función.
Se puede afirmar entonces, que toda función es una relación
y por consiguiente, subconjunto del producto cartesiano.
Se presentan dos definiciones de función que son
equivalentes, la primera a partir de un tipo de relación y la
segunda más general, ambas válidas.
Definición. Una función es una relación uniforme
Definición. Una función es una terna formada por:
a) Un primer conjunto llamado Dominio de la función.
b) Un segundo conjunto llamado Codominio de la función.
c) Una regla de correspondencia que tiene las siguientes
propiedades:
- A todo elemento del dominio se le puede asociar un
elemento del codominio.
- Ningún elemento del dominio ha de quedarse sin su
asociado en el codominio.
- Ningún elemento del dominio puede tener más de un
asociado en el codominio.
f
Rf
Df
Cf
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16
Ejemplo. Representar gráficamente, con diagramas de
Venn, la siguiente función definida mediante parejas
ordenadas:
f = {( −3,0 ) , ( −2,1) , ( −1,2 ) , ( 0,3 ) , (1,4 )}
Cf = {−5, −4, −3, −2, −1,0,1,2,3,4,5}
Solución.
Considérense las siguientes relaciones en las que en algunos
casos se trata de función y en otros no, y se hacen las
justificaciones correspondientes.
2
1
3
5
4
6
A
B
Esta relación no es función, ya que el elemento " 5" del
conjunto A no está asociado con algún elemento del
conjunto B .
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17
2
1
4
5
6
B
A
Esta relación no es función, ya que el elemento "1" del
conjunto A está asociado con dos elementos del conjunto
B.
2
1
4
3
6
5
A
B
Esta relación sí es función porque todos los elementos del
conjunto A están asociados en el conjunto B y cada
elemento de
A está relacionado con uno y sólo un
elemento de B .
En resumen, una función puede escribirse de la siguiente
forma:
f = ( x, y ) y = f ( x )
en donde
f ( x)
{
es la imagen de
}
x
en el codominio,
obtenida a partir de la regla de correspondencia y = f ( x ) .
Ejemplo. Dada la siguiente relación, decir si es función,
justificar la respuesta y, en caso de no serlo, analizar la
factibilidad de que fuera función.
R = ( x, y ) x ∈ , y ∈ ; x 2 + y 2 = 4
{
}
Solución.
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18
De este ejemplo se puede deducir que la condición
geométrica para que una relación sea función, es que toda
recta paralela al eje " y " debe cortar a su gráfica en un solo
punto.
Existen diferentes tipos de funciones, de acuerdo a los
elementos de sus dominios y codominios. En este tema se
hablará, como ya se ha dicho, de funciones reales de
variable real, es decir, funciones cuyo dominio y codominio
están contenidos en los números reales.
Notación
Como una función es una relación, se puede presentar
también a través de la teoría de conjuntos, como:
f = ( x, y ) x ∈ Df ; y = f ( x )
{
}
O bien, cuando esto es posible, escribiendo las parejas
ordenadas que la conforman, de la siguiente manera:
f = {( x1, y1 ) , ( x2 , y2 ) , ( x3 , y3 ) ,..., ( xn , yn )}
Para denotar a las funciones, además de las anteriormente
citadas, existen varias formas de las cuales, las más
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
19
utilizadas, así como la forma de leerlas, se muestran a
continuación:
y = f ( x ) ; x ∈ Df
x , donde
que se lee como: “ y es una función de
pertenece al domino Df ”.
f=
x
{( x, y ) y = f ( x ) ; x ∈ D }
f
que se lee como: “conjunto de parejas
( x, y )
tales que cada
se obtiene de aplicar la regla de
elemento
y
correspondencia f a cada elemento x del dominio de la
función”.
; y = f ( x)
que se lee como: “función f que mapea al domino Df en el
codominio
Cf , dada por la regla de correspondencia
y = f ( x) .
f : Df → Cf
Representación gráfica
Ejemplo. Considérese la siguiente función:
y = f ( x) = + x
Al analizar esta expresión se deduce que se trata de una
parábola y 2 = x con vértice en el origen y cuyo eje focal
(
)
es el eje " x " . Sin embargo, el signo positivo para el radical
limita su gráfica a la parte que se encuentra en la parte
positiva del eje " y " . Enseguida se muestra una tabla con
algunos valores de x pertenecientes al dominio de la
función y sus correspondientes imágenes " y " o bien, f ( x ) .
x
y
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0.0
1.0
1.41
1.73
2.0
2.24
2.45
2.65
2.83
3.0
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20
Si se llevan estas parejas ( x, y ) al plano xy , se obtiene la
gráfica mostrada en la siguiente figura:
y
y = f ( x) = + x
x
Nótese que en el ejemplo anterior, si no se hubiera restringido
a " y " , existirían dos valores de ella para cada valor de " x " .
Df = [ 0, ∞ ) ; Cf =
; Rf = [0, ∞ )
Ejemplo. Determinar el dominio y el recorrido, así como
hacer un trazo aproximado de la gráfica de las siguientes
funciones:
i) y = 2 x + 3 ; (ecuación de una recta)
ii) S = 6 x 2 ; (parábola; superficie de un cubo en función
de la longitud de cada arista)
iii) t = + 0.204d ; (parábola; tiempo de caída libre en
función de la distancia en metros)
x2 − 2 x
; (ecuación de una recta con un hueco)
iv) f ( x ) =
x
4
v) y = 2
; ( ecuación de una curva asintótica )
x − x−6
2
9 − x 2 ; ( ecuación de parte de una elipse )
vi) y = −
3
Solución.
i) y = 2 x + 3
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21
ii)
S = 6x2
iii) t = + 0.204 d
x2 − 2 x
iv) f ( x ) =
x
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22
4
. Si en esta función se factoriza el polinomio
x − x−6
del denominador, se obtiene:
x 2 − x − 6 = ( x + 2 )( x − 3 )
lo que hace ver que el dominio de la función serán todos los
valores reales con excepción de x = −2 y x = 3 , ya que
para estos dos valores no existe un valor real de la función. Si
se calculan los valores de la función en la proximidad de
estos dos valores que anulan el denominador de la función
dada, se ve que en ellos se presentan asíntotas verticales,
que son rectas imaginarias a las que la gráfica de la función
se aproxima hacia arriba o hacia abajo pero sin llegar a
tocarla. Para conocer el comportamiento de la gráfica de la
función, resulta conveniente, cuando se presentan asíntotas
verticales, afinar la tabulación -tabla con el calculo de
valores de " y " en términos de valores de " x " - en dichos
lugares. Entonces, la tabulación queda como sigue:
v) y =
2
x
y
−5
−4
−3
−2.5
−2
−1.5
−1
0
0.17
0.29
0.67
1.45
±∞
−2.25
−1
−0.67
0.5
1
2
2.5
3
3.5
4
5
6
−0.64
−0.67
−1
−2.25
±∞
1.45
0.67
0.29
0.17
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23
y
Df =
− ⎡⎣ −2,3 ⎤⎦
−2
asíntota
asíntota
3
x
Rf = ( −∞, −0.64] ∪ ( 0, ∞ )
Si se dan a la variable independiente valores muy grandes,
tanto positivos como negativos, se verá que la gráfica de la
función no cruza el eje de las abscisas por lo que este es una
asíntota horizontal.
vi) y = −
2
9 − x2
3
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24
Ejemplo. Dadas las siguientes funciones, obtener su dominio:
1
x
x−3
x +1
i) y = 2 x 2 − 5 x + 1 ;
ii) f ( x ) =
x3 − x2
iv) f ( x ) =
x −1
v) y = 2 x − 5 ; vi) f ( x ) = − 3 x + 7
;
vii) y = − 16 − x 2
ix) y =
x
x2 − x − 6
;
;
iii) y =
; viii) f ( x ) =
x) f ( x ) =
4 2
x − 25
5
1
4 − x2
2
;
xi) y =
2x − 6
x−5
Solución.
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25
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
26
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ