Problemas: Física de la Materia Condensada Hoja 4

Problemas: Física de la Materia Condensada
Hoja 4: Apantallamiento, plasmones y la teoría de Landau del líquido de Fermi.
0. Apantallamiento en el gas de electrones unidimensional y bidimensional. Considerad una carga
puntual positiva, +Q, situada en el origen de un gas de electrones unidimensional y otro bidimensional.
Usando la aproximación de Thomas-Fermi encontrad el potencial efectivo de la carga apantallada por
el resto de los electrones del metal. Demostrad explícitamente que en el caso bidimensional la longitud
de apantallamiento de Thomas-Fermi es independiente de la densidad y viene dada por 1/κT F = a0 /2
donde a0 es el radio de Bohr.
1. Oscilaciones de plasma en el líquido de electrones bidimensional. El líquido de electrones
interactuante (a través de la interacción Coulomb de largo alcance) contiene oscilaciones colectivas de
la densidad electrónica que se conocen como oscilaciones de plasma. Basados en un tratamiento clásico
derivad la dispersión de estas oscilaciones en el límite de longitudes de onda grandes, q → 0 y discutid las
diferencias con el caso tridimensional analizado en clase. La excitaciones cuantizadas asociadas con estas
oscilaciones, los ”plasmones”, pueden obtenerse a partir de los ceros de la función dieléctrica: (q, ω) =
0. Basados en la aproximación RPA obtened la dispersión de los plasmones en el líquido bidimensional
y comparadlo con el resultado obtenido clásicamente. (La parte real de la función
pde Linhard en el gas
bidimensional viene dada por: Reχ0 (q, ω) ≈ −N (0)[1 − sign(ω/vF q)(ω/vF q)/ (ω/vF q)2 − 1], en el
límite dinmico: ω >> vF q donde N (0) es la densidad de estados del gas no-interactuante).
2. Frecuencia de plasma y la interacción Coulomb de largo alcance. La existencia de los plasmones
con una frecuencia ωp = 4πne2 /m, se encuentra íntimamente ligada al apantallamiento de la interacción
Coulomb de largo alcance en el líquido de electrones. Comprobad a partir de la constante dieléctrica,
(q, ω), en la aproximación RPA, que la frecuencia de plasma de un gas de electrones que interacciona
a través de una repulsión Coulomb de corto alcance de tipo Yukawa se anula. Obtened la dispersión
de las ondas electromagnéticas en este caso y comparadla con el caso de la interacción largo alcance.
La generación de excitaciones colectivas con frecuencias finitas a partir del apantallamiento dinámico
de la interacción Coulomb de largo alcance (gauge) se encuentra relacionada con el mecanismo de
Anderson-Higgs de generación de la masa en física de partículas elementales.
3. Inestabilidad del líquido de Fermi en una dimensión. El gas de electrones en una dimensión
se puede encontrar en materiales orgánicos unidimensionales y en nanotubos de carbono. En estos
sistemas el paradigma de Landau del líquido de Fermi no es válido y no existen ”cuasiparticulas” de
Landau. Para entender el origen de la inestabilidad del líquido de Fermi unidimensional a cualquier
interacción considerad las excitaciones partícula-hueco del sistema no-interactuante. (i) Describid y
pintad las regiones (en el plano ω frente a q) de existencia del continuo de excitaciones partícula-hueco
explicando las diferencias con los casos tridimensional y bidimensional. (ii) Evaluad la parte imaginaria
de la susceptibilidad de carga no-interactuante del gas mostrando como para q → 0 se produce una
singularidad en la densidad de excitaciones partícula-hueco. En presencia de una interacción infinitesimalmente pequena esto da lugar a la destrucción de la superficie de Fermi y por lo tanto la teoría de
Landau es inaplicable. (iii) Evaluad la parte real de la función de Linhard demostrando como para
q = 2kF el sistema tiene una singularidad logarítmica. Esta singularidad da lugar a una inestabilidad
de tipo Peierls de la red con modulación 2kF .