Fundamentos Matemáticos del Cifrado Asimétrico Banco de Guatemala Cerradura, s. Divisa de la civilización y el progreso. -- Ambroce Bierce, “Diccionario del Diablo” Funcionamiento de una cerradura Las computadoras trabajan con números • Mensaje: M=77 e=101 n=110 s=115 a=97 j=106… Los multimedios Rojo=191 Verde=138 Azul=62 Las cerraduras digitales Llave Llave Mensaje Cifrado Mensaje f-1(MC,Ll) f(M,Ll) Mensaje Cifrado Mensaje La historia del ajedrez S=1+2+4+8+16+32+64… S=18,446,744,073,709,551,615 1000 veces la producción mundial de arroz del año 2010 = 464,000,000,000 toneladas métricas. S ≈ 64 bits El tiempo de rompimiento Si se tiene una computadora que pruebe un millón de llaves por segundo los tiempos medios de rompimiento serían: 56 bits = 2,285 años 64 bits = 585,000 años 128 bits = 1025 años *Edad estimada del universo 1010 años El problema Eva Alicia Bob Los Visionarios Ralph Merckle , Martin Hellman, Whitfield Diffie El doble candado El doble candado Se retira un candado Se retira el segundo candado La llave simétrica viene dentro de la caja Otro ejemplo en el mundo físico Color base Mezcla Color personal Secreto Color personal Secreto El resultado de las combinaciones Las Funciones de Trampa o Humpty Dumpty 5 5 52 √25 f(5) = 25 f-1(25) Funciones Modulares x mód 30 x mód 60 x mód 24 x mód 12 x mód 48 x mód 36 • • • • Integer Overflow Comair Y2K UNIX El Cálculos de Potencias • • • • • • • • 540 mód 7 = ? 51 mód 7 = 5 52 mód 7 = 5*5 mód 7 = 25-(3*7) = 25 - 21 = 4 54 mód 7 = (52 mód 7)2 mód 7 = 16 mód 7 = 2 58 mód 7 = (54)2 mód 7 = 4 516 mód 7 = 2 532 mód 7 = 4 540 mód 7 = 58 mód 7*532 mód 7 = 2 Diffie-Hellman Se acuerda un número base y uno módulo de conocimiento público, en este caso 7 y 11. ALICIA •Selecciona el 3 como número secreto •Calcula 73 mód 11 = 2 BOB •Selecciona el 6 como número secreto •Calcula 76 mód 11 = 4 Se realiza el intercambio de números 2 y 4 sin temor a que alguien los capture •Cálcula 43 mód 11 = 9 •Cálcula 26 mód 11 = 9 (73)6 = 73x6 = 718 = 76x3 = (76)3 ¿Realmente es seguro? • Para que el algoritmo sea seguro, los dos números acordados deben ser grandes, muy grandes mínimo de 512 bits esto es equivalente a 155 dígitos decimales, e incluso 1024 bits es decir 309 dígitos decimales. • Ejemplo de un decimal de 512 bits: – 82410542973692774100821916431873179294153337312 304787210752212996037687716491 • Ejemplo de un decimal de 1024 bits: – 13269387334363396355070885044457961840043533724 38319831178011938972310859630322098062396030337 54020080479707309940486219892240176599368734776 51534758771529 La Llave Privada y Pública Bob Alicia Carlos Daniel RSA: Rivest Shamir Adleman Ron Rivest, Adi Shamir y Leonard Adleman Un poco de literatura Dicho esto, rogó al bachiller que, si era poeta, le hiciese merced de componerle unos versos que tratasen de la despedida que pensaba hacer de su señora Dulcinea del Toboso, y que advirtiese que en el principio de cada verso había de poner una letra de su nombre, de manera que al fin de los versos, juntando las primeras letras, se leyese: Dulcinea del Toboso. --El Quijote, parte 2, capítulo 4 RSA RSA, la llave pública • Alicia selecciona dos números primos p y q, que multiplicados (N=p*q) conforman la llave pública junto con un número y número base, e que también se hace público con la llave • e debe ser co primo del número (p-1)(q-1) y por lo genera se utilizá 65,537. RSA: El cifrado • Bob, Carlos, Daniel…, que tiene N, puede cifrar un mensaje, operándolo en su valor numérico agrupando el mensaje en números más pequeños para poder aplicar la siguiente fórmula: Cifrado=Mensajee mód N RSA: El descifrado • Alicia necesita una llave privada, un número que revierta la función anterior. Según la teoría de números, sí p y q son primos sólo se requiere resolver con enteros la ecuación: • ed – (p-1)(q-1)v = 1 para ello se utiliza el algoritmo de Euclides extendido (el algoritmo de Euclides sirve para calcular el Máximo Común Divisor). • Al hallar d puede descifrar el mensaje aplicando: Mensaje = Cifradod mód N Los números primos En 512 bits hay 10150 números primos. Para dar una idea de esta cantidad, imagine que en el universo hay estimados 1084 átomos, si a cada átomo se le asignara un millardo de números primos cada microsegundo desde el inicio del universo, habría al día de hoy 10110 números primos remanentes sin haber sido asignados. Los números RSA Número RSA Bits RSA-100 330 RSA-110 364 RSA-120 397 RSA-129 426 RSA-130 430 RSA-140 463 RSA-155 512 RSA-576 576 RSA-640 640 RSA-704 704 RSA-768 768 … … RSA-896 896 RSA-1024 1024 RSA-1536 1536 RSA-2048 2048 Premio $1,000 USD $4,429 USD $5,898 USD $100 USD $14,527 USD $17,226 USD $9,383 USD $10,000 USD $20,000 USD $30,000 USD $50,000 USD … $75,000 USD $100,000 USD $150,000 USD $200,000 USD Factorizado Abril 1, 1991 Abril 14, 1992 Julio 9, 1993 Abril 26, 1994 Abril 10, 1996 Febrero 2, 1999 Agosto 22, 1999 Diciembre 3, 2003 Noviembre 2, 2005 Julio 2, 2012 Diciembre 12, 2009 No No No No Ejemplo de Cifrado • • • • Mensaje = “ALGO” Códificación: ‘A’=65 ‘L’=76 ‘G’=71 ‘O’= 79 p = 11 q = 17 y e = 7 N = p*q = 187 … la llave pública junto con 7 – – – – 657 mód 187 = 142 = ‘Ä’ 767 mód 187 = 32 = ‘ ‘ 717 mód 187 = 113 = ‘q’ 797 mód 187 = 139 = ‘ï’ • Mensaje Cifrado: “Ä qï” Cálculo de la Llave Privada ed – φ(N)v = 1 ed - (p-1)(q-1)v = 1 7d – (10)(16)v = 1 7d-160v = 1 .. Se resuelve por el algoritmo extendido de Euclides, ya que la solución debe ser con enteros. d = 23 … La llave privada Descifrado • 14223 mód 187 = 65 = ‘A ’ • 3223 mód 187 = 76 = ‘L’ • 11323 mód 187 = 71 = ‘G’ • 13923 mód 187 = 79 = ‘O’ Invirtiendo el proceso Bob Alicia Carlos Daniel La Firma Digital • El proceso inverso de D(C(m)), C(D(m)) cifrando con la llave privada y descifrando con la llave pública un resumen matemático del mensaje: • El Firmante – (FunciónHash(Mensaje))d mód N = HashDelMesajeCifrado • El Receptor – HashDelMensajeCifradoe mód N = HashDelMensaje – FunciónHash(Mensaje) = HashDelMensaje La elección de los números aleatorios • El caso de Netscape 1.1 implementando SSL. • El error de Linux Debian. • Los Alemanes y la máquina cifradora Enigma. • La reducción del universo de llaves por tiempo y electricidad. La Evolución Rana Dardo Dorado (Phyllobates Terribilis) La Revolución Gracias por su atención.