Resolución de la EDO del oscilador armónico simple y amortiguado

Álvaro García Corral
Resolución de la EDO del oscilador
armónico simple y amortiguado
Un oscilador armónico es un sistema en el que siempre
actúa una fuerza, que es recuperadora, es decir, del tipo
( )
, también pueden actuar otras fuerzas pero la
fuerza fundamental que caracteriza al oscilador armónico
es la recuperadora.
Se observa que el problema que vamos a tratar es
unidimensional (en el espacio) y que el sistema de
referencia se ha tomado de forma que la posición de
equilibrio se ha tomado en el origen
, la fuerza
recuperadora es nula en la posición de equilibrio.
Ahora aplicamos la segunda ley de Newton, quedándonos
la siguiente EDO:
̈
̈
Esta es la EDO que rige el movimiento del oscilador
armónico simple, en el que la única fuerza presente es la
recuperadora.
Llamamos a la constante
por razones que
entenderemos después, quedándonos:
̈
Recordamos que para resolver EDOs de este tipo
(homogéneas, con la derivada segunda y la función), la
solución era una exponencial, un seno, un coseno, o una
combinación de los dos últimos.
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Álvaro García Corral
Para hallar la solución general lo más cómodo es comenzar
conjeturando que la solución tiene la forma exponencial, y
después de haberlo resuelto, aplicar la fórmula de Euler
para hallar la forma de las demás soluciones.
Conjeturamos la forma exponencial de la solución, con un
parámetro y una constante de integración :
( )
̇( )
̈( )
Y ahora sustituimos en la EDO, para hallar el valor de
nuestro parámetro :
̈
√
Obtenemos dos valores posibles para el parámetro por lo
que la solución general será la suma de dos exponenciales
imaginarias, cada una con uno de los valores de y una
constante de integración diferente.
( )
Por supuesto que
y
son números complejos, sin
embargo, nuestra función solución tiene que ser una
función real, veremos cómo se consigue esto, pero antes
vamos a ver como se pasa a las otras soluciones.
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Álvaro García Corral
Para desarrollar las exponenciales utilizamos la fórmula de
Euler:
( )
(
(
)
(
(
)
))
(
)
(
(
(
Ahora introduzcamos el hecho de que
complejos de manera que:
[ ]
[ ]
)
(
)
))
)
(
y
son números
[ ]
[ ]
Sustituyendo en la ecuación anterior obtenemos:
( )
(
[ ]
(
(
[ ]
)
(
)
[ ]
( [ ]
[ ]
( [ ]
[ ]
( [ ]
[ ]
( [ ]
(
)
(
[ ]))
(
)
( [ ]
[ ]))
[ ]))
(
)
( [ ]
[ ]))
)
(
)
(
)
Podemos dividir la solución en parte real y parte imaginaria:
( )
[(
[ ]
[ ])
[( [ ]
(
) ( [ ]
[ ])
(
)
[ ])
( [ ]
(
)]
[ ])
(
)]
Dividimos la solución en parte real y parte imaginaria, y por
las propiedades de la EDO, tanto la parte real como la
parte imaginaria son solución por si solas, de manera que
la solución que se corresponde con la realidad sería la
parte real.
Esta solución es en cualquier caso un poco extraña, porque
sólo hay una derivada segunda, pero tenemos cuatro
constantes de integración: [ ] [ ] [ ] y [ ]
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Álvaro García Corral
Veamos qué pasa si imponemos que
complejos conjugados el uno del otro:
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
y
fueran
[ ]
[ ]
Al sustituir en la ecuación tendríamos:
[(
[ ]
[(
[ ])
[(
[ ]
[(
(
)
[ ]
[ ])
(
[( [ ]
[ ]
( [ ]
[ ])
(
)
[ ])
[ ]
(
[ ])
(
(
)]
[ ]
[ ])
[ ]
(
[ ])
(
) ( [ ]
(
[ ]
)
(
[ ])
) (
)
[ ]
)]
[ ])
[ ])
(
(
(
(
)]
)]
)]
)
Y así, la solución imaginaria se anula y obtenemos la
solución que sirve para interpretar el caso real:
( )
( )
[ ]
(
)
[ ]
(
)
De esta manera sólo quedan dos constantes de
integración, correspondientes a integrar dos veces con
respecto al tiempo, lo que implica que las constantes
complejas que multiplican a las dos exponenciales son
complejos conjugados el uno del otro.
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Álvaro García Corral
También podemos poner la solución como un seno o un
coseno con un desfase, quedando la solución general:
( )
( )
(
(
)
)
Si desarrollamos el seno de la suma y el coseno de la
suma:
(
(
)
)
(
(
)
)
( )
( )
(
(
Por lo tanto:
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
( )
( )
( )
( )
5
)
)
( )
( )
Álvaro García Corral
Para el caso del oscilador armónico amortiguado, tenemos
que añadir otro término a la EDO del oscilador armónico
simple, este término se corresponde con una fuerza de
rozamiento y es proporcional a la velocidad:
̈
Donde
viscosidad.
̇
siendo
el coeficiente de rozamiento o
Entonces recordamos que para EDOs homogéneas en las
que aparecen derivadas de orden par e impar, una solución
va a ser siempre la exponencial:
( )
̇( )
̈( )
Aplicándolo a la EDO:
̈
̇
√
√
En el ejercicio del oscilador armónico simple
, en este
ejercicio es mayor que cero pero poco, por lo que
consideramos que
En nuestra solución quedan entonces dos exponenciales:
( )
(
)
(
[
)
]
Igual que en el caso anterior
complejos.
y
6
son números
Álvaro García Corral
Ahora aplicamos la fórmula de Euler, para obtener la
solución en forma de senos y cosenos:
[ ( (
)
( (
)
)
(
)
(
( )
[(
(
(
))
))]
) (
)]
Sin embargo solo nos interesa la parte real de la solución,
por lo que necesitamos dividir la solución en parte real y
parte imaginaria de la misma manera que en el ejercicio del
oscilador armónico simple:
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
Si se resuelve de la misma manera, se obtiene que:
( )
[[(
[ ]
[(
[ ])
[ ]
(
)
[ ])
(
(
[ ]
) (
Veamos qué pasa si imponemos que
complejos conjugados el uno del otro:
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
7
[ ])
(
)]
[ ]
[ ]) (
y
fueran
)]]
Álvaro García Corral
La solución queda de la forma
( )
[[(
[[(
[
[ ]
[(
]
[(
[
]
[
])
[ ])
[( [ ]
[ ]
(
[
(
(
(
) (
[ ])
(
[ ])
[
)
])
(
[ ]
)
(
[
)
]
(
[ ]
) (
(
[
[
]
[ ]
(
)]
(
)]]
(
)]
[ ]) (
)]]
[
[ ])
[ ]
[ ]
)
])
[ ])
(
])
(
)]
)]
Y así, la solución imaginaria se anula y obtenemos la
solución que sirve para interpretar el caso real:
( )
( )
[
[
[ ]
]
(
8
)
[ ]
(
)]