Asíntotas horizontales, verticales y oblicuas Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va acercando indenidamente. Hay tres tipos de asintotas: • Asíntotas horizontales: La recta y = k es una asíntota horizontal de la función si: limx→−∞ = k o limx→+∞ = k . Ejemplo1 Calcular las asíntotas horizontales de f (x) = 2x2 +3 . x2 −1 +3 +3 Como limx→−∞ 2x = 2 y además limx→+∞ 2x = 2. x2 −1 x2 −1 2 2 Tenemos que en y = 2 hay una asíntota horizontal. • Asíntotas verticales: Consideremos los puntos k que no pertecen al dominio de la función (en las funciones racionales). Si tenemos que limx→k f (x) = ±∞, x = k será una asíntota vertical. Ejemplo2 Consideramos la misma función que antes, es decir,f (x) = 2x2 +3 . x2 −1 Calcular las asíntotas verticales. Veámos los puntos donde la función no está denida, es decir, su dominio que será todo R, excepto los puntos que anulen al denominador. 1 Por tanto, tomamos el denominador y lo igualamos a cero: x2 −1 = 0, de donde x = ±1, luego Dom(f ) = R−{−1, 1}, luego veámos los límites de f(x), cuando x tiende a 1 y a -1. +3 limx→−1 2x = +∞. x2 −1 2 Además, +3 limx→1 2x = +∞. x2 −1 2 Luego, nos encontramos con dos asíntotas verticales, una en x = 1 y otra en x = −1. • Asíntotas oblicuas: Las asíntotas oblicuas son rectas de la forma y=mx+n. 2 Si limx→+∞ (f (x) − y) = 0 o limx→−∞ (f (x) − y) = 0, y = mx + n será asíntota oblicua. Ahora bien, m y n toman las siguientes expresiones: m = limx→∞ f (x) x y n = limx→∞ (f (x) − mx). Sólo se hallarán las asíntotas oblicuas cuando no haya IMPORTANTE: asíntotas horizontales. Ejemplo3 Calcular las asíntotas oblicuas de f (x) = √ x2 + 2x. Veámos que dicha función no tienen asíntotas horizontales: √ √ -limx→−∞ x2 + 2x = +∞ y limx→+∞ x2 + 2x = +∞. Por tanto puede tener asíntotas oblícuas. •Por la derecha: Calculamos m y n como sigue: m = limx→+∞ f (x) x = limx→+∞ √ x2 +2x x = limx→+∞ xx = 1 √ √ √ 2 x2 +2x+x) √ n = limx→+∞ (f (x)−mx) = limx→+∞ x2 + 2x−x = limx→+∞ ( x +2x−x)( = x2 +2x+x x +2x−x 2x = limx→+∞ 2x = 1. limx→+∞ √ x2 +2x+x 2 2 Además, 0 √ 2 2 +2x+1) √ limx→+∞ [ x2 + 2x−(x+1)] = limx→+∞ (x +2x)−(x = limx→+∞ −1 2x = x2 +2x+x+1 Luego f tiene una asíntota oblícua por la derecha, y = x + 1 • Por la izquierda: 3 Calculamos m y n como sigue: m = limx→−∞ f (x) x = limx→+∞ √ x2 −2x −x x = limx→+∞ −x = −1 √ √ n = limx→−∞ (f (x)−mx) = limx→−∞ x2 + 2x+x = limx→+∞ x2 − 2x− x = limx→+∞ √x2−2x = limx→+∞ −2x 2x = −1. −2x+x Además, √ √ limx→−∞ [ x2 + 2x − (−x − 1)] = limx→−∞ [ x2 + 2x + (x + 1)] = 2 2 +2x+1) 1 √ limx→−∞ (x +2x)−(x = limx→−∞ 2x =0 2 x +2x−x−1 Luego f tiene una asíntota oblícua por la izquierda, y = −x − 1. 4