LIMITES El resultado de un límite es un valor de y en una función cuando el valor de x se aproxima mucho a un valor dado sin llegar a ser igual a él. Es acercarse mucho a un valor en x para determinar el valor de y. En funciones continuas, se límite se puede resolver sustituyendo. Por ejemplo, al buscar el límite Limx2 10x se quiere conocer el valor que tomará la recta f x 10x cuando el valor de x se acerque mucho a 2. x 1.5 1.8 1.9 1.99 1.999 1.9999 1.99999 f x 10x 15 18 19 19.9 19.99 19.999 19.9999 Conforme el valor de x tiende a 2, el valor de y=f(x) tiende a 20. El resultado sería el mismo si se aproximara desde valores mayores a 2. x 2.5 2.1 2.01 2.001 2.0001 2.00001 2.000001 f x 10x 25 21 20.1 20.01 20.001 20.0001 20.00001 El resultado es el mismo. Lo mismo se puede analizar utilizando la representación gráfica de la función. Conforme el valor de x se acerca a 2, el valor de y se acerca a 20. 30 20 10 0 -3 -2 -1 0 1 2 3 -10 -20 -30 Limxa f x L se lee como el límite cuando x tiende a a de f(x). L es el valor que toma la función conforme el valor de x se acerca a a. En el ejemplo anterior, la función es f x 10x , entonces, el límite que se calculó es Limx2 10x 20 y se lee como el límite cuando x tiende a 2 de 10x. El tomar un límite permite acercarse mucho a un valor en x en que la función puede o no existir. L dice el valor que toma la función, esto es, el valor de y conforme nos acercamos a un punto determinado en x. Ejemplo 1. Sea la función f x 3x 2 2 . encontrar Limx0 3x 2 2 . Utilizar las representaciones tabular y gráfica para Se busca aproximarse mucho al valor de x=0 sin llegar exactamente a éste valor. Para la representación tabular se aproximará tanto por la derecha como por la izquierda para mostrar que el resultado es el mismo. x -1 -0.1 -0.01 -0.001 f x 3 x 2 2 5 2.03 2.0003 2.000003 x 1 0.1 0.01 0.001 f x 3 x 2 2 5 2.03 2.0003 2.000003 Tanto del lado de los positivos como del lado de los negativos, conforme el valor de x se aproxima a 0, el valor de y=f(x) se acerca a 2. En la representación gráfica de la función se puede observar que si se aproxima al valor de x=0, el valor de y se aproxima, a su vez, a 2. -3 -2 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 -1 -2 0 -4 -6 -8 -10 1 2 3 Ejemplo 2. x 1 . Se quiere saber que cual es el valor de f x 2x 3 conforme x se acerca a un valor de 4. Sea la función discontínua f x x 1 . Es una función discontínua, pero el valor al que se 2x 3 quiere aproximar a x se encuentra lejos de la discontinuidad. El límite se podría resolver sustituyendo el valor dado Se quiere resolver el Limx 4 Limx4 x 1 4 1 5 0.4545 2 x 3 2 4 3 11 Ahora, comprobaremos el resultado analizando las representaciones tabular y gráfica de la función. x 1 2x 3 0.45 0.453704 0.454463 0.454537 x f x 3.5 3.9 3.99 3.999 x 1 2x 3 0.458333333 0.455357143 0.454627949 0.454553718 x f x 4.5 4.1 4.01 4.001 Tanto por la derecha como por la izquierda, conforme el valor de x se acerca a 4, el valor de la función se acerca a 0.4545. En la representación gráfica mostrada a continuación también se observa dicha tendencia. 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Se dice que un límite existe cuando el resultado del límite por la derecha y el del límite por la izquierda son números reales que coinciden, esto es, el límite por la derecha es igual al límite por la izquierda. Ejemplo 3. x2 Sea f x 2 x 2 1 x 1 . Encontrar el límite de la función cuando x tiende a 1. x 1 La representación gráfica de la función es 50 40 30 20 10 0 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 -10 en donde se observa que aunque la función cambia de comportamiento en el punto x=1, no se rompe. Para que el límite exista se requiere que el límite por la derecha sea igual al límite por la izquierda: estos se llaman límites unilaterales. Si se toma el límite por la izquierda, esto es, desde los números negativos hacia los positivos, la función con la que se está trabajando es la recta dado que x 1 Limx1 f x Limx1 x 2 1 2 3 El signo menos como exponente en x 1 indica que se aproxima desde el lado izquierdo. Ahora, por el lado derecho, Limx1 f x Limx1 2 x 2 1 2 1 3 Dado que el límite por la derecha es igual al límite por la izquierda, se dice que el límite de la función existe y vale 3: Limx1 f x 3 . Este resultado se puede ver en la representación gráfica puesto que conforme x se acera a 1, el valor de f(x) se acerca a 3. Ejemplo 4. 3 x 2 Sea f x 4x 1 x 2 . Encontrar el límite de la función cuando x tiende a -2. x 2 Si se toma el límite por la izquierda, esto es, desde los números negativos hacia los positivos, la función con la que se está trabajando es la recta, entonces, Limx2 f x Limx2 3x 2 6 2 4 Ahora, por el lado derecho, Limx2 f x Limx2 4x 1 8 1 7 El límite por la izquierda es diferente al límite por la derecha, por lo tanto, el límite de la función no existe. Esto se puede ver en la representación gráfica, en la cual la función se rompe en x=-2 y no hay un valor al que se acerque f(x) por ambos lados. 12 10 8 6 4 2 -5 -4 -3 -2 0 -1 -2 0 -4 -6 -8 -10 -12 1 2 3 4 5 Dada una función con una asíntota vertical, como se muestra en la figura, se busca el Limxa f x . En x=a la función no existe, sin embargo, esto es lo importante en un límite. Lo que importa es el valor que toma f x conforme x a . Al acercarse indefinidadmente a ciho valor, el valor de f x se va haciendo cada vez más grande, de forma tal que Limxa f x . f(x) Limxa f x x a La siguiente gráfica representa una función en la que exacatamente en el punto x=a la función toma un valor negativo. Conforme el valor de x se acerca al de a, la función f(x) se acerca al valor L. El límite es, entonces, L aunque la función evaluada en ese punto de un valor distinto. f(x) L Lim xa f x L a x Para una recta y buscando, nuevamente, el límite cuando x a , se puede ver que el valor al que tiende la función coincide con el valor de la función evaluada en ese punto. Por lo tanto, si f a L Limxa f x L . f(x) L Lim xa f x L a x Dada una función con una asíntota vertical en la que alrededor de la asíntota cada rama de la función se dirige hacia diferentes lados, el límite no existe ya que al aproximarse al valor de a por la derecha el resultado será diferente que el obtenido acercándose por la izquierda. f(x) a Limxa f x No existe x En un límite se busca que para un espacio pequeño alredor de x=a haya un espacio pequeño alrededor de f(x)=L. En la representación gráfica mostrada a continuación existe un espacio alrededor de a y un espacio alrededor de L. Aunque la función en ese punto no toma el valor L, el límite existe y vale L, porque se busca una aproximación. En un límite existe un intervalo en x que contiene a a para el cual existe un intervalo en f(x) que contiene a L . f(x) L+ L L- a- a a+ x En el siguiente caso no existe dicho intervalo, no se puede encontrar un intervalo en x que contenga a a para el cual haya un intervalo en f(x) que contenga a L. f(x) L+ L L- a- a a+ x Sea a un punto dentro de un intervalo abierto, f(x) una función definida en todo el intervalo, excepto posiblemente en a, sean L, y números reales, entonces, Limxa f x L significa que para todo >0 existe un >0 tal que si 0 x a entonces f x L . Se puede escribir la definición de límite como: 0, 0 0 x a f x L para todo exsite tal que entonces