UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS FACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS E.A.P DE MATEMÁTICAS Decaimiento exponencial para la ecuación de onda con amortiguamiento localmente distribuido - caso globalmente Lipschitziana Introducción TRABAJO MONOGRÁFICO Para optar el Título Profesional de Licenciado en Matemática AUTOR Andrés Guardia Cayo LIMA – PERÚ 2004 Introducción El objetivo del presente trabajo es estudiar el comportamiento de la energı́a asociada a las soluciones débiles de la siguiente ecuación semilineal de onda con amortiguamiento localmente distribuido ¯ ¯ Ω × (0, ∞) ¯ utt − 4u + f (u) + a(x)ut = 0 en ¯ ¯ u=0 sobre Γ × (0, ∞) ¯ ¯ ¯ u(0) = u0 , ut (0) = u1 en Ω (0.1) donde Ω es un subconjunto acotado, abierto y conexo de Rn , (n ≥ 1) cuya frontera Γ = ∂Ω es de clase C 2 , f una función globalmente Lipschitz-continua y a ∈ L∞ + (Ω) una función acotada, no negativa tal que: a ≥ a0 > 0 casi siempre en ω donde ω ⊂ Ω es una vecindad abierta de Γ, es decir, ω = ωε = [ B(x, ε) ∩ Ω con Γ0 ⊂ Γ (0.2) x∈Γ0 tal que Γ0 = {x ∈ Γ; (x − x0 ).η(x) > 0} para algún x0 ∈ Rn fijo y η = η(x) es un vector normal unitario en x ∈ Γ, dirigido hacia el exterior de Ω. Los sistemas con disipación localmente distribuidos, generados por una fuente externa y que actúa en una parte de la frontera del material, esto es a(x) = 1 en Ω, fueron estudiados por muchos autores entre ellos J. Rauch and M. Taylor [11], C. Bardos , G. Lebeau y J. Rauch [12], Komornik y Zuazua [13], Greenberg y Tatsien[14], Shen y Zheng 2 [15] entre otros, que mostraron la existencia y unicidad de la solución, además de su comportamiento asintótico por el método de la energı́a. El modelo matemático descrito fue propuesto por Zuazua E. [10], en donde el término disipativo actúa solamente en una parte del material definido por ω. Esto es suficiente para que el fenómeno sea afectado en todo el cuerpo, puesto que las disipaciones están actuando en una vecindad ω de la frontera. Este trabajo está dividido en dos capı́tulos. En el primer capı́tulo, son introducidas algunas notaciones y resultados que serán utilizados en el capı́tulo siguiente. Finalmente, en el segundo capı́tulo, se demuestra que la energı́a asociada a las soluciones débiles del problema (0.1) tienen un decaimiento de tipo exponencial cuando el tiempo tiende al infinito. 3