Tareas (funciones definidas por integrales) 1. Continuidad de la integral de Dirichlet con la función exponente. Demostrar que la integral impropia →+∞ Z sin x dx e−λx x 0 converge uniformemente en [0, +∞), y la función →+∞ Z e−λx Φ(λ) := sin x dx x 0 es continua en [0, +∞). 2. Cálculo de la integral de Dirichlet a través de la derivación respecto al parámetro. Demostrar que para todo λ ≥ 0 →+∞ Z e−λx sin x π dx = − arc tg λ. x 2 0 Indicación. Considerar la función →+∞ Z e−λx Φ(λ) := sin x dx, x 0 calcular su derivada, después calcular Φ(λ). 3. Integrales de Fresnel. Demostrar las fórmulas: √ π cos x dx = √ , 2 2 →+∞ Z √ π sin x dx = √ . 2 2 →+∞ Z 2 0 2 0 Indicación. Hacer el cambio de variable t = x2 , aplicar la fórmula 1 2 √ =√ π t Z+∞ 2 e−tu du, 0 invertir el orden de las integraciones. página 1 de 3 4. Fórmula de los complementos para la función Γ. Demostrar que para todo x ∈ (0, 1) π Γ(x)Γ(1 − x) = . sin(πx) Indicación. Demostrar al principio que Z+∞ Γ(x)Γ(1 − x) = y x−1 dy. 1+y 0 Para x ∈ (0, 1) fijo, considerar la función Z+∞ f (λ) := y x−1 dy eiλ y + 1 (λ ∈ (−π, π)). 0 Demostrar que f 0 (λ) = −ixf (λ). De aquı́ f (λ) = g(x)e−iλx , donde γ(x) depende solamente de x. Mostrar que para λ ∈ (0, π) f (−λ) − f (λ) = sin λ g(x) sin(λx) = 2i Z+∞ y x dy = y 2 + 2y cos λ + 1 0 Z+∞ (u sin λ − cos λ)2 du. 1 + u2 cot λ Pasando al lı́mite para λ → π, probar que g(x) = π . sin(πx) 5. Continuidad y derivadas parciales del potencial volúmico. Sea K un compacto en R3 , ρ : K → R una función medible y acotada. Mostrar que la función Z ρ(x) dx U (a) := |x − a| K es continua en R3 y calcular sus derivadas parciales. Indicación. Escribir U en forma Z ρ(x) dx U (a) = Vr (a) + Wr (a) con Vr (a) = , |x − a| |x−a|≤r Z Wr (a) = ρ(x) dx . |x − a| |x−a|>r Obtener una mayoración |Vr (a)| < kr2 con k constante y probar de allı́ que W1/ν (a) (a) cuando ν → ∞. R x1 −a1 Para demostrar que ∂1 U (a) = U1 (a) := K ρ(x) |x−a| 3 dx, probar la fórmula Zc1 U1 (a1 , a2 , a3 ) da1 = U (c1 , a2 , a3 ) − U (b1 , a2 , a3 ). b1 página 2 de 3 a∈R3 ⇒ U 6. Regla de Leibniz con lı́mites variables. Sean I y J intervalos abiertos en R, f : I × J → R una función continua. Se supone que para todo (x, y) ∈ I × J existe la derivada parcial ∂2 f (x, y) y que existe g ∈ L1 (I) tal que |∂2 f (x, y)| ≤ g(x) para todo (x, y) ∈ I × J. Sean ϕ y ψ funciones derivables J → I. Se define para todo y ∈ J: ϕ(y) Z Φ(y) := f (x, y) dx. ψ(y) Probar que Φ es derivable y ϕ(y) Z Φ0 (y) = ∂2 f (x, y) dx + ϕ0 (y)f (ϕ(y), y) − ψ 0 (y)f (ψ(y), y). ψ(y) Indicación. Para un y fijo en J, escribir Φ(y + h) en forma ϕ(y) ϕ(y+h) ψ(y+h) Z Z Z Φ(y + h) = f (x, y) dx + f (x, y) dx − f (x, y) dx. ψ(y) ϕ(y) ψ(y) 7. Cálculo de la integral de Poisson. Demostrar que Z+∞ √ 2 e−x dx = π. −∞ Indicación. Considerar las funciones ZL I(L) := e −L −x2 Z dx, g(R) := 2 −y 2 e−x dx dy, x2 +y 2 ≤R2 √ calcular g(R) usando coordenadas polares, y mostrar que g(L) ≤ I(L)2 ≤ g(L 2). página 3 de 3