Una introducción a la mecánica cuántica Luis Rincón Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias UNAM XXI Semana de las Matemáticas Universidad Autónoma Metropolitana Iztapalapa 1 de marzo de 2013 Luis Rincón Mecánica cuántica El término cuántico El término cuántico proviene del latı́n quanta, que significa “qué tan grande” o “cuánto”, y se refiere al hecho de que algunas cantidades fı́sicas fundamentales varı́an únicamente en cantidades discretas y no de manera continua como uno podrı́a inicialmente suponer. Por ejemplo, la medición de la energı́a de un átomo en reposo arroja cantidades discretas de posibles valores. Otras variables o mediciones que presentan esta cualidad se dice que están cuantizadas. Ası́, la mecánica cuántica se refiere a una teorı́a fı́sica creada para modelar los fenómenos de la naturaleza a escala microscópica, en donde el fenómeno de cuantización se presenta. Luis Rincón Mecánica cuántica Antecedentes Al final del siglo XIX se demostró a través de ciertos experimentos, tanto a nivel macroscópico como a nivel molecular, que la fı́sica clásica conducı́a a predicciones erróneas o por lo menos que no podı́a explicar plenamente. Se encontró que la mecánica de Newton y las teorı́a fı́sicas clásicas no eran adecuadas para describir ciertos fenómenos de la naturaleza. Durante la primera mitad del siglo XX se construyó una nueva teorı́a, llamada mecánica cuántica, la cual describe con sorprendente exactitud los fenómenos del mundo microscópico. Esta teorı́a representó toda una revolución en el mundo de la fı́sica, aún continúa en desarrollo, sus aplicaciones son numerosas y sus usos con cada vez más cotidianos conforme el avance de la tecnologı́a requiere de la manipulación controlada de objetos cada vez más pequeños. Luis Rincón Mecánica cuántica Experimento de Stern-Gerlach Un haz de átomos, cuyo momento magnético es µ, atraviesan un campo magnético B dirigido en la dirección z. Los átomos se refractan al atravesar el campo magnético y llegan a una pantalla S. Si se mide la refracción sobre esta pantalla se puede encontrar la componente µz del momento magnético µ de los átomos. z µz Átomos con momento magnético µ S B Campo magnético Luis Rincón x Mecánica cuántica Experimento de Stern-Gerlach De acuerdo a la mecánica clásica todos los valores reales entre −|µ| y |µ| son posibles para µz . De modo que todo un continuo de valores en este intervalo debe observarse para µz . Si embargo esto no sucede en los experimentos: Sólo un conjunto finito de valores se observan para µz , igualmente espaciados entre −|µ| y |µ|. Para cierto tipo de átomos, sólo hay dos posibles valores para µz , −|µ| y |µ|. Resulta que los electrones poseen momento angular, conocido como spin, y que el momento magnético del átomo es proporcional a su momento angular. Y para algunos átomos, el momento angular es igual al spin del electrón en la órbita externa. Luis Rincón Mecánica cuántica Experimento de Stern-Gerlach Experimentalmente se ha encontrado que los valores del momento angular son: Sz Sz 1 = + ~ 2 1 = − ~ 2 (spin arriba), (spin abajo), en donde h = 2π~ es la constante de Planck. De esta forma se dice que el electrón es una partı́cula spin- 21 . Tomaremos éste como un caso particular de interés. Denotaremos a estos dos valores como |+iz Luis Rincón y |−iz . Mecánica cuántica Aparatos de Stern-Gerlach en serie |+iz Sz |−iz |+iz Sz |+iy |+iz Sz |−iz Sy |−iy Uno tenderı́a a pensar, en el segundo caso, que la mitad de los átomos que ingresan en el segundo aparato tienen componentes |+iz y |+iy , y la otra mitad |+iz y |−iy . Esto no es ası́. Luis Rincón Mecánica cuántica Aparatos de Stern-Gerlach en serie |+iy |+iz Sz Sy |−iz |−iy |+iz Sz |−iz Observaciones inesperadas: 1. Las componentes |+iz y |−iz aparecen nuevamente del tercer aparato!!! Sucede que el segundo aparato filtra el estado |+iy y al hacerlo destruye la información del valor de Sz . 2. Si en el segundo aparato los átomos con valor |−iy no son bloqueados, entonces sólo el componente |+iz sale del tecer aparato. Luis Rincón Mecánica cuántica Experimento de la doble ranura de Young ¿Es la luz un haz de partı́culas o una onda? 1. Newton: son partı́culas. 2. Maxwell: son ondas electromagnéticas. 3. Einstein: es un haz de partı́culas elementales llamadas fotones. El experimento de la doble ranura de Young establece que para tener una descripción completa del comportamiento experimental de la luz se debe aceptar que ésta es tanto una haz de partı́culas como una onda. Luis Rincón Mecánica cuántica Experimento de la doble ranura de Young Se emite un haz de luz y se hace pasar éste a través de dos ranuras iluminando después una pantalla (placa fotográfica). Si únicamente una de las ranuras se encuentra abierta entonces se obtiene una intensidad sobre la pantalla con valor máximo a la altura de la ranura y decayendo suavemente hacia los lados. Si ambas ranuras se encuentran abiertas se obtienen franjas alternantes de intensidades altas y bajas. Luis Rincón Mecánica cuántica Experimento de la doble ranura de Young Observaciones: 1. Si la intensidad de la luz se reduce de tal forma que la fuente emite fotones uno por uno, entonces estos fotones se registran en la pantalla de manera puntual. No se producen interferencias pero la posición de estos puntos no son como los predice la mecánica clásica sino que siguen un patrón probabilı́stico dado por las interferencias que disminuyen pero no desaparecen. (Comportamiento de partı́cula pero no clásica sino probabilı́stica). 2. Si el tiempo de exposición de la placa fotográfica aumenta, se registrarán cada vez mas fotones y la franjas de intensidades altas y bajas aparecen nuevamente. (Comportamiento de onda). Luis Rincón Mecánica cuántica Experimento de la doble ranura de Young Observaciones: 3. Ası́, los conceptos de onda y partı́cula no son mutuamente excluyentes sino ambos necesarios y coexisten formando el concepto de dualidad onda-partı́cula. 4. Si se coloca un contador de fotones en cada una de las ranuras de tal forma que se conozca la ranura a través de la cual pasó un fotón, las interferencias se destruyen. Esto lleva a abandonar el concepto de trayectoria y a aceptar que no se puede conocer la evolución en el tiempo de una partı́cula a pesar de conocer sus condiciones iniciales y su ley de movimiento. 5. La naturaleza es intrı́nsecamente probabilı́stica. Luis Rincón Mecánica cuántica Preliminares Una manera rápida de presentar a la mecánica cuántica es a través de sus postulados matemáticos. Estos axiomas podrı́an parecer no naturales pero han resultado corresponder bastante bien con los fenómenos fı́sicos que se quieren representar. De manera clásica, el estado de un sistema a un tiempo t0 está determinado por la posición x(t0 ) y la velocidad ẋ(t0 ). Luis Rincón Mecánica cuántica Preliminares Si tomamos estas posiciones y velocidades como condiciones iniciales, entonces la evolución de este sistema está regido por las leyes de Newton de la mecánica clásica. Estas leyes determinan el estado del sistema en cualquier otro tiempo t: 1. Primera ley (ley de la inercia). 2. Segunda ley (ley de fuerza). 3. Tercera ley (ley de acción y reacción). Para la mecánica cuántica se requiere un esquema matemático diferente: Luis Rincón Mecánica cuántica Espacios de Hilbert Sea H un espacio vectorial. Un producto interior definido sobre este espacio es una función h·, ·i : H × H en un campo escalar K tal que cumple 1. hx + y , zi = hx, zi + hy , zi 2. hαx, y i = αhx, y i 3. hx, y i = hy , xi 4. hx, xi ≥ 0 5. hx, xi = 0 ⇔ x = 0 De este producto interior puede definirse una norma en H de la siguiente forma p kxk = hx, xi Luis Rincón Mecánica cuántica Espacios de Hilbert Y también puede definirse una métrica sobre H de la siguiente forma p d(x, y ) = kx − y k = hx − y , x − y i Un espacio de Hilbert es entonces un espacio vectorial con un producto interior definido y que es completo bajo la métrica dada por el producto interior. En un espacio de Hilbert se tiene el concepto de ortogonalidad: se dice que dos vectores x y y son ortogonales si hx, y i = 0. Para denotar el producto interior de dos vectores usaremos también la notación hx|y i. Luis Rincón Mecánica cuántica Ejemplos de espacios de Hilbert 1. Rn con producto interior el producto Euclideano hx, y i = x1 y1 + · · · + xn yn . 2. L2 [a, b], el espacio de todas las funciones continuas x(t) cuadrado integrables, definidas sobre [a, b] con valores complejos. El producto interior es hx, y i = Z b x(t)y (t) dt. a 3. Cn con producto interior hx, y i = x1 y1 + · · · + xn yn En particular, C2 . Luis Rincón Mecánica cuántica Postulado I de la mecánica cuántica ¥ El estado de un sistema cuántico está dado por un vector unitario |ψi en un espacio de Hilbert H . La evolución en el tiempo del vector de estado |ψi está dada por la ecuación de Schrödinger i~ ∂ |ψt i = H |ψt i ∂t en donde H es un operador diferencial autoadjunto conocido como el Hamiltoniano del sistema, ~ = h/2π con h la constante de Planck. El uso del sı́mbolo |ψt i para denotar a un vector se debe a Dirac. La norma al cuadrado de la función de onda |ψt i se interpreta como una distribución de probabilidad. Luis Rincón Mecánica cuántica Qubits: ejemplo de un sistema cuántico Un qubit o bit cuántico (quantum bit) es un vector de norma unitaria en el espacio de Hilbert C2 , es decir, es un vector de la forma µ ¶ α |ψi = β en donde α, β ∈ C son tales que |α|2 + |β|2 = 1. Se pueden definir los siguientes vectores, los cuales constituyen una base ortonormal de C2 : µ ¶ 1 |0i = 0 µ ¶ 0 |1i = 1 Luis Rincón Mecánica cuántica Qubits Un qubit puede escribirse entonces en la forma µ ¶ α = α|0i + β|1i. |ψi = β En esta situación se dice que el vector |ψi se encuentra en un estado de superposición de los estados base |0i y |1i, los dos estados a un mismo tiempo. Esto contrasta con los valores 0 o 1 que un bit clásico puede tomar en cualquier momento. Luis Rincón Mecánica cuántica Representación estándar de un qubit Sin pérdida de generalidad (haciendo un cambio de fase) uno puede considerar que el coeficiente α es real y positivo (excepto para el vector base |1i), y por lo tanto un qubit puede también representarse de la siguiente forma |ψi = cos θ θ |0i + e iφ sen |1i = 2 2 µ cos 2θ e iφ sen 2θ ¶ en donde 0 ≤ θ ≤ π y 0 ≤ φ < 2π. Observe que a) cuando θ = 0, b) cuando θ = π, |ψi = |0i. |ψi = e iφ |1i. Haciendo variar los ángulos θ y φ se obtiene el espacio en el que vive un qubit: Luis Rincón Mecánica cuántica Otra representación del qubit |ψi = cos 2θ |0i + e iφ sen 2θ |1i Esfera de Bloch: 0≤θ≤π 0 ≤ φ < 2π z b |0i θ φ x b Luis Rincón y |1i Mecánica cuántica Esfera de Bloch Un punto sobre la esfera de Bloch tiene coordenadas (x, y , z) en donde con x 2 + y 2 + z 2 = 1. Entonces, dados θ y φ, x = sin θ cos φ y = sin θ sin φ z = cos θ Recı́procamente, dados x, y y z en R con x 2 + y 2 + z 2 = 1, se puede demostrar que r 1+z x + iy |ψi = |1i |0i + p 2 2(1 + z) Luis Rincón Mecánica cuántica Esfera de Bloch z θ cos θ si n θ si φ os φ n θ c θ sin sin θ sin φ x Luis Rincón Mecánica cuántica y Preliminares para el segundo postulado: operadores lineales Un operador en un espacio de Hilbert H es un mapeo A : H → H el cual se dice que es lineal si cumple la identidad A(ax + y ) = aAx + Ay . En el caso de C2 , respecto de una cierta base de vectores para este espacio, un operador lineal A tiene una representación matricial µ ¶ a b A= . c d Luis Rincón Mecánica cuántica Ejemplos de operadores lineales: Proyecciones Sea |αi un vector unitario. La proyección Pα = |αihα| es el operador Pα |γi = |αihα| (|γi) = |αihα|γi = hα|γi |αi. Observe que Pα efectivamente proyecta cualquier vector en la dirección del vector |αi, es decir, se cumple que: a) Pα |αi = |αihα|( |αi) = |αihα|αi = |αi. b) Pα |γi = hα|γi |αi = 0, cuando hα|γi = 0. c) Pα2 |γi = Pα (hα|γi |αi) = hα|γi Pα |αi = hα|γi |αi = Pα |γi. Luis Rincón Mecánica cuántica Operadores de Pauli Otros ejemplos de operadores lineales, en particular sobre el espacio de Hilbert C2 , son los operadores de Pauli: µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ 1 0 0 1 0 −i 1 0 σ0 = , σx = , σy = , σz = 0 1 1 0 i 0 0 −1 que cumplen las relaciones: a) σx2 = σy2 = σz2 = I . b) σx σy = iσz . c) σy σz = iσx . d) σz σx = iσy . Luis Rincón Mecánica cuántica Operador adjunto Para cualquier operador lineal A sobre un espacio de Hilbert, existe un único operador lineal A† sobre el mismo espacio, llamado el operador adjunto de A tal que hx|Ay i = hA† x|y i. Este nuevo operador A† es tal que se cumplen las siguientes identidades: a) hAx|y i = hx|A† y i, es decir, A = (A† )† . b) (A + B)† = A† + B † . c) (AB)† = B † A† Luis Rincón Mecánica cuántica Operador autoadjunto Un operador A es autoadjunto (o Hermitiano) si A† = A. Propiedades: 1. Un operador autoadjunto tiene todos sus eigenvalores reales. En efecto, si Ax = ax, entonces en particular, ⇒ hx|Axi = hA† x|xi hx|Axi = hAx|xi ⇒ hx|axi = hax|xi ⇒ ā = a ⇒ āhx|xi = ahx|xi Por ejemplo, los operadores de Pauli σx , σy y σz son autoadjuntos. 2. Los eigenvectores de un operador autoadjunto forman un conjunto ortonormal en el espacio de Hilbert. Luis Rincón Mecánica cuántica Otro tipos de operadores Operador inverso: Si B es tal que AB = BA = I entonces B = A−1 Operador normal: AA† = A† A Operador unitario: AA† = A† A = I , es decir, A† = A−1 Por ejemplo, los operadores de Pauli σx , σy y σz son autoadjuntos y unitarios. Una caracterı́stica importante de los operadores unitarios es que preservan el producto interior, es decir, hAx|Ay i = hx|y i. Por lo tanto estos operadores no cambian la norma de un vector. Luis Rincón Mecánica cuántica Postulado II de la mecánica cuántica ¥ A cada observable A del sistema se le asocia un operador autoadjunto definido sobre H . Los únicos posibles resultados de una medición de una observable A son sus eigenvalores. Si A|xi = ax |xi, entonces la probabilidad de que una medición de la observable tenga como resultado el valor ax está dada por P(A = ax ) = |hx|ψi|2 = |cx |2 P en donde |ψi = x cx |xi, con |xi una base ortonormal de eigenvectores del operador A. Luis Rincón Mecánica cuántica Ejemplo: Operador σz Por ejemplo, el operador σz es autoadjunto y tiene como eigenvectores |0i y |1i, en efecto, µ ¶µ ¶ µ ¶ 1 1 1 0 σz |0i = = (+1) = (+1) |0i 0 −1 0 0 µ µ ¶ ¶µ ¶ 0 0 1 0 = (−1) |1i σz |1i = = (−1) 0 −1 1 1 Si |ψi = cos 2θ |0i + e iφ sen 2θ |1i, como resultado de la medición y según el postulado II, uno obtiene el valor +1 o −1 con probabilidades θ = p0 , 2 θ = sen2 = p1 . 2 |h0|ψi|2 = cos2 |h1|ψi|2 Luis Rincón Mecánica cuántica Postulado III de la mecánica cuántica ¥ Si el estado de un sistema es el vector |ψi y si se realiza una medición de la observable A, obteniéndose el valor (eigenvalor) a, entonces inmediatamente después de la medición, el estado del sistema es P |ψi p a hψ|Pa |ψi en donde Pa es el operador proyección sobre el subespacio correspondiente al eigenvalor a. Luis Rincón Mecánica cuántica Ejemplo: un volado cuántico Considere un qubit en el estado general |ψi = α|0i + β|1i. Una aplicación de la observable σz produce el resultado +1 o −1 con probabilidades |h0|ψi|2 = |α|2 , |h1|ψi|2 = |β|2 , y colapsa al qubit a alguno de los estados base |0i o |1i. Ası́, un volado cuántico equilibrado es una aplicación de σz de un qubit en el estado 1 |ψi = √ (|0i + |1i). 2 Luis Rincón Mecánica cuántica Valores esperados Si el observable A tiene eigenvectores |xi con eigenvalores ax , como en el segundo postulado, entonces el valor esperado del operador A es X hAi = ax P(A = ax ) x = X ax |hx|ψi|2 = X ax hx|ψi∗ hψ|xi = X ax hψ|xihψ|xi x x x = hψ| X x ax |xihx| |ψi = hψ|A|ψi. Luis Rincón Mecánica cuántica Medición del estado de un qubit El estado de un qubit puede ser medido si es que se tiene a disposición un número grande de qubits preparados idénticamente. Usando los operadores de Pauli σx , σy y σz , para un qubit en el estado |ψi = cos 2θ |0i + e iφ sen 2θ |1i se tiene los siguientes cálculos (valores esperados) µ ¶ 0 1 hψ|σx |ψi = hψ| |ψi = sen θ cos φ = x 1 0 µ ¶ 0 −i hψ|σy |ψi = hψ| |ψi = sen θ sen φ = y i 0 µ ¶ 1 0 hψ|σz |ψi = hψ| |ψi = cos θ = z 0 −1 Luis Rincón Mecánica cuántica Medición del estado de un qubit De lo anterior, p0 − p1 = cos2 θ θ − sen2 = cos θ = z 2 2 Por lo tanto, la coordenada z es la diferencia de las probabilidades de obtener +1 y −1 de una medición de σz , es decir, z≈ N0 N1 − N N en donde N es el número de sistemas idénticamente preparados en el estado indicado. Luis Rincón Mecánica cuántica Medición del estado de un qubit La coordenada x se puede obtener de manera similar, aplicando previamente una transformación unitaria. Defina µ ¶ 1 1 1 U1 = √ 2 −1 1 y sea |ψ (1) i = U1 |ψi. Una medición de este estado a lo largo del eje z (i.e. usando σz ), da los resultados +1 o −1 con probabilidades (1) p0 (1) p1 := |h0|ψ (1) i|2 := |h1|ψ (1) i|2 Después de algunos cálculos se encuentra que (1) (1) p0 − p1 = cos φ sen θ = x Luis Rincón Mecánica cuántica Medición del estado de un qubit La coordenada y se puede obtener de la misma manera. Se define ¶ µ 1 1 −i U2 = √ 2 −i 1 y sea |ψ (2) i = U2 |ψi. Nuevamente una medición de este estado a lo largo del eje z (i.e. usando σz ), da los resultados +1 o −1 con probabilidades (2) p0 (2) p1 := |h0|ψ (2) i|2 := |h1|ψ (2) i|2 Después de algunos cálculos se encuentra que (2) (2) p0 − p1 = sen φ sen θ = y Luis Rincón Mecánica cuántica Bibliografı́a Temas interesantes de estudio: 1. Principio de incertidumbre de Heisenberg. 2. Sistemas compuestos y entrelazamiento. 3. La paradoja EPR y las desigualdades de Bell. 4. Computación cuántica. 5. Criptografı́a. Luis Rincón Mecánica cuántica Bibliografı́a [1] A. Peres. Quantum theory: concepts and methods. Kluwer Academic, 1993. [2] G. Benenti, G. Casali, G. Strini. Principles of quantum computation and information. Volúmenes 1 y 2. World Scientific, 2007. Luis Rincón Mecánica cuántica