Mecánica Cuántica Avanzada — Carlos Pena 15-1 15. Cristales clásicos: modos normales. [Ynd 7] Motivación Los cristales pueden ser utilizados como modelos prototı́picos de un sistema de muchos cuerpos, en el que los grados de libertad fı́sicos relevantes para la dinámica (e.g. los fonones) emergen como propiedades colectivas a las que contribuyen muchas interacciones a nivel microscópico entre los constituyentes fundamentales (átomos, y, en en el caso de materiales (semi)conductores, electrones libres). un cristal bidimensional, desde el punto de vista de los núcleos un cristal bidimensional, desde el punto de vista de los electrones Más allá de revisitar aspectos esenciales de la dinámica de un cristal desde un punto de vista de fı́sica fundamental, nos concentraremos en cómo tratar la dinámica de un sistema de muchos cuerpos (i.e. muchos operadores {(x̂1 , p̂1 ), . . . , (x̂N , p̂N )}) usando campos φ̂(x, t).1 Esto se puede hacer de dos maneras diferentes: (i) Se define un campo clásico que contiene las vibraciones de muchos sitios de una red, y a continuación se definen amplitudes cuánticas usando una (generalización de la) integral de camino. Partiendo de dichas amplitudes, es posible definir estados cuánticos de una partı́cula (fonones). (ii) Se definen estados de una partı́cula en el espacio de Fock, y a continuación, usando un procedimiento llamado cuantización canónica, se define un campo cuántico. Esta construcción (que, como veremos, está basada en el tratamiento del oscilador armónico con operadores de destrucción y aniquilación) es llamada formalismo de segunda cuantización. Nuestra estrategia consistirá en estudiar primero en detalle el problema en el lı́mite clásico, y a continuación aplicar el segundo procedimiento (cuantización canónica) 1 Para tener una medida de comparación, recuérdese e.g. cómo en la hidrodinámica clásica se describe un fluido no P en términos de las posiciones {xi , i = 1, . . . , N } de sus constituyentes, sino de (3) la densidad ρ(x, t) = N [x − xi (t)]. i=1 δ 15-2 Mecánica Cuántica Avanzada — Carlos Pena para estudiarlo a nivel cuántico. El formalismo de integral de camino será ilustrado a un nivel elemental usando el ejemplo del condensado de Bose-Einstein. Hamiltoniano: consideraciones generales Consideremos una cadena unidimensional con espaciado a y átomos en las posiciones xn , y desplazamientos qn := xn − xn,0 alrededor de sus posiciones de equilibrio. Con el fin de elucidar algunos conceptos, consideraremos tanto una cadena infinita como una con un número finito N de átomos (y por lo tanto una longitud finita L = N a) y condiciones de contorno periódicas. En ambos casos los números de onda k del sistema están restringidos al intervalo [−π/a, π/a], debido al espaciado finito de la cadena; pero para la cadena infinita k es continuo en el intervalo, mientras que para 2π la cadena finita k está cuantizado en unidades de 2π L = N a . Estas condiciones, obviamente, implican restricciones sobre los valores posibles de las energı́as y frecuencias caracterı́sticas del sistema. N 1 2 ... ... a � a �� ... ... � �� � � La energı́a cinética total será T = X1 k 2 mn ẋ2n = X1 k 2 mn q̇n2 := X p2 n . 2mn (15.1) k La energı́a potencial total V será, en general, una función de todos los desplazamientos {qn }. Si las interacciones entre átomos cercanos son lo suficientemente débiles, será razonable desarrollar V en serie de Taylor, 1X Vnn0 qn qn0 + O(q 3 ) 2 n nn0 ∂V ∂ 2 V Vn := ; Vnn0 := ∂qn qk =0 ∀k ∂qn ∂qn0 qk =0 V (q1 , q2 , . . .) = V0 + V0 := V (0, 0, . . .) ; Supondremos que X Vn qn + (15.2) . ∀k 15-3 Mecánica Cuántica Avanzada — Carlos Pena (i) El potencial es real; en particular, Vnn0 ∈ R ∀n, n0 . (ii) Las interacciones son simétricas, i.e. el potencial no cambia si se intercambian dos puntos de la cadena. Esto implica, en particular, Vnn0 = Vn0 n . (iii) El sistema es invariante bajo traslaciones; esto implica, en particular, Vn = 0 ∀n. Si consideramos una cadena finita, Vnn0 será una matriz N × N . Al ser dicha matriz real y simétrica, serán no negativos, y existirá un sistema de P sus autovalores √ coordenadas Qn = n0 Rnn0 mn0 qn0 , con RT R = 1, en el que V = diag(Ω21 , Ω22 , . . .). Una vez realizado este cambio de variables, y despreciando los términos O(q 3 ) en el desarrollo de V , el hamiltoniano del sistema se podrá escribir como H= X Hn + V0 , n 1 1 Hn = Q̇2n + Ω2n Q2n = N |αn |2 , 2 2 Ωn αn (t) := √ 2N Qn + i Q̇n Ωn (15.3) , i.e. una suma de hamiltonianos de oscilador armónico para cada uno de los átomos de la cadena.2 {Qn } se llaman coordenadas normales, y {αn } (aquı́ definidos salvo una normalización N , de cuyo valor nos ocuparemos más tarde), se llaman modos normales. Es trivial ver que estos últimos satisfacen la ecuación de movimiento α̇n (t) = −iΩn αn (t) → αn (t) = αn (0)e−iΩn t , (15.4) donde αn (0) está fijado por las condiciones iniciales. El valor de V0 es fı́sicamente irrelevante, y sirve para fijar el cero de energı́as. En el caso de una cadena infinita la única diferencia es que la matriz Vnn0 tiene dimensión infinita, y el espectro de frecuencias asociado será continuo en lugar de discreto. A continuación veremos un ejemplo explı́cito. Este ejercicio nos ha enseñado que, para interacciones suficientemente pequeñas, el sistema se puede describir como una superposición de osciladores armónicos independientes, y toda la información dinámica está contenida en el espectro de frecuencias {Ωn }. Evidentemente, encontrar {αn } y {Ωn }, que dependen del potencial de interacción concreto, es un problema en general complicado. √ Para seguir convenciones habituales, hemos reescaleado con un factor m para pasar a coordenadas normales, de manera que en este último hamiltoniano no aparecen masas. 2 15-4 Mecánica Cuántica Avanzada — Carlos Pena Sistema de osciladores independientes El caso trivial de potencial de interacción especı́fico es una combinación de osciladores independientes con masas y frecuencias idénticas, descrita por H= X p2 1 + mω 2 qn2 2m 2 n n + V0 . (15.5) En este sistema las coordenadas normales son, simplemente, Qn = ω ∀n. Los modos normales son (pn = mq̇n ) r αn (t) = mω 2~ √ i qn + pn , mω mqn , y Ωn = (15.6) donde la normalización N de (15.3) ha sido fijada de una forma que resultará conveniente a la hora de cuantizar el sistema.3 La relación inversa entre modos normales y variables canónicas es r ~ [αn (t) + αn∗ (t)] , 2mω r 2 pn (t) = −i [αn (t) − αn∗ (t)] , ~mω qn (t) = (15.7) Sustituyendo en (15.9) con λ = 0 se obtiene inmediatamente H= X ~ω |αn (t)|2 + V0 , (15.8) n y la ecuación de movimiento es αn (t) = αn (0)e−iωt . Cadena infinita con interacción a primeros vecinos: solución en modos normales Ahora resolveremos explı́citamente el caso no trivial más sencillo: un sistema con todos los átomos iguales (mn = m ∀n) y un potencial de interacción a primeros vecinos que sólo depende de dos parámetros positivos (ω, λ), H= X p2 n n 3 2m + 1 1 mω 2 qn2 + λ(qn+1 − qn )2 2 2 ¡Obviamente, el sistema clásico no sabe nada sobre ~! + V0 , (15.9) 15-5 Mecánica Cuántica Avanzada — Carlos Pena y cuyas correspondientes ecuaciones de Hamilton son 1 pn (t) , q̇n (t) = m ṗn (t) = −mω 2 qn (t) + λ [qn+1 (t) + qn−1 (t) − 2qn (t)] . (15.10) Para encontrar los modos normales, pasamos al espacio de momentos y proponemos como ansatz una expansión en modos de Fourier de la forma4 X i −ikan qn (t) + pn (t) . (15.11) α(k, t) = A(k) e mΩ(k) n En esta expresión los coeficientes de la expansión tienen la misma forma que αn , con la sustitución ω → Ω(k), donde Ω(k) es el espectro de autofrecuencias; y A(k) es un factor de normalización que ajustaremos de manera conveniente. Nuestro objetivo es encontrar el valor de Ω(k) que hace que la ecuación de movimiento para el modo normal tenga la forma correcta α̇(k, t) = −i Ω(k) α(k, t) . (15.12) Para ello calculamos α̇(k, t): α̇(k, t) = A(k) X e −ikan n i ṗn (t) q̇n (t) + mΩ(k) = (ecuaciones de Hamilton) X = A(k) e−ikan × n 1 i 2 × pn (t) + −mω qn (t) + λ (qn+1 (t) + qn−1 (t) − 2qn (t)) m mΩ(k) ( ) λ λ X i(ω 2 + 2 m ) im 1 −ikan = A(k) e pn (t) − qn (t) + [qn+1 (t) + qn−1 (t)] . m Ω(k) Ω(k) n (15.13) Ahora bien: X e−ikna qn±1 n = n0 :=n+1 = n:=n0 4 X n0 ±ika e 0 e−ik(n ∓1)a qn0 = e±ika X X n0 −ikna e qn , n Nótese que xn = an son las posiciones de los átomos. 0 e−ikn a qn0 (15.14) 15-6 Mecánica Cuántica Avanzada — Carlos Pena y por lo tanto =2 cos ka z }| { ika −ika λ 2 X )] ω + m [2 − (e + e −ikan 1 e α̇(k, t) = A(k) pn (t) − i qn (t) m Ω(k) n (15.15) −iA(k) ω 2 + 2λ m (1 − cos ka) × = Ω(k) ( ) Ω(k) X m e−ikna qn (t) + i × p (t) , 2 + 2λ (1 − cos ka) n ω m n expresión que es trivialmente proporcional a α(k, t) si imponemos que el coeficiente de pn sea igual a i[mΩ(k)]−1 , lo que ocurre para Ω2 (k) = ω 2 + 2λ (1 − cos ka) m (relación de dispersión). (15.16) α(k, t) = α(k, 0)e−iΩ(k)t , (15.17) Con esta elección α̇(k, t) = −iΩ(k)α(k, t) ⇒ como querı́amos. Obviamente, el resultado para λ = 0 está incluido de manera trivial. Si hubiéramos considerado la cadena finita periódica, la solución serı́a algo más complicada, pero el resultado es el mismo a menos de términos de orden O(1/N ), que se pueden despreciar si N es suficientemente grande. (Por ejemplo, (15.14) no se cumple, ya que aparecen términos extra debidos al carácter finito de la cadena, lo que modificará la relación de dispersión.) Recuérdese, además, que en ese caso el número de ondas k no es continuo en [−π/a, π/a], sino que está cuantizado en unidades de N2πa en ese mismo intervalo. Normalización canónica del hamiltoniano Los resultados que acabamos de obtener son independientes del valor de la normalización A(k). Para fijar A(k) imponemos que el hamiltoniano, escrito en términos de los modos normales, tenga la forma Z H= π/a dk ~Ω(k)|α(k, t)|2 + V0 . −π/a (15.18) 15-7 Mecánica Cuántica Avanzada — Carlos Pena Para realizar el cálculo, empezamos por sustituir (15.11) en la integral de (15.18), Z Z π/a dk ~Ω(k)|α(k, t)|2 = π/a dk ~Ω(k)|A(k)|2 × −π/a −π/a X i 1 ika(n−n0 ) × e qn qn0 + [qn pn0 − qn0 pn ] + 2 2 pn pn0 {z } m Ω (k) mΩ(k) | n,n0 =0 bajo la suma Z 1 2~|β|2 π/a X ika(n−n0 ) pn pn0 2 dk e + mΩ (k)qn qn0 , = m 2m 2 −π/a 0 n,n (15.19) p donde en el penúltimo paso hemos introducido el ansatz A(k) = β Ω(k), con β una constante independiente de k. Ahora conmutamos las sumas sobre k y (n, n0 ) e introducimos la fórmula explı́cita de la relación de dispersión (15.16); lo que queda bajo la suma es 1 2 Z π/a 0 dk eika(n−n ) −π/a o np p 0 h i n n + mω 2 + 2λ − λ(eika + e−ika ) qn qn0 . m (15.20) 2π δm,n∓η , a (15.21) Usando Z π/a dk eika(m−n±η) = −π/a η = 0, 1 , la integral se reduce a o πn pn pn0 δnn0 + (mω 2 + 2λ)δnn0 − λ(δn,n0 −1 + δn,n0 +1 ) qn qn0 , a m (15.22) lo que permite eliminar la suma en n0 , y concluir, después de redefinir convenientemente los ı́ndices de suma, 1 1 4π~|β|2 X p2n 2 2 2 dk ~Ω(k)|α(k, t)| = + mω qn + λ(qn+1 − qn ) . am 2m 2 2 −π/a n Z π/a 2 (15.23) Por lo tanto, basta elegir el valor adecuado de β para que el resultado reproduzca (15.9): a menos de una fase arbitraria, que fijamos a la unidad, amΩ(k) A(k) = 4π~ 1 2 . (15.24) 15-8 Mecánica Cuántica Avanzada — Carlos Pena En el caso de una cadena finita periódica, de nuevo, estos resultados son válidos sólo a menos de correcciones O(1/N ). En ese caso la integral sobre k debe ser reemplazada por una suma sobre los N valores permitidos (suponemos por simplicidad que N es par) k= 2π l, , Na l = −N/2 + 1, . . . , N/2 , (15.25) y despreciando los términos O(1/N ) se obtiene mΩ(k) A(k) = 2N ~ 1 2 . (15.26) Relación inversa entre modos normales y variables canónicas Una vez fijado A(k), es trivial invertir la relación (15.11) realizando la transformación de Fourier inversa; para la cadena infinita r Z π/a o a~ dk n ikna p qn (t) = e α(k, t) + e−ikna α∗ (k, t) , 4πm −π/a Ω(k) r Z n o p a~m π/a pn (t) = −i dk Ω(k) eikna α(k, t) − e−ikna α∗ (k, t) . 4π −π/a (15.27)