ONDAS ESFÉRICAS RADIACIÓN ACÚSTICA

1
ONDAS ESFÉRICAS
RADIACIÓN ACÚSTICA
1.SEA
UN
MEDIO
FLUIDO,
ILIMITADO, ISÓTROPO Y HOMOGÉNEO.
CONSIDEREMOS EN SU INTERIOR UNA
ESFERA DE RADIO a0 QUE SE HINCHA
RÁPIDAMENTE HASTA LOGRAR UN VALOR
DE RADIO a. EL FLUIDO ALREDEDOR DE LA
ESFERA SUFRE UNA BRUSCA COMPRESIÓN,
PROPAGÁNDOSE DICHA PERTURBACIÓN EN
TODAS LAS DIRECCIONES
RADIADOR
ISÓTROPO.
* TODOS LOS PUNTOS A IGUAL
DISTANCIA DEL CENTRO “O” SON
ALCANZA-DOS A LA VEZ Y PRESENTAN LA
MISMA AMPLITUD DE PRESIÓN
SE FORMAN FRENTES DE ONDA (F.O.)
ESFÉRICOS QUE SE PROPAGAN POR EL MEDIO ONDAS ESFÉRICAS.
2.- SI LA PERTURBACIÓN ES PERIÓDICA (HINCHAR – DESHINCHAR) SE
FORMARÁN SUCESIVOS FRENTES DE ONDA ESFÉRICOS DONDE LA PERTURBACIÓN LLEGA A LA VEZ, AUNQUE SUCESIVOS F.O. DIFIERAN EN LA AMPLITUD DE PRESIÓN DEBIDO A MOTIVOS EXCLUSIVAMENTE GEOMÉTRICOS.
* LOS F.O., EN IDÉNTICO ESTADO VIBRATORIO (IGUALDAD DE FASE),
ESTÁN SEPARADOS POR UN NÚMERO ENTERO DE LONGITUDES DE ONDA ( ).
3.- EL MOVIMIENTO VIBRATORIO DE CADA PUNTO “P” DEL MEDIO SE
REALIZA EN LA DIRECCIÓN DE PROPAGACIÓN DE MODO QUE EL RADIO OP ES
PERPENDICULAR AL F.O.
4.- EN FUNCIÓN DE LA FORMA DE LA FUENTE LA AMPLITUD DE PRESIÓN
PUEDE QUE NO SEA LA MISMA EN TODOS LOS PUNTOS DE UNA SUPERFICIE
ESFÉRICA, AUNQUE SE VERIFICA LA IGUALDAD DE FASE YA QUE TODOS LOS
PUNTOS DEL F.O. SON ALCANZADOS POR LA PERTURBACIÓN EN EL MISMO
INSTANTE. EN ESTOS CASOS SURGE LA CUESTIÓN DE LAS PROPIEDADES DE
DIRECCIONALIDAD DE LAS FUENTES SONORAS.
5.- COMO LA OBSERVACIÓN SE REALIZA EN UNA DETERMINADA
DIRECCIÓN, SI NOS ALEJAMOS
MUCHO
DE
LA
FUENTE,
INDEPENDIENTE MENTE DE SU
>>> a , TODOS LOS
FORMA,
PUNTOS QUE SE VEN BAJO UN
DETERMINADO
ÁNGULO
SÓLIDO d , ESTARÁN MÁS O
MENOS EN EL MISMO ESTADO
VIBRATORIO (IGUALDAD DE
FASE Y AMPLITUD) Y SE PUEDE APROXIMAR UN TROZO DE SUPERFICIE
ESFÉRICA POR SU PLANO TANGENTE CONSTITUYENDO, EN PRIMERA
APROXIMACIÓN, UNA ONDA PLANA
2
ECUACIÓN GENERAL DE LAS ONDAS
* PARA OBTENER LA ECUACIÓN GENERAL DE LAS ONDAS (3D)
UTILIZAMOS, AL IGUAL QUE PARA EL CASO DE LAS ONDAS PLANAS, LAS
SIGUIENTES RELACIONES:
1.- ECUACIÓN DE CONTINUIDAD
2.- PROPIEDADES ELÁSTICAS DEL MEDIO
3.- ECUACIÓN DE LA DINÁMICA
* SUPONEMOS UNA SITUACIÓN IDEAL DONDE NO SE TIENEN EN CUENTA
LAS PÉRDIDAS DE ENERGÍA DEBIDO AL CARÁCTER VISCOSO DEL MEDIO NI
CUALQUIER OTRO TIPO DE PÉRDIDA ENERGÉTICA.
* EN LA FIGURA SE OBSERVA UN ELEMENTO DE VOLUMEN DEL FLUIDO
EN EQUILIBRIO Y CUANDO ES ALCANZADO POR UNA ONDA DE PRESIÓN.
OA = x i + y j + z k OA' = ( x + 1 )i + ( y + 2 ) j + ( z + 3 )k AA' = 1i + 2 j + 3 k
1.- CONSERVACIÓN DE LA MASA
(dx + d 1 )(dy + d 2 )(dz + d 3 ) (1)
0 dx dy dz =
DE LA DEFINICIÓN DEL FACTOR DE CONDENSACIÓN = (
DE (1) Y (2) (1 +
0
)/
0
(2)
) 1+
1
1+ 2 1+ 3 = 1,
x
y
z
DESPRECIANDO INFINITÉSIMOS DE ORDEN SUPERIOR A 1 SE OBTIENE:
=
1
x
+
2
y
+
3
z
=
•
r
(3)
2.- ECUACIÓN DE ESTADO
PARA EL CASO UNIDIMENSIONAL TENIAMOS p =
0
c2 =
0
c2
x
QUE TENIENDO EN CUENTA (3), PARA EL CASO TRIDIMENSIONAL, QUEDA:
p=
2
=
0 c
2
•
0 c
r
(4)
3
3.- ECUACIÓN DE LA DINÁMICA
F = ma
Fx = m a x Fy = m a y Fz = m a z
* ACTUANDO SOBRE LA COMPONENTE x, TENEMOS
2
p
p
Fx = [ p ( p + dp )]S x = p p
dx S x =
dx dy dz = 0 dx dy dz 21
x
x
t
Y CON IGUAL PROCESO PARA LAS OTRAS DOS DIRECCIONES DEL ESPACIO,
2
2
2
p
p
p
1
2
3
(5.1)
= 0
(5.2)
=
(5.3)
=
0
0
2
2
2
x
y
z
t
t
t
* MULTIPLICANDO LAS ECUACIONES (5.*) POR LOS VECTORES
UNITARIOS SEGÚN LAS DIRECCIONES x, y, z y SUMÁNDOLAS RESULTA
2
p=
0
r
t2
=
r
v
(6)
t
0
* DERIVANDO LAS ECUCs. (5.*) RESPECTIVAMENTE RESPECTO DE x, y, z:
2
2
2
2
2
2
p
p
p
3
2
1
=
=
=
0
0
0
2
2
2
2
2
2
x
y
z
x
t
y
t
z
t
Y SUMÁNDOLAS
2
2
p=
0
t
2
[
•
r
]
p=
2
0
2
p
t
2
1
2
0c
2
p=
1
c2
2
p
t2
(7)
* DE LA RELACIÓN ENTRE PRESIÓN Y DESPLAZAMIENTO DE LAS
PARTÍCULAS SE OBTIENE
2
DONDE
2
r
=
2
r
1i +
2
2
r
j+
2
r
r
k
.
3
1
= 2
c
2
r
t2
(8)
OPERADORES EN COORDENADAS ESFÉRICAS
*
LA
RELACIÓN
ENTRE
LAS
COORDENADAS CARTESIANAS Y ESFÉRICAS,
CON LA NOTACIÓN DE LA FIGURA, ES:
" x = r sen cos#
! y = r sen sen#
z = r cos
* LOS OPERADORES NABLA Y
LAPLACIANO SE ESCRIBEN COMO:
r 1
+u
r
r
r
ur
2
r
+ u#
1
r sen
#
2
2
1
+
+ 2
2
r r r sen
r
sen
1
+ 2
r sen 2
2
#2
4
ONDAS ESFÉRICAS. ONDAS ESFÉRICAS ARMÓNICAS
* SI LAS ONDAS SON ESFÉRICAS (SIMETRÍA ESFÉRICA) ENTONCES LA
VARIABLE PRESIÓN NO DEPENDE DE LAS VARIABLES INDEPENDIENTES
r
ANGULARES, ES DECIR TOMA LA FORMA p = p(r , t )
* A PARTIR DE LA ECUACIÓN DE ONDAS (7), Y PONIENDO EL OPERADOR
LAPLACIANO EN COORDENADS ESFÉRICAS SE DEDUCE QUE:
2
p=
2
p
r
2
+
2
r
p 1
=
r c2
2
p
t
2
2
1
r
(r p ) =
r
2
1
c2
2
p
t
2
2
(r p ) =
r
2
1
c2
2
(r p )
t2
(9)
* LA ECUACIÓN (9) ES IDÉNTICA AL CASO UNIDIMENSIONAL, POR
TANTO LA FUNCIÓN DE ONDA SOLUCIÓN MÁS GENERAL SERÁ:
r
r
r
r
1
rp= f t
+g t+
p=
f t
+g t+
c
c
r
c
c
* LA PRIMERA PARTE DE LA SOLUCIÓN ANTERIOR ES UNA ONDA
DIVERGENTE QUE PARTE DEL ORIGEN CON VELOCIDAD c, MIENTRAS QUE LA
SEGUNDA ES UNA ONDA CONVERGENTE HACIA EL ORIGEN, PERO AL SER UN
MEDIO ILIMITADO NO PUEDE HABER ONDA REFLEJADA; EN CONSECUENCIA
LA SOLUCIÓN ES:
p(r , t ) =
1
f t
r
r
c
(10)
* DE LA ECUACIÓN (6), LA COMPONENTE RADIAL DE LA VELOCIDAD
(QUE ES LA TOTAL) ES:
p=
pr
ur =
r
vr
ur
t
0
v=
1
0
$
p
dt (11)
r
Y EL DESPLAZAMIENTO RADIAL DE LAS PARTÍCULAS DEL MEDIO
v=
=
t
$ v dt
(12)
* PARA EL CASO DE LA PERTURBACIÓN ARMÓNICA, DE TIPO COSENO, Y
TRABAJANDO CON LA EXPONENCIAL COMPLEJA SE OBTIENEN LOS
SIGUIENTES RESULTADOS:
[
ˆ e j& t
% PERTURBACIÓN: pˆ (a , t ) = R e A
% PRESIÓN ACÚSTICA: pˆ (r , t ) =
Aˆ
e j (& t
]
k r)
(13.1) DONDE A ES UNA CONSTANTE
RELACIONADA CON LA FUENTE EMISORA Y QUE TIENE QUE TENER UNAS
DIMENSIONES DE UNA PRESIÓN POR UNA DISTANCIA, [A] Pa'' m = kg ' s -2; Y EL
VALOR DE r, DONDE CALCULAMOS LA PRESIÓN, DEBE SER MAYOR QUE LAS
DIMENSIONES DE LA FUENTE, > a .
5
% FACTOR DE CONDENSACIÓN:
Aˆ
e j (& t
2
0 c r
pˆ
=
2
c
0
ˆ=
1
% VELOCIDAD DE VIBRACIÓN: vˆ =
0
$
(13.2)
pˆ
1
pˆ
dt = + j k
(13.3)
r
r
j 0&
$
% DESPLAZAMIENTO DE PARTÍCULAS: ˆ =
k r)
1
+ jk
r
vˆ dt =
pˆ
0
&
2
=
j vˆ
&
(13.4)
* TOMANDO LAS PARTES REALES DE LAS EXPRESIONES (13.*)
OBTENEMOS LOS VALORES DE LAS MAGNITUDES RELEVANTES.
CONCLUSIÓN: A DIFERENCIA DE LAS ONDAS PLANAS, LA PRESIÓN Y LA
VELOCIDAD VIBRATORIA DE LAS PARTÍCULAS NO ESTÁN EN FASE, POR LO
CUAL LA IMPEDANCIA ESPECÍFICA ES UNA CANTIDAD COMPLEJA
* LA IMPEDANCIA ESPECÍFICA, QUE ES UNA CARACTERÍSTICA DEL
MEDIO, A PARTIR DE (13.3) RESULTA SER:
pˆ
zˆ = =
vˆ
k r [k r + j ]
=
c
0
1+ k 2 2
k 2r 2
0 c
1+ k 2
2
+ j
0 c
kr
1+ k 2
2
= R E + j X E (14)
QUE TAMBIÉN PUEDE EXPRESARSE COMO:
zˆ =
0
ck r
kr
[1 + k r ]
2
2 1/ 2
zˆ =
0
[1 + k r ]
2
2 1/ 2
+j
1
[1 + k r ]
2
2 1/ 2
= zˆ e j ( (15.1)
TAL QUE:
ck r
[1 + k r ]
2 2 1/ 2
y tg ( =
1
=
k r 2 ) r (15.2)
* EN LA FIGURA SE MUESTRAN LOS
FASORES DE LAS DISTINTAS VARIABLES
PARA UN INSTANTE Y UNA POSICIÓN
DADAS. A LO LARGO DEL TIEMPO TODOS
ELLOS GIRAN CON VELOCIDAD ANGULAR
CONSTANTE EN EL SENTIDO DIRECTO
(ANTIHORARIO).
* EN FUNCIÓN DE LOS VALORES DEL DESFASE ENTRE LOS FASORES DE
PRESIÓN Y VELOCIDAD PODEMOS REALIZAR DISTINTAS APROXIMACIONES Y
VER COMO CAMBIAN ALGUNAS DE LAS MAGNITUDES ACÚSTICAS CON LA
DISTANCIA r A LA FUENTE EMISORA. EL PARÁMETRO RELEVANTE USADO ES
EL PRODUCTO DEL Nº DE ONDA, k, Y LA DISTANCIA, r. ASÍ:
A) Si k r >> 1
"tg ( << 1
!
( *0
RE *
0
ˆ - 1 / (k r ) y pˆ + vˆ
c y XE * 0
6
* ESTO NOS QUIERE DECIR QUE A DISTANCIAS r >>
LA ONDA
ESFÉRICA SE APROXIMA A UNA ONDA PLANA, Y QUE LA ENERGÍA RADIADA
POR LA FUENTE AL MEDIO EN ESAS DISTANCIAS DECAE SUAVEMENTE
(TÉRMINO DE RADIACIÓN).
B) Si k r << 1
(
)
ˆ - 1 / k 2 r 2 y pˆ +. vˆ
" tg ( >> 1
( *) / 2
!
RE * 0 y X E * 0
Hay que definir otras impedancias
* ESTO NOS QUIERE DECIR QUE A DISTANCIAS r <<
ES MUY DIFÍCIL
TRANSFERIR ENERGÍA ÚTIL (LA POTENCIA ACTIVA ES PROPORCIONAL
AL cos ( ) DESDE LA FUENTE AL MEDIO. COMO LA MAGNITUD
CARACTERÍSTICA DEL TAMAÑO DE LA FUENTE a DEBE SER MENOR QUE r; SE
INFIERE QUE UNA FUENTE PEQUEÑA NO PUEDE RADIAR BIEN A LONGITUDES
DE ONDA MUCHO MAYORES QUE DICHO TAMAÑO O LO QUE ES LO MISMO A
BAJAS FRECUENCIAS. MEDIO ES MUY REACTIVO.
* CAMBIANDO UN POCO
COMPROBARSE VIENDO QUE:
p
zˆ = 0 c cos ( = 0
v0
p0 =
LA
NOTACIÓN
0 c v 0 cos (
p0 =
Aˆ
r
ESTO
y v0 =
MISMO
PUEDE
p0 1 + k 2 r 2
0 ck r
Y POR TANTO PARA DISTANCIAS PEQUEÑAS A LA FUENTE, FRENTE A LA
LONGITUD DE ONDA, A VELOCIDADES DE VIBRACIÓN DADAS LE
CORRESPONDEN PRESIONES MUY PEQUEÑAS YA QUE cos ( * 0 Y EN
CONSECUENCIA LA ENERGÍA PUESTA EN JUEGO QUE ATRAVIESA LA UNIDAD
DE SUPERFICIE EN LA UNIDAD DE TIEMPO (INTENSIDAD DE LA ONDA) ES MUY
PEQUEÑA YA QUE ES PROPORCIONAL AL cos ( .
CONCLUSIÓN: NO SE PUEDEN CONSTRUIR FUENTES SONORAS
PEQUEÑAS CAPACES DE RADIAR BASTANTE ENERGÍA A BAJAS FRECUENCIAS.
DENSIDAD DE ENERGÍA E INTENSIDAD DE LAS ONDAS ESFÉRICAS
* OBTENÍAMOS, EN EL TEMA ANTERIOR, CON CARÁCTER GENERAL QUE
LA DENSIDAD DE ENERGÍA INSTANTÁNEA, e, ASOCIADA A UNA ONDA
MECÁNICA ERA:
1
p2
p2
1
2
2
=
(16)
e = eC + e P =
0v +
0 v +
2 2
2
2 0 c2 2
0 c
* PARA ONDAS ESFÉRICAS LA AMPLITUD DE PRESIÓN NO ES
CONSTANTE, SINO QUE DISMINUYE CON LA DISTANCIA POR CAUSAS
EMINENTEMENTE GEOMÉTRICAS.
7
r
Aˆ
ˆp (r , t ) = e j (& t
k r)
r
r
donde p (r , t ) = Re {pˆ (r , t )}
r
pˆ (r , t ) Aˆ 1 + k 2 r 2 j (& t
r
e
vˆ(r , t ) = r
=
2
zˆ (r , t )
c
k
r
0
{
v0 = vˆ ' vˆ 1
}
1/ 2
=
r
r
donde v(r , t ) = Re {vˆ(r , t )}
kr ()
(
A 1+ k 2r 2
2
0 ckr
)
1/ 2
=
(
p0 1 + k 2 r 2
0c k r
)
1/ 2
* PARA CALCULAR PROMEDIOS HEMOS DE TENER EN CUENTA QUE
TRABAJANDO CON MAGNITUDES COMPLEJAS, SE VERIFICA QUE:
(
2DADOS x (r , t ) = x 0 cos (& t k x rx 3 x ) e y (r , t ) = y 0 cos & t
SE PUEDEN DEFINIR LAS MAGNITUDES COMPLEJAS
k y ry
3y)
xˆ (r , t ) = xˆ (r )e j & t y yˆ (r , t ) = yˆ (r )e j & t / x(r , t ) = Re {xˆ (r , t )} e y (r , t ) = Re {yˆ (r , t )}
DE MODO QUE:
1
x(r , t ) ' y (r , t ) =
T
$
T
x(r , t ) ' y (r , t ) dt =
0
{
}
1
Re xˆ (r , t ) ' yˆ 1 (r , t )
2
(17)
* SEGÚN LO ANTERIOR, LA INTENSIDAD PROMEDIO DE LAS ONDAS
ESFÉRICAS EN UN PERIODO, QUE PUEDE CALCULARSE COMO EL VALOR
PROMEDIO DEL TRABAJO REALIZADO POR LA ONDA CONTRA EL MEDIO
EXTERNO, ES:
Energía
Fuerza ' Espacio
I (r , t ) =
=
= presión(r , t ) ' velocidad (r , t )
Superficie ' Tiempo Superficie ' Tiempo
DE LO QUE SE INFIERE:
I (r , t ) = I =
1
T
$
T
p (r , t ) ' v(r , t ) dt =
0
{
}
p2
1
1
Re pˆ (r , t ) ' vˆ 1 (r , t ) = p 0 v0 cos ( = 0 (18)
2
2
2 0c
QUE COINCIDE EN SU FORMA CON EL VALOR OBTENIDO PARA ONDAS
PLANAS, DONDE HAY QUE TENER EN CUENTA QUE:
" Aˆ Aˆ * 6 A 2
p 02 = {pˆ 0 ' pˆ 01 } = ! ' 5 = 2
r r 4 r
* EL VALOR MEDIO DEL FLUJO DE ENERGÍA QUE ATRAVIESA LA
SUPERFICIE ESFÉRICA DE RADIO r ES:
W (POTENCIA) = 4 ) r 2 I =
4) r 2 A2 2) A2
=
(19)
2 0c r 2
0c
LO QUE NOS DICE QUE LA POTENCIA, COMO CARACTERÍSTICA DE LA FUENTE,
ES INDEPENDIENTE DEL RADIO DE LA ESFERA (CONSERVACIÓN DE LA
ENERGÍA).
8
* LA DENSIDAD DE ENERGÍA CINÉTICA PROMEDIO EN UN PERIODO SE
DETERMINA:
eC
1
=
T
$
T
1
eC dt =
2T
0
0v
2
0
$
T
cos 2 (& t k r ( )dt =
0
1
4
2
0 v0 =
(
)
p 02 1 + k 2 r 2
4 0 c2k 2 r 2
* DE IGUAL MODO PUEDE DETERMINARSE LA DENSIDAD DE ENERGÍA
POTENCIAL PROMEDIO EN UN PERIODO:
1
=
T
eP
$
T
p02
e P dt =
2T 0c 2
0
$
T
cos 2 (& t k r ) dt =
0
p02
4 0 c2
* LA DENSIDAD TOTAL DE ENERGÍA PROMEDIO EN UN PERIODO
RESULTA
e = eC + e P =
p02
1
I
1
1+ 2 2 = 1+ 2 2
2
c
2 0c
2k r
2k r
(20)
CONCLUSIÓN: COMO LA PRESIÓN Y LA VELOCIDAD NO ESTÁN EN FASE,
PARTE DE LA ENERGÍA DE LA ONDA NO SE TRANSMITE FUERA DEL SISTEMA
(EQUIVALENTE A LA POTENCIA REACTIVA DE LOS CIRCUITOS ELÉCTRICOS)
LA DENSIDAD ES 7 DE I/c (ONDAS PLANAS), Y TENEMOS QUE AÑADIR UN
TÉRMINO RELACIONADO CON EL PARÁMETRO kr.
FUENTES ACÚSTICAS SIMPLES
* SE DENOMINA FUENTE SIMPLE A CUALQUIER RADIADOR QUE EMITA
CON UNA FRECUENCIA TAL QUE SU LONGITUD DE ONDA ASOCIADA, , SEA
MUCHO MAYOR QUE LAS DIMENSIONES DE LA FUENTE Y CON CUALQUIER
DISTRIBUCCIÓN DE VELOCIDADES vˆ (P , t ) = vˆ0 (P ) e j (& t ) DONDE P ES UN PUNTO
CUALQUIERA DE LA SUPERFICIE VIBRANTE. UN PARÁMETRO RELEVANTE DE
LOS RADIADORES ES LA FORTALEZA DE LA FUENTE, DEFINIDA COMO EL
VOLUMEN DEL MEDIO DESPLAZADO POR LA FUENTE EN LA UNIDAD DE
TIEMPO; MATEMÁTICAMENTE, EN SU FORMA COMPLEJA, PODEMOS PONER:
r r
r
r
r
r
Qˆ = vˆ • dS
Q e j & t = vˆ0 e j & t • dS
Q = vˆ0 • dS
$
SV
$
SV
$
SV
2 EL TEOREMA DE RECIPROCIDAD ACÚSTICA (NO DEMOSTRADO),
AFIRMA QUE PARA FUENTES SIMPLES CON FORTALEZAS Q1 Y Q2 QUE
PROPORCIONAN UNOS PATRONES DE RADIACIÓN p1 (r ) y p 2 (r ) SE VERIFICA
Q1
Q2
=
.
p1 (r ) p 2 (r )
* POR TANTO SI SABEMOS CALCULAR EL CAMPO DE PRESIONES PARA
UNA FUENTE SIMPLE PODEMOS SABER EL CAMPO PARA CUALQUIER OTRA
FUENTE SIMPLE DE LA MISMA FORTALEZA.
9
ESFERA PULSANTE
MONOPOLO ACÚSTICO
* SEA UNA SUPERFICIE ESFÉRICA
CUYO RADIO a VARÍA
ARMONICAMENTE DE MODO QUE LOS
PUNTOS SE MUEVEN CON UNA
VELOCIDAD RADIAL DE IGUAL
VALOR ABSOLUTO:
r
r
vS = v0 cos & t u rr
r
r
vˆS = v0 e j & t u rr
LO QUE DA UNA FORTALEZA DE LA
FUENTE:
Qˆ = QSE e j & t =
$
r
r
vˆS • dS = e j & t
SEa
$
r
r
v0 u rr • dS u rr = v0 4 ) a 2 e j & t
QSE = 4 ) a 2 v0 (21)
SEa
SUFICIENTE PARA LOGRAR UN PATRÓN DE RADIACIÓN DEFINIDO.
* UN PUNTO DEL MEDIO EN CONTACTO CON LA SUPERFICIE ESFÉRICA
TENDRÁ IDÉNTICA VELOCIDAD QUE ELLA (CONTINUIDAD DE LA FUNCIÓN
VELOCIDAD),
Aˆ j (& t k r )
Aˆ j (& t k a )
= v 0 e j (& t )
vˆ(r , t ) =
e
vˆ(a, t ) =
e
r zˆ
a zˆ a
Aˆ e j k a
v0 =
a zˆ a
Aˆ = a v0 zˆ a e j k a = v0
0
ca
k a (ka + j ) j k a
e
(22)
1 + k 2a 2
Y SUSTITUYENDO EN LAS EXPRESIONES (13.*) OBTENEMOS LOS VALORES DE
LAS MAGNITUDES ACÚSTICAS. EN PARTICULAR DE (19) OBTENEMOS LA
POTENCIA ÚTIL, PUESTA EN JUEGO POR EL MONOPOLO ACÚSTICO, O
POTENCIA EMITIDA QUE SERÁ:
2
2
2 2
2 ) A 2 2 ) a v0 zˆ a
2)
k 2a2 + k 2 a2 2 2
k 2 a2
2
2 2
W=
=
=
( 0c)
a
v
=
2
)
a
v
c
0
0
0
2
1+ k 2a 2
1+ k 2a 2
0c
0c
0c
(
2
QSE
W =
8) a 2
(
)
)
2
QSE
k 2a 2
=
RSE (ka ) (23)
0 c
1 + k 2 a 2 8) a 2
DONDE RSE (ka) ES LA PARTE REAL DE LA IMPEDANCIA ESPECÍFICA DEL MEDIO
EVALUADA EN r = a.
CONCLUSIÓN: LA POTENCIA ÚTIL (RADIADA) AL MEDIO DEPENDE DEL
FACTOR ka; ES DECIR DE LA DIMENSIONES DE LA FUENTE Y DE LA LONGITUD
DE ONDA CORRESPONDIENTE A LA FRECUENCIA EMITIDA. OTRA VEZ SE PONE
DE MANIFIESTO A PARTIR DE (23) QUE LA POTENCIA ÚTIL RADIADA ES MUY
PEQUEÑA SI ka << 1 , POR LO QUE ES IMPOSIBLE QUE CON UN RADIADOR DE
TAMAÑO PEQUEÑO PODAMOS EMITIR APRECIABLEMENTE A BAJAS
FRECUENCIAS (A LAS QUE CORRESPONDE LONGITUDES DE ONDA GRANDES
EN COMPARACIÓN AL TAMAÑO DE LA FUENTE).
10
2 TODO ESTO ES ANÁLOGO AL CASO ELÉCTRICO DONDE SE TIENE:
W (t ) = V (t ) I (t ) = Z I 2 (t )
W (t ) = W = 1 / 2 ( R + jX ) I 2 (t )
W = (1 / 2 )R I 2 + j (1 / 2 )X I 2 = Wac + j Wrea
* EN EL CASO ACÚSTICO:
W (t ) = p (t ) U (t ) = z v(t ) U (t ) = z U 2 (t ) / S
(
W (t ) = W = 1 / 2(RS (ka ) + j X S (ka )) v02 4 ) a 2
)
2
/ 4) a 2
2
QSE
(RS (ka ) + j X S (ka )) = Wact + jWreact
W (t ) =
8) a 2
* ES CONVENIENTE HACER ALGUNA APROXIMACIÓN RAZONABLE; UNA
DE LAS MÁS USUALES ES LA CONOCIDA COMO LÍMITE DE ONDAS LARGAS EN
LA QUE SE SUPONE QUE LA FUENTE EMITE A FRECUENCIAS CUYA LONGITUD
DE ONDA ASOCIADA ES MUCHO MAYOR QUE EL RADIO DE LA ESFERA.
k a << 1
ASÍ, SI a <<
DE (22) SE INFIERE QUE Aˆ + j a 2 v0
pˆ = j
QSE 0 c k j (& t
e
4) r
k r)
0
ck = j
QSE
0
4)
ck
CON LO CUAL
QSE 0 c k
sen (& t k r ) (24.1)
4) r
p(r , t ) =
POR TANTO LA INTENSIDAD EN UN PUNTO A DISTANCIA r, A PARTIR DE LA
AMPLITUD DE PRESIÓN, ES:
2
2
2
2 2 2
p 02
Aˆ
2
0 ck
QSE
2
0 c k
I=
=
QSE
(24.2)
p0 = 2 =
2 2
2 2
2 0 c 32 ) r
r
16 ) r
Y LA POTENCIA MEDIA QUE ATRAVIESA UNA SUPERFICIE ESFÉRICA DE RADIO
r ES:
W = I S = I 4) r =
2
EL RESTO DE LAS MAGNITUDES, v, ,
LOS VALORES DE (24.1).
ck2 2
QSE (24.3)
8)
0
SE CALCULAN A PARTIR DE (13.*) CON
11
FUENTE HEMIESFÉRICA
* EN LA REALIDAD LAS FUENTES SONORAS SUELEN ESTAR APOYA-DAS
EN ALGUNA SUPER-FICIE RÍGIDA. EL CASO MÁS ELEMENTAL ES LA LLAMADA
FUENTE
HEMIÉSFERICA
QUE
CONSISTE EN MEDIA
SUPERFICIE ESFÉRICA,
DE RADIO a, MONTADA
SOBRE
UNA
SUPERFICIE
PLANA
INFI-NITA
(ES
SUFICIENTE CON QUE
LAS DIMENSIONES DE
LA PANTALLA SEAN
MUCHO MAYORES QUE
LA
LONGITUD
DE
ONDA ASOCIADA A LA
FRECUENCIA
DE
EMISIÓN),
CUYA
RADIACIÓN
ESTÁ
CONFINADA
A
UN
SÓLO SEMIESPACIO.
* ASÍ SI LA VELOCIDAD DE LOS PUNTOS DE LA SUPERFICIE
r r j&t
r
r
j&t
ˆ
Q = QH e = $vˆS •dS =e $ v0 urr •dSurr =v0 2) a2e j&t
SHEa
QH = 2) a2 v0
SHEa
HEMIESFÉRICA ES IGUAL QUE EN EL CASO ANTERIOR, TENDREMOS:
AL SER UNA FUENTE SIMPLE EL PATRÓN DE RADIACIÓN ES IDÉNTICO AL CASO
DEL MONOPOLO, SIN MÁS QUE CAMBIAR EL VALOR DE LA FORTALEZA DE LA
FUENTE, COMO QSE = 2 QH , RESULTA:
pˆ H = j
QH 0 c k j (& t
e
2) r
k r)
p(r , t ) =
QH 0 c k
sen (& t k r ) (25.1)
2) r
POR LO QUE LOS VALORES DE LA INTENSIDAD EN UN PUNTO A LA DISTANCIA
r Y LA ENERGÍA POR UNIDAD DE TIEMPO QUE ATRAVIESA UNA SUPERFICIE
HEMIESFÉRICA DE RADIO r, SERÁN RESPECTIVAMENTE:
p02
2
ck2 2
2
0c k
=
QH (25.2) WH = I H S = I H 2 ) r =
QH2 (25.3)
IH =
2 2
2 0 c 8) r
4)
0
12
FUENTES REALES
* LOS RADIADORES REALES SON MÁS COMPLICADOS QUE LOS
DESCRITOS EN PÁRRAFOS ANTERIORES, Y EN LA MAYORÍA DE LOS CASOS, SE
COMPONEN DE SUPERFICIES VIBRANTES APOYADAS POR SU CANTO EN UNA
ESTRUCTURA EN LA QUE SE HA PRACTICADO UNA ABERTURA Y QUE DIVIDE
EL ESPACIO EN DOS ZONAS, AL MENOS EN SU VECINDAD.
* CADA PUNTO DE LA SUPERFICIE (MEMBRANA o DIAFRAGMA) TIENE
UNA VELOCIDAD PROPIA QUE VARÍA CON LA POSICIÓN DEL PUNTO E
INCLUSO CON LA FRECUENCIA, v(P , f ) , Y PUEDE CONSIDERARSE UNA FUENTE
SIMPLE COMO LAS VISTAS CON ANTERIORIDAD. SUMANDO LAS
CONTRIBUCIONES INDIVIDUALES PODEMOS DETERMINAR EL PATRÓN DE
RADIACIÓN DE PRESIONES DE LA FUENTE.
* SE PUEDEN DISTINGUIR DIFERENTES SITUACIONES, EN FUNCIÓN DE LA
LONGITUD DE ONDA ASOCIADA A LA FRECUENCIA EMITIDA Y DE LA
DISTANCIA AL FOCO DONDE QUEREMOS DETERMINAR EL VALOR DE LA
PRESIÓN, YA QUE PUEDEN REALIZARSE DISTINTAS APROXIMACIONES.
r >> 10
A) CAMPO LEJANO: CUANDO k r >> 1
* PARA DISTANCIAS MUY GRANDES A LA FUENTE REAL, LA DISTANCIA
DE CADA PUNTO DEL FOCO AL LUGAR DONDE QUEREMOS DETERMINAR LA
PRESIÓN ES APROXIMADAMENTE LA MISMA; ASÍ EN LOS DENOMINADORES DE
LAS PRESIONES SE PUEDE PONER UN VALOR FIJO Y EN LOS ARGUMENTOS DE
LAS EXPONENCIALES SE PUEDE HACER UNA APROXIMACIÓN DE PRIMER
ORDEN, LO QUE CONLLEVA QUE:
* SE MANTIENE LA LEY INVERSA DEL CUADRADO DE LA DISTANCIA PARA
LA DISTRIBUCCIÓN DE LAS INTENSIDADES, COMO LAS FUENTES SIMPLES,
PERO EN CONTRAPOSICIÓN A LAS ANTERIORES, SE PIERDE EL CARÁCTER
OMNIDIRECCIONAL PASANDO A SER FUENTES DIRECCIONALES (RADÍAN
DIFERENTE INTENSIDAD EN LAS DISTINTAS DIRECCIONES DEL ESPACIO). EL
PROBLEMA PRINCIPAL ES EL DE DETERMINAR LOS DIAGRAMAS DE RADIACIÓN
PARA LO QUE DEBEMOS DETERMINAR LA PRESIÓN DEBIDA A LA FUENTE, A
UNA DISTANCIA FIJA, EN FUNCIÓN DE LA ORIENTACIÓN EN EL PLANO O EN EL
ESPACIO.
B) CAMPO PRÓXIMO: EN ESTE
r < 10
CASO k r < 20 )
*
AUNQUE
PUEDE
MANTENERSE UNA DISTANCIA
FIJA EN LOS DENOMINADORES
QUE APARECEN EN LA PRESIÓN,
YA NO PUEDE HACERSE UNA
APROXIMACIÓN DE PRIMER
ORDEN EN LOS ARGUMENTOS
DE LAS EXPONENCIALES; CON
UNA
APROXIMACIÓN
DE
SEGUNDO ORDEN SE INFIEREN
LAS SIGUIENTES CONCLUSIONES:
13
* YA NO SE SIGUE LA LEY DE LA INVERSA DEL CUADRADO DE LA
DISTANCIA, APARECIENDO REGIONES ALTERNADAS DONDE LAS PRESIONES
PASAN POR MÁXIMOS Y POR CEROS O MÍNIMOS.
* ESTE CAMPO, EN LA ACTUALIDAD, TIENE MUCHO INTERÉS EN LA
TÉCNICA ULTRASONORA APLICADA A LA INDUSTRÍA QUÍMICA, DEBIDO A LA
PROXIMIDAD DEL PUNTO TRATADO, SOMETIDO A LA PRESIÓN ULTRASONORA,
A LA SUPERFICIE RADIANTE; NO DEBIENDO SITUARSE DE FORMA QUE QUEDE
EN UNA ZONA DE PRESIÓN NULA O MÍNIMA, SINO EN UNA DE PRESIÓN
MÁXIMA.
C) CAMPO INMEDIATO: IMPEDANCIA DE RADIACIÓN
* A DISTANCIAS MUY PRÓXIMAS A LA FUENTE LOS CÁLCULOS DE
PRESIÓN SE COMPLICAN MUCHO DEBIDO A LA INFLUENCIA MÚTUA QUE SE
EJERCEN LOS RADIADORES ELEMENTALES ENTRE SÍ. EL COCIENTE ENTRE LA
FUERZA TOTAL APLICADA A LA SUPERFICIE VIBRANTE PARA CONSEGUIR UN
PATRÓN DE VELOCIDADES DE VIBRACIÓN DADO Y LA VELOCIDAD EN UN
PUNTO DE DICHA SUPERFICIE SE LE DA EL NOMBRE DE IMPEDANCIA
MECÁNICA DE RADIACIÓN.
RADIACIÓN POR UN DIAFRAGMA
* SE DENOMINA DIAFRAGMA O PISTÓN A UNA SUPERFICIE CIRCULAR
PLANA. MUCHOS RADIADORES REALES SE PARECEN EN MAYOR O MENOR
MEDIDA A ESTE TIPO DE ESTRUCTURAS.
* SEA UN PISTÓN DE RADIO a MONTADO EN UNA PANTALLA ACÚSTICA
PLANA Y RÍGIDA DE EXTENSIÓN INFINITA (MUCHO MÁS GRANDE AL MENOS
QUE LA LONGITUD DE ONDA ASOCIADA A LA FRECUENCIA DE EMISIÓN);
SUPONGAMOS QUE TODOS LOS PUNTOS DE LA SUPERFICIE VIBRANTE TIENEN
LA MISMA VELOCIDAD v(t ) = v0 cos (& t )
vˆ(t ) = v0 e j & t / v(t ) = Re {vˆ(t )} LA CUAL
ES NORMAL A LA SUPERFICIE Y QUE EMITE SÓLO HACÍA UNO DE LOS DOS
SEMIESPACIOS EN QUE DIVIDE LA PANTALLA EL ESPACIO TOTAL.
* LA PRESIÓN EN CUALQUIER
PUNTO SE PUEDE DETERMINAR
DIVIDIENDO
LA
SUPERFICIE
VIBRANTE EN ELEMENTOS DE ÁREA
INFINITESIMAL, CADA UNO DE LOS
CUALES ACTÚA COMO UNA FUENTE
SIMPLE Y DEL QUE SABEMOS
CALCULAR LA PRESIÓN QUE CREA;
SUMANDO LAS CONTRIBUCIONES DE
TODOS LOS ELEMENTOS TENEMOS
RESUELTO EL PROBLEMA.
* LA PRESIÓN dˆp CREADA POR UN ELEMENTO DE ÁREA dS CON
FORTALEZA dQˆ = v0 dS e j & t = dQ e j & t , YA QUE EL ELEMENTO DE SUPERFICIE Y
LA VELOCIDAD SON PARALELOS, EN UN PUNTO A UNA DISTANCIA r’, SERÁ:
14
dpˆ =
j ck
dQ e j (& t
2) r'
k r ')
LA PRESIÓN TOTAL, DEBIDA A TODO EL DIAFRAGMA, SERÁ:
pˆ (r , , t ) =
$
SD
j ck
v0 e j (& t
2) r'
k r ')
j c k v0 e j & t
dS =
2)
$
j k r'
e
dS (26)
r'
SD
* RESOLVIENDO LA INTEGRAL QUE APARECE EN (26) TENDREMOS
DETERMINADO EL CAMPO DE PRESIONES CREADO POR EL DIAFRAGMA.
VAMOS A CONSIDERAR DOS SITUACIONES:
A) PRESIÓN EN EL EJE, = 0, DONDE HAREMOS LAS APROXIMACIONES
DE CAMPO PRÓXIMO Y CAMPO LEJANO.
* LLAMANDO EJE z AL EJE DEL PISTÓN Y
DESCOMPONIENDO LA SUPERFICIE DEL PISTÓN
EN CORONAS CIRCULARES DE RADIOS 8 Y 8 + d8
RESULTA:
j c k v0 e j & t
pˆ ( z ,0, t ) =
2)
a
[
]
+ z2
]
j k 8 2 +z2
$ [8
e
2
0
1/ 2
1/ 2
2 ) 8 d8
Y TENIENDO EN CUENTA QUE
pˆ ( z ,0, t ) =
[
j c k v0 e j & t
e
jk
d e
d8
j k a2 + z2
e
"
1
p( z ,0 ) = 2 c v0 sen ! k z
2
{
j k 8 2 + z2
}
1/ 2
jk
jk z
8
=
]=
[
c v0 e
8 2 + z2
jk z
e
e
j k 8 2 + z2
j k a2 +z2
]e
j&t
6
1 5 (27)
4
* DE (27) SE DEDUCE QUE LA PRESIÓN AXIAL TIENE FUERTES EFECTOS
DE INTERFERENCIA QUE FLUCTÚAN ENTRE 0 Y 2 c v0 CONFORME z VARIA
ENTRE 0 E 9.
a
1+
z
2
LOS EXTREMOS DE PRESIÓN SE PRODUCEN EN z TAL QUE:
2
6
"si m = impar MAX
)
a
1 "
k z ! 1+
15 = m
TAL QUE !
si m = par
MIN
z
2
2
4
DE LA CONDICIÓN DE MÁXIMO TENEMOS:
2
2
6
z "
a
a
15 = (2 n + 1) / 2
1+
1 = (2 n + 1)
! 1+
z
z
2z
4
z
1 a 2n +1
=
(28)
a 2n +1
4 a
15
"
Si n = 0
!
z 4a2
=
a
4 a
Si n = 1
2
MAX. más alejado ( z 0 )
z 4a2 9
=
a
12 a
* SI ESTAMOS EN CAMPO LEJANO a , << z
2
a / z << 1
CON LA APROXIMACIÓN DE 1 + x : 1 + x / 2 y sen x : x si x * 0
1
1 a
p (z , 0 ) = 2 c v0 sen k z
2
2 z
p( z , 0 ) = 2 c v0 sen
2
= 2 c v0 sen
1 a2
k
4 z
1 a
1
a
ka
c v0 k a
:
(29)
4 z
2
z
QUE DECRECE CON LA INVERSA DE LA DISTANCIA (REGLA DE LA
DIVERGENCIA ESPERADA)
B) PRESIÓN EN FUNCIÓN DE
PARA EL CASO DE CAMPO LEJANO
* ELIGIENDO LOS ELEMENTOS DE
SUPERFICIE COMO SE MUESTRA EN
LA FIGURA, PODEMOS PONER LA
FORTALEZA ELEMENTAL COMO
dQ = v0 2 a sen ; dx ; Y LA PRESIÓN
CREADA POR DICHO ELEMENTO
SERÁ:
j ck
dQ e j (& t k r ' )
dpˆ =
2) r'
dpˆ = j c
v0
k a sen ; e j (& t
) r'
k r ')
dx
16
* TENIENDO EN CUENTA QUE
x = a cos ;
dx = a sen ; d; ,
DE LA FIGURA SE DEDUCEN LAS
SIGUIENTES APROXIMACIONES:
a
r' : r 1
sen cos ; EN EL EXPONENTE
r
Y r ' : r EN EL DENOMINADOR
a
v
pˆ (r , , t ) : j c 0 ka e j (& t
)r
pˆ (r , , t ) :
v0 a
ka e j (& t
)r
$e
j k a sen cos ;
0
kr )
$
e j k a sen
cos ;
sen 2 ; d;
)
)
kr )
$
e j k a sen
cos ;
sen 2 ; d;
0
)
$
sen ; dx
a
v a
j c 0 ka e j (& t
)r
pˆ (r , , t ) : j c
v a
pˆ (r , ) : j c 0 ka e j (k r )
)r
kr )
)
cos ( k a sen cos ; )sen ; d; + j
2
0
$
sen ( k a sen cos ; )sen 2 ; d;
0
* EL ARGUMENTO DEL SENO ENTRE LOS LÍMITES 0 Y ) DEL ÁNGULO ;
VARÍA ENTRE k a sen Y k a sen Y POR TANTO EL INTEGRANDO ES UNA
FUNCIÓN IMPAR DE MODO QUE LA SEGUNDA INTEGRAL SE ANULA.
)
TENIENDO EN CUENTA QUE:
$
cos (h cos ; ) sen 2; d; = )
0
FUNCIÓN DE BESSEL DE ORDEN UNO.
v a
J (k a sen
pˆ (r , , t ) : j c 0 ka e j (& t kr )) 1
k a sen
)r
)=
J 1 ( h)
DONDE J1(h) ES LA
h
j c k a 2 v0 2 J 1 (k a sen
2r
k a sen
)
e j (& t
kr )
(30)
p (r , , t ) = Re {pˆ (r , , t )} TAL QUE QP = v0 ) a 2
p(r , , t ) =
c k a 2 v0 2 J 1 (k a sen
2r
k a sen
)
sen (& t kr ) =
c k QP 2 J 1 (k a sen
2) r
k a sen
)
sen (& t kr )
CONCLUSIONES:
* PARA UNA DISTANCIA r FIJA, EN LOS PUNTOS QUE ESTÁN A LO LARGO
DEL EJE, = 0, EL TÉRMINO ENTRE [ ] ES IGUAL A LA UNIDAD; LO QUE QUIERE
DECIR QUE LA PRESIÓN PRODUCIDA POR UN PISTÓN A LO LARGO DEL EJE ES
IGUAL A LA PRODUCIDA POR UNA FUENTE HEMIESFÉRICA DE IGUAL
FORTALEZA
* LOS CEROS DE LA FUNCIÓN 2 J1(<)/< ESTÁN LOCALIZADOS EN < = 3.83,
7.02, 10.15, etc. POR LO QUE PARA r = cte, LA PRESIÓN p = AL AUMENTAR DE
MODO QUE LA PRESIÓN SE ANULA SI k a sen = 3.83
1 = arc sen (0.61 / a ) QUE
17
MARCA EL EXTREMO ANGULAR DEL ANCHO DEL HAZ SONORO DEL LÓBULO
PRINCIPAL DE LA PRESIÓN ACÚSTICA
* NO EXISTE SIMETRÍA ESFÉRICA, AUNQUE SE CONSERVA EL PATRÓN
DE UNA ONDA DIVERGENTE p - 1 / r , PARA UNA DIRECCIÓN DADA.
* EN EL PRIMER LÓBULO SECUNDARIO LA PRESIÓN MÁXIMA ES MUCHO
MENOR, p 0, S = 0.133 p 0, P ESTANDO LOCALIZADO ENTRE LAS DIRECCIONES
DADAS POR
1
Y
2
TAL QUE k a sen = 7.02
* SI a >
SECUNDARIOS.
k a > 10 ,
EL
2
PATRÓN
= arc sen (1.12 / a ) .
TIENE
MUCHOS
LÓBULOS
* SI k a < 3.83 SÓLO EXISTE EL LÓBULO PRINCIPAL
* SI k a << 1 EL TÉRMINO ENTRE [ ] ES APROXIMADAMENTE IGUAL A 1.
* EL VALOR DE LA INTENSIDAD SERÁ:
I (r ,
)=
p(r , )
2 c
I (r ,0) =
2
=
(
c k 2 v02 ) a 2
8) 2 r 2
(
c k 2 v02 ) a 2
8) 2 r 2
"
DE (32) O (33) SE OBSERVA QUE !
)
)
2
=
2
2 J 1 (k a sen
k a sen
)
2
(32)
ck2 2
Q P (33)
8) 2 r 2
PARA QP = cte
I (r ,0 )- f 2
PARA v0 = cte
I (r ,0)- Area del pistón
18
DIRECTIVIDAD
* LA INTENSIDAD EN LAS DISTINTAS DIRECCIONES DEL ESPACIO,
DEPENDE DEL ASPECTO GEOMÉTRICO Y DEL TAMAÑO, EN RELACIÓN A LA
LONGITUD DE ONDA, DEL EMISOR Y EXPLICA COMO SE DISTRIBUYE LA
ENERGÍA EN EL MEDIO. DE MODO SIMILAR SE PODRÍA HABLAR DE LA MISMA
PROPIEDAD EN EL CASO DE RECEPTORES (TRANSFERENCIA DE ENERGÍA
DESDE EL MEDIO).
PARA DESCRIBIR ESTO SE UTILIZAN DOS TIPOS DE HERRAMIENTAS:
1) DIAGRAMAS DE DIRECTIVIDAD: REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA
RESPUESTA DEL TRASDUCTOR, EN CAMPO LEJANO, EN FUNCIÓN DE LA
DIRECCIÓN DE LAS ONDAS SONORAS SOBRE UNA SUPERFICIE ESFÉRICA DE
RADIO r, PARA UNA FRECUENCIA CONCRETA.
* DESCRIBE EL MODO EN QUE LA RADIACIÓN SE DISTRIBUYE EN TORNO
A LA FUENTE. EN LA FIGURA SE
MUESTRAN
LAS
POSICIONES
DE
MEDIDA PARA UN CASO DE ALTAVOZ
EN CAJA. EN GENERAL SE PUEDE
REPRESENTAR BIEN EL VALOR p (r , , ; )
O UN VALOR NORMALIZADO REFERIDO
A
LA
PRESIÓN
MÁXIMA
QUE
CORRESPONDE
A
LOS
VALORES
= ; = 0 . DEL
ANGULARES NULOS
MISMO MODO SE PUEDE UTILIZAR UNA
ESCALA LINEAL O UNA ESCALA
LOGARÍTMICA, ES DECIR EXPRESADA
EN DECIBELIOS.
2) PARÁMETROS NUMÉRICOS.
2.1) FACTOR DE DIRECTIVIDAD E ÍNDICE DE DIRECTIVIDAD
* DEFINIDO PARA CADA FRECUENCIA SE DEFINE EL FACTOR DE
DIRECTIVIDAD EN UNA DIRECCIÓN DADA Q( 0 , ;0 ) COMO LA RELACIÓN ENTRE
LA INTENSIDAD ACÚSTICA QUE EN ESA DIRECCIÓN EMITE LA FUENTE Y LA
INTENSIDAD QUE PRODUCIRÍA UNA FUENTE OMNIDIRECCIONAL (ISOTRÓPICA)
QUE RADIA IGUAL POTENCIA QUE LA FUENTE EN ESTUDIO.
I(
, ;0 )
W
(34)
I ISO
4) r 2
* LA POTENCIA SONORA EMITIDA POR LA FUENTE SE DETERMINA
SUMANDO LA CONTRIBUCIÓN EN TODAS LAS DIRECCIONES, A SABER:
Q(
0
,;0 ) =
W =
0
TAL QUE I ISO =
$ I ( ,; )dS
SE
I ISO
I ( , ; ) dS
$
=
SE
4) r 2
19
EN LA FIGURA ADJUNTA SE OBSERVA
UNA SUPERFICIE ELEMENTAL,
dS = r 2 sen d d; DONDE SE SUPONE
QUE EL EJE PRINCIPAL DE LA FUENTE
ES EL EJE z.
SUSTITUYENDO EN LA ECUACIÓN
ANTERIOR
Q(
0
,;0 ) =
I(
0
, ;0 )
I ISO
=
4) I (
0
,;0 )
$$ I ( ,; ) sen
d d;
;
EN MUCHOS CASOS LOS FOCOS SONOROS PRESENTAN SIMETRÍA DE
REVOLUCIÓN ALREDEDOR DEL EJE z POR LO QUE LA INTENSIDAD ES
INDEPENDIENTE DEL ÁNGULO;. EN ESTAS SITUACIONES TENEMOS:
Q(
0
4) I (
)=
0
)
2)
)
$ I ( )sen
2
=
)
$
d
0
0
I(
I(
) sen
0)
(35)
d
SE DEFINE EL ÍNDICE DE DIRECTIVIDAD, ID DI (dB) COMO:
ID (dB ) = 10 log Q (36)
" DI > 0
!
DI < 0
DIREC. CON INTENSIDADES MAYORES A LA MEDIA ISOTRÓPICA
DIREC. CON INTENSIDADES MENORES A LA MEDIA ISOTRÓPICA
EN GENERAL NO SE CONOCE LA EXPRESIÓN ANALÍTICA DE I ( ) POR LO
QUE PARA DETERMINAR Q SE RECURRE A MÉTODOS NUMÉRICOS MIDIENDO
EL VALOR DE LA INTENSIDAD PARA DIFERENTES DIRECCIONES Y
CALCULANDO LOS VALORES:
)
$ I ( ) sen
N
d +
….
k
)sen
k
>
TAL QUE >
k
k
=) /N
k =1
0
k
?I(
I( k)
…..
sen k
…..
Q(
0
)=
2
N
?
k =1
I( k) sen k > k /I( 0)
……….
@
I( k)/I( 0)
……
I(
I(
)
sen
)
0
(37)
k
k
>
k
2.2) DIRECTIVIDAD (DIRECTIVIDAD RELATIVA): PARA UNA DISTANCIA
FIJA Y EN EL CASO DE SIMETRÍA CILÍNDRICA SE DEFINE LA DIRECTIVIDAD DE
LA FUENTE COMO EL COCIENTE ENTRE LA PRESIÓN SEGÚN UNA DIRECCIÓN
DADA Y LA PRESIÓN SEGÚN EL EJE DE SIMETRÍA DE LA FUENTE = 0 , ES
DECIR:
20
D(
)=
p(
)
p( = 0)
=
p( )
(38)
p0
A VECES EN LOS DIAGRAMAS DE RADIACIÓN SE MUESTRAN LOS VALORES DE
LA DIRECTIVIDAD EXPRESADA EN DECIBELIOS. EN UNA REPRESENTACIÓN
POLAR SE DAN LOS VALORES DE 20 log D( ) FRENTE AL ÁNGULO QUE INDICA
LA DIRECCIÓN DE OBSERVACIÓN .
* EN EL CASO DEL PISTÓN LA DIRECTIVIDAD RESULTA
D(
) = 2 J1
(k a sen )
k a sen
(39)
Y EN LA FIGURA SE MUESTRA SU DIAGRAMA DE DIRECTIVIDAD EN EL QUE SE
REPRESENTA 20 log D( ) FRENTE A .
21
* SEGÚN LAS DEFINICIONES ANTERIORES, EL ÍNDICE DE DIRECTIVIDAD
DE UN ÁNGULO CUALQUIERA ID ( ) ES LA SUMA DE UN TÉRMINO QUE
CORRESPONDE AL ÍNDICE DE DIRECTIVIDAD MÁXIMO ID0 Y OTRO QUE ES LA
DIRECTIVIDAD D( ) EXPRESADO EN LA ESCALA LOGARITMICA.
I0 I( )
I
p2 ( )
= 10 log 0 + 10 log
= ID0 + 20 log D( )
I ISO
I ISO I 0
I ISO
p 02
DONDE EL SEGUNDO TÉRMINO DEL ÚLTIMO MIEMBRO SE PUEDE
DETERMINAR SI SE CONOCE EL DIAGRAMA DE DIRECTIVIDAD.
ID(
) = 10 log I ( ) = 10 log
2.3) ANCHO DEL HAZ: ES EL ÁNGULO SÓLIDO BAJO EL CUAL SE
RADIARÍA LA MISMA POTENCIA QUE LA DE LA FUENTE EN ESTUDIO CON
INTENSIDAD CONSTANTE IGUAL A LA MÁXIMA.
W = I MAX S CASQ. ESFÉR. = I MAX r 2 B TAL QUE B ÁNGULO SÓLIDO
W=
$
$$
I ( , ; ) dS =
I ( , ; ) r 2 sen d d;
B=
,;
S
1
I MAX
r r
SI EXISTE SIMETRÍA DE REVOLUCIÓN dB = dS ' u r / r 2
$$ I ( ,; ) sen
d d;
,;
)
2)
B=
I MAX
$ I ( ) sen
d
(40.1)
0
Y PARA MEDIDAS DISCRETAS
N
B = 2)
?I(
k
)sen
k
>
k
/ I MAX
(40.2)
k =1
* A ESTE ÁNGULO SÓLIDO LE CORRESPONDE UN ÁNGULO PLANO,
SEMIÁNGULO CÓNICO, DE VALOR:
r 2 B = 2) r 2
$
0
sen d
B = 2 ) (1 cos
0
)
0
= arc cos 1
0
0
= arc cos 1
1
I MAX
B
2)
)
$ I ( ) sen
d
(41)
0
2.4) UN CONCEPTO MÁS PRÁCTICO ES EL DE ÁNGULO PLANO DEFINIDO
POR LAS DOS DIRECCIONES SIMÉTRICAS RESPECTO DEL EJE A LAS QUE
CORRESPONDEN INTENSIDADES IGUAL A LA MITAD DE LA MÁXIMA.
22
IMPEDANCIA MECÁNICA DE RADIACIÓN: CAMPO INMEDIATO
* PARA CONSEGUIR UNA RÁPIDA VIBRACIÓN DE CUALQUIER MASA EN
EL VACÍO SE NECESITA UNA POTENCIA MECÁNICA:
r r
dE F • dr
W=
=
= F •v
dt
dt
1
W1 = W =
T
T
$
0
1
F (t ) v(t ) dt =
T
T
$
0
F0
F02
Fe2
cos & t dt =
F0 cos & t
=
= zˆ M ve2
2 zˆ M
zˆ M
zˆ M
DONDE v(t) ES LA COMPONENTE DE VELOCIDAD EN LA DIRECCIÓN DE LA
FUERZA.
* SI LA MISMA MASA SE TIENE QUE MOVER EN EL SENO DE UN FLUIDO Y
QUEREMOS MANTENER LA VELOCIDAD HEMOS DE INCREMENTAR LA
POTENCIA; ASÍ QUE
W1 + W2 = ( zˆ M + zˆ MR ) ve2
Fˆ
* EL VALOR DE zˆ MR = E ES UN VALOR CUANTITATIVO DE CÓMO EL
vˆ
MEDIO REACCIONA CONTRA EL MOVIMIENTO DE LA SUPERFICIE VIBRANTE.
ESTA FUERZA EXTRA PROPORCIONA LA ENERGÍA QUE SE RADIA AL ESPACIO
DE LA CUAL UNA PARTE SERÁ ÚTIL, POTENCIA DEL ALTAVOZ, Y OTRA PARTE
SERÁ REACTIVA LA CUAL QUEDA ALMACENADA EN EL MEDIO Y SE
DEVOLVERÁ A LA FUENTE DE ALGUNA MANERA.
* ASÍ PUES LA IMPEDANCIA MECÁNICA DE RADIACIÓN TENDRÁ UNA
PARTE REAL Y OTRA IMAGINARIA LA CUAL SERÁ EQUIVALENTE A UNA MASA
ACÚSTICA YA QUE EL MOVIMIENTO DEL MEDIO SE REALIZA SIN COMPRESIÓN
APRECIABLE (MEDIO MUY GRANDE).
* EL CÁLCULO PARA EL CASO DEL PISTÓN ES COMPLICADO Y NO LO
DESARROLLAMOS AQUÍ. EL RESULTADO QUE SE OBTIENE ES:
c ) a 2 [R1 (2 k a ) + j X 1 (2 k a )] = RMR + j X MR
zˆ MR =
R1 (2 k a ) = 1
J 1 (2 k a )
ka
Y
X 1 (2 k a ) =
K1 (2 k a )
2 k 2a2
(42)
ESTE VALOR, EN ANALOGÍA IMPEDANCIA, SE PUEDE MODELAR COMO UNA
RESISTENCIA Y UNA AUTOINDUCCIÓN (MASA MECÁNICA) EN SERIE.
CONCLUSIONES:
* LA PARTE IMAGINARIA EQUIVALE A SUMAR UNA MASA EXTRA, mR, A
LA REAL DEL PISTÓN, DE MODO QUE SE VERIFICA:
m R & = X MR
m R = ) a 2 X 1 (2 k a ) / k
QUE A FRECUENCIAS BAJAS SE APROXIMA POR
m R : 8 a 3 / 3 (43)
QUE NO ES DESPRECIABLE EN MEDIOS DENSOS.
23
* LA POTENCIA RADIADA POR EL PISTÓN ES IGUAL AL TRABAJO
REALIZADO CONTRA LA RESISTENCIA DE RADIACIÓN; SIENDO POR TANTO LA
POTENCIA MEDIA RADIADA (POTENCIA ÚTIL)
1
WR = RMR v 02 / 2 =
c ) a 2 v 02 R1 (2 k a ) (44)
2
* SI k a << 1
PISTONES PEQUEÑOS O BAJAS FRECUENCIAS
WR :
* SI k a > 1
(
)
2
ck2
1
k 2a2
=
) a 2 v02 (44.1)
c ) a 2 v02
2
2
4)
PISTONES GRANDES O ALTAS FRECUENCIAS
1
c ) a 2 v02 (44.2)
2
2 1
R1 (2 k a ) * 1 Y X 1 (2 k a ) *
) ka
WR :
* SI k a >> 1
* EN LA FIGURA SE MUESTRA EL CIRCUITO EQUIVALENTE DE LA
IMPEDANCIA MECÁNICA DE RADIACIÓN A BAJAS FRECUENCIAS a) Y A ALTAS
FRECUENCIAS b)
24
APÉNDICE A: FUNCIONES DE BESSEL Y FUNCIÓN DE STRUVE
* SI LA FUNCIÓN y = f ( x ) VERIFICA LA ECUACIÓN DIFERENCIAL (1),
x2
(
dy
d2y
+x
+ x2
2
dx
dx
)
p 2 y = 0 (A.1)
ENTONCES DICHA FUNCIÓN ES UNA FUNCIÓN DE BESSEL DE ORDEN p, QUE
PUEDE ESCRIBIRSE EN FORMA DE UNA SERIE DE POTENCIAS DE LA FORMA:
y = f (x ) = J p (x ) =
9
?
n=0
( 1)n (x / 2) p+ 2 n
n !(n + p )!
(A.2)
* ESTAS FUNCIONES VERIFICAN LAS SIGUIENTES RELACIONES:
d J 0 (x )
= J 1 ( x ) [1]
dx
(
)= x
d x p J p (x )
dx
p
Jp
1
(x ) [2]
J p +1 ( x ) =
2p
J p (x ) J p
x
1
(x ) [3]
* EN ACÚSTICA SE UTILIZA LA FUNCIÓN DE BESSEL DE ORDEN 1, J 1 ( x ) ,
EVALUADA EN x = 2 k a
J 1 (x ) =
9
?
n=0
( 1)n (x / 2)1+2 n
n !(n + 1)!
"x
=!
2
6
x7
+ ' ' ' ' ' '5 (A.3)
2
2
2
2 ' 4 '6 '8
4
x3
x5
+
22 ' 4 22 ' 42 ' 6
* OTRA FUNCIÓN QUE APARECE EN ACÚSTICA ES LA FUNCIÓN DE
STRUVE DE ORDEN 1, K 1 ( x ) , EVALUADA EN x = 2 k a . ADQUIERE LA FORMA:
K1 (x ) =
2
)
9
?
( 1)i 1 x 2 i +1
i =1
ai
1
"
/ !
ai +1
a0 = 3
2
= ai (2 i + 4) 1
[
]
(A.4)
CUYOS PRIMEROS TÉRMINOS SE DAN A CONTINUACIÓN
K1 (x ) =
2 " x3
!
) 3
x5
x7
+
32 ' 5 32 ' 52 ' 7
6
x9
+ ' ' ' ' '5
2
2
2
3 '5 '7 '9
4
25
APÉNDICE B: GRÁFICO DE LA IMPEDANCIA DE RADIACIÓN DE UN PISTÓN
CIRCULAR DE RADIO a MONTADO EN PANTALLA INFINITA
26
APÉNDICE C: TABULACIÓN PARA EL PISTÓN DE LAS FUNCIONES DE
DIRECTIVIDAD EN PRESIONES E INTENSIDADES Y DE LA RESISTENCIA Y
REACTANCIA DE LA IMPEDANCIA DE RADIACIÓN
27
Continuación de la tabla
28
APÉNDICE D: DIAGRAMA POLAR
29