☛ 6. Resuelva el ejemplo 6 si A 0 1 1 1 2 1 2 3 1 A primera vista, parecería que este método de resolver un sistema de ecuaciones es mucho menos conveniente que el método más simple de reducción de renglones descrito en la sección 8-3. La ventaja de usar la matriz inversa se hace patente en casos en que deben resolverse varios sistemas de ecuaciones con la misma matriz de coeficientes. En problemas de ese tipo, las soluciones de todos los sistemas pueden determinarse de inmediato una vez que se ha encontrado la inversa de la matriz de coeficientes; no es necesario usar la reducción de renglones una y otra vez sobre cada sistema. (Véase la observación final de la sección siguiente). EJEMPLO 6 Determine la solución del sistema AX B, en donde A 1 1 3 2 0 1 , 4 3 2 X x y , z B a b c y a, b y c son números reales arbitrarios. Solución Dejamos para usted, como ejercicio, calcular la inversa de la matriz. El resultado es 1 A1 7 3 17 1 8 14 5 6 17 2 Entonces la solución del sistema AX B es 1 X A1B 7 1 7 Respuesta x 12(a 4b 3c), 3 17 1 8 14 5 6 17 2 3a 7b c 8a 14b 5c 6a 7b 2c a b c Por tanto, y 12(a 2b c), 1 x (3a 7b c) 7 z 12 (a 2b c) 1 y (8a 14b 5c) 7 1 z (6a 7b 2c) 7 ☛ 6 EJERCICIOS 9-1 (1-16) En los siguientes problemas, encuentre la inversa de la matriz dada (si existe). 5 3 1 3 2 5 1. 2. ] 4 2 1 3 4 2 3. 1 2 3 4 4. l 2 3 6 3 2 4 5. 6 7. 1 0 2 0 3 1 2 1 0 6. 10 20 8. 2 1 0 1 0 2 0 3 1 SECCIÓN 9-1 LA INVERSA DE UNA MATRIZ 361 9. 2 1 4 11. 2 3 4 13. 1 2 3 2 1 1 3 1 2 15. 3 2 5 4 0 6 1 2 3 1 0 1 1 1 2 3 1 1 3 0 1 2 0 3 1 1 1 2 10. 1 2 3 12. 3 4 6 14. 3 2 1 16. 2 1 4 4 3 8 2 1 3 25. (Purificación del mineral) Dos metales, X y Y, pueden extraerse de dos tipos de minerales, P y Q. Cien libras de mineral P producen 3 onzas de X y 5 onzas de Y; y 100 libras de mineral Q producen 4 onzas de X y 2.5 onzas de Y. ¿Cuántas libras de minerales P y Q se requerirán para producir 72 onzas de X y 95 onzas de Y? 3 4 1 5 6 10 1 3 2 2 1 3 1 1 1 1 1 1 3 0 1 4 1 0 2 26. (Inversiones) Una persona invierte un total de $20,000 en tres diferentes inversiones que producen 5, 6 y 8%, respectivamente. El ingreso de la inversión al 8% es equivalente a dos veces el ingreso de la inversión al 5% y el ingreso total por año de las tres inversiones es $1296. Encuentre la cantidad depositada en cada inversión. 27. Si A es una matriz no singular y AB AC, demuestre que B C. 28. Si AB A y A es no singular, pruebe que B I. 29. Dadas (17-24) Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones determinando la inversa de la matriz de coeficientes. 17. 2x 3y 1 18. 3x1 2x2 1 3x 4y 10 18. 2x1 x2 3 19. 4u 5v 14 20. 3y 2z 4 2v 3u 1 20. 5z 4y 13 21. 2x y 3z 3 22. x 2y z 1 x y z 2 22. 2z 3x 2 3x 2y z 8 22. 3y 2z 5 24. p 2q 3r 1 24. q 2p r 3 23. 2u 3v 4w 10 w 2u 1 A 10 u 2v 11 24. 2r p 2 0 12 34 y B 2 1 1 3 Verifique el resultado (AB)1 B1 A1 30. Con las matrices A y B del ejercicio 29 verifique que (A1B)1 B1A *31. Demuestre que (A1)1 A con A cualquier matriz invertible. *32. Pruebe que si A y B son dos matrices n n invertibles, entonces (AB)1 B1A1 *33. Demuestre que si tanto B como C son inversas de una matriz A, se sigue que B C. (Sugerencia: Considere BAC). 9-2 ANÁLISIS INSUMO-PRODUCTO El modelo insumo-producto fue introducido por primera vez a finales de los años cuarenta por Leontief, el ganador del premio Nobel en 1973, en un estudio de la economía de Estados Unidos. La principal característica de este modelo es que incorpora las interacciones entre diferentes industrias o sectores que integran la economía. El objetivo del modelo es permitir a los economistas predecir los niveles de producción futuros de cada industria, con el propósito de satisfacer demandas futuras para diversos productos. Tal predicción se complica por las interacciones entre las diferentes industrias, a causa de las cuales un cambio en la demanda de un producto de una industria puede modificar los niveles de producción de otras industrias. Por ejemplo, un incremento en la demanda de automóviles no sólo conducirá a un aumento en los niveles de producción de los fabricantes de automóviles, sino también en los niveles de una variedad de otras industrias en la economía, tales como la industria del acero, la industria de los neumáticos, etc. En el modelo original de 362 CAPÍTULO 9 INVERSAS Y DETERMINANTES ☛ 9. Una economía de dos sectores se describe en la tabla siguiente: Industria primaria Industria secundaria Demandas finales Producción total Primaria Secundaria 10 50 75 60 15 40 100 150 Insumos primarios 40 15 Construya la matriz de insumoproducto y determine las producciones si las demandas finales se cambian a 40 y 40, respectivamente. Respuesta A X 0.1 0.5 0.5 0.4 c) En el caso de la industria I, deben producirse 240 unidades de insumos primarios para generar una producción total de 1200 unidades. Esto es, los insumos pri24 0 marios son 1200 0.2 de la producción total. Así, 0.2 de la nueva producción, 1415, da los nuevos insumos primarios de la industria I. Los insumos primarios de la industria I son 0.2(1415) 283 unidades. En forma análoga, los insumos primarios en el caso de la industria II son 30 0 1500 0.2 de la producción total, de modo que son iguales a 0.2(1.640) 328 unidades. En consecuencia, los nuevos insumos primarios para las dos industrias serán de 283 y 328 unidades, respectivamente. ☛ 9 Las suposiciones básicas del modelo insumo-producto pueden advertirse en estos ejemplos simples en que sólo interactúan dos sectores. En un modelo realista de una economía, es necesario considerar un número mucho más grande de sectores. La extensión del modelo introduce grandes complicaciones en los cálculos, por lo que es imprescindible utilizar una computadora que resuelva el sistema de ecuaciones. Sin embargo, los principios que intervienen en el modelo en esencia son los mismos que se consideraron en nuestro ejemplo de dos sectores. Podemos resumir estas suposiciones básicas de la siguiente manera: 1. Cada industria o sector de la economía produce un solo bien y no existen dos industrias que produzcan un mismo bien. 2. Para cada industria, el valor total de la producción es igual al valor total de todos los insumos, y toda la producción es consumida por otros sectores productivos o por las demandas finales. 3. La matriz insumo-producto permanece constante en el tiempo considerado. En periodos más largos, los avances tecnológicos provocan cambios en la matriz insumo-producto y esto significa que las predicciones basadas en este modelo sólo serán relativamente confiables a corto plazo. 440 0 29 56 0 0 29 EJERCICIOS 9-2 1. (Modelo insumo-producto) La tabla 3 da la interacción entre dos sectores en una economía hipotética. TABLA 3 Industria I II Industria I II 20 50 56 8 Insumos primarios 30 16 Demandas Producción finales total 24 22 100 80 a) Encuentre la matriz insumo-producto A. b) Si en 5 años las demandas finales cambian a 74 en el caso de la industria I y a 37 para la industria II, ¿cuánto deberá producir cada industria para satisfacer esta demanda proyectada? c) ¿Cuáles serán los nuevos requerimientos de insumos primarios en 5 años para las dos industrias? 2. (Modelo insumo-producto) La interacci6n entre los dos sectores de una economía hipotética están dados en la tabla 4. a) Encuentre la matriz insumo-producto A. b) Suponga que en 3 años la demanda de productos agrícolas decrece a 63 unidades y se incrementa a 105 unida- SECCIÓN 9-2 ANÁLISIS INSUMO-PRODUCTO 367 TABLA 4 Agri- Bienes manu- Demandas Producción cultura facturados finales total Agricultura 240 Bienes manufacturados 300 270 90 Mano de obra 90 90 60 600 450 b) Determine la matriz de producción si las demandas de los consumidores cambian a 129 en el caso de P y a 213 por lo que respecta a Q. c) ¿Cuáles serán los nuevos requerimientos de mano de obra para las dos industrias? des para bienes manufacturados. Determine el nuevo vector de producción que satisfaga estas nuevas demandas. *5. En la economía del ejercicio 3, se anticipa que la demanda final para la producción de la industria Q se incrementará el doble a corto plazo, comparada con la demanda final de la industria P. Durante los próximos 5 años, la mano de obra de que podrán disponer se incrementará de 105 a 150 unidades. ¿En cuánto deberán incrementarse las dos demandas finales durante este periodo si esta oferta de mano de obra se emplea por completo? c) ¿Cuáles serán los nuevos requerimientos de mano de obra para cada sector? 6. (Modelo insumo-producto) La interacción entre tres industrias P, Q y R está dada por la tabla 7. 60 3. (Modelo insumo-producto) La tabla 5 da la interacción entre dos sectores de una economía hipotética. TABLA 7 TABLA 5 Industria P Q Industria P Q 60 80 75 30 Mano de obra 60 45 Demandas finales Producción total 65 40 200 150 Industria Q R P Industria P Q R Insumos primarios 20 40 0 0 40 80 40 100 40 40 80 20 Demandas Producción finales total 40 20 80 100 200 200 a) Determine la matriz insumo-producto A. a) Construya la matriz de insumo-producto. b) Encuentre la matriz de producción si las demandas finales cambian a 104 en el caso de P y a 172 para Q. b) Determine las nuevas producciones de P, Q y R si las demandas finales cambian en el futuro a 70, 50 y 120, respectivamente. c) ¿Cuáles son los nuevos requerimientos de mano de obra? 4. (Modelo insumo-producto) La interacción entre dos industrias P y Q que integran una economía hipotética están dadas en la tabla 6. a) Encuentre la matriz insumo-producto A. Industria P Q Insumos de mano de obra 368 7. Repita el ejercicio 6 para los tres sectores de economía dados en la tabla 8, si las nuevas demandas finales son 68, 51 y 17 para P, Q y R, respectivamente. TABLA 8 TABLA 6 Industria P Q c) ¿Cuáles serán entonces los insumos primarios para las tres industrias? 46 322 342 114 92 114 Demanda del Producción consumidor total 72 134 CAPÍTULO 9 INVERSAS Y DETERMINANTES 460 570 P Industria P Q R Insumos primarios Industria Q R 22 88 66 80 40 60 76 38 57 44 20 19 Demandas Producción finales total 42 34 7 220 200 190