Combinatoria y Grafos

ESTALMAT-Andalucía
Sesión: 7
Fecha: 26/11/2005
Actividades 05/06
Título: Combinatoria y Grafos
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ACTIVIDAD 1
En la carta de un restaurante hay cinco primeros platos, tres segundos platos y cuatro postres.
Un menú consta de un primer plato, un segundo plato y un postre. ¿Cuántos menús diferentes
de tres platos podemos hacer?
Objetivos: Aplicar el principio general de la multiplicación. Comprender la noción de árbol de
decisión.
ACTIVIDAD 2
En el laberinto de la figura, ¿De cuántas maneras distintas se puede ir desde a hasta k,
siguiendo el sentido de la flecha?
Objetivos: Comprender la noción de árbol de decisión. Descubrir el principio general de la
suma. Comprender la noción de grafo dirigido y de recorrido sobre él.
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Actividades 05/06
ACTIVIDAD 3
La figura representa una máquina de Galton. Una bola depositada en el embudo caerá
recorriendo diversos tramos hasta llegar a uno de los compartimentos señalados.
a) ¿Cuántos caminos distintos puede recorrer la bola para caer en el compartimento d?
b) ¿Cuántos caminos distintos puede recorrer la bola para caer en uno cualquiera de los
compartimentos?
Objetivos: Comprender la noción de árbol de decisión. Aplicar el principio general de la suma.
Comprender la noción de recorrido sobre un grafo dirigido. Descubrir el Triángulo de Tartaglia.
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Actividades 05/06
ACTIVIDAD -RECREOLema del Apretón de Manos (para 25 jugadores)
Se da a cada participante un cuadernito* con 25 hojas todas del mismo color. Hacen falta bien
25 colores diferentes o bien menos colores y varios tamaños de cuadernillos de manera que el
cuadernillo de cada participante se diferencia perfectamente de todos los demás cuadernillos.
Durante el descanso de media mañana, cada participante hablará con los demás (no
necesariamente con todos), cada vez que hable con alguien deberán intercambiar una hoja de
sus respectivos cuadernos y guardar todos los que vaya consiguiendo.
Al comienzo de la segunda parte de la sesión cada participante debe contar los papeles que ha
conseguido y comprobamos que (si todos han cumplido las reglas del juego):
El número de personas con un número impar de papeles “conseguidos” debe ser par (pudiendo
ser cero).
¿Por qué crees que ocurre esto?
Objetivos: Comprender la noción de grafo no dirigido. Deducir el lema del apretón de manos e
intentar una demostración del mismo.
•
El cuadernito podría ser tipo “post-it” para que tuviera una parte adhesiva y así fuera más
fácil guardar las hojas conseguidas.
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ACTIVIDAD 4
En un futuro no muy lejano habrá viajes interplanetarios. Supón que en el sistema solar se
establecieran las siguientes rutas y sólo éstas:
Tierra - Mercurio,
Júpiter,
Urano - Neptuno,
Plutón - Venus,
Venus.
Júpiter - Marte,
Neptuno - Saturno, Marte - Urano,
Tierra - Plutón,
Plutón - Mercurio,
¿Se podría realizar el viaje desde la Tierra hasta Marte? ¿Por qué?
Objetivo: Comprender la noción de grafo no dirigido, tanto conexo como no conexo.
Saturno -
Mercurio -
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Actividades 05/06
ACTIVIDAD 5
En la figura tenemos un mapa de la ciudad de Sevilla y sus alrededores. Vamos a resolver el
“Problema de los puentes de Sevilla”. (¿Recuerdas el de la lección inaugural?)
¿Es posible hacer una ruta que pase por todos los puentes y una sola vez por cada uno?
Objetivos: Comprender la noción de multigrafo. Comprender el concepto de recorrido (abierto y
cerrado). Comprender la noción de recorrido euleriano.
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ACTIVIDAD 6
En el mapa siguiente hemos marcado vuestros lugares de origen y algunas de las principales
carreteras.
a) ¿Cuántos viajes distintos podríamos hacer desde Villanueva de Córdoba hasta Huelva sin
repetir ningún tramo de carretera?
b) ¿Seríamos capaces de hacer una ruta que pasara por todas las ciudades, salvo por Málaga,
y una sola vez por cada una?
c) ¿Podríamos construir una red de carreteras sin cruces que pasara por Cádiz, Córdoba,
Huelva y Sevilla y que cualquier par de ciudades tuviera una carretera directa? ¿Cómo la
diseñaríamos? ¿Y que pasara por Cádiz, Córdoba, Huelva, Málaga y Sevilla?
Objetivos: Relacionar los problemas de recuentos con los de recorridos. Conocer el concepto
de recorrido hamiltoniano. Comprender el concepto de grafo plano e intuir la existencia de
caracterización de los grafos no planos.
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ACTIVIDAD 7
Trío de Palabras
Tenemos las siguientes tarjetas para jugar con un contrincante.
Reglas del juego:
• Se colocan las tarjetas boca arriba y cada jugador, por turno, va eligiendo una tarjeta y
colocándola junto a él también boca arriba.
• Gana el primer jugador que consigue tres palabras que tengan la misma vocal.
• Si nadie lo consigue, la partida queda en tablas.
¿Cómo podríamos dibujar un grafo que nos ayudara a diseñar una estrategia ganadora?
¿Cómo sería el grafo si en las reglas del juego cambiáramos la condición de conseguir “tres
palabras que tengan la misma vocal” por la de conseguir “tres palabras que tengan la misma
consonante”? ¿Y si consideramos tríos de palabras con la misma letra?
Objetivos: Modelizar otra situación mediante un grafo. Introducir la noción de grafos isomorfos.
Metodología (para todas las actividades): Se deja trabajar por equipos y cada cierto tiempo se
piden ideas.