Sintonización de Controladores

PS-2320
Control de Procesos II
X. REGLAS PARA LA SINTONIZACIÓN DE CONTROLADORES PID
El diseño de controladores se realiza en función del conocimiento del proceso, es
decir, a partir del modelo del proceso y del esquema de control. Si no se dispone de
la información antes descrita se plantea el uso de reglas de sintonización para
controladores, PID, donde la función de transferencia del controlador PID es de la
forma:
G C (s) = K P (1 + TD s +
K
1
)= P
TI s
TI
 TD TI s 2 + TI s + 1 




s


Ziegler y Nichols propusieron reglas para determinar los valores de la ganancia
proporcional Kp, del tiempo integral Ti y del tiempo derivativo Td basados en las
características de respuesta transitoria de una planta dada. La determinación de los
parámetros de los controladores PID puede ser realizada por ingenieros en el sitio
mismo efectuando experimentación en la planta.
Hay dos métodos denominados reglas de sintonización de Cohen – Coon y Ziegler –
Nichols, fundamentados en la experimentación en los cuales se pretende obtener, a
lazo cerrado, un sobrepaso máximo del 25 %.
10.1 Método de Cohen – Coon (Reacción)
En este método se obtiene experimentalmente la respuesta de la planta al aplicar un
escalón unitario, como se muestra en la siguiente figura. Si la planta no incluye
integrador(es) o polos dominantes complejos conjugados, la curva de respuesta al
escalón unitario puede tener el aspecto de una curva en forma de S, como se
observa en dicha figura, en el caso en que la curva no presente esta forma, no se
puede aplicar el método.
La curva en forma en S se puede caracterizar con dos parámetros, el tiempo del
atraso L y la constante de tiempo τ. El tiempo de atraso y la constante de tiempo se
determinan trazando una línea tangente a la curva en la forma de S en el punto de
inflexión y se determinan las intersecciones de esta línea tangente con el eje del
tiempo y con la línea c(t) = K, como se muestra en la siguiente figura. Entonces la
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función de transferencia C(s)/U(s) se puede aproximar por un sistema de primer
orden con atraso de transporte.
C(s ) K ⋅ e − L ⋅s
=
U(s ) τ ⋅ s + 1
Una vez identificado los parámetros del proceso, se obtienen los parámetros del
controlador utilizando la siguiente tabla.
Tipo de controlador
Kp
TI
Td
P
τ/L
∞
0
PI
0,9
τ/L
L/0,3
0
PID*
1,2
τ/L
2L
0,5L
*tiene un polo en el origen y un cero doble en s = -1/L
10.2 Método de Ziegler – Nichols (Oscilación Continua)
En este método, primero se hace Ti = ∞ y Td = 0 y usando solamente la acción del
controlador proporcional, tal como muestra en la siguiente figura, se incrementa Kp
desde cero hasta un valor crítico Kcr en el cual la salida exhiba por primera vez
oscilaciones sostenidas. Si la salida no presenta oscilaciones sostenidas con periodo
para cualquier valor que pueda tomar Kp, entonces no se puede aplicar este método.
De esta forma se puede determinar experimentalmente la ganancia crítica Kcr y el
período correspondiente Pcr de las oscilaciones sostenidas, a partir de los cuales se
calculan los valores de los parámetros del controlador PID tal como se muestran a
continuación.
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Tipo de controlador
Kp
Ti
Td
P
5Κcr
∞
0
PI
0,45Κcr
1/1,2Pcr
0
PID*
5Κcr
0,5Pcr
0,125Pcr
*tiene un polo en el origen y un cero doble en s = -4/Pcr
Ejemplo
Se solicita que se sintonicen los parámetros del siguiente controlador utilizando el
método de oscilación continua.
Solución
Se debe calcular el valor de la ganancia critica (si existe). Para ello se utiliza el
criterio de estabilidad de Routh en la ecuación característica a lazo cerrado.
Tomando la función de transferencia del controlador como Gc(s) = Kp.
Ecuación Característica a Lazo Cerrado
1+
s3
KP
=0
s(s + 4)(s + 8)
1
32
s
2
12
KP
s
1
b1
0
s0
KP
→
→
s 3 + 12s 2 + 32s + K P = 0
b1 =
12.32 - K P
≥0
12
→
Kcr ≤ 384
Con dicho valor de Kcr se sustituye en la ecuación característica y se calcula la
frecuencia de la oscilación sustituyendo s = jω
Ecuación Característica a Lazo Cerrado
s 3 + 12 s 2 + 32 s + 384 = 0
s = jω
− ω 3 j − 12ω 2 + 32ωj + 384 = 0
(384 − 12ω 2 ) + (32 − ω 2 ) jω = 0
Como la solución que se busca es una raíz cuya parte real es cero, se tiene que:
384 − 12ω 2 = 0 ω 2 = 32 ⇒ ω = 5.66
A partir de dicho valor de ω se puede calcular el Período Crítico, Pcr, como:
Pcr =
2π
ω
=
2π
= 1.11
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Con dichos valores de Kcr y Pcr se calculan los parámetros del controlador.
Kp = 0.6 Kcr = 230.4
Ti = 0.5 Pcr = 0.555
Td = 0.125 Pcr = 0.13875
En la siguiente gráfica se muestran las simulaciones correspondientes a la respuesta
a lazo cerrado, sin controlador y con el PID sintonizado con los parámetros
originales, así mismo, dos simulaciones adicionales en las cuales se han modificado
el valor de los parámetros del controlador logrando mejoras sustanciales en las
respuestas.
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