Homotecia

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Homotecia
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Una homotecia es una trasformación geométrica que, a partir de un punto fijo, multiplica todas las distancias por un mismo
factor. Es una amplificación. Su definición rigurosa es vectorial:
Definición
Sea E un espacio vectorial sobre un cuerpo K. Sea Ω un elemento (visto como un punto) de E
La homotecia de centro Ω y de razón k, denotada hΩ, k envía un punto M del espacio vectorial sobre el punto M' tal que:
Homotecia, de centro el punto O y razón el número real k ≠ 0, es una transformación geométrica que hace corresponder a
cada punto P otro punto P′ tal que (el vector es igual al resultado de multiplicar el vector por el número k). Si k es positivo, P′
está en la semirrecta de origen O que pasa por P.Veremos en lo siguiente las propiedades de la homotecia:
Propiedades
La homotecia es una trasformación lineal y por consiguiente conserva:
1. el alineamiento: las imágenes de puntos alineados son alineados: (A,B,C) y (A', B', C') en la figura
2. el centro de un segmento, y más generalmente el baricentro: la imagen del baricentro es el baricentro de las imágenes.
En la figura, B es el centro de [A;C] y por lo tanto B' es el de [A';C']
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3. el paralelismo: dos rectas paralelas tienen imágenes paralelas. En la figura (BE) // (CD) porque (BE) //(CD).
Además la homotecia conserva:
1. el cociente de longitudes: A'C'/B'E' = AC/BE en la figura
2. los ángulos orientados, en particular los ángulos rectos. Es obvio en la figura.
Más aún:
1. La imagen de una recta es otra recta paralela.
2. Todas las longitudes son multiplicadas por |k|, el valor absoluto de la razón.
3. Si k ≠ 1, el centro de la homotecia es el único punto fijo (k = 1 corresponde a la identidad de E: todos los puntos son
fijos)
4. Si k ≠ 0, h
Ω k admite como trasformación recíproca hΩ 1/k. (cuando k = 0, no es biyectiva)
5. Al componer dos homotecias del mismo centro se obtiene otra homotecia con este centro, cuya razón es el producto
de las razones de las homotecias iniciales: hΩ k o hΩ k' = hΩ k·k'.
6. Al componer homotecias de centros distintos, de razones k y k', se obtiene una homotecia de razón k·k' cuando k·k'
≠1, y una traslación sino. Se dice que el conjunto de las homotecias y las translaciones forman un grupo.
k = - 1 corresponde a la simetría de centro Ω, o una rotación alrededor de Ω de ángulo π radianes (180·)
|k| > 1 implica una ampliación de la figura.
|k| < 1 implica una reducción.
k < 0 se puede interpretar como la composición de una simetría de centro Ω con una homotecia sin inversión.
Homotecias en el plano
Una homotecia en el plano es una
transformación del plano en sí mismo en donde
una recta y su homóloga son paralelas. De esta
definición, se sigue fácilmente que las
homotecias conservan ángulos, es decir son
transformaciones conformes del plano, que el
conjunto de homotecias forman un grupo y
que las traslaciones son casos particulares de
las homotecias.
Consideremos la homotecia en la cual la recta
OA se transforma en la recta O'B, siendo O' el
homólogo de O y B el homólogo de A.
Necesariamente, las rectas OO' y AB son
invariantes en esta homotecia y el punto H1,
centro de la homotecia, es invariante. En esta
homotecia la circunferencia de centro O y
radio OA se transforma en la circunferencia de centro O' y de radio O'B y la razón de la homotecia es la razón (positiva) de
los segmentos O'B y OA.
Si por el contrario, el punto A se transforma en B' entonces la recta AB' es invariante y es el punto H2 el centro de homotecia.
En este caso, la razón de la homotecia es negativa.Es todo por el momento gracias por su atencion.
Ejes de Homotecia
Dadas dos circunferencias, estas siempre se pueden considerar como homotéticas una de la otra.
En la figura, la circunferencia S2 puede considerarse homotética de s1 bien es en la homotecia de razón positiva, con centro
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en P1, o de razón negativa, con centro de homotecia en N1.
Consideremos las homotecias, una con centro en P1 en la cual la circunferencia
S2 es homotética de la circunferencia s1, y la homotecia de centro P3 en la que
la circunferencia s3 es homotética a la circunferencia s2. La composición de
estas dos homotecias es la homotecia de centro en P2 que transforma la
circunferencia s1 en la circunferencia s3. Es por esta razón que los centros de
homotecia positivos, P1, P2 y P3 están alineados. En general, dadas tres
circunferencias existen seis centros de homotecia, alineados tres a tres sobre
cuatro rectas.
Estas rectas son las llamadas ejes de homotecia de las tres circunferencias
dadas.
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Categoría: Geometría
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