TEMA 9: FIGURAS GEOMÉTRICAS ESPACIALES

TEMA 9: FIGURAS GEOMÉTRICAS ESPACIALES
Matías Arce, Sonsoles Blázquez, Tomás Ortega, Cristina Pecharromán
1. INTRODUCCIÓN ..........................................................................................1
2. SUPERFICIES POLIÉDRICAS. POLIEDROS ...............................................1
3. FIGURAS DE REVOLUCIÓN ........................................................................3
4. POLIEDROS REGULARES...........................................................................6
5. SUPERFICIES DESARROLLABLES ............................................................7
6. ÁREAS Y VOLÚMENES................................................................................8
1. INTRODUCCIÓN
En este capítulo se hará un estudio de las figuras geométricas tridimensionales
estándares por ser éstas las que están más presentes en los tratados de geometría al
gozar de ciertos aspectos de regularidad. En todas ellas podemos hacer dos
interpretaciones: una sobre el área de la superficie que definen y otra sobre el volumen
que ocupan. Incluso se podría hacer una tercera interpretación y pensar que podrían
determinar capacidades para albergar fluidos. En primer lugar analizaremos las figuras
poliédricas (prismáticas y piramidales), a continuación los cilindros y los conos (como
figuras de revolución) y en tercer lugar los poliedros regulares. En cada uno de los
casos se hará una interpretación del área de su superficie y del volumen y se estudiará
su desarrollo en el plano. En http://www.learner.org/interactives/geometry/ (en inglés)
se pueden encontrar animaciones de los conceptos tratados en este tema.
2. SUPERFICIES POLIÉDRICAS. POLIEDROS.
Una superficie poliédrica es un conjunto finito de polígonos, que se llaman caras de la
superficie, que cumplen estas dos condiciones:
•
Cada lado de una cara pertenece también a otra cara y
sólo a otra. Ambas caras se llaman contiguas.
•
Dos caras contiguas están en distinto plano.
A la superficie poliédrica también se llama denomina poliedro y
por este nombre también se indica la porción finita del espacio
delimitado por la superficie poliédrica. Un poliedro es convexo si
el segmento que determinan dos puntos cualesquiera del mismo
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está totalmente contenido en el poliedro. Los vértices de las caras se denominan
vértices del poliedro y, los lados de los polígonos, aristas del poliedro.
El poliedro de la figura adjunta tiene 12 vértices, 18 aristas, 6 caras laterales que son
cuadriláteros y otras dos (parte inferior y superior del poliedro) que son hexágonos.
Tarea 1: Representa una figura tridimensional de caras que sean polígonos, pero que
no sea un poliedro.
Tarea 2: Justifica si la siguiente figura es un poliedro o no.
¿Cuántas caras, aristas y vértices tiene?
Prismas
Son aquellos poliedros convexos que tienen dos caras iguales y paralelas entre sí,
llamadas bases, y las restantes caras, caras laterales, son paralelogramos formados
por los pares de vértices homólogos de las bases. Si los paralelogramos son
rectángulos (las aristas son perpendiculares a las bases) el prisma se denomina recto
y en caso contrario oblícuo.
Paralelepípedo: Es un prisma en el que tanto las bases como las
caras laterales son paralelogramos.
Ortoedro: Es un paralelepípedo en el que todas sus
caras son rectángulos.
Según sea el número de lados del polígono de sus bases, los
prismas reciben el nombre de: triangulares, cuadrangulares, pentagonales, etcétera.
Cuando estos polígonos sean regulares el prisma recto se llama regular. La altura es
el segmento sobre la perpendicular común que une ambas bases. También se
considera la distancia entre ambas bases.
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Pirámides
La pirámide es un poliedro convexo formado por un polígono, que
se denomina base, y cuyas caras laterales son triángulos con un
vértice común que se llama vértice de la pirámide.
Según sea el número de lados de la pirámide de su base, las
pirámides reciben el nombre de: triangulares, cuadrangulares,
pentagonales, etcétera. La altura es el segmento sobre la
perpendicular que une el vértice con la base. También se
considera la distancia del vértice a la base.
Cuando el polígono base de una pirámide sea regular y las caras laterales sean
iguales (son triángulos isósceles), la pirámide se llama
regular. La altura de una de sus caras (es igual en todas) se
llama apotema de la pirámide. En este caso la altura de la
pirámide une su vértice con el centro del polígono, por lo
que se llama pirámide recta (una pirámide recta se
caracteriza porque la proyección del vértice sobre la base es el centro del polígono).
Cuando la pirámide no es recta se llama oblicua.
Tanto los prismas como las pirámides pueden ser seccionados por planos paralelos a
la base u oblicuos a la misma. En el
caso de los prismas se vuelve a
obtener otro prisma si la sección es
paralela a la base, pero en el caso
de
la
pirámide
se obtiene
un
poliedro que se denomina tronco de
pirámide (cuando la sección es
paralela a la base se forma un
polígono semejante al de la base).
3. FIGURAS DE REVOLUCIÓN
Las figuras de revolución se obtienen girando una línea o superficie alrededor de un
eje. El eje se llama eje de giro y la línea que gira se llama generatriz. Se genera así
una superficie o un cuerpo macizo, con volumen. Las figuras más conocidas son la
esfera, el cilindro y el cono, junto con otras relacionadas con ellas.
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Esfera
(hueca
o
superficie
esférica)
es
la
superficie
generada
por
una
semicircunferencia al girar sobre su diámetro. El centro del diámetro es el centro de la
esfera (es centro de simetría) y el radio de la semicircunferencia en el radio de la
esfera.
Esfera (maciza o volumen esférico) es el
volumen generado por un semicírculo sobre su
diámetro. El centro del diámetro es el centro de
la esfera (es centro de simetría) y el radio de la
semicírculo en el radio de la esfera.
La superficie esférica se puede considerar
también como el lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan de uno fijo
que se llama centro de la esfera. La distancia de un punto al centro se llama radio de
la esfera. El volumen esférico sería el lugar geométrico de los puntos
del espacio cuya distancia a un punto fijo que se llama centro de la
esfera es menor o igual que una longitud dada. La distancia máxima de
estos puntos al centro se llama radio de la esfera.
Los planos que pasan por el centro de la esfera dividen a ésta en dos semiesferas y
cortan a la superficie esférica en circunferencias de radio igual al de la
esfera, mientras que las circunferencias determinadas por secciones de
planos que no pasan por el centro tienen menor radio. La parte menor
en que estos planos dividen a la esfera se denomina casquete esférico.
Huso esférico es la parte de una esfera (superficie) delimitada por dos
planos que pasan por un diámetro de la esfera. Cuña esférica es la parte
de una esfera (volumen) delimitada por dos planos que pasan por un diámetro de la
esfera.
Zona esférica: Es la porción de superficie esférica comprendida entre dos
planos paralelos que la seccionan. Segmento esférico. Es la porción de
volumen esférico comprendido entre dos planos paralelos que la
seccionan.
Cilindro con esta palabra se designa tanto a la
superficie cilíndrica como al volumen cilíndrico. Aquí,
en primer lugar nos referimos a cilindros rectos.
Superficie cilíndrica es la superficie generada por un
segmento que gira alrededor de una recta paralela a
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él. La recta se denomina eje del cilindro y a una cualquiera de las posiciones del
segmento, por ejemplo MN, se la llama generatriz del cilindro. Al girar alrededor del
eje, cualquier punto del segmento generatriz determina una circunferencia y su radio
es el radio del cilindro. La altura es el segmento sobre la perpendicular común que
une ambas bases. También se considera la distancia entre ambas bases.
Volumen cilíndrico es el volumen generado al girar un rectángulo alrededor de un eje
que tiene uno de sus lados sobre el eje de giro. Los lados del rectángulo
perpendiculares al eje son radios del cilindro. Los círculos determinados por los
extremos
del
segmento
generan
sendas
circunferencias
y
los
círculos
correspondientes se denominan bases del cilindro. Estos círculos están contenidos en
planos perpendiculares al eje de giro que se denomina eje del
cilindro.
Si a un cilindro recto se le secciona por dos planos paralelos no
perpendiculares al eje de giro, se obtiene un cilindro oblicuo,
como se muestra en la figura adjunta. En este caso las bases
son elipses.
Cono con esta palabra se designa tanto a la superficie cónica como al volumen
cónico. Aquí, en primer lugar nos referimos a conos rectos.
Superficie cónica es la superficie generada por un segmento que
gira alrededor de una recta en la que apoya uno de sus extremos.
La recta se denomina eje del cono y a una cualquiera de las
posiciones del segmento, por ejemplo VW, se la llama generatriz
del cono. El punto común del segmento y eje, V, se
denomina vértice del cono. La altura es el segmento
sobre la perpendicular que une el vértice con la
base. También se considera la distancia del vértice a la base.
Volumen cónico es el volumen generado al girar un triángulo rectángulo alrededor de
un eje, de manera que uno de los catetos se encuentra sobre el eje de giro. La
hipotenusa del triángulo genera la superficie y el otro cateto genera el círculo base del
cono, que está situado en un plano perpendicular al eje.
Si a un cono recto se le secciona por un plano no
perpendicular que corte a todas las generatrices, se obtiene
un cono oblicuo, como se muestra en la figura adjunta. En
este caso la base es una elipse.
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Lo mismo que las
pirámides, los conos pueden ser
truncados
(seccionados)
por
planos perpendiculares u oblicuos
a su eje. A la parte de estas figuras comprendida entre el plano y la base se le llama
tronco del cono. Cuando el plano es perpendicular al eje la sección es una
circunferencia o un círculo y si es oblicuo una elipse o una región elíptica.
4. POLIEDROS REGULARES
Los poliedros regulares son aquellos cuyas caras son polígonos regulares que
concurren de la misma forma en cada vértice. Sólo existen cinco poliedros regulares, y
se conocen con el nombre de cuerpos platónicos. Son éstos:
Tetraedro: Poliedro formado por cuatro triángulos
equiláteros.
Hexaedro o cubo: Poliedro formado por seis
cuadrados.
Octaedro: Poliedro formado por ocho triángulos
equiláteros.
Dodecaedro: Poliedro formado por doce pentágonos
regulares.
Icosaedro: Poliedro formado por veinte triángulos
equiláteros.
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Tarea 3: Investiga qué tiene que ocurrir para poder construir poliedros regulares con
polígonos regulares y explica por qué sólo existen cinco poliedros regulares.
Si se une el centro de cada cara de un poliedro regular se obtiene otro poliedro regular
que se llama dual. Así son duales el cubo y el octaedro, el icosaedro y el dodecaedro
y, por último, el tetraedro es dual de sí
mismo.
Además, todos los poliedros regulares se
pueden inscribir en una esfera (todos los
vértices están sobre la esfera) y se puede
inscribir una esfera en todos ellos (la esfera
es tangente a las caras en el centro de las
mismas).
Tarea 4: Comprobar que se verifica el teorema de Euler (en un poliedro convexo, el
número de caras más el números de vértices es igual al número de aristas más dos,
C + V = A + 2) en los cinco sólidos platónicos.
5. SUPERFICIES DESARROLLABLES
Todas las figuras estudiadas en este capítulo son
desarrollables (su superficie se puede superponer
sobre un plano) excepto la esfera. A continuación se
presentan las figuras planas a las que dan lugar los
desarrollos de un prisma cuadrangular, una pirámide
cuadrangular, un cilindro, un cono, un tronco de
pirámide recta y un tronco de cono recto.
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En el prisma el perímetro de la base es igual a
la
base
del
rectángulo formado
por
las
generatrices.
En la pirámide el perímetro de la base es igual
a la suma de las bases de los triángulos.
En
el
cono,
la
longitud
del
arco
de
circunferencia del sector circular es igual al
perímetro del círculo que constituye la base y el
radio es igual a la generatriz del cono.
Tarea 5: Dibuja con precisión el desarrollo de un prisma triangular, una pirámide
pentagonal, un octaedro y un cono. Recorta y comprueba que se forma el cuerpo
pedido.
6. ÁREAS Y VOLÚMENES
Como los poliedros son superficies desarrollables, su área se define como el área de
la figura plana que forma dicho desarrollo. En el caso de las figuras de revolución se
obtiene como límite de áreas de poliedros y en el caso de la esfera (y las superficies
relacionadas con ella) se considera como límite del área de otros cuerpos de
revolución (los generados por un polígono regular al girar sobre un diámetro, cuando el
número de lados tiende a infinito). Si se considera un cuerpo tridimensional como un
cuerpo macizo, tiene sentido plantearse cuántos cubos de lado unidad caben en dicho
cuerpo (se puede entender también como capacidad de la superficie), así que se parte
del volumen de un prisma y el resto se obtiene como límite de cuerpos que resultan de
unir varios prismas. La relación que se presenta está escaneada de M. Díaz Vázquez
(1979). Diccionario básico de Matemáticas. Madrid, Anaya.
Tarea 6: Busca información en la red y explica cómo calculó Arquímedes el volumen
de la esfera.
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Tarea: Resuelve los siguientes problemas de forma individual:
1.
a) ¿Cuál es el número mínimo de caras que se necesitan para construir un
prisma? ¿Y de aristas? ¿Y de vértices?
b) Contesta de nuevo las tres preguntas anteriores, pero sustituyendo prisma por
pirámide.
2. ¿Cuántas aristas concurren en un vértice situado en la base de una pirámide? ¿Y
en el vértice de la pirámide que no se encuentra en la base?
3.
Diseña un procedimiento que nos permita calcular la altura de un objeto sólido
(que no puede perforarse) con forma de cono.
4. Un bloque de piedra cúbico mide 3 metros de arista. Si cada dm3 de piedra pesa 7
Kg., ¿cuánto pesa el bloque de piedra?
5. Halla el área total y el volumen de un prisma regular de base hexagonal de 10 cm
de lado y 8 cm de altura.
6. Halla el área lateral, total y el volumen de un prisma recto de 50 cm de altura y de
base un triángulo isósceles cuyos lados iguales miden 30 cm y cuyo lado desigual
mide 36 cm.
7. Halla la longitud de la diagonal de un cubo o hexaedro en función de la longitud de
la arista, a.
8. Una viga de acero con forma de prisma cuadrangular regular recto mide 16 m de
altura. Calcula el lado de la base, sabiendo que su volumen es de 0,36 m3.
9. Se desea pintar el techo y las paredes de una nave industrial cuyo interior tiene
forma de ortoedro de 20 m de largo por 14 m de ancho y 8 m de altura. Sabiendo que
con cada bote de pintura se pueden pintar 32 m2, ¿cuántos botes de pintura se
necesitan como mínimo? ¿Cuánto costará pintar la nave si cada bote cuesta 9 €?
10.
Halla el área del icosaedro regular de 4cm de arista.
11.
Un brillante ha sido tallado en forma de pirámide regular recta con base
hexagonal de 2 mm de lado. La altura de la pirámide mide 4 mm. Halla el volumen del
brillante.
12. a) Calcula el área y el volumen de un cilindro de 8 cm de altura y 8 cm de
diámetro de la base.
b) Tenemos un cono con el mismo volumen y la misma altura que el cilindro del
apartado anterior. ¿Cuánto mide el diámetro de la base de dicho cono?
13.
El radio de la base de un cono mide 14 cm y su altura 30 cm. Calcula:
a) La medida de la generatriz del cono.
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b) El área lateral del cono.
c) El área total del cono.
d) El volumen del cono.
14. Partimos de un cuerpo ortoédrico, cuya base es un cuadrado de 6 cm de lado y
su altura es 1 cm. A ese cuerpo se le hace un agujero también ortoédrico, de la misma
altura, pero de 3 cm de lado. Calcula el volumen del cuerpo resultante.
15. Calcula el área total, el volumen y la longitud de la diagonal de un ortoedro,
sabiendo que los perímetros de sus tres tipos de caras diferentes son 36cm, 50cm y
70 cm.
16. Un octaedro regular tiene una arista de 12 cm de longitud. ¿Cuánto vale su área?
¿Y su volumen?
17. El volumen de un paralelepípedo es de 216 m3. Hallar las dimensiones de sus
aristas, sabiendo que las aristas mayores tienen el doble de longitud que las medianas
y las aristas pequeñas la mitad de longitud que las medianas.
18. Una vasija de forma cúbica llena de alcohol pesa 52’688 Kg. El peso de la vasija
vacía es de 2 Kg. Halla la profundidad de la vasija sabiendo que un litro de alcohol (es
decir, un decímetro cúbico de alcohol) pesa 792 gramos.
19. Una pirámide regular de base cuadrada tiene su área lateral igual a tres veces el
área de la base. Si el área total es 64 cm2, ¿cuál es el lado l de la base y la altura h de
la pirámide?
20. Sabiendo que los dibujos adjuntos corresponden a troncos de pirámide regulares,
calcula el área total de dichos cuerpos.
21. Sabiendo que un cilindro de 3 m de altura tiene un área lateral de 4 m 2 , halla el
radio de la base del cilindro y calcula el área total y el volumen del mismo.
22. La superficie lateral de un cono es un semicírculo de 20 cm de radio. Halla el
radio de la base del cono y la altura del cono.
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23. Calcula la superficie y el volumen de la Tierra (supuesta prácticamente esférica)
sabiendo que su radio mide 6400 Kilómetros.
24. Calcula el área total y el volumen del cuerpo
geométrico que aparece en la figura de la derecha.
25. Un cono tiene 3 m de altura y un radio de 1 m.
Se desarrolla sobre un plano la superficie lateral de
este cono, obteniéndose un sector circular. Halla el
ángulo o abertura de dicho sector.
26.
Calcula el área y el
volumen
del
cuerpo
geométrico que aparece en la figura de la izquierda.
27. La cúpula semiesférica de una basílica tiene 10 m de radio.
¿Cuánto costará pintar su interior, si nos cobran 30,24 euros por
cada metro cuadrado?
28. Calcula el área de una zona esférica contenida en un
hemisferio, siendo los radios de sus bases 7 y 4 cm y la altura 3
cm.
29. Disponemos de un tubo cilíndrico de 4 cm de radio interior. Se
tapa dicho tubo por un extremo y se echa un litro (es decir, un
decímetro cúbico) de agua dentro del mismo. ¿Qué altura
alcanzará el agua dentro del cilindro?
30. El trapecio isósceles de la figura de la derecha gira alrededor
de la mediatriz común a sus dos bases. ¿Qué figura se forma?
Halla el área total y el volumen del cuerpo engendrado.
31.
A un triángulo rectángulo, de catetos 18 y 24 cm respectivamente, se le
circunscribe una circunferencia. Calcula:
a) El radio de la circunferencia.
b) El volumen engendrado por el semicírculo al girar 360º alrededor de la
hipotenusa.
c) El volumen engendrado por el triángulo al girar 360º alrededor de la hipotenusa.
(Fíjate en qué forma tiene ese volumen, ¿qué figuras componen dicho volumen?).
32. Sabiendo que la apotema de un tetraedro regular mide 8 cm, halla el área total y
el volumen del tetraedro.
33. Un prisma recto mide 6 metros de altura, su base es un rectángulo en el que uno
de los lados mide el doble del otro y el área total del prisma es de 144 m 2 . Calcula la
longitud de una de las diagonales del prisma.
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34. Dos monumentos tienen el mismo volumen. Uno es un cubo de 8 m de arista y el
otro es una pirámide regular, de base cuadrada de 8 m de lado. Calcula la altura, la
apotema y la longitud de la arista lateral de la pirámide.
35. De la figura anexa se conoce que EA = 2’5 cm, AB = 3
cm, BC = 1 cm y CD = 4 cm. Halla el volumen del cuerpo de
revolución engendrado al girar dicha figura alrededor de una
recta que contenga a CD.
36. Un balón esférico se introduce dentro de una caja cúbica
de 30 cm de arista, de tal manera que todas las caras de la
caja son tangentes al balón. Halla el volumen del balón y el
espacio vacío que queda dentro de la caja.
37. El radio de una naranja pelada, supuesta esférica, es de
6cm. Se descompone dicha naranja en 16 gajos iguales. ¿Qué forma tienen dichos
gajos? Calcula el volumen y la superficie total de un gajo cualquiera.
38. En un cono de altura h y radio 3cm se circunscribe a la base un triángulo ABC
equilátero. Los vértices del triángulo se unen con el vértice del cono. Se pide
a) El valor de h para que la pirámide triangular que se ha formado sea un
tetraedro.
b) Para ese valor de h hallado, calcular el volumen comprendido entre el tetraedro
y el cono.
39. Halla la altura de un casquete esférico, sabiendo que su área es de 25,26 m2 y
que el volumen de la esfera a la que pertenece es de 405,23 m3.
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