Funciones de Rm → Rn L´ımite de Funciones de Rm → Rn

Funciones de Rm → Rn
Una funcion f : Rn → Rm es una función cuyo dominio es un subconjunto Ω ⊂ Rn . Denotada
por f : Ω → Rm donde a cada x ∈ Rn f le asigna un vector f (x) ∈ Rm .
Ejemplo.- La función f (x, y) = x2 + y 2 asocia a la pareja (x, y) ∈ R2 el número real x2 + y 2 . El
dominio de f en este caso es todo R2
p
Ejemplo.- La función f (x, y, z) = 1 − x2 − y 2 − z 2 asocia a la terna (x, y, z) ∈ R3 el número
p
real 1 − x2 − y 2 − z 2 donde el dominio de f es
Domf = {(x, y, z) ∈ R3 |1 − x2 − y 2 − z 2 ≥ 0} = {(x, y, z) ∈ R3 |x2 + y 2 + z 2 ≤ 1}
Ejemplo.- La función f : R3 → 2 dada por f (x, y, z) = (x2 + y 2 + z 2 , x + y + z) asocia a la terna
(x, y, z) ∈ R3 el vector (x2 + y 2 + z 2 , x + y + z) ∈ R2 . Donde f tiene por dominio todo R3 , pero
su imagen contiene sólo los vectores R2 cuya primera coordenada es no negativa.
Ejemplo.- La función g : R3 → R2 dada por g(x, y, z) = (3x + 4, 3y + 5z) asocia a la terna
(x, y, z) ∈ R3 el vector (3x + 4, 3y + 5z) ∈ R2 a esta función podemos pensarla como un
producto de matrices es decir
 

 
 x

3x + 4y
3 4 0 


=

y 


3y + 5z
0 3 5
z
Definición.- Dada la función f : Ω ⊂ Rn → R, definimos su gráfica como el subconjunto Rn+1
{(x1 , ..., xn , f (x1 , ..., xn )) ∈ Rn+1 |(x1 , ..., xn ) ∈ Ω}
Lı́mite de Funciones de Rm → Rn
Definición.- Sea f : Ω ⊂ Rn → Rm , y sea x0 un punto de acumulación de Ω. Se dice que b Rm
es el lı́mite de f en x0 , y se denota por:
lı́m f (x) = B
x→x0
1
Si dado ε > 0, existe δ > 0 tal que kf (x) − bk < ε cuando xΩ, 0 < kx − x0 k < δ
Observación: Es necesarı́o que x0 sea punto de acumulacion de Ω. Usando la definición de
lı́mite, demostrar que:
x4 y 2
=0
(x,y)→(0,0) (x2 + y 2 )2
lı́m
Por
demostrar,
para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que 0 < k(x, y) − (0, 0)k < δ entonces
x4 y 2 1
1
2
2
2
4
2
2 2
≤ 4
(x2 + y 2 )2 < ε como x ≤ x + y entonces x ≤ (x + y ) entonces (x2 + y 2 )2 (∗)
x
∴
p
x4 y 2 x4 y 2 2
2
2
2
2 2
≤
x4 ≤ |y | = y ≤ ( x + y ) < δ
(x2 + y 2 )2 (∗)
∴
Si δ 2 = ε entonces δ =
√
ε
Proposición.- Sea f : R2 → R tal que
lı́m
f (x, y) = L
(x,y)→(a,b)
Entonces para una función real y continua g definida en un entorno da a tal que g(a) = b
se tiene que
lı́m f (x, g(x)) = L
x→a
Demostración: Por la existencia del lı́mite doble, dado > 0 existe un δ > 0, tal que
k(x, y) − (a, b)k < δ ⇒ kf (x, y) − Lk < .
Ahora por la continuidad de g, dado δ > 0 existe σ > 0, con 0 < σ < δ tal que:
|x − a| < σ ⇒ |g(x) − b| < δ.
Por tanto, si |x − a| < σ, se tiene que k(x, g(x)) − (a, b)k < δ. Con lo cual,
kf (x, g(x)) − Lk < 2