ejercicios resueltos

T3: TRIGONOMETRÍA
1º BCT
7. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
LA TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA
El radio de una circunferencia mide 1,25 cm. Halla el ángulo que forman las tangentes a la
circunferencia desde un punto situado a 4,8 cm del centro.
A
4,8
O
α
P
B
Solución
Una recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio que une el punto de tangencia con el
centro.
Por tanto los triángulos AOP y BOP son rectángulos.
Además, son iguales ya que tienen iguales dos lados y el ángulo comprendido.
Consideremos el triángulo OAP:
A
sen x =
4,8
1,25
= 0,2604 → x = 15,09º = 15º 5´24´´
4,8
1,25
x
O
P
Por tanto el ángulo α = 2x = 30º 10´48´´
CÁLCULO DE LA PROYECCIÓN DE UN SEGMENTO SOBRE UNA RECTA
Una marquesina mide 7,20 m y tiene una inclinación de 25º. ¿Cuál es el ancho del pasillo al que
protege de la lluvia?
α
p
Solución
Sea p = ancho del pasillo.
7,2 m
25º
cos 25º =
p
→ p = 7,2 · cos 25º = 7,2 · 0,906 = 6,523 m
7,2
La longitud del pasillo es 6,523 m
P
Luisa Muñoz
1
T3: TRIGONOMETRÍA
1º BCT
LADOS DESCONOCIDOS
Calcula el valor de x, y, z, t
2 cm
z
t
45º
22º
y
x
5 cm
Solución
Empleando el triángulo ABE, obtenemos:
cos 22º =
D
5
5
5
→t=
=
= 5,37
t
cos 22º 0,93
2 cm
t = 5,37 cm
tg 22º =
z
E
EB
→ EB = 5tg 22º = 5·0, 404 = 2,02
5
t
EB = 2,02 cm
45º
22º
A
y
x
5 cm
C
B
Empleando el triángulo BEC, obtenemos:
cos 45º =
tg 45º =
EB
EB
2,02
→y=
=
= 2,86 → y = 2,86 cm
y
cos 45º 0,707
x
→ x = EB = 2,02 → x = 2,02 cm
EB
Empleando el triángulo BDC, obtenemos:
DB + x = z → z = 2,02 + 4,02 = 20,24 → z = 4,498 cm
2
2
2
2
2
2
RADIO DE UNA CIRCUNFERENCIA
Halla el radio de una circunferencia sabiendo que una cuerda de 24, 6 cm su arco correspondiente
mide 70º.
Solución
La cuerda junto con los dos radios forma un triángulo isósceles:
Aplicando la definición de seno:
70º
r
r
35º
sen 35º =
12,3
12,3
12,3
→ r=
=
= 21,58
r
sen 35º 0,57
Por tanto, el radio mide 21,58 cm
24,6 cm
Luisa Muñoz
12,3
2
T3: TRIGONOMETRÍA
1º BCT
DIAGONALES DE UN PARALELOGRAMO
Dos lados de un paralelogramo miden 18 cm y 32 cm y forman un ángulo de 60º. Calcula la longitud de
las diagonales del paralelogramo.
A
B
18 cm
60º
D
C
32 cm
Solución
En primer lugar vamos a calcular la altura h y la proyección del
lado CB sobre el lado DC, x.
A
B
18 cm
Una vez calculado estos dos valores, aplicando Pitágoras
calcularemos las dos diagonales.
18
⇔
h
60º
D
sen 60º =
h
→ h = 18 · sen 60º = 15,6 cm
18
cos 60º =
x
→ x = 18 · cos 60º = 9 cm
18
x
h
60º
C
32 cm
x
O
Empleando el triángulo OBD, calculamos la diagonal DB:
B
A
2
2
DB = OB + OD
2
18
OD = 32 + 9 = 41
DB = 15,6 + 41 → DB = 46,56 cm
2
2
2
15,6
D
32
9
O
Trazamos la altura correspondiente al vértice A, obteniendo el triángulo APC.
B
A
Aplicando Pitágoras:
2
2
AC = AP + PC
18
2
15,6
32
D
PC = 32 – 9 = 23
P
C
9
2
2
2
AC = 23 + 15,6
Luisa Muñoz
→ AC = 27,79 cm
3
T3: TRIGONOMETRÍA
1º BCT
ÁREA DE UN TRIÁNGULO
La base de un triángulo isósceles mide 10 cm y el ángulo opuesto 50º. Halla el área y sel perímetro.
Solución
Para calcular el área, previamente hay que calcular la altura del triángulo.
Al trazar la altura del triángulo dividimos éste en dos triángulos rectángulos iguales:
Aplicando la definición de tangente:
50º
tg 25º =
25º
h
h
5
5
5
→ h=
=
= 10,87
h
tg 25º 0, 46
La altura mide 10,87 cm
5
10 cm
Calculamos el área:
A=
El área mide 54,35 cm
sen 25º =
10,87·10
= 54,35
2
2
5
5
5
→ x=
=
= 11,82 → Perímetro: 10 + 2 · 11,82 = 33,64 cm
x
sen 25º 0, 423
ÁREA DE UN HEXÁGONO REGULAR
Calcular el área de un hexágono regular de lado 6 cm.
Solución
El hexágono regular se divide en 6 triángulos equiláteros de 6 cm de lado.
Para calcular el área, previamente hay que calcular la apotema del hexágono, que coincide con la altura del
triángulo equilátero.
Al trazar la altura del triángulo dividimos éste en dos triángulos rectángulos iguales:
6
a
60º
6
a
60º
6
a
60º
Calculamos la altura del triángulo:
a = 6 · sen 60º = 3 3 cm
Calculamos el área del hexágono:
Área del hexágono =
p·a
36·3 3
2
=
= 54 3 cm
2
2
También se puede calcular:
Área del hexágono = 6 · área triángulo = 6·
Luisa Muñoz
6·3 3
2
= 54 3 cm
2
4
T3: TRIGONOMETRÍA
1º BCT
ALTURA SOBRE LA HIPOTENUSA
Dado un triángulo ABC, rectángulo en A, si tg B =
4
3
y la hipotenusa vale 20 cm, calcular sin
determinar el ángulo B el área y perímetro del triángulo ABD, siendo D el punto donde la altura
correspondiente al vértice A corta a la hipotenusa.
Solución:
C
Empleando el triángulo ABC:
AB
→ AB = BC · cos B
BC
16
25
5
3
1 + tg2 B = sec 2 B → 1 +
= sec 2 B → sec 2 B =
→ sec B = → cosB =
9
9
3
5
3
AB = BC · cos B = 20 · = 12 → AB = 12 cm
5
D
cosB =
B
A
Empleando el triángulo ABD:
AD
→ AD = AB · sen B
AB
sen B =
cosB =
3
9
16
4
→ sen2B = 1 − cos2 B = 1 −
=
→ sen B =
5
25 25
5
AD = AB · sen B = 12 ·
cosB =
4
= 9,6 → AD = 9,6 cm
5
DB
3
→ DB = AB · cos B = 12 · = 7,2 → DB = 7,2 cm
AB
5
Área del triángulo ABD:
A=
DB · AD 7,2 · 9,6
2
=
= 34,56 → A = 34,56 cm
2
2
Perímetro del triángulo ABD:
P = AD + DB + AB = 9,6 + 7,2 + 12 = 29,8 → P = 29,8 cm
ÁREA TRAPECIO RECTÁNGULO
Calcular el área de un trapecio rectángulo cuya base menor mide 4 cm, su lado oblicuo 5 cm y uno de
sus ángulos mide 60º.
Solución:
Cálculo de la altura:
A
4 cm
B
sen 60º =
BH
→ BH = BD · sen 60º = 5 · sen 60º = 4,3 → h = 4,3 cm
BD
5 cm
60º
C
H
D
Cálculo de la base mayor:
HD
cos 60º =
→ HD = BD · cos 60º = 5 · cos 60º = 2,5 → HD = 2,5 cm
BD
CD = 4 + 2,5 = 6,5 cm
Cálculo del área:
A=
Luisa Muñoz
(B + b)h (6,5 + 4) · 4,3
2
=
= 22,57 cm
2
2
5