Curso de: FÍSICA FUNDAMENTAL I (código 106004M) UNIDAD 4: Movimiento rotacional de cuerpos extensos Carlos Uribe Gartner carlos.uribe@correounivalle.edu.co Mayo 2011 ¿Por qué es más fácil mantener el equilibrio sobre una bicicleta en rápido movimiento que cuando se mueve lentamente? ¿Qué efecto tiene la masa de la polea en la “máquina de Atwood” (ver figura 5.47 del texto guía, página 195) o en tantos otros sistemas dinámicos estudiados en la unidad 2? Estos dos problemas, que podremos resolver al terminar esta unidad, tienen en común que en ellos es esencial el movimiento rotacional de un cuerpo extenso, en el primero el de las ruedas de la bicicleta y en el segundo el de la polea. Así pues, terminaremos el curso estudiando en esta última unidad estos y otros fenómenos similares de movimiento colectivo coordinado de un cuerpo, que ya no es modelable como una única partícula puntual, puesto que nuestro interés ahora no es su movimiento de traslación como un todo, sin considerar los cambios en la orientación espacial del cuerpo, sino precisamente estos últimos cambios, o en otras palabras su rotación. Una rueda de bicicleta girando alrededor de su eje fijo al marcoes un sistema compuesto por muchas partículas, cada una de las cuales se mueve con movimiento circular sincrónico. Suponemos que las fuerzas de cohesión mantienen la forma de la rueda, lo cual nos permite considerarla como un cuerpo rígido. En este modelo, la “posición rotacional” de la rueda se describe mediante una variable o coordenada angular: basta especificar el ángulo descrito entre un radio particular y una dirección fija en el espacio (por ejemplo la horizontal) para determinar la posición en el espacio de todas las partes de la rueda. Por esta razón la descripción cinemática del movimiento circular de una partícula, vista en la unidad 1, continúa siendo aplicable. La derivada temporal de la posición rotacional es la “velocidad rotacional” (o angular) de la rueda, o lo que es igual, la velocidad angular de cada una de las partículas que la constituyen en su movimiento circular. Igual sucede con la aceleración angular, la derivada temporal de la velocidad angular. Sin embargo, es evidente que la “rapidez lineal” de las partículas que forman la rueda (su rapidez simple) es variable, siendo proporcional a su distancia al eje o punto fijo. Esta dependencia implica que la energía cinética de la rueda, la suma de las energías cinéticas de las partículas que la forman, depende también de la distribución de la masa de la rueda en torno al eje: las partículas más lejanas aportan más energía cinética. Ahora bien, para poner en movimiento la rueda desde el reposo hasta una cierta velocidad angular debemos hacer un trabajo sobre ella que le proporcione la correspondiente energía cinética, tanto mayor cuanto mayor sea el coeficiente que relaciona ésta con la velocidad angular; por este motivo este coeficiente se denomina “inercia rotacional” (en su lugar se suele usar el término menos significativo „momento de inercia‟), el cual desempeña un papel análogo al de la masa en el contexto del movimiento rotacional. El producto de la inercia rotacional por la velocidad rotacional es una magnitud física de primordial importancia, denominado “cantidad de movimiento angular”. Es patente su analogía con la cantidad de movimiento (lineal), el producto de la inercia (lineal) por la velocidad (lineal). Esta nueva magnitud es una de las magnitudes fundamentales en la física, a la par de la energía y la cantidad de movimiento, porque también satisface una ley de conservación: la cantidad de movimiento angular de su sistema aislado cualquiera de partículas en interacción mutua (no necesariamente un cuerpo rígido), es constante. La analogía entre las cantidades de movimiento lineal y angular va más allá. Recuérdese que la razón de cambio de la primera, referida a un cuerpo determinado, es la fuerza neta que actúa sobre ese cuerpo. Pues resulta que la derivada de la cantidad de movimiento angular de un cuerpo es igual a lo que podría llamarse el “poder rotacional” de las fuerzas aplicadas al cuerpo. Más precisamente, es igual al “torque” (o “momento de torsión”) neto de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo, siendo el torque de una fuerza una cantidad que se define como el producto de la magnitud de la fuerzaporel llamado “brazo de palanca” de la fuerza con respecto al eje de giro. Así pues, hay una semejanza conceptual y estructural entre la dinámica lineal estudiada en la unidad 2 y la dinámica rotacional estudiada en esta unidad, de la cual podemos valernos como facilitación para el aprendizaje de esta última, bastante alejada de la experiencia ordinaria. Gracias a este hecho, en esta unidad no nos enfrentamos a un pensamiento intuitivo que obstaculice la comprensión de los conceptos introducidos. En contrapartida, muchos estudiantes se sienten incapacitados de seguir el desarrollo matemático del tema al no ser capaces de visualizarlo concretamente en su totalidad. Es importante en tales Módulo 1. Inercia y energía rotacionales casos limitarse en un primer momento a entender el desarrollo paso a paso, los cuales suelen ser fácilmente comprensibles considerados individualmente. Esta unidad se desarrolla casi enteramente en la modalidad de estudio independiente orientado, pues se espera que el objetivo del “aprender a aprender” que ha guiado la metodología seguida durante este curso haya dado ya sus frutos, de modo que los estudiantes tengan la actitud y la habilidad de leer comprehensivamente textos científicos sin un acompañamiento cercano por parte del docente, como sucede en la vida profesional. La unidad está dividida en dos módulos. El primero introduce los conceptos de momento de inercia, de energía (cinética) rotacional, y de energía potencial gravitacional de un cuerpo extenso, permitiendo así resolver una gran cantidad de ejercicios y problemas como el de la máquina de Atwood mediante métodos energéticos. El segundo módulo introduce los conceptos de cantidad de movimiento angular y torque, permitiendo comprender el equilibrio de la bicicleta en movimiento, entre otros muchos fenómenos que involucran objetos en rotación. Pero mientras en el primer módulo nos ceñiremos de cerca al capítulo 9 del texto guía, en la introducción del concepto de cantidad de movimiento angular seguiremos una vía más conceptual y menos formal, tomando como base la analogía entre el movimiento de traslación y el movimiento de rotación alrededor de un eje fijo de la cual hemos hablado en el párrafo anterior (aunque el concepto de torque sí será introducido formalmente, siguiendo las secciones 10.1 y 10.2 del texto guía). Estructura delaunidad 1 2 Módulo Inercia y energía rotacionales Objetivo El estudiantecomprenderá conceptual y operativamente los conceptos mediante los cuales se pueden resolver por métodos energéticos algunos problemas de dinámica rotacional Conservación de la cantidad El estudiante adquirirá las nociones básicas sobre las que se apoya esta ley fundamental de la naturaleza, pudiendo de movimiento angular aplicarla cualitativamente para explicar fenómenos en los que desempeña un papel esencial TIEMPO ESTIMADO: TRABAJO INDEPENDIENTE: DISCUSIÓN EN CLASE: 8 horas 2 horas EVALUACIÓN: Los módulos 3 y 4 se evaluarán conjuntamente en un tercer parcial (15% de la nota final), además de su contribución a las notas grupal (30%) e individual (10%). UNIDAD 4: Movimiento rotacional de cuerpos extensos Pág. 2 de 9 Módulo 1. Inercia y energía rotacionales Este módulo continúa el desarrollo matemático iniciado en la unidad 3, módulo 3, tratando un caso particular de un sistema de muchas partículas: aquél en el que las fuerzas internas entre las partículas del sistema son tan grandes que impiden por completo la deformación del sistema. Desde luego, esta suposición nunca se cumple exactamente. Estamos pues ante un nuevo modelo (idealizado) de la física, el de “cuerpo perfectamente rígido”. La distancia entre las partículas que forman el sistema y su orientación relativa no cambian, por lo cual el número de variables necesarias para especificar de modo completo la configuración espacial del sistema se reduce a seis: las tres coordenadas de posición de un punto del cuerpo (por lo general el centro de masa), y tres ángulos que miden la orientación de unas rectas fijas al cuerpo (X‟, Y‟, Z‟) con respecto a los ejes del marco de referencia inercial X, Y, Z. Un caso todavía más particular es el de “rotación alrededor de un eje fijo”, al que nos restringimos en este curso. En este caso el ángulo entre la recta Z‟ y el eje de coordenadas Z es siempre cero. En otras palabras, ambas rectas son siempre paralelas; si describimos el movimiento del sistema en el marco de referencia del centro de masa1 podemos simplificar todavía más la física pues entonces las direcciones Z y Z‟ serán coincidentes, constituyendo el “eje de rotación”. Es fácil ver entonces que en ese caso el plano X‟Y‟ coincide con el plano XY, y el ángulo entre X‟ y X es siempre igual al ángulo entre Y‟ y Y. En consecuencia, en este caso la orientación del cuerpo está determinada por una única “coordenada angular”, a la que designaremos consistentemente con la letra griega (theta). Como el centro de masa permanece en reposo, visto desde el centro de masa, estaremos ante un caso de verdadero movimiento unidimensional a pesar de que cada una de las partículas del sistema sigue una trayectoria circular. La razón de ello es que una única variable describe la “posición” del sistema, es decir su orientación respecto a una dirección fija en el espacio, la dirección X. En consecuencia, la cinemática del movimiento se reduce a la cinemática del movimiento rectilíneo, con una única diferencia: la dirección de la velocidad angular como vector se define como la dirección del eje de rotación, el eje Z, estando su sentido definido convencionalmente por la llamada “regla de la mano derecha”. Desde luego, cuando de la cinemática del movimiento rotacional pasamos a su dinámica aparecen complicaciones que no están presentes en el movimiento de traslación rectilínea. Aunque en cierto sentido es posible seguir tratándolo como un proceso unidimensional (siempre que el eje de rotación esté fijo), el hecho de que las partículas que forman el sistema estén dotadas individualmente de diferentes movimientos de traslación circular hace más compleja la dinámica del sistema. Afortunadamente los métodos de energía permiten reducir grandemente esa complejidad en aquellos problemas en los que el tiempo no es un factor relevante. En consecuencia, el objetivo del módulo es aprender a usar estos métodos para resolver una gran cantidad de problemas como el de la máquina de Atwood mencionado en la introducción de la unidad. De esta manera continuaremos afianzando las competencias adquiridas en la unidad 3 y a la vez adquiriendo nuevos conceptos de gran potencia, entre los que destaca por su novedad el de inercia rotacional. Objetivo: El estudiante comprenderá conceptual y operativamente los conceptos mediante los cuales se pueden resolver por métodos energéticos algunos problemas de dinámica rotacional 1 Suponiendo que éste se mueve con velocidad constante con respecto a cualquier otro sistema de referencia inercial, de modo que el sistema de referencia fijo al centro de masa sea también inercial. Módulo 1. Inercia y energía rotacionales Desarrollo del módulo 1. Estudie el capítulo 9 del texto guía, excluyendo la sección 9.6 (esta última sección es esencialmente un capítulo del curso de cálculo integral, en la que se justifican los resultados de la tabla 9.2, los cuales serán tomados en este curso como datos). Lo esencial del capítulo es la sección 9.4, y las ecuaciones 9.16 y 9.17, que introducen los conceptos claves, la inercia y la energía rotacionales, y ejemplifica cómo usar los métodos energéticos para resolver problemas de dinámica rotacional. Las secciones 9.1 y 9.2 son una especie de repaso de la cinemática unidimensional (capítulo 2 del texto guía); lo nuevo que contienen son las definiciones de los vectores velocidad angular y aceleración angular. Es muy importante dominar a fondo el concepto de radián como unidad de medida angular, puesto que la coordenada angular debe medirse obligatoriamente enesta unidad, según la ecuación 9.1. Esta ecuación es el punto de partida de las ecuaciones, discutidas en la sección 9.3, que relacionan las velocidades lineales de las partículas del sistema con su velocidad angular, y las aceleraciones lineales de aquellas con la aceleración angular del sistema (o de las partículas del sistema). Por último, la breve sección 9.5 demuestra un importante y útil teorema matemático referente a la inercia rotacional, el teorema de los ejes paralelos. 2. Discusión en clase (1 hora) 3. Realice con su grupo de estudio el taller 2, que debe ser sustentado aleatoriamente por alguno de los miembros del grupo. Habrá disponible un horario de asesoría para cada grupo en el que se resolverán las dudas. Evaluación: El taller 2 (ver desarrollo, n.3) aplica el tema específico del módulo integrando los contenidos de las anteriores unidades, por lo cual constituye una evaluación global del curso. Taller 2 1. 2. Resuelvan los problemas 9.72, 9.88, 9.92, 9.95 Resuelvan el siguiente problema: Sobre un plano inclinado radianes con respecto a la horizontal se coloca un bloque en reposo de masa m1 atado a una cuerda de masa despreciable, en cuyo otro extremo se ata otro bloque de masa m2 que cuelga como se muestra en la figura. La cuerda pasa por una polea sin fricción en el eje de rotación, cuyo radio es R y cuyo momento de inercia es I. Sea µs y µk los coeficientes estático y dinámico de rozamiento entre la superficie del plano y del bloque 2. Considere las siguientes magnitudes derivadas de los parámetros del sistema: Desbalance de masa Masa total efectiva (∆M) = (Mtotal) = m1 sen – m2 m1 + m2 + I / R2 1. Demuestre que el sistema permanece en reposo si µs es suficientemente grande, satisfaciendo la desigualdad . En caso contrario, demuestre que el sistema comienza a acelerarse desde el reposo con aceleración de magnitud , siendo: Meficaz = |∆M| µk m1cos > 0 (1). Demuestre también que el sentido de la aceleración de m2 depende del signo del desbalance de masa, siendo hacia arriba si es positivo o hacia abajo si es negativo (analice lo que pasa si ∆M es cero). Nota: asuma que µs>µk UNIDAD 4: Movimiento rotacional de cuerpos extensos Pág. 4 de 9 Módulo 1. Inercia y energía rotacionales 2. ¿Bajo qué condiciones el sistema puede moverse con rapidez constante? 3. Verifique que el comportamiento del sistema en los casos límite 0° y /2 sea razonable. 4. Discuta con sus compañeros el significado de los conceptos que hemos denominado “Desbalance de masa”, “Masa total efectiva”, “Masa eficaz”. En otras palabras, deben responderse preguntas como las siguientes: ¿Cómo se interpreta o explica la aparición de tales combinaciones aritméticas de los parámetros del sistema en las expresiones que se han demostrado? ¿Cómo se interpretan los distintos términos (en el sentido matemático de la palabra en negrillas) que aparecen en tales combinaciones aritméticas de los parámetros del sistema? ¿Por qué se describen o designan tales combinaciones con los nombres (o „términos‟, en el sentido lingüístico de la palabra) que hemos empleado para referirnos a ellas? UNIDAD 4: Movimiento rotacional de cuerpos extensos Pág. 5 de 9 Módulo 2: Conservación de la cantidad de movimiento angular ¿Por qué la Tierra ha estado rotando sobre sí misma desde hace unos cinco mil millones de años alrededor de un mismo eje con una velocidad angular esencialmente constante? Podríamos intentarexplicar este hecho por la conservación de su energía cinética rotacional inicial, pues a juzgar por las situaciones estudiadas en el primer módulo, para cambiar esta energía sería necesario algo así como amarrar un gigantesco cordel alrededor del ecuador y tirar de él tangencialmente. Pero esta explicación serviría quizás para explicar la constancia de la magnitud de la velocidad angular, pero no para explicar la constancia de la dirección del eje, tanto en relación al espacio (¿por qué no se vuelca la tierra 90°, de modo que el polo norte apunte directo hacia el sol, como sucede en algunas películas de “ciencia” ficción?) como en relación a su geografía (¿por qué la posición de los polos no se desplaza hacia otros puntos de la superficie terrestre?). Ambos cataclismos podrían ser compatibles con la conservación de la energía, pero violarían un principio fundamental de la física, el indicado en el título. Este principio explica igualmente que todos los planetas del sistema solar orbiten alrededor del sol en el mismo sentido (el contrario a las manecillas del reloj si vemos los planetas por arriba, entendiendo por „arriba‟ la dirección en la que se ve el polo norte de la tierra) y muchísimos otros fenómenos celestes y terrestres, como el baile de los trompos de juguete. De allí que comparta un status similar a los principios de conservación de la cantidad de movimiento (lineal), de la energía y de la carga eléctrica (hay otros principios de conservación referentes a las interacciones nucleares fuertes y débiles). En este módulo se hará una breve introducción informal de las importantes nociones de “cantidad de movimiento angular” y de “torque de una fuerza”, que completan el repertorio conceptual de la mecánica newtoniana. En lugar de un desarrollo formal y detallado del tema, que requiere una matemática avanzada (álgebra tensorial), la discusión utiliza la analogía del movimiento rotacional y el lineal mencionada en la introducción de la unidad. En los cursos avanzados de mecánica analítica se estudia formalmente el tema. Objetivo: El estudiante adquirirá las nociones básicas sobre las que se apoya la ley de conservación de la cantidad de movimiento angular, una de las leyes fundamentales de la naturaleza, pudiendo aplicarla cualitativamente para explicar fenómenos en los que desempeña un papel esencial. Desarrollo del módulo (guía de lectura): 1. 2. 3. Lea la sección 10.1 del texto guía, en la que se repasa y profundiza el concepto de momento de torsión o torque de una fuerza respecto a un punto. La idea básica es sencilla, puespertenece a nuestra física práctica o cotidiana, que en este punto no nos engaña. La complejidad estriba únicamente en el disfraz matemático de esta idea, en la que por primera vez en este curso se utiliza el producto vectorial o producto cruz entre dos vectores (estudie la sección 1.10 para recordar esta operación vectorial). Pero lo importante, teniendo en cuenta el objetivo del módulo, no es dominar esta matemática sino comprender el concepto, a partir de la situación analizada, el aflojamiento de un perno con una llave de tuercas (compare la figura 10.1 con la figura 10.5: ¿cuál es el papel del tubo en la última situación?). Estos análisis deben llevarle a ver el torque como la medida del “poder de generar rotación alrededor de cierto eje”. Lea la parte teórica de la sección 10.2. Aquí se obtiene el “análogo rotacional de la segunda ley de Newton para un cuerpo rígido”, ec. (10.6), que relaciona el torque con la inercia rotacional y la aceleración angular. El razonamiento físico-matemático es un poco más complejo pero tampoco es del otro mundo, pero de nuevo no es lo más importante. Interprete esta ecuación, comparando los términos que aparecen en ella con los que aparecen en la segunda ley de Newton, y así aumentará su comprensión de la noción de torque. Lea la sección 10.5, en la que se introduce el concepto de cantidad de movimiento angular, inicialmente para una partícula, y luego para un cuerpo que rota alrededor de un eje de “simetría axial” (como un Módulo 2: Conservación de la cantidad de movimiento angular 4. 5. cilindro o una rueda de bicicleta perfectamente equilibrada o balanceada). El razonamiento que lleva desde la DEFINICIÓN (10.27) ( = ) al teorema (10.31) ( = ) exige un cierto vuelo imaginativo y algo de paciencia y perseverancia, pero si se pierde algún detalle no se preocupe, pues este tema será objeto de estudio más adelante con una herramienta matemática más poderosa. Lo importante es interpretar el resultado final (ecuación 10.31) en términos de la analogía lineal-rotacional. Examine también con cuidado la ecuación (10.32), que por decirlo así “cierra” la analogía, haciéndola completa y no dejando ningún cabo suelto (¿A qué expresión de la dinámica línea corresponde?) Por último, lea la sección 10.6, en la cual llegamos a nuestro objetivo. Es importante comprender los ejemplos 10.13 y 10.14, que le permitirán dar mayor significado concreto a esta ley. Otra situación en la que esta ley debe invocarse es la del equilibrio en la bicicleta, con la cual iniciamos el módulo. El recuadro 1 presenta la explicación del fenómeno como una consecuencia de la conservación de la cantidad de movimiento angular. Antes de leerlo trate Usted mismo de resolver el problema, al menos mentalmente, y luego enriquezca su razonamiento con el que se presenta en el recuadro. Discusión en clase (1 hora) Evaluación El aprendizaje de los contenidos temáticos del módulo no será objeto de evaluación con vistas a la calificación del curso, pues como se dijo anteriormente cualquier abordaje con la mínima profundidad requiere un tiempo y unas herramientas matemáticas de las que no se dispone en este curso. El tema se trata aquí para completar la presentación de los conceptos fundamentales de la mecánica newtoniana y de los principios de conservación, dejando bajo la autonomía del estudiante la responsabilidad de su aprendizaje. Para facilitarlo, considere por ejemplo las siguientes preguntas (dependiendo de su interés en el tema le sugerimos considerar las preguntas para análisis pertinentes del final del capítulo): Preguntas de comprensión (autoevaluación) 1. 2. 3. En el caso de la rotación de un cuerpo rígido con simetría axial alrededor del eje de simetría, tanto la energía cinética rotacional como la cantidad de movimiento angular son combinaciones algebraicas del mismo par de magnitudes básicas, una de las cuales es una propiedad del cuerpo y la otra es una variable del movimiento. a. Exprese la energía cinética rotacional en función de la cantidad de movimiento angular y viceversa b. Discuta las diferencias conceptuales entre ambas magnitudes Una fuerza es “central” si está dirigida siempre hacia un mismo punto, el “centro de fuerza”. a. Muestre que la fuerza gravitatoria debida a una masa muy grande sobre una masa muy pequeña, tal que se puede despreciar el movimiento de la masa grande debido a su atracción por la masa pequeña, es una fuerza central b. Muestre que la cantidad de movimiento angular de la masa pequeña con respecto al centro de fuerza, dónde está localizada la masa grande, es constante2 Los fusiles de precisión tienen su superficie interior en forma de hélice con el fin de proporcionar a la bala una velocidad angular en la dirección de su vector velocidad lineal. Explique para qué se hace esto. Recuadro 1: ¿Qué es lo que mantiene en equilibrio a una bicicleta en movimiento? Sabemos lo difícil que es mantener el equilibrio sobre una bicicleta en reposo traslacional. Para ello se necesita que el sistema ciclista+bicicleta esté exactamente vertical, lo que significa que el plano geométrico formado por el centro de masa de este sistema y los dos puntos de apoyo del sistema en cada rueda,es perpendicular a la superficie de la Tierra. Este estado de equilibrio es inestable (ver texto guía, sección 7.5): la energía potencial gravitatoria del sistema es máxima. En efecto, cualquier desplazamiento del centro de 2 De este resultado puede demostrarse la ley de Kepler de las áreas: una línea que va desde el Sol hasta un planeta dado barre áreas iguales en tiempos iguales (ver sección 12.5 del texto guía). UNIDAD 4: Movimiento rotacional de cuerpos extensos Pág. 7 de 9 Módulo 2: Conservación de la cantidad de movimiento angular masa de la bicicleta a izquierda o derecha, o lo que es igual cualquier inclinación lateral de la bicicleta, hace que la altura del centro de masa disminuya (¿Por qué?), y con ello la energía potencial. Por tanto, surgirá un “torque desequilibrante” (debido al peso del sistema y al brazo de palanca que surge por la perturbación), que hará que la bicicleta se incline más todavía, y ya tenemos al ciclista cayéndose. Es fácil ver que este torque tiene una direcciónparalela al piso y en la dirección en Vista desde atrás que se mueve la bicicleta (ver figura 1). Pero esto sucede, tanto si el sistema está en reposo traslacional, o si está en movimiento. ¿Por qué en este último caso la z bicicleta se mantiene en ese equilibrio inestable, desafiando la ley de la gravedad? Peso de la rueda = x Las leyes de conservación estudiadas antes, de la cantidad de movimiento lineal o de la energía.nopueden explicar este hecho paradójico. Ambas nos dicen que el sistema como un todo tenderá a Figura 1. Vista de una rueda de bicicleta cuando seguir en movimiento hacia adelantea menos que una está empezando a volcarse. La cruz representa el fuerza lo detenga, sin importar la orientación espacial torque, un vector perpendicular al plano del papel y del sistema. Por ello, si un infortunado ciclista pierde el que apunta hacia adentro de la página, que en este equilibrio por alguna razón, el suelo se encarga de caso coincide con la dirección y (si apuntara hacia detenerlo a costa de su integridad corporal. Así pues, se el lector se representaría como un punto dentro del requiere otra explicación del hecho de que el plano de la círculo). bicicleta se mantenga vertical, y resista a las perturbaciones que la harían volcarse si no estuviera en movimiento. Esa explicación nos la ofrece el hecho de que las ruedas de la bicicleta están girando, y por tanto tienen una determinada cantidad de movimiento angular respecto al eje de las ruedas, proporcional en magnitud a la rapidez lineal de la bicicleta3, y cuya dirección es la del eje de giro, perpendicular al plano de la rueda. Es precisamente el hecho de que la cantidad de movimiento angular sea de naturaleza intrínsecamente vectorialo direccional lo que explica el mantenimiento del equilibrio, pues la conservación de tal magnitud significa que el vector que representa dicha magnitud no cambia, ni en magnitud ni en dirección, a menos que se aplique un torque (ecuación 10.32). Así pues, es necesarioaplicar un torque para cambiar la dirección del eje de rotación (incluso si no cambia la rapidez angular angular), o lo que es igual para modificar el plano de giro, pues la dirección de coincide con la del eje. Recordemos que lo mismo sucede con el movimiento traslacional por la conservación de la cantidad de movimiento lineal, también una magnitud de naturaleza intrínsecamente vectorial. Para cambiar la dirección del movimiento de traslación de un cuerpo debemos aplicar una fuerza, incluso si no se cambia su rapidez. Así sucede en el caso del movimiento circular uniforme, en el que la fuerza aplicada es perpendicular a la velocidad y por tanto a la cantidad de movimiento misma. Lo que antes llamamos el “torque desequilibrante”, el torque debido al peso del sistema ciclista-bicicleta (con respecto al punto de contacto) y a un pequeño desplazamiento lateral va en la dirección y (ver figuras 1 y 2). Si es cero (bicicleta en reposo) la acción de este torque es impartir a la bicicleta una velocidad angular en torno a dicho eje; en consecuencia, la bicicleta se vuelca, como ya vimos. y (t+ t) x o Figura 2. La misma rueda de la figura 1 vista por encima, pero ahora girando. Se ha exagerado la magnitud del vector . 3 Esto es así siempre que la bicicleta está rodando sin resbalar. Es decir, si el punto de la rueda que está en contacto con el suelo está “instantáneamente” en reposo respecto al suelo. En la sección 10.3 del texto guía se discute el movimiento de rodadura, es decir el movimiento combinado de traslación y rotación de una rueda o esfera sobre una superficie no lisa. Pero no es necesario utilizar ecuaciones para darse cuenta de que mientras más rápido se traslada la bicicleta más rápido deben girar las ruedas (la relación es de proporcionalidad directa, siendo el radio R de las ruedas el coeficiente de proporcionalidad:vtraslación = R ruedas). UNIDAD 4: Movimiento rotacional de cuerpos extensos Pág. 8 de 9 Módulo 2: Conservación de la cantidad de movimiento angular La razón es que el efecto del torque es ahora producir un cambio en la cantidad de movimiento angular de la rueda, que sumado a su valor inicial nos da un vector (t+ t)que está en el mismo plano horizontal pero un poco rotado hacia el eje x (ver figura 2). Por tanto, la perturbaciónque produjo el torque desequilibrante se compensa inconscientemente por el ciclista con el manubrio antes de que el torque “tenga tiempo”, por decirlo así, de desviar a la derecha el rumbo de la bicicleta (en el caso en que la bicicleta esté empezando a inclinarse hacia ese lado; si la perturbación inclina la bicicleta hacia la izquierda el torque va en la dirección – y, en consecuencia, la rueda tendería a girar a la izquierda). El hecho de que la rueda produzca dos respuestasrotacionales muy diferentes frente al “torque desequilibrante”, dependiendo de si está o no en rotación, se puede comprender con una situación traslacional análoga. Imagine una pelota atada a un cordón. Si la pelota está en reposo (cantidad de movimiento inicial cero) y Ud. tira del cordón, la pelota se moverá hacia Ud. Pero si la pelota ya se está moviendo en dirección perpendicular al cordón (cantidad de movimiento inicial distinta de cero), el efecto de tirar del cordón continuamente será ahora muy diferente. La dirección de la cantidad de movimiento de la pelota cambiará continuamente, moviéndose ésta en una trayectoria circularalrededor de Ud. Desde luego que el análisis realizado es bastante “primitivo”, desde el punto de vista de la teoría física formalizada. Es decir, se han pasado por alto un buen número de complicaciones matemáticas presentes en esta situación, cuya complejidad es tal que en cierta forma escapa a las posibilidades de análisis de la física. Esto significa que debemos contentarnos con un estudio más bien cualitativo, sin que podamos predecir en detalle el comportamiento del sistema (que incluye al ciclista con sus propiedades mentales)4. ********** EPÍLOGO: ¿A DÓNDE HEMOS LLEGADO? Durante todo el curso no hemos hecho más que intentar responder una única pregunta, aquella que nos planteamos en el lectura 1: ¿Cómo describir, analizar y explicar matemáticamente el movimiento de los cuerpos a nuestro alrededor, de modo que sea posible predecir su posición, su velocidad y su aceleración en cualquier instante? Es la hora de hacer un balance final y apreciar el arduo camino recorrido, y saber lo que nos falta para llegar a la meta. Porque este curso es apenas un primer paso. Cuando Ud. leyó esta pregunta por primera vez, es muy probable que no le encontrara mucho sentido. O si pudo comprenderla, quizás le pareció que no estaba a su alcance llegar a responderla alguna vez. Pero si Ud. revisa su “diario de aprendizaje”, verá que ya es capaz de resolver problemas de dinámica, prediciendo el movimiento de un sistema a partir de unos pocos datos. Y es que la respuesta a la pregunta esencial de este curso está contenida en el conjunto de conceptos y procedimientos estudiados a lo largo de estas cinco unidades. Así lo indica la forma gramatical de la pregunta, que comienza con el pronombre interrogativo „cómo‟. Pues de lo que se trataba en el curso era de adquirir la competencia de describir, analizar, explicar y predecir matemáticamente el movimiento de algunos cuerpos a nuestro alrededor, no de aprender de memoria lo que los físicos dicen. Si Ud. desarrolló esa competencia (y lo puede demostrar a través de la resolución de problemas de mecánica newtoniana), Ud. logró el objetivo del curso, y está preparado para el siguiente curso de física, donde continuará extendiendo esta competencia a sistemas más complejos que los estudiados en este curso. Mucha suerte en este empeño. 4 Un “modelo físico” de este sistema complejo, es decir un sistema físico más sencillo de analizar mediante la teoría física y que presenta un comportamientoanálogo en al sistema estudiado (la bicicleta) es el llamado giróscopo (ver texto guía, sección 10.7), que es de por sí un aparato tecnológico de gran importancia, por ejemplo en la navegación inercial. En efecto, el fenómeno de precesión de un giróscopo en un campo gravitatorio se analiza formalmente mediante un planteamiento muy similar al presentado. UNIDAD 4: Movimiento rotacional de cuerpos extensos Pág. 9 de 9