Órdenes de la convergencia de sucesiones. Condiciones de la

Órdenes de la convergencia de sucesiones.
Condiciones de la convergencia lineal y cuadrática
del método de iteración simple
Estos apuntes están redactados por Maria de los Angeles Isidro Pérez y Egor Maximenko.
Objetivos. Definir el orden de convergencia de una sucesión a su lı́mite.
Requisitos. Lı́mite de una sucesión, método del punto fijo, teorema del valor medio,
fórmula de Taylor.
1. Definición (orden de convergencia). Sea {an }∞
n=0 una sucesión que converge a b,
con an 6= b para todo n ∈ N y sean α > 0 y λ > 0. Si
|an+1 − b|
= λ,
n→∞ |an − b|α
lim
entonces se dice que la sucesión {an }∞
n=0 converge a b con orden α y una constante de
error asintótica λ.
2. Definición (convergencia lineal y cuadrática). Sea {an }∞
n=0 una sucesión conver∞
gente. Se dice que la sucesión {an }n=0 :
converge linealmente, si el orden de la convergencia es 1;
converge cuadráticamente, si el orden de la convergencia es 2.
∞
3. Ejemplo. Consideremos las sucesiones {an }∞
n=0 y {cn }n=0 definidas mediante las siguientes reglas:
a0 = 1,
an+1 = 0.3an ;
c0 = 1,
cn+1 = 0.6 · c2n .
Claramente ambas sucesiones convergen a 0. Calcular an y cn para n = 1, 2, 3, 4, 5.
Calcular
N1 := min{n : an < 10−6 },
N2 := min{n : cn < 10−6 }.
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Solución. Calculemos a1 , . . . , a5 :
a1 = 0.3,
a2 = 0.09,
a3 = 0.027,
a4 = 0.0081
, a5 = 0.00243
Resolvemos la desigualdad an < 10−6 :
an < 10−6
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
0.3n < 10−6
n > 11.4
n ln(0.3) < −6 ln(10)
n ≥ 12,
ası́ que N1 = 12.
Calculemos c1 , . . . , c5 :
c1 = 0.6,
c2 ≈ 2.2 · 10−1 ,
c3 ≈ 2.8 · 10−2 ,
c4 ≈ 4.7 · 10−4 ,
c5 ≈ 1.32 · 10−7 .
Se ve que cn es decreciente y N2 = 5.
4. Ejercicio. Muestre que cada una de las siguientes sucesiones converge linealmente al
número 0:
1
1
1
,
,
.
3
n
n
2n
n
5. Ejercicio. Muestre que la sucesión 3−2 converge cuadráticamente a 0.
6. Ejemplo simple de una sucesión que converge a 0 linealmente. Sea λ ∈ (0, 1).
Hallar la fórmula general para la sucesión {xn }∞
n=0 definida por:
x0 = 1,
xn+1 = λxn .
Solución. El n-ésimo término de la sucesión está dado por:
xn = λn .
7. Ejemplo simple de una sucesión que converge a 0 cuadráticamente. Sea
λ ∈ (0, 1). Hallar la fórmula general para la sucesión {xn }∞
n=0 definida por:
x0 = 1,
xn+1 = λ(xn )2 .
Solución. El n-ésimo término de la sucesión está dado por:
xn = λ 2
n −1
.
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Multiplicidad del cero de una función
8. Definición (multiplicidad del cero). Se dice que el cero p de la función f tiene
multiplicidad m (m ∈ {1, 2, 3, . . .}) si la función f se puede escribir en forma
f(x) = (x − p)m g(x)
(x 6= p),
donde lim g(p) 6= 0.
x→p
9. Criterio de cero simple. Sea f ∈ C1 [a, b] y sea p ∈ (a, b). Entonces f tiene un cero
simple (de multiplicidad 1) en p si, y sólo si,
f 0 (p) 6= 0.
y
f(p) = 0
10. Criterio de cero de multiplicidad m. Sea f ∈ Cm [a, b] y sea p ∈ (a, b). Entonces
p es un cero de f de multilicidad m si y sólo si:
f(p) = 0,
f 0 (p) = 0,
...,
f(m−1) (p) = 0,
f(m) (p) 6= 0.
11. Ejemplo. Calcular la multiplicidad de cero de f(x) = ex − x − 1 en el punto p = 0.
Solución. Calculamos las dos primeras derivadas:
f 0 (x) = ex − 1,
f 00 (x) = ex .
Ahora evaluamos las funciones f, f 0 y f 00 en el punto p = 0:
f(0) = 0,
f 0 (0) = 0,
f 00 (0) = 1.
Por el criterio, p = 0 es un cero de multiplicidad m = 2.
12. Ejercicio. Calcular la multiplicidad de cero de f en el punto p = 0:
1. f(x) = cos x − 1.
2. f(x) = sen x − tg x.
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Condiciones suficientes de la convergencia lineal y cuadrática
del método de punto fijo
13. Teorema (condición suficiente para la convergencia lineal). Sea g ∈ C1 [a, b]
tal que g[a, b] ⊆ [a, b] y |g 0 (x)| ≤ k para todo x ∈ [a, b], donde k ∈ (0, 1). Denotemos
por p el punto fijo de g en el intervalo [a, b]. Si g 0 (p) 6= 0, entonces para cualquier
x0 ∈ [a, b]\{p} la sucesión {xn }∞
n=0 definida por la fórmula recursiva xn = g(xn−1 ) converge
linealmente a p.
Demostración. Por la definición de xn+1 y p,
|xn+1 − p| = |g(xn ) − g(p)|.
El teorema del valor medio aplicado a la función f en el intervalo con extremos xn y p
nos da un punto ξn entre xn y p tal que
|g(xn ) − g(p)| = |g 0 (ξn )| · |xn − p|,
Como ξn está entre xn y p, tenemos que |ξn − p| ≤ |xn − p| y ξn → p. En la igualdad
|xn+1 − p|
= |g 0 (ξn )|.
|xn − p|
pasemos al lı́mite cuando n → ∞. Como ξn → p y g 0 es continua, g 0 (ξn ) → g 0 (p).
|xn+1 − p|
= |g 0 (p)|.
n→∞ |xn − p|
lim
14. Teorema (condición suficiente para la convergencia cuadrática). Sea p una
solución de la ecuación x = g(x). Supongamos que g 0 (p) = 0, g 00 es continua y existe un
intervalo abierto I tal que p ∈ I y
sup |g 00 (x)| < M.
x∈I
Entonces existe un δ > 0 tal que para todo x0 ∈ [p − δ, p + δ] la sucesión {xn } definida
por xn = g(xn−1 ) converge al menos cuadráticamente a p. Además, para los valores
suficientemente grandes de n,
|pn+1 − pn | <
M
|pn − p|2 .
2
Demostración. Escribamos la fórmula de Taylor para g:
g(x) = g(p) + g 0 (p)(x − p) +
g 00 (ξ)
(x − p)2 .
2
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Aquı́ g(p) = p, g 0 (p) = 0. Poniendo x = xn , obtenemos:
xn+1
g 00 (ξn )
=p+
· (xn − p)2 ,
2
donde ξn está entre p y xn .
g 00 (p)
|xn+1 − p|
g 00 (ξn )
→
.
=
|xn − p|2
2
2
15. Ejercicio: deducción del método de Newton como un caso particular del
método de punto fijo. Para la búsqueda de raı́ces de la ecuación f(x) = 0, consideremos
un problema de punto fijo con la función g de la forma g(x) = x − f(x)h(x). Para
tener g 0 (p) = 0 en el punto p donde f(p) = 0, necesitamos h(p) = 1/f 0 (p). Es natural
pedir h(x) = 1/f 0 (x), y en esta manera obtenemos el método de Newton. Complete los
razonamientos.
16. Ejercicio. Muestre que la sucesión {xn }, definida por:
p
x0 = 1,
xn+1 = 2 + xn ,
converge a 2, y calcular el orden de la convergencia.
i) Para calcular el lı́mite, pase al lı́mite en la igualdad xn+1 =
√
2 + xn .
ii) Para demostrar que el lı́mite efectivamente existe y calcular el orden de la convergencia, exprese |xn+1 − 2| a través de |xn − 2|.
17. Ejercicio: orden de la convergencia en el algoritmo babilónico para el cálculo de la raı́z cuadrada. Sea c > 1. Usando la definición del orden de convergencia,
muestre que la sucesión {xn } definida por:
c
1
xn +
x0 = 1,
xn+1 =
,
2
xn
√
√
√
converge cuadráticamente a c. Sugerencia: exprese |xn+1 − c| a través de |xn − c|.
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