Departamento de Matemática, Universidad Técnica Federico Santa Marı́a Tarea 3 1) Muestre que cualguier espasio métrico es espasio topológico normal. 2) Demuestre las siguentes propiedades: 1. si existe el lı́mite x de una sucesión el un espasio métrico, entonses este lı́mite es unico, 2. si una sucesión converge, entonces qualquier su subsucesión converge a lo mismo lı́mite, 3. Sea M es un subconjunto de de un espacio métrico X. Un punto x ∈ X es el punto lı́mite para M, si y solo si existe una sucesión de los elementos disjuntos que converge a x. 3) Pruebe que conjunto de los puntos de primer orden de conjunto de Cantor (terminos de los intervalos) es denso en conjunto de Cantor. 4) Sean A y B ab’ertos en (R1 , | · |). Muestre que A × B es ab’erto en (R2 , ρ2 ). Si A y B son cerrados, qual es A × B? Por qué? 5) Muestre que si A es abierto en (Rn , ρp ) entonces es abierto en (Rn , ρp0 ). 6) Sea f : R → R una función continua. Pruebe, que {x : f (x) > 0} es abierto en R and {x : f (x) > 0} es cerrado. 7) Construe un ejemplo de un conjunto infinito cerrado en R que contiene solamente los puntos irracionales. Existe o no un conjunto abierto que no contiene puntos racionales. Por qué? ∞ P 8) Para p ∈ [1, ∞[ definimos lp como colección de las sucesiones reales x = {xn } tales que |xn |p < ∞. n=1 (k) Sea e(k) = (0, . . . , 0, 1, 0, . . .), donde 1 esta el k-esima lugar. Muestre que el conjunto {e un conjunto cerrado en (l1 , ρ1 ). 1 n, n 9) Muestre que el conjunto A = {x ∈ l2 : |xn | ≤ B = {x ∈ l2 : |xn | < n1 , n = 1, 2, . . .} no es abierto. : k ≥ 1} es = 1, 2, . . .} es un conjunto cerrado en l2 , pero 10) Pruebe, que si una sucesión de Cauchy contiene una subsucesión convergente, entonces la sucesión de Cauchy tambien converge. 10) Dos métricas d y ρ son equivalentes si d(xn , x) → 0 si y solo si ρ(xn , x) → 0. Verifique si las métricas ρ1 , ρ2 y ρmax son equivalentes? 1