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Alan Kevin Piarpussan Alfonso
Carlo federici
Algebra
Profesor: Ricardo
A pesar de que Descartes originalmente usaba el
término “números imaginarios” para referirse a lo
que hoy en día se conoce como números complejos,
el uso común en la actualidad de los números
imaginarios significa un número complejo cuya
parte real es igual a cero. Para clarificar y evitar
confusiones, tales números muchas veces son mejor
llamados números imaginarios puros.
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René Descartes acuñó esté termino durante sus
estudios en el Siglo XVII, pero sus intenciones
eran dar a ciertos números complejos un
carácter despectivo, pero luego pasó a ser un
eje fundamental
(literalmente) en lo que posteriormente sería el
plano cartesiano. Pues, en este plano los ejes
cartesianos reales se encuentran en el eje X de
forma horizontal y los imaginarios en el Y del
eje vertical complejo
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es un número cuya potenciación es negativa. Es
decir que cuando se eleva al cuadrado o se
multiplica por sí mismo, su resultado es
negativo.
Si se eleva al cuadrado a cualquier otro número
real su resultado siempre será positivo. Por
ejemplo cinco al cuadrado o 5², es decir 5 × 5 da
como resultado 25. En su defecto, -5² a pesar de
ser un número negativo su resultado también
será positivo debido a que -5 × -5 anula su
negatividad y da como resultado 25.
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1572: Rafael Bombelli realiza cálculos
utilizando números imaginarios.
1777:Leonhard Euler utiliza el símbolo “i” para
representar la raíz cuadrada de -1.
1811: Jean-Robert Argand crea la
representación gráfica del Plano
complejo también conocida como plano de
Argand
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Geométricamente, los números imaginarios se
encuentran en el eje vertical del plano complejo,
presentándolos como perpendiculares al eje real.
Una manera de ver los números imaginarios es el
considerar una recta numérica típica, que aumenta
positivamente hacia la derecha y aumenta
negativamente hacia la izquierda. Podemos
entonces dibujar un eje de coordenadas vertical
pasando por el 0 del eje horizontal, de modo que
represente números imaginarios aumentando
positivamente hacia arriba y negativamente hacia
abajo.
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Este eje vertical es llamado el "eje imaginario" y es
denotado como , , o simplemente . En esta
representación, una multiplicación por –1 corresponde
a una rotación de 180 grados sobre el origen. Una
multiplicación por corresponde a una rotación de 90
grados en la dirección "positiva" (en el sentido
antihorario), y la ecuación puede interpretarse
diciendo que si aplicamos dos rotaciones de 90 grados
sobre el origen, el resultado final es equivalente a una
simple rotación de 180 grados. Nótese que una rotación
de 90 grados en la dirección "negativa" (sentido
horario) satisface también esta interpretación
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Su símbolo común y frecuente es el del número
imaginario i siendo la inicial de “imaginario” y casi
siempre va acompañado de un número real para
denotar sus distintas propiedades de números
imaginarios y expresar de forma particular la suma de
un número real y de un número imaginario.
Sin embargo en ciertos campos, en especial los
relacionados con la electricidad, a esta unidad
imaginaria se la representa de manera diferente para
poder clasificarla y no confundirla con el símbolo de la
corriente alterna que se denota usualmente con la letra
i, por lo tanto en estos campos también se puede
encontrar a los números imaginarios representados con
la letra j, sin cambiar de ninguna manera sus
propiedades o resultados.
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Para la suma, encontramos que:
La suma de los números imaginarios es cerrada, lo cual
significa que si se suman dos números imaginarios, el
resultado también será un número imaginario.
Tiene una propiedad conmutativa, el orden de los
sumandos no altera la adición.
También una propiedad distributiva, donde la suma de
dos números multiplicada por un tercer número es
igual a la suma del producto de cada sumando
multiplicado por el tercer número.
Durante la sustracción, por cada número imaginario,
existe un número negativo cuya adición dará como
resultado cero.
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Ejemplos de las propiedades de la suma
Propiedad cerrada: 3i + 4i = 7i.
Propiedad conmutativa: 2i + 4i = 4i + 2i.
Propiedad distributiva: (6i + 4i) × 5i = (6i ×5i) +
(4i × 5i).
Número neutro: 8i + 0 = 8i.
Elemento opuesto o inverso aditivo: 3i -3i = 0.
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Ejemplos en el producto o multiplicación
Propiedad conmutativa: (6i) (3i) = (3i) (6i) o lo
que es lo mismo 6i × 3i = 3i × 6i.
Propiedad distributiva: 3i × (5i × 4i) = (3i × 5i) ×
4i.
Elemento opuesto o Inverso multiplicativo: 4i ×
1/4i = 1.
Ejemplo de las propiedades de la
potenciación
Unidad imaginaria: √-1 = i. Esta es la
propiedad que define al número imaginario i.
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El uso de los números imaginarios puede estar
presente en muchos campos, pero
principalmente lo podemos encontrar en el
teorema fundamental de álgebra para
encontrar la raíz cuadrada de números
negativos.
Números imaginarios
 Un número imaginario se denota por bi, donde
b es un número real
i es la unidad imaginaria
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Al número a + bi le llamamos número
complejo en forma binómica .
El número a se llama parte real del número
complejo.
El número b se llama parte imaginaria del
número complejo.
Si b = 0 el número complejo se reduce a un
número real ya que a +
0i = a.
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Unidad imaginaria
La "unidad" imaginaria (el equivalente al 1 de
los números reales) es √(-1) (la raíz cuadrada de
menos uno).
En matemáticas se usa i (de imaginario) pero
en electrónica se usa j (porque "i" ya es la
corriente, y la letra siguiente después de la i es
la j).
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haciendo la raíz cuadrada de los dos lados tendríamos
un valor para la raíz cuadrada de -1:
simplemente aceptando que exista i podemos resolver
muchos problemas donde nos hace falta la raíz
cuadrada de un número negativo.
Ejemplo: ¿cuál es la raíz cuadrada de -9?
Respuesta: √(-9) = √(9 × -1) = √(9) × √(-1) = 3 × √(-1) = 3i
Mientras tengamos esa pequeña "i" ahí para
recordarnos que hay que multiplicar por √-1 no
tendremos problemas con seguir calculando para llegar
a la solución.
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Una ecuación cuadrática puede dar resultados
con números imaginarios...
... pero quizás después de más cálculos el
número "i" se cancela (o se convierte en real
porque está al cuadrado), dando una respuesta
que es real.
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La unidad imaginaria, i, tiene una propiedad
interesante. "Da la vuelta" pasando por 4
valores diferentes cuando la multiplicas:
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http://www.disfrutalasmatematicas.com/nu
meros/numeros-imaginarios.html
http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmer
o_imaginario