6. Vigas (Elementos) Compuestos por dos o más Materiales Las ecuaciones obtenidas en la Sección 3 se basan en la hipótesis que el material que forma la sección del elemento, además de ser lineal-elástico, es homogéneo con un módulo de elasticidad constante E. Si la sección transversal del elemento que está sometido a flexión pura esta hecha de dos o más materiales lineales-elásticos con diferentes módulos de elasticidad, el enfoque anteriormente utilizado para determinar la distribución de las tensiones normales en la sección debe ser modificado. Para estudiar la distribución de deformaciones unitarias y tensiones normales en secciones formadas por diferentes materiales, se utilizan los mismos conceptos que para el caso de secciones homogéneas: la sección transversal debe estar en equilibrio; se asume una geometría de deformación considerando una compatibilidad de deformación en la unión de los diferentes materiales que forman la sección; y se utilizan las leyes constitutivas de los diferentes materiales, pero se modifica el concepto de las propiedades mecánicas de las sección estudiada. Considerar la sección rectangular formada por dos materiales diferentes que se muestra en la Fig. 11. Tal como fue mencionado con anterioridad, se asume una compatibilidad en el diagrama de deformación unitaria en la unión de los materiales que forman la sección (Fig. 11). (εc)max y E1 z E2 y yb ma ma yna: eje neutro y, yb: variables yna (εt)max ma Fig.11. Distribución de deformaciones unitarias por flexión en sección compuesta por dos materiales. De las leyes constitutivas de los materiales y de la hipótesis de deformación de la sección transversal (secciones planas permanecen planas) se cumplen las siguientes relaciones 1 σ x = Eiε x = − Eiφy = − E ( y )φy (20a) Para el caso de flexión pura, se tiene que el esfuerzo interno axial N en la sección debe ser cero. Entonces, N = ∫ σ x dA = 0 (20b) N = − ∫ E ( y )φydA = 0 A (20c) A De la Fig. 11 se tiene que la variable y es igual a yb – yna, entonces N = − ∫ E ( y )φ ( yb − yna )dA = 0 φ ∫ E ( y )yna dA − φ ∫ E ( y )yb dA = 0 (20d) A (20e) ∫ E( y )y dA A A b yna = A ∫ E ( y )dA (20f) A donde la Ec. (20b) permite localizar el eje neutro y la Ec. (20f) localiza el eje neutro de la sección compuesta y define el centroide del módulo ponderado. Por lo tanto, el eje neutro de la sección compuesta pasa por el centroide de la sección considerando el concepto del módulo de elasticidad ponderado. La ecuación para determinar el momento interno de la sección transversal fue estudiada en Sección 2 y está dada por la Ec. (5). Rescribiendo esta expresión se obtiene lo siguiente M z = − ∫ (σ x dA)y = − ∫ yσ x dA A A 2 (21a) Utilizando la expresión de la tensión normal σx en función de la curvatura φ y del módulo de elasticidad E (y), se tiene lo siguiente M z = ∫ E ( y )φydAy = φ ∫ E ( y )y 2 dA A M z = φ (EI ) (21b) A * (EI )* = ∫ E ( y )y 2dA (21c) (21d) A donde la Ec. (21c) establece la relación entre el momento flector Mz y la curvatura φ de la sección transversal compuesta. Esta expresión es análoga a la Ec (7c) válida para secciones homogéneas. Manipulando en forma algebraica la Ec. (20b) que establece el equilibrio de las fuerzas longitudinales (normales) en la sección transversal compuestas, se obtiene lo siguiente N = ∫ σ x dA = 0 N = − ∫ E ( y )φydA = 0 (22a) A (22b) A E(y) N = φ ∫ ydA Eref = 0 A Eref (22c) E( y ) ydA Eref = 0 ∫ A Eref (22d) ∫ n( y ) ydA Eref = 0 A ∫ y(n( y )dA) Eref = 0 A (22e) (22f) donde n(y) = E(y)/Eref. Una viga (elemento) de sección transversal compuesta puede considerarse como elemento de sección homogénea con propiedades mecánicas del 3 material de referencia, siempre que las áreas diferenciales dA se multipliquen por el factor n(y). Después de transformar una sección transversal compuesta de esta manera, es aplicable el análisis elástico convencional (para secciones homogéneas). En la sección transformada, las tensiones normales varían linealmente desde el eje neutro de la sección. Las tensiones normales obtenidas en la seccion transformada son válidas para el material de referencia (asociado a Eref). Para los restantes materiales que componen la sección transversal, se tiene lo siguiente (σ x )k (σ x )ref = Ek (ε x )k = Eref (ε x )ref (23a) (23b) donde k representa a un material cualquiera que forma la sección compuesta. Por compatibilidad de deformaciones, se cumple que (ε x )k = (ε x )ref (23c) (σ x )k (σ x )ref (23d) Por lo tanto, Ek (σ x )k = = Eref Ek (σ x )ref Eref (σ x )k = nk (σ x )ref (23e) (23f) La Ec. (23f) dice que para calcular la tensión normal en un punto del material k que forma la sección compuesta, se debe multiplicar por el factor nk la tensión normal en el mismo punto, calculada en la sección transformada. 4 Ejemplo: Una viga de sección transversal rectangular de madera esta reforzada con una placa de acero en su parte inferior, tal como lo muestra la Fig. 12. Si esta viga se somete a un momento de flexión de 30 KNm respecto a un eje horizontal, ¿cuáles son las tensiones normales máximas en el acero y en la madera? 150 mm 250 mm 10 mm Módulos de Elasticidad Ea = 200 GPa Ew = 10 GPa madera acero Fig. 12. Sección compuesta de acero y madera sometida a flexión. 7. Comportamiento Inelástico de la Sección Transversal 7.1 Generalidades Cuando en la Sección 3 se derivó la fórmula de Navier (Ec. 8b), que permite determinar la distribución de tensiones normales en una sección transversal sometida a flexión, se asumió que la ley de Hooke era válida para todo el elemento-viga. Si la tensión de fluencia es excedida en alguna porción del elemento, o si el material que forma al elemento es frágil con una relación tensión-deformación nolineal, la ley de Hooke deja de ser válida. El objetivo de esta sección es el de presentar un método general para determinar la distribución de tensiones normales en un elemento en flexión pura. La relación entre la deformación unitaria εx y la curvatura φ no depende de la ley constitutiva del material que forma la sección, sino que de la hipótesis relacionada con la deformación de la sección transversal en flexión pura. Por lo tanto, la distribución lineal de las deformaciones normales unitarias (Ec. (3f)) sigue siendo válida en este análisis, por lo que se tiene ε x = − y na φ 5 (24a) ε x = − y (ε c x )max (24b) donde y es la distancia medida del eje neutro, c = │ymax│ y (εx)max es la máxima deformación normal unitaria (módulo). Sin embargo, ya no se pude asumir que el eje neutro coincide centroide, ya que esta propiedad fue deducida considerando deformaciones elásticas y material homogéneo. En general, la localización del eje neutro se realiza mediante la técnica de “prueba y error” hasta que la distribución de tensiones normales satisfaga las Ecs. (4) y (5). El análisis que se presenta a continuación estará limitado al caso en que la sección transversal presente dos ejes de simetría y el material que la forma tiene la misma relación tensión-deformación para la tracción y compresión. Para este caso particular, el eje neutro coincide con unos de los ejes de simetría de la sección transversal. La distribución de tensiones normales en la sección transversal del elemento se obtiene de la siguiente manera. Se asume que (σx)max ha sido especificado, por lo que se calcula el correspondiente valor de (εx)max de la curva tensión-deformación. Luego, usnado la Ec. (24b) se obtiene al distribución de deformación normal unitaria en la sección transversal (Fig 13a). Para cada valor de εx calculado, se obtiene el valor de σx usando la curva tensión-deformación del material (Fig 13b). Finalmente, se grafica los valores de σx en función de la variable y, medida desde el neutro (Fig. 13c). Para determinar el valor del momento flector que actúa en la sección transversal, asociado a la distribución de tensiones mostrada en la Fig. (13c), puede utilizarse la Ec. (5), ya que ésta es independiente de la relación tensión- deformación (ley constitutiva) del material que forma la sección. Considerando el caso particular de una sección transversal rectangular de ancho b, se tiene la que la Ec (5) se reduce a M = −b ∫ yσ x dy c (25) −c donde σx es función de la variable y, tal como los muestra la Fig. (13c). Debido a que σx es una función par de y, la Ec. (25) puede rescribirse como 6 M = −2b ∫ yσ x dy c (26) 0 (a) (b) (c) Fig. 13. (a) Distribución de deformación unitaria; (b) Relación tensióndeformación nolineal; (c) distribución de tensiones normales. Si se conoce la función analítica de σx con respecto a y, la integral de la Ec. (26) puede obtenerse analíticamente. De lo contrario, el valor del momento de flexión M puede obtenerse a través de un proceso de integración numérica. 7.2 Caso Particular: Elementos Formados por Material Elasto-plástico De manera de comprender de mejor manera el comportamiento inelástico de un elemento en flexión, se considera el caso de un elemento formado por un material de comportamiento elasto-plástico. La curva idealizada de la relación tensión-deformación de un material con comportamiento elasto-plástico está representada en la Fig. 14, en que ésta está completamente definida por los parámetros σy y E, que son la tensión de fluencia (límite de proporcionalidad) y el módulo de elasticidad respectivamente. Siempre que la tensión normal no exceda el límite de fluencia, la ley Hooke es válida y la distribución de tensiones normales está dada por la ecuación de Navier (Ec. 8b). 7 σ σY × Ruptura Ε Ε ε εY Fig.14. Relación tensión – deformación para un material elasto-plástico perfecto. Si el momento de flexión M que actúa en una sección del elemento aumenta, eventualmente la máxima tensión normal σx alcanza un valor igual a σy tal como lo muestra la Fig. 15. El valor del momento de flexión My que resulta en la fluencia de la fibra con mayor tensión normal esta dado por la siguiente relación My = I zz σy c (27) y (εx)max=εy yna z (σx)max = σy φy = Μy/EI Eje neutro (na) Centroide Deformación Tensión Fig. 15. Distribución de deformaciones y tensiones normales en la sección transversal de una viga debido a un momento flector que produce fluencia. 8 Si el momento de flexión M sigue aumentando en la sección, aumentará la curvatura φ, por consiguiente también aumentará la deformación (εx)max y nuevas fibras alcanzarán la tensión normal de fluencia σy, generando una sección parcialmente elástica. (Fig. 16). y (εx)max > ε y Fluyendo (σ x)max = σy εy Elástica yna φ z Eje neutro (na) Centroide Deformación Tensión Fig. 16. Distribución de deformaciones y tensiones normales en una sección transversal parcialmente elástica. De acuerdo la Fig. 16, la ley constitutiva del material que forma la sección no es única y dependerá del estado en que se encuentran las fibras del material: elástico o fluyendo. Por lo tanto, la ley constitutiva del material queda representada de la siguiente forma: Eε x ; ε x ≤ ε y σx = σ y ; ε x ≥ ε y (28) Recordando que la ecuación de equilibrio longitudinal está dada por N = ∫ σ x dA = 0 (29) A La Ec. (29) ya no se simplifica a ∫y na dA = 0 . Por lo tanto, no se garantiza que el eje A neutro coincida con el centroide la sección, cuando ésta se comporta en el rango inelástico. Sin embargo, la Ec. (29) sigue localizando la poción del eje neutro. 9 Tal como se explicó en la Sección 7.1, para determinar el valor del momento flector que actúa en la sección transversal, asociado a la distribución de tensiones mostrada en la Fig. (16), puede utilizarse la Ec. (5), ya que ésta es independiente de la relación tensióndeformación (ley constitutiva) del material que forma la sección. Sin embargo, ésta ecuación ya no se simplifica a Mz = EIzφ (Ec. 7c), por lo que la fórmula de Navier (Ec. 8b), utilizada para determinar la distribución de tensiones normales en la sección, ya no es válida en el rango inelástico. Considerar la Fig. 17 para estudiar la evolución de las deformaciones y tensiones normales en una sección a medida que aumenta la curvatura φ, considerando un modelo de material elasto-plástico perfecto. y B C A z Centroide Deformación y σy σy σy σy z A My B C σy σy Mp Aumento de curvatura φ Fig. 17. Comportamiento inelástico de un sección transversal de material elasto-plástico perfecto. 10 Para una sección transversal de material elasto-plástico perfecto, el máximo momento de flexión capaz de desarrollar es cuando todas sus fibras han fluido. Para este caso, se dice que la sección está “completamente plástica”, y el momento de flexión asociado se denomina Mp, “momento plástico”. Tal como se mencionó con anterioridad, en el rango inelástico no se garantiza que el eje neutro coincida con el centroide de la sección transversal. Para el caso de una sección “completamente plástica”, el eje neutro se denomina “eje neutro plástico (PNA)” y su ubicación se termina mediante la Ec, (29). Si se quiere determinar el momento plástico Mp de una sección transversal, primero debe determinase la localización del PNA. Por lo tanto, N = ∫ σ x dA = A ∫σ comp dAcomp + Acomp ∫σ trac dAtrac = 0 (30a) Atrac Para el caso de una sección completamente plástica, σcomp = -σy y σtrac = + σy. Si se tiene una sección homogénea y la ley constitutiva del material es la misma para la compresión y la tracción, se tiene N = −σ y ∫ dA comp Acomp +σy ∫ dA trac =0 (30b) Atrac Acomp = Atrac (30c) Por lo tanto, si se tiene una sección homogénea y la ley constitutiva del material es la misma para la compresión y la tracción (σy es el mismo en toda la sección transversal), el PNA se localiza imponiendo la condición que el área arriba del PNA debe ser igual al área bajo él. Algunas observaciones sobre el PNA: • Si la flexión es en torno a un eje de simetría, el PNA coincide con el centroide de la sección. Para este caso, el eje neutro coincide con el PNA. • Si la flexión es en torno a un eje que no es de simetría, el PNA no coincide con el centroide de la sección. 11 • Si se tiene una sección híbrida (diferentes valores de σy en la sección), el PNA debe ubicarse imponiendo la condición establecida por la Ec. (29). Para calcular el valor del momento plástico Mp de la sección, se debe utilizar la Ec. (21a). Para el caso de una sección completamente plástica, se cumple que σ = ± σy. Entonces, M p = ∫ yσ y dA (31) A De manera similar al caso de comportamiento elástico de la sección transversal, siempre que se cumpla la condición N = 0, y puede ser tomada desde cualquier eje conveniente. Sin embargo, es más conveniente medir y desde el PNA. Para y medido desde el PNA, tanto y como σy cambian de signo en el mismo eje. Entonces, no es necesario mantener los signos de estas variables cuando se está evaluando la integral para calcular Mp. Por lo tanto, M p = ∫ y σ y dA (32a) A Si │σy│ es el mismo para toda la sección transversal, M p = σ y ∫ y dA (32b) A Definiendo el módulo plástico Z de la sección transversal, como Z = ∫ y dA (32c) A con y medido desde el PNA. Entonces, el momento plástico Mp de la sección transversal, puede ser calculado por 12 M p = Zσ y (32d) Para la mayoría de las secciones transversales de vigas, no es necesario calcular el valor de Z utilizando la Ec. (32c). En vez de calcular Z mediante la integral de la Ec. (32c), la sección puede dividirse en formas geométricas simples, por lo que la integral puede ser reemplazada por una sumatoria. Entonces, Z = ∑ Ai yi (32e) i donde Ai es el área de un elemento e yi es la distancia desde el PNA al centroide de Ai (siempre considerado como número positivo). Ejemplo: Un elemento de sección uniforme rectangular de 50 × 120 mm es solicitado por un momento de flexión de 36.8 KNm. Asumiendo que la sección del elemento está hecha de un material elasto-plástico con una tensión de fluencia de 240 MPa y módulo de elasticidad de 200 GPa, determinar: (a) región elástica de la sección; y (b) radio de curvatura del eje neutro (superficie neutra). 13