COLEGIO INTERNACIONAL SEK Prof. Álvaro Elizondo Montoya. TEMA: ECUACIONES CUADRÁTICAS. Nombre: ___________________Fecha:_______Grupo: 9− ECUACIONES CUADRÁTICAS. Denición: Llamadas también ecuaciones cuadráticas son aquellas ecuaciones que presentan la siguiente forma general ax2 + bx + c = 0; ∀a 6= 0 y a, b, c ∈ R donde a, b, c son llamados coecientes. Si los coecientes pleta y si b ó c a, b y c son diferentes de cero, la ecuación de segundo grado es llamada com- o ambos, son iguales a cero, la ecuación es llamada incompleta. Si a = 0, la ecuación se reduce a una ecuación lineal. Toda ecuación de segundo grado presenta dos soluciones o raíces, llamémoslas x1 y x2 , sin embargo no siempre estas raíces corresponden a números reales. Estas raíces se pueden obtener mediante el siguiente método. Método de la fórmula general: De la ecuación ax2 + bx + c = 0 se deduce que: ax2 + bx + c = 0 Ecuación original con 0 ax2 + bx + c = a a b c x2 + x + = 0 a a c b x2 + x = − a a 2 b b c b2 2 x +2· x+ 2 =− + 2 2a 4a a 4a 2 2 b b b c x2 + 2 · x + = 2− 2a 2a 4a a 2 b b2 − 4ac x+ = 2a 4a2 r b b2 − 4ac x+ =± 2 2a 4a √ b b2 − 4ac x=− ± 2a √ 2a 2 −b ± b − 4ac x= 2a 1 a 6= 0. Divido ambos miembros entre a. Simplico. Reacomodo. Sumo b2 4a2 en ambos miembros. Reacomodo. Simplico. Aplico la raíz cuadrada. Despejo x. Simplico. En resumen, las soluciones de una ecuación cuadrática del tipo √ ax2 + bx + c = 0, ∀a 6= 0 son: b2 − 4ac √2a −b − b2 − 4ac x2 = 2a x1 = Se dene la cantidad subradical: b2 − 4ac −b + como el discriminante (invariante característico) de la ecuación cuadrática y se denota por el símbolo ∆, luego: ∆ = b2 − 4ac Discusión sobre las raíces de una ecuación de segundo grado: Las raíces x1 y x2 (∆). valor del discriminante 1. ax2 + bx + c = 0; ∀a 6= 0 de una ecuación de segundo grado: Primer caso: Si Asumiendo que ∆>0 a ∈ Q, b ∈ Q entonces las raíces y c ∈ Q, dependen del se tiene: x1 y x2 son reales y diferentes. Ahora bien, x1 y x2 son racionales. Y se puede hallar la en este caso se presentan dos situaciones: a) Si ∆ es un cuadrado perfecto, las raíces solución factorizando por inspección o bien aplicando la fórmula general. b) 2. Si ∆ no es un cuadrado perfecto, las raíces x1 Segundo caso: Si ∆ = 0 entonces las raíces x1 y y x2 x2 son irracionales conjugadas. son reales e iguales (raíz de multi- plicidad 2), donde: x1 = x2 = −b 2a En este caso la ecuación puede ser resuelta factorizando por el método del trinomio cuadrado perfecto o bien aplicando la fórmula general. 3. Tercer caso: Si ∆ < 0, entonces la ecuación no tiene raíces reales, tiene dos raíces complejas para cuya obtención se requieren conocimientos de cursos superiores, por ello diremos que el conjunto solución de la ecuación (en este caso) es S=∅ ó S = { }, en el entendido de que la ecuación no tiene soluciones reales. Propiedades de las raíces de una ecuación de segundo grado.Sea la ecuación de segundo grado: 1. ax2 + bx + c = 0; ∀a 6= 0 y sus raíces x1 y x2 tendremos las siguientes propiedades: Suma de las raíces: x1 + x2 = 2 −b a 2. Producto de las raíces: x 1 · x2 = 3. Diferencia de las raíces: √ |x1 − x2 | = 4. √ b2 − 4ac ∆ = a a Suma de los cuadrados de las raíces: x21 + x22 = 5. c a b2 − 4ac a2 Identidad de Legendre aplicada a las raíces: (x1 + x2 )2 − (x1 − x2 )2 = 4x1 · x2 Construyendo una ecuación de segundo grado conociendo sus raíces.Conociendo las dos raíces x1 x2 y de una ecuación de segundo grado, ésta se construye empleando la suma y el producto de dichas raíces. Luego la ecuación que dio origen a x1 y x2 es: x2 − (x1 + x2 )x + (x1 · x2 ) = 0 llamada también: forma canónica de la ecuación de segundo grado. Propiedades adicionales de las raíces: 1. La ecuación de segundo grado: x1 = −x2 ) si si si si decir ax2 + bx + c = 0; ∀a 6= 0 tiene raíces recíprocas (es decir ax2 + bx + c = 0; ∀a 6= 0 presenta una raíz nula (es decir c = 0. 4. La ecuación de segundo grado: x = 1) (es a = c. 3. La ecuación de segundo grado: x = 0) tiene raíces simétricas b = 0. 2. La ecuación de segundo grado: 1 x1 = ) x2 ax2 + bx + c = 0; ∀a 6= 0 ax2 + bx + c = 0; ∀a 6= 0 presenta una raíz unidad (es decir a + b + c = 0. 5. Las ecuaciones a b c = = m n p ax2 + bx + c = 0; ∀a 6= 0 siempre que y mx2 + nx + p = 0; ∀m 6= 0 m 6= 0; n 6= 0 y p 6= 0. 3 son equivalentes si 6. Las ecuaciones común si ax2 + bx + c = 0; ∀a 6= 0 y mx2 + nx + p = 0; ∀m 6= 0 admiten una raíz (a · n − m · b)(b · p − n · c) = (a · p − m · c)2 . EJERCICIOS: Resuelva las ecuaciones, indique el conjunto solución en cada una de ellas. 1. 2x2 = 242 14. (x + 3)2 = 12 2. 1 1 2 x = 3 27 15. x2 + 9x + 18 = 0 3. 5x2 + 10x = 0 16. x2 − 3x + 2 = 0 4. x + 7x2 = −2x2 + 4x 17. x2 − 10x + 6 = 0 5. √ 2 5x − 5x = 0 18. 2 1 + =3 x−1 x+1 19. 1 3 − =5 b−2 b+2 20. 2y + 10 y+5 = y+8 y+2 21. 10t 3 5t = + 2 5t − 2 2 − 5t 25t − 4 6. 5x2 − 3x + 1 = 0 2 7. 4x − 4x + 1 = 0 8. 7x2 − 10x + 3 = x2 + 4x − 1 9. 6x2 − 14x − 4 = 0 10. x(3x − 1) + 2x2 − 3x − 1 = (x + 1)2 11. (2x − 3)(2x + 3) = −10x − 18 12. (x − 5)2 = 9 13. (2n − 3)2 = 81 22. 23. 24. k 2 3k 3 + = 2 5 10 √ n2 − 6n = −1 √ z2 5z + =1 4 2 PROBLEMAS: Resuelva los siguientes problemas: 1. Halle el área de un triángulo rectángulo cuyos lados miden: 2. Los lados opuestos de un cuadrado aumentan en se obtiene un rectángulo cuya área es 22 2 y 7 2x; 2x + 2 y 2x + 4. unidades respectivamente, con esto, más que el doble del área del rectángulo original. ¾Cuánto mide la diagonal del cuadrado? 3. ¾Cuál es el polígono regular en el cuál se pueden trazar un total de 54 diagonales? R/ Dodecágono 4. Si al cuadrado de un número se agrega el quíntuplo de dicho número, se obtiene el número. R/-9 ó 4 4 36. Hállese 5. Si se resta cierto número de su cuadrado, el resultado es 6. Hallar dos números que tengan 65 7. Hallar dos números que tengan 432 8. La diferencia entre dos números es ±18 y por suma y 1050 por producto y 14 30. Hállese el número.R/-5 ó 6 por producto. R/30 y 35. 3 por cociente. R/ y su producto es 576. ±36 y ±12 ¾Cuáles son los números? R/ ±32 9. Hallar dos números que den 7 por suma, y tales que la suma sus cubos sea 133. R/ 2 y 5 10. Hallar cuatro números consecutivos, tales que si los dos primeros se toman como dígitos de un número, dicho número resulta igual al producto de los otros dos. 11. Se ha comprado tela por un valor de $1225; 1 metros comprados. Hállese el precio de 12. Un hombre vende un reloj en $21, el precio del metro es igual al número de metro. y pierde un tanto % igual al costo del reloj. ¾Cuánto cuesta el reloj? 13. Un hacendado ha comprado cierto número de ovejas por por la misma cantidad, habrían costado 1, 20 $216. menos cada una. ¾Cuántas compró? 14. Un hombre compró cierto número de costales de harina en es 2 Si hubiera comprado 2 más, $126. El precio de cada costal sétimos del número de costales. ¾Cuántos costales ha comprado y a qué precio? 15. Un campo rectangular es tal que su longitud es el triple de la anchura. Si se aumenta la longitud en 20 m y la anchura en 8 m, el área resulta triplicada. ¾Cuál es su supercie? 20 m 16. La longitud de un campo rectangular es de siones, sabiendo que la supercie es de 17. El área de un campo rectangular es de mayor que el ancho. Hállense sus dimen- 2400 m2 . 216m2 , y su perímetro es de 60 m. Calcúlense sus dimensiones. 18. La circunferencia de una rueda delantera de un carruaje tiene rueda trasera. Después de recorridos 1200 4 pies menos que la de una pies, la rueda delantera ha dado 25 vueltas más que la trasera. Hállese la circunferencia de cada rueda. 19. La suma de los catetos de un triángulo rectángulo es Hállese la longitud de los catetos. 5 47 m y la hipotenusa mide 37 m. 20. La diferencia entre los catetos de un triángulo rectángulo es 40 m. 8 m, y la hipotenusa mide Calcúlese la longitud de los catetos. 21. La suma de los cuadrados de 2 números, más el quíntuplo de su producto, es suma de sus cuadrados, menos su producto, es 22. Un caminante ha recorrido durado 6 105 km. y la Hállense los dos números. Si hubiera andado 2 km más por hora, su viaje habría horas menos. ¾Cuántos kilómetros recorrió por hora? 23. Se ha repartido la cantidad de recibido 67. 445; $7 $120 entre cierto número de personas. Si cada una hubiera menos, habría recibido un número de pesos igual al del número de las personas que había. Hállese el número de personas. 24. Las edades de dos niños son tales que el cociente del cuadrado de la del primero entre la del segundo es 3, 5 28, y que el cuadrado de la del segundo, dividido entre la del primero, da por cociente. Hallar las dos edades. 25. Hallar dos números que sean entre sí como es 4 es a 7, sabiendo que la suma de sus cuadrados 6500. 26. Si del cuadrado de mi edad se resta el producto de dicha edad por 12, se obtiene 108. ¾Cuál es mi edad? 27. Hallar dos números que den diferencia entre los dos sea 28. Un joyero vende un reloj en 320 por producto, y tales que el producto del mayor por la 704. $31, 25, ganando un tanto % igual a la cantidad de dólares del precio de compra. ¾Cuánto le había costado? 29. ¾Cuál es el número que sumado con su raíz cuadrada da por resultado 1640? 30. Un hacendado ha comprado cierto número de bueyes y carneros. ¾Cuántos ha comprado, sabiendo que hay 50 carneros más que bueyes, y que la suma de los dos números, multiplicada por su diferencia, da 31. Ganando $112 5500? más, habría yo ganado el cuadrado de mi haber; ganando $112 menos, habría ganado, el doble de dicho haber. ¾Cuánto tenía y cuánto he ganado? 32. Un general dispone sus soldados en hileras y forma con ellas un cuadrado. Después de un primer arreglo, le sobran 320 soldados; procura entonces poner línea, pero, para completar el cuadrado, le faltan 6 253. 3 soldados más en cada ¾Cuántos soldados tiene? 33. Hallar 2 números tales que su suma, su diferencia y el producto de sus cuadrados, sean números proporcionales a 17, 9 34. Dos capitales, cuya suma es y 2704. $60000, reditúan, el primero biendo que la suma de los tantos porcientos es 10, $1600 y el segundo $1200. Sa- hállense los capitales y los tantos por cientos. 35. Hallar tres números consecutivos cuyo producto sea igual a su suma multiplicada por 36. Dos llaves llenan un depósito en 6 horas. ¾Cuánto tiempo necesitaría cada una de ellas, separadamente, para llenarlo, sabiendo que la primera tarda 37. Dos capitales dieren en $5000, 8. 5 horas más que la segunda? y el tanto % del capital mayor excede en menor. Sabiendo que el rédito anual del primero es $1000 y el del segundo 1 al del capital $600, hallar los dos capitales y los tantos por ciento. 38. Un tanque puede ser llenado por sola en 2 llaves juntas en 3 34 horas. La llave mayor podría llenarlo 4 horas menos que la otra. ¾En cuántas horas lo llenaría cada una, separadamente? 39. En un triángulo rectángulo, se conocen el cateto Calcúlense la hipotenusa a y el otro cateto y la altura h relativa a la hipotenusa. c. 40. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide Calcúlese la altura relativa a la hipotenusa. 7 b 10 m, y los catetos 6 y 8 m, respectivamente. EJERCICIOS ADICIONALES Instrucciones: Determine el conjunto solución de las siguientes ecuaciones cuadráticas. 23. x2 = −155x 24. 6(x2 − 5) − x = −30 4. −3x2 = 0 √ 3 3 16 2 x =0 75 5 2 x =0 123 √ − 15x2 = 0 5. x2 = 384 27. 6. 2x2 − 98 = 0 1. 2. 3. 25. 26. 28. 2 10. 5 x + =0 4 4 150 =0 x2 − 4 4 2 9 x − =0 5 625 √ 5x2 = 125 11. √ 3 16 = 4x2 12. 3x2 = 6075 7. 8. 9. 13. 14. 29. 30. x2 = −x 31. x2 + 144x = 0 32. 33. 34. 8 2 256 x − =0 5 10 9 (x − 5)2 = 1024 9 2 x + 16x = 0 5 16 x − x2 = 0 5 −9 2 x + 13x = 0 7 4 x + 16x2 = 0 15 7 5 2 x =2 x 7 8 −3 2 x − 11x = 0 5 x2 − 5x = 2x 4 5x2 − 3x = 6x 5 35. (x − 14)(x − 215) = 0 36. (x − 1)(2x + 1) = 0 15. (x + 7)2 = 36 37. 10(12x − 4)(5x + 18) = 0 16. (2n − 3)2 = 34 38. 5 )=0 (7x + 5 21 )(−3x + 4 12 17. (3x − 2)2 = 39. 18. (x − 6)2 = 24 19. −2(x − 1)2 + 5 = −8 20. x2 − 5x = 0 21. x2 + 22. 12x2 − 8x = 0 (9x + 5)(12x + 48) = 0 −33 5 11 6 7 x− x+ =0 14 4 23 5 8 25x + 112 (−9x + 18) = 0 40 −2 1 x −4 x+ +1 =0 5 4 5 11 2 12 − 3x x− =0 5 289 225 65 x=0 4 40. 41. 42. 43. 8 44. 45. 46. 47. 48. 10 2 3x + 5x x +x =0 51 1 3 2 x+ x + x =0 8 5 2 x (5x − 1) −8 =0 2 5 2 (5x + 12) x + x = 0 2 2 (12 − 4x2 ) (15 − x2 ) =0 4x + 15 2 −5 2 x 12 58. 3x2 + 2 = −4x 59. x2 x 1 − = 3 4 24 60. x2 − 4x = 12 61. 3x2 + 11x + 10 = 0 62. 4x2 − 10x − 14 = 0 63. 2x2 + 7x − 4 = 0 64. 5x2 + 11x + 6 = 0 65. 6x2 − 7x + 2 = 0 66. 2x2 + 11x + 15 = 0 67. 25x2 − 20x + 4 = 0 68. x2 − m2 + 49. (−9x + 15x) + 2x =0 1 2 (1 − 12x2 ) + x 4 50. 3x2 = 1 − x 51. 2x2 + 2 = 5x 52. x2 + 5x − 6 = 0 53. 2x2 − 3x + 5 = 0 69. 54. 3x2 − 10x + 3 = 0 70. 55. 5x2 = 4 − 4x 71. 56. x2 + 5 = −2x 72. 57. 4x2 = 8x − 5 73. 9 √ √ 6x + 1 = 0 √ 3m − 2 = 0 √ √ 2x2 − 2 5x = 8 x2 − 3x = √ √ 7 √ √ 27 − 2 7x = 3x2 √ √ ( 3 − 1)x2 + (4 − 2 3)x − 4 = 0 COLEGIO INTERNACIONAL SEK Prof. Álvaro Elizondo Montoya. TEMA: PRÁCTICA DE ECUACIONES CUADRÁTICAS. Nombre: ___________________Fecha:_______Grupo: 9− Instrucciones: Resuelva las siguientes ecuaciones, verique el conjunto solución indicado. 1)(5x − 3)2 = (3 − 5x)2 + (1 − 4x)2 1)S= 2 2)(2x − 1) = (−x − 1)(x + 1) + 9 3)(2x − 1)2 = (3 − 4x)2 + (x + 1)(5x − 5) 4)12x2 − 13x + 3 = (x + 3)2 + (1 − 5x)(x + 5) 5)(4x + 2)2 = (5 − 3x)2 + (3 − 3x)(x − 5) 6)(4x − 4)2 = 5x2 + (4 − 5x)2 − 5x 7)(5x − 2)2 = (x + 2)2 + x(4x + 5) 8)9x2 = (x + 4)2 − 10 9)(3 − 5x)2 = (5x − 2)2 + 12x + 12 10)(−2x − 2)(x + 4) = (−5x − 5)2 11)(−3x − 1)(x + 2) = (x − 5)(x + 4) + (x + 3)(2x + 2) 12)(x − 5)2 = −6x2 + (−5x − 2)2 + 11x − 4 13)(−2x − 5)2 = (−3x − 3)2 14)12x2 − 6x − 6 = −4x2 + 20x − 15 15)(−3x − 1)2 = −10x2 + (−2x − 3)2 − 4x 16)(3x + 3)2 = 9 − 4(x − 2)x 17)16x + 12 = 4(x − 5)x + (x + 4)(5x + 4) 18)(5x − 2)2 = (x − 2)(2x − 2) − 12x 19)3x2 + 13x − 10 = (−3x − 5)2 + (2 − 4x)(x − 3) 20)(x + 5)2 = 4x2 + 25x + (x + 4)(x + 5) + 25 21)5x2 + 7x + 2 = −3x2 − 14x + (4 − 3x)(x + 2) − 8 22)(−3x − 1)(x − 5) = −24x2 − 32x − 8 23)(2x + 3)2 = −25x2 + (−x − 2)2 + 25 24)(−2x − 4)(x − 5) = (2x − 1)x − x − 1 25)8x − 10x2 = 10x2 + 17x − 20 10 1 4 2)S= −1, 57 3 3)S= 17 ,1 11 4)S= −1, 16 5)S= −3, 51 13 6)S= 0, 14 7)S= 0, 29 20 8)S= − 21 , 32 7 9)S= − 22 10)S= − 11 , −1 9 11)S= −3, 32 12)S= − 25 ,1 9 2 13)S= − 58 , 2 14)S= 12 , 98 15)S= − 32 , 45 10 16)S= − 13 ,0 2 17)S= 3 2 18)S= 0, 23 19)S= − 29 , −1 2 20)S={−5, −1} 1 21)S= −2, − 11 22)S= − 13 , − 13 7 23)S= −1, 57 24)S= − 23 , 72 25)S= − 45 , 45 26) − 10x2 − 16x + 8 = −4x2 − (x − 1)x − 8x + 12 27)(3 − 5x)x = 6x2 − 13x + 5 28)9x2 = (5x − 2)2 + (4 − x)x 29)(x − 5)(x + 2) = 5(x − 5) + (x + 3)(5x − 3) 30)16x2 + 28x + 10 = (−3x − 1)2 + (x + 3)(2x + 3) 31)25 = x2 + (x − 5)2 32) − 9x2 − 3x + 2 = 4x2 + (2 − 4x)(x + 1) 33)20x2 + 23x + 6 = −5x2 − 2x 34)9x2 = (4x − 4)2 + (x − 2)(4x + 5) 35)(x − 4)(5x + 4) = (4x − 1)2 + (x − 4)(x + 5) 36)(2x + 4)2 = 9x2 + (2x − 2)x + 3x − 6 37)(4 − x)(x − 2) = −20x2 + 4(x − 1)x − 4x 38)(4 − 4x)2 = (2 − 5x)2 39)(−5x − 4)(x + 4) = −3x2 − 11x − 1 40)25x2 = 29x2 + 9x + 5 41)25x2 = 16x2 + (4 − 2x)2 42)(−4x − 1)2 = 10x2 − 7x + 1 43)(3x − 2)2 = (−2x − 2)2 + (x − 4)2 44)(−x − 4)(x − 4) = 5x2 + 3x + (5x − 4)2 45)(−3x − 2)2 = −17x2 + 19x + 23 46)(1 − 2x)(x − 4) = (x − 4)(5x − 1) − (x − 4)x 47)4 = (3x − 2)2 − 2x(x + 4) 48)(2x + 4)2 = −35x2 + 6x + 16 49)x2 − x = 3x2 + 2x − 2 50)(−2x − 5)2 = −5x2 + (−5x − 2)2 + 5 51)20x2 + 36x + 16 = (x − 3)2 + (−5x − 4)(x + 2) 52)10x2 − 14x + 4 = (−4x − 3)2 + (−2x − 4)2 53) − 2x2 − x + 6 = (3 − 5x)(x − 3) + (x − 4)(2x + 4) 54)(2 − 3x)2 = (x + 5)2 + (4x + 5)2 55)25x2 = (−4x − 3)2 + 5x − 10 56)(3 − 2x)(x + 1) = (3x − 1)2 + 1 57)(2x − 5)2 = 20x2 + (3x + 3)x + 7x − 3 11 26)S= −1, − 54 5 27)S= 11 ,1 2 2 28)S= 5 , 3 29)S={−6, 1} , 0 30)S= − 13 5 31)S={0, 5} 32)S= − 91 , 0 33)S= − 53 , − 52 2 34)S= 11 ,3 35)S= −1, 14 36)S= −1, 22 7 37)S= − 43 , 52 38)S= −2, 23 39)S= −5, − 23 40)S= − 54 , −1 41)S= −4, 54 42)S= − 25 , 0 43)S={−1, 4} 37 44)S= 0, 31 45)S= − 19 , 1 26 1 46)S= 3 , 4 47)S= 0, 20 7 48)S= − 10 , 0 39 49)S= −2, 12 50)S={−1, 1} √ 1 √ 1 51)S= 12 −14 − 106 , 12 106 − 14 √ 1 √ 1 52)S= 10 −27 − 519 , 10 519 − 27 √ √ 53)S= 12 15 − 101 , 21 15 + 101 √ √ 54)S= 18 −31 − 593 , 18 593 − 31 √ 1 √ 1 55)S= 18 29 − 805 , 18 29 + 805 √ 1 √ 1 56)S= 22 7 − 93 , 22 7 + 93 √ 1 √ 1 57)S= 19 −15 − 757 , 19 757 − 15 58)3x2 + 7x − 6 = −9x2 − 3x + (2x − 5)2 + 6 58)S= 1 59) − x(x + 4) = 15x2 + (−2x − 5)x − 9x − 6 59)S= 1 60)S= 1 61)S= 1 62)S= 1 63)S= 1 64)S= 2 65)S= 1 66)S= 1 67)S= 1 68)S= 1 69)S= 1 70)S= 1 71)S= 1 2 2 60)(5x − 2) = (3x + 3) + (3x + 5) 2 2 2 61)16x = (5x − 1) + (x − 3)x 62)5x2 − 2x = (2x − 1)2 − 3x(x + 5) 2 63)(3x − 1) = (−4x − 4)(x − 3) + (x + 1)(3x − 4) 2 64)4(x − 5)x = −2x + 3(x + 5)x + 5x + 12 65)(−3x − 1)(x + 1) = (−5x − 4)(x + 4) − 3x(x + 5) 2 66) − 3x = (5x + 5) + (5 − 5x)(x − 2) 67)(5 − 2x)2 = −10x2 + 10x + (−4x − 4)(x − 2) + 20 2 68)5 − 5x = (x − 5) + (1 − 5x)(x − 5) 69) − 3x2 − 5x − 2 = −10x2 + 16x + (−4x − 1)(x − 1) + 8 2 2 70)4 − 25x = 16x − 13x − 9 2 71) − 10x − 16x − 6 = 3x + (x + 5)(3x + 4) − 3 12 8 14 7 20 8 20 3 2 10 18 8 11 82 13 √ √ −15 − 521 , 18 521 − 15 √ 1 √ 5 − 109 , 14 5 + 109 √ √ 34 − 1366 , 17 34 + 1366 √ 1 √ 13 − 129 , 20 13 + 129 √ √ −17 − 305 , 18 305 − 17 √ 1 √ 13 − 449 , 20 13 + 449 √ √ 10 − 109 , 32 10 + 109 √ √ −7 − 37 , 12 37 − 7 √ 1 √ 214 − 17 −17 − 214 , 10 √ 1 √ 17 − 7 7 , 18 17 + 7 7 √ √ 21 − 681 , 81 21 + 681 √ 1 √ 12 − 265 , 11 12 + 265 √ √ 1 13 − 2301 , 82 13 + 2301 √ 1 √ 62 − 19 −19 − 62 , 13