LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAICES (LGR) DEFINICIÓN: El

LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAICES (LGR)
DEFINICIÓN:
El lugar geométrico de las raíces es la trayectoria formada por las raíces de una ecuación
polinómica cuando un parámetro de ésta varía.
En el caso de Sistemas de Control, la ecuación polinómica resultante es la ecuación
característica, y el LGR es la trayectoria en el plano S (complejo) de las raíces de ésta
ecuación cuando algún parámetro está cambiando:
P(s)
num( s )
=0
=
1+
=0
Q( s)
den( s )
Podemos ver más claramente el parámetro variable de la siguiente forma:
1 + G( s) H (s) = 0
1+ K
P( s)
=0
Q( s )
ó
=
1+ K
1+
num( s )
= 0 ; con K como parámetro variable.
den( s )
Ejemplo:
Sea G ( s ) H ( s ) =
K
, esto implica que la ecuación característica será:
s ( s + 1)
S2 + S + K = 0
Y el lugar geométrico es:
Figura 1. LGR para G(s)H(s)=1/s(s+1).
Nota: la finalidad de ésta sección es poder hacer el bosquejo del LGR (gráfica) a mano,
contrastarla con los resultados arrojados por Matlab, y crear subrutinas para su
elaboración.
EL LGR SE DIVIDE EN:
1. RL: porción del LGR cuando K es mayor o igual a cero (positiva ), [0, ∞)
2. CRL: porción del LGR cuando K es menor que cero (negativa), (-infinito,0), la letra
C al principio de RL significa que el CRL es el complemento del RL.
3. CR: contorno de las raíces, esto implica que hay más de un parámetro variando en
la ecuación polinómica.
CONSTRUCCIÓN DEL LGR A MANO
Construir el LGR implica elaborar una gráfica en el plano S en donde X es la parte real
(σ) y en Y la parte imaginaria (jw) de las raíces encontradas cuando K varía en la función
de transferencia G(s)H(s); en el caso de que K sea igual a cero, lo que se tienen son los
polos del sistema, esto se demostrará más adelante.
1. Encontrar G(s)H(s)
Dado el sistema:
Figura 2. Diagrama de bloques de un sistema en lazo cerrado.
La función de transferencia en lazo cerrado es: M ( s ) =
Y ( s)
G (s)
=
R(s) 1 + G (s) H ( s)
Y la ecuación característica es: 1 + G ( s ) H ( s ) = 0
En el caso de que nos den una ecuación polinomica, lo que hay que hacer es
agrupar todos los términos que tengan la variable K, y luego dividir por todos los
términos restantes para que la función quede expresada como la ecuación anterior,
esto es:
S 2 + 3S + KS + K = 0 es la ecuación polinómica o ecuación característica.
S 2 + 3S + K ( S + 1) = 0 Agrupamos los términos de K.
K ( S + 1)
= 0 Dividiendo por los términos que no contienen a K, que es la forma
S 2 + 3S
que queríamos obtener.
1+
2. Número de ramas del LGR
Con base en G(S)H(s) (función de transferencia en lazo abierto) del ítem anterior,
encontramos el número de polos (n) y sus valores y el número de ceros (m) y sus
valores.
n=número de polos que es igual al grado de la ecuación característica
m =número de ceros o grado de la ecuación del numerador.
Ejm: del ejemplo anterior tenemos: 1 +
K ( S + 1)
=0
S 2 + 3S
n=2, y los polos son S=0 y S=-3.
m=1, y el zero es en S=-1.
NOTA: El número de ceros debe de ser igual al número de polos (teorema de
ecuaciones racionales), por lo tanto sí solo hay un cero finito (que posee valor),
implica que el otro cero está en infinito. De ésta manera tendríamos 2 ceros en S=1 y en S=∞.
La nomenclatura en el LGR es una X para cada polo y un 0 para cada cero finito.
Teniendo lo anterior claro, se define el número de ramas como el número de polos
del sistema, o sea, el grado de la ecuación característica. Las ramas son
trayectorias que van desde K= - ∞, pasan por K=0 y se van a K = ∞.
K
y su LGR se muestra en la gráfica 1, pueden verse 2
s ( s + 1)
ramas, una verde y la otra azul, y como no hay ceros finitos, los ceros estarán en
S= + ∞ y en S= -∞.
Rama 1 verde: va desde -∞ pasa por el polo en S=-1 y se va a S= -∞.
Rama 2 azul: va desde -∞ pasa por el polo en S=0 y se va a S=∞.
Ejm: G ( s ) H ( s ) =
3. Asíntotas y su intersección
Las asíntotas nos darán una idea de por donde se irán las ramas del LGR, de allí
su importancia para elaborar un bosquejo a mano.
Para RL:
(2i + 1)
θi =
180 0 , para i =0,1,2,…. |n-m|-1.
n−m
Para CRL: o sea, para el complemento del anterior.
2i
θi =
180 0 , para i =0,1,2,…. |n-m|-1.
n−m
Intersección de las asíntotas:
∑ Polos _ finitos − ∑ ceros _ finitos , cuando se tienen pares complejos
θ int =
n−m
conjugados, la parte imaginaria se cancela, por lo tanto la ecuación anterior se
puede reducir tomando solo las partes reales tanto de los polos como de los ceros.
1
tenemos: n=2 polos en S=0 y S=-1, y dos ceros en el
s ( s + 1)
infinito, ya que no son finitos o no existen en la función de transferencia.
Ejm: de G ( s ) H ( s ) =
|n-m|=2, i va hasta |n-m|-1=1.
RL:
θi =
(2i + 1)
180 0
n−m
=
θ0 =
(2 ∗ 0 + 1)
(2 ∗ 1 + 1)
180 0 , θ1 =
180 0
2
2
Las asíntotas están en θ=90 y 270 grados.
CRL:
θi =
2i
2∗0
2 ∗1
180 0 = θ 0 =
180 0 , θ1 =
180 0
n−m
2
2
Las asíntotas están en θ= 0 y 180 grados.
Intersección
∑ Polos _ finitos − ∑ ceros _ finitos = θ = (0 − 1) − (0) =
θ int =
int
n−m
2 −1
Θint= - 0.5.
De la gráfica 1, se puede ver que en S= - 0.5, está la intersección de las asíntotas,
para el RL los ángulos son 90 y 270 por lo tanto las ramas desde K=0 (polo en
S=0) hasta K= ∞, y K=0 (polo en S= -1) hasta K= - ∞, se van por estas asíntotas
respectivamente, mientras que para K=-∞ hasta K=0 (polo en S=-1) y K= ∞ hasta
K=0 (polo en S=0), las ramas vienen por todo el eje real siguiendo las asíntotas 180
y 0 grados respectivamente.
4. Condición de Magnitud y Ángulo
Con el fin de establecer sí un punto del plano S, pertenece al LGR lo que se hace
es primero aplicar la condición de ángulo, luego de estar seguros de que sí
pertenece se le aplica la condición de magnitud y se encuentra el valor de K.
Condición de Ángulo
RL: ∠G1 ( s ) H 1 ( s ) = ∑ ∠ceros − ∑ ∠polos = (2 ∗ i + 1) ∗ 180 0 para K > = 0.
CRL: ∠G1 ( s ) H 1 ( s ) = ∑ ∠ceros − ∑ ∠polos = (2 ∗ i ) ∗ 180 0 para K<0.
Esto implica que sí el ángulo es un número entero par múltiplo de 180 pertenece al
RL, pero si por el contrario es un múltiplo impar, pertenece al CRL.
Ejm: Dado
Figura 3. Configuración de polos (x) y ceros (0) de G(s)H(s)
Se quiere comprobar sí el punto S1 pertenece al LGR.
RL: ∠G1 ( s ) H 1 ( s ) = ∑ ∠ceros − ∑ ∠polos = (2 ∗ i + 1) ∗ 180 0 para K > = 0.
∠G1 ( s ) H 1 ( s ) = (θ Z 1 ) − (θ P1 + θ P 2 + θ P 3 ) = 180 0
CRL: ∠G1 ( s ) H 1 ( s ) = ∑ ∠ceros − ∑ ∠polos = (2 ∗ i ) ∗ 180 0 para K<0.
∠G1 ( s ) H 1 ( s ) = (θ Z 1 ) − (θ P1 + θ P 2 + θ P 3 ) = 0
Condición de Magnitud
Con ésta encuentro el valor de K, y para hacerlo parto de la ecuación
característica.
1+ K
num( s )
num( s )
den( s )
= 0 que es igual a: K
= −1 , igual a: K = −
den( s )
den( s )
num( s )
Por lo tanto:
n
Π 1 ( polos ) Π 1 s + p j
K =
=
m
m
Π 1 ( ceros ) Π 1 s + z k
n
, donde el símbolo π representa una
productoria, esto es el producto de las magnitudes de los vectores existentes entre
el punto S1 (al que queremos calcularle el valor de K, ya que pertenece al LGR) y
los polos y ceros del sistema. En el caso de que K sea >=0 implica RL, en caso
contrario CRL.
Continuando con el ejemplo, vemos que las magnitudes de los polos al punto S1
son: B, C y D, mientras que la magnitud del vector que va desde el cero hasta S1
es: A.
Π ( polos ) B ∗ C ∗ D
K = 1m
=
A
Π 1 ( ceros )
n
5. LGR sobre el eje real
Para observar la porción del eje real que pertenece al LGR lo que se debe realizar
es aplicar la condición de ángulo de la siguiente forma:
RL:
sí
el
número
total
de
polos
∠G1 ( s ) H 1 ( s ) = ∑ ∠ceros − ∑ ∠polos = (2 ∗ i + 1) ∗ 180 0
+
CRL:
sí
el
número
total
de
polos
+
0
∠G1 ( s ) H 1 ( s ) = ∑ ∠ceros − ∑ ∠polos = (2 ∗ i ) ∗ 180 para K<0.
ceros
ceros
es
es
impar,
par,
Esto se logra ver más fácilmente en la gráfica:
Figura 4. LGR sobre el eje real
Tomamos un punto S1 sobre el eje real, lo movemos a lo largo de este y observamos
con la condición de ángulo para cual de los dos RL o CRL cumple.
•
Primer tramo (eje real positivo): a la derecha implica. # polos + # ceros =0, cero es
par, por tanto implica CRL, esto lo podemos ver de la siguiente forma, cada polo y
cero me forma un ángulo de cero grados con el punto S1 que esta a la derecha,
excepto los polos complejos, que tendrían dos ángulos, pero por ser complejos
conjugados sus ángulos serían de igual magnitud pero de sentido contrario, lo que
implica que al sumarse se cancelan.
∠G1 ( s ) H 1 ( s ) = ∑ ∠ceros − ∑ ∠polos = (0 + 0) − (0 + teta1 − teta1 + 0 + 0) = 0 0 , múltiplo
par de 180.
•
•
•
•
•
•
Segundo tramo (entre los polos complejos y el polo en S=0): a la derecha tenemos.
# polos + # de ceros=1, implica RL.
∠G1 ( s ) H 1 ( s ) = ∑ ∠ceros − ∑ ∠polos = (0 + 0) − (180 + teta1 − teta1 + 0 + 0) = −180 0 que
es múltiplo impar de 180.
Tercer tramo (entre el tercer polo y los polos complejos): a la derecha tenemos. #
polos + # de ceros=3, implica RL. De esto se puede observar que los polos
complejos no influyen sobre el LGR en el eje real.
∠G1 ( s ) H 1 ( s ) = ∑ ∠ceros − ∑ ∠polos = (0 + 0) − (180 − teta1 + teta1 + 0 + 0) = −180 0 ,
múltiplo impar de 180.
Cuarto tramo (entre el primer cero y el tercer polo): a la derecha tenemos. # polos +
# de ceros=4, implica CRL.
∠G1 ( s ) H 1 ( s ) = ∑ ∠ceros − ∑ ∠polos = (0 + 0) − (180 − teta1 + teta1 + 180 + 0) = −360 0 ,
que es múltiplo par de 180.
Quinto tramo (entre el 4 polo y el cero): a la derecha tenemos. # polos + # de
ceros=5, implica RL.
∠G1 ( s ) H 1 ( s ) = ∑ ∠ceros − ∑ ∠polos = (180 + 0) − (180 − teta1 + teta1 + 180 + 0) = −180 0 ,
que es múltiplo par de 180.
Sexto tramo (entre el segundo cero y el cuarto polo): a la derecha tenemos. # polos
+ # de ceros=6, implica CRL.
∠G1 ( s ) H 1 ( s ) = ∑ ∠ceros − ∑ ∠polos = (180 + 0) − (180 − teta1 + teta1 + 180 + 180) = −360 0
, que es múltiplo par de 180.
Último tramo (a la izquierda del segundo cero): a la derecha tenemos. # polos + #
de ceros=7, implica RL.
∠G1 ( s ) H 1 ( s ) = ∑ ∠ceros − ∑ ∠polos = (180 + 180) − (180 − teta1 + teta1 + 180 + 180) = −180 0
, que es múltiplo par de 180.
6. Ángulos de llegada y salida
El ángulo de partida o llegada a los ceros o polos está determinado por la tangente
del LGR en un punto muy cercano a los ceros o polos. Y se determina aplicando la
condición de ángulo.
CONSTRUCCIÓN DEL LGR EN COMPUTADOR
EN MATLAB
Las instrucciones que me permiten realizarlo son rlocus, y rltool.
Como utilizarlos:
Definimos kG1(S)H1(S)=num(s)/den(s)
K
Ejm: G ( s ) H ( s ) =
s ( s + 1)
Num=[1]
Den=[1 1 0]
Y el LGR se obtiene con rlocus así:
rlocus(num,den)
Para utilizar rltool necesito:
Sys=tf(num,den)
Esto lo debo de hacer ya que rltool es un objeto, por eso primero debo de definir el
sistema tal cual como esta G(s)H(s).
rltool(sys)
Me muestra el LGR y me da la opción de ver el valor de K en cualesquier punto del LGR.
Además me brinda la opción de generar el Bode, Nyquist, la respuesta en el tiempo para
un escalón, o una rampa.
Diseñando el algoritmo:
El LGR es la trayectoria que forman las raíces de la ecuación característica cuando
cambia un parámetro, por tanto.
num( s )
= 0 lo puedo representar como:
den( s )
cambiar K y encontrar las raíces.
1+ K
Sí G ( s ) H ( s ) =
den( s ) + K ∗ num( s ) = 0 , y a partir de esta
K
, entonces mi ecuación caracteristica es: s 2 + s + K = 0
s ( s + 1)
Algoritmo:
for k=-50:0.5:50 % creo un ciclo que va desde -50 hasta 50 en incrementos de 0.5.
EC=[1 1 k]; % defino la ecuación caracteristica del sistema
RA=roots(EC); % obtengo las raices
plot(real(RA),imag(RA),’X’) % gráfico la parte real Vs parte imaginaria
hold on
% superpongo las gráficas
end
% culmina el ciclo