ÀNGULOS I Resuelve los siguientes problemas. 2) x = ? 1) x = ? 145º a. 145º b. 90º c. 72.5º d. 45º e. 35º 3) x = ? a. 30º b. 45º c. 75º d. 90º e. 105º Xº 60º 45º aº bº 7) x = ? a. 45º b. 60º c. 90º d. 180º e. 360º 9) x = ? a. 30º b. 60º c. 90º d. 120º e. 150º xº a. 180 – a - b b. 2a c. 180 -2 a d. 180 - a e. 180+ 2a aº xº aº 6) x = ? xº a. 90º b. 180º - a - b c. a + b - 180º d. – a - b e. a + b a 4) x = ? xº 5) x = ? a. a b. 90º c. 90 - a d. 180 - a e. 180+ a a. 18º b. 72º c. 90º d. 108º e. 128º xº 72º 8) x = ? xº xº xº xº 2xº xº xº 2xº a. 30º b. 40º c. 50º d. 60º e. 100º 10) x = ? a. 35º b. 45º c. 55º d. 65º e. 90º 1 xº 100º 50º 35º Xº 11) x = ? x a. 5º b. 15º c. 30º d. 45º e. 60º a. 67.5º b. 75º c. 90º d. 135º e. 145º C x x A O D x A P B 30º x a. 15º b. 30º c. 45º d. 60º e. 90º 16) x = ? y x x 3x 14) x = ? x 15) x = ? a. 15º b. 30º c. 45º d. 60º e. 75º 5x B 13) <AOC = ? a. 120º b. 110º c. 100º d. 90º e. 60º C 12) < APC = ? z a. 120º b. 90º c. 60º d. 30º e. 0º yz 120º x 150 17) x = ? a. 70º b. 60º c. 30º d. 15º e. 10º 18) x = ? 80º a 60º 19) <SPR = ? a. 140º b. 80º c. 60º d. 50º e. 40º x 2x x 30º a. 30º b. 37.5º c. 50º d. 75º e. 100º 20) OP bisectriz del <QOR; <SOP= ? R S 120º 100º P a. 36º b. 120º c. 135º d. 144º e. NA 2 R P 2x x S O Q 22) <AOC : <BOC = 3 : 2. <BOC = ? 21) OQ bisectriz del <ROP. <POQ = ? a. 55º b. 45º c. 35º d. 25º e. 15º R 110º S a. 30º b. 36º c. 45º d. 60º e. 72º Q O P g B A x 30º a. 138º b. 42º c. 30º d. 28º e. 18º a x+12 28) x = ? 27) x = ? a. 10º b. 15º c. 20º d. 25º e. NA B 26) x = ? 25) <a = 3x; x = ? a. 22.5º b. 30º c. 45º d. 60º e. NA O OB bisectriz del <AOC C x a. 60º b. 55º c. 45º D O d. 30º e. 15º b a A 24) OC perpendicular a AD 23) a:b:g = 3:4:5. b = ? a. 140º b. 80º c. 60º d. 50º e. 40º C x a. 150º b. 140º c. 130º d. 120º e. 110º x +40 2x-15 x 29) PQ perpendicular a la recta L <RPQ = ? a. 90º+x P b. 90º-x c. 180º-x d. 180º+x x e. 45º Q R SOLUCIONARIO : 1) C 2) D 3) C 4) C 5) B 6) D 7) C 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) A B C C D A D x 5y 2y+24 30) x = ? 2a a. 36º b. 72º c. 90º d. 108º e. 144º L 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) D C A C E C C 3 x 22) 23) 24) 25) 26) 27) 28) E C C C E E B 3a 29) B 30) A ANGULOS: Guía 2 Resuelve lo que se te pide en cada pregunta. 1) x = ? x 2) MQ; bisectriz del <RMP. MO bisectriz del< NMP. < QMO = ? 2x P x Q 3x O 2a a R 3) RO perpendicular con OP; x : y = 1 : 4; <POQ = ? M N 4) RU: bisectriz del <VRS. RT: bisectriz del <URS. <URT = ? R Q U T V y 60º x O P W 5) a y b son ángulos complementarios; c = ? R 6) x = ?. 130º c a L1 2x b 7) x = ? x+10 8) L1 // L2; x = ? L2 x+20 30º 70º S L1 38º x- 10 L2 x+27 4 9) L1 // L2; x = ? 10) P // Q; EF bisectriz; < x= ? x x P L1 F 20º 135º L2 Q E 11) S // T; <x = ? 12) P // Q; a - b = 20º; x = ? S T P M 2x a b x x 13) F // G; G perpendicular con M; x = ? Q 14) x = ? 5x T 50º x F G x M 15) x = ? 16 ) P // Q; x = ? x 4x 110º 3x 2x Q P 5 17) 3a = ? 18) <AMC = 120º;<BMD = 132º <DMC = ? a a D 2a a C A 19) x = ? M B 20) L perpendicular con M α : β = 2 : 3; α = ? L 40º x α 135º N β M 21) x + 2y = ? 22) b = 5a; x = ? 130º x x y a b 20º 23) β = α/2; α = ? α 60º 24) x = ? a a β a x 25) x = ? 26) x + y = ? y x x 6 27) x = ? 28 ) x = ? x+20 40º x-10 x 30º 235ª 29) x = ? 30) PR perpendicular con PQ; x=? a 2a+b R 2b T 4x x S 15º 3x P Q ANGULOS: Guía 3 Resuelve lo que se te pide en cada pregunta. 1) α y β son suplementarios. <QRT = 75º; U β 2) <QMR es el 20% del <PMR. <PMR = ? =? <PMR = ? T α R S β P R P Q 3) L1//L2; PQ y RS bisectrices. x=? M 4) x = ? 260º T P Q R x L x 1 65º Q 210º L2 S 7 Q 5) x = ? 6) PQ perpendicular a PS; PR perpendicular a PT; x-y=? S x+14 T x+21 x R y 3x 7) M // N; Q P α: β = 7 : 2; x = ? 8) P // Q // AB; R // S; x = ? T α β 40º R x x M N A S B P Q 9) x = ? 10) x = ? 110º 20’ x x 11) x = ? 36º49’ 12) S // U; <TQU = ? T x U 50º Q R 153º 107º 12’ 42’’ S 13) OB bisectriz del <COA DO perpendicular con OC; <COB = ? D 14) <1 = <2; <3 = <4; <2 + <3 = 65º; <TOS = ? T C U B 21º T O x 2 1 A P 8 S 3 R 4 O Q 15) <AOE = 132º; <1 = <2; <3 = <4; <1 =<3; <4 = ? 16) x : y : z = 1 : 3 : 8; y = ? E 1 2 R 3 4 S P A y x z Q O O 17) x + y = ? y 18) x + y = 72º; x + z = 66º; z = ? 40º x y y x+y z x 19) x : y = 2 : 5; x + y = ? x 20) y = ? x+y y x 3x 72º 2 x-y 21) a = ? 22) OB es peroendicular a OF.x = ? a-b 5a O x A a+b a C x B 23) a + b + c = 72º; b = c =a/2; <a = ? a E 2 F 24) a + c = 62º; b + d =71º; e=? c b b d c e 9 a 25) y - 2a = 30; x + y = ? 26) a + 0,5b + 0,5c = ? y 2a x b 70º a c 27) a = 2b = c + d; L1 perpendicular a L2 28) a = b + 15; b = c + 20; c = d + 25; a = ? L 1 x b b c d c a d L2 29) x + y = ? a 30) L1 // L2; a + b + c + d = ? a x+2y b 2x+y c d TRIÀNGULOS I 1) <CAB = ? 2) <QPR = ? C R 80º 40º 72º A 125º P B Q 3) x = ? 4) x = ? x 72º 158º 136º x 10 67º 5) x = ? 6) x = ? 81º 87º x x 70º 32º 7) x = ? 8) x = ? 132º x x x x 9) <ABC = ? x 10) x + y = ? C y 3x x 140º 2x A x 105º B 11) PR perpendicular con QR; <PQR = ? 12) RT perpendicular con ST; a+b=? R T 30º P a R Q 13) x = ? 14) x = ? a x a b S b x 11 b 15) x = ? 16) PR congruente con QR; <PRQ = ? R x 180 - a a P Q 18) PR = PQ; <PQR = ? 17) MN = ON; <x = ? O R 115º x M 115º P N 19) x = ? 20) AB = BC; AC = BC; <DBC = ? C x- 10 A x + 25 Q C 2x + 5 B A 21) a + b - c = ? B D 22) a + b = 245º; x = ? b 8x c 4x a b x 6x 12 a 23) <ACB = ? 24) <CAB = 28º; <ACB = ? C C x 2a 3a A 2x B 30º A B 25) AD altura; <ABD + <CAD = ? 26) PR // ST; x = ? C 80º R D T 70º A P B 27) x = ? x 117º Q S 28) TU bisectriz del <RTS. <RTU = ? T x a 2a R 150º 29) α:β:γ = 5 : 3 : 1; α= ? 73º 22º U S 30) AC = BC; <ACB = ? C β α γ A 13 2a 2a B TRIÁNGULOS: Guía 2 1) RP = RQ, PS bisectriz del <RPQ; <PSQ = ? 2) HI bisectriz del <FHG; <FHI = ? H R S 35º 15º Q P F 3) AC = BC; x = ? 4) PR = QR; C α : β = 1 : 2 <PSQ = ? R 5x S x-15 A G I βα P B 5) x = ? Q 6) QS bisectriz del <PQR; a = 2b; <PSQ = ? R b 75º S a 4a x a P 7) CD = AD; <ABD = ? 8) AD = DC; <DAC = ? C C D 30 80 9) MQ y OP son alturas; x = ? C Q E x 55 B D 10) AC = BC; <ACB = ? O P a A B A M Q N A 14 120 30 D B 11) PR // ST; x + y = ? 12) CD altura; <ACD = ? C R 60 P T y S x 70 Q 35 A 13) MN // RQ; NO // PR; MO // PQ; x = ? D 14) CD altura; AE bisectriz del <CAB; <AEB = ? C O E 50 R Q 60° x 40 M N P 30 A 15) RU = US = TU; x + y = ? R y x 34 S U Q P 17) DE = GF; AC = AB; x = ? 18) CD perpendicular con AB; <ACB recto; <ACE = <BCE; <DCE = ? C C F A S 38 T G B D 16) PQ // TS; PS bisectriz del <RPQ; <TSP = ? T R B 19 E 105 x B D A 19) AC = AD; α :β = 1 : 2; x = ? 20) α 53 D B E : β = 2 : 3; β : γ = 6 : 8; C R γ D A β α 106 x B P 15 α β Q 21) α - β = β - α; x = ? 22) a - d = ? γ β α x c 23) x = ? d 24) AB = BD; AC = BC; <ABD = 129º; <CAD = 18º; x=? a a b a D C x a x E a A 25) x = ? B 26) L1 // L2; x = ? L1 x 20 x L2 150 27) MP bisectriz del <OMN; QP // MN; <QPM = ? 28) MN hipotenusa del DMNO; OP perpendicular a MN; OQ = PQ = QN; <OMN = ? O O 28 Q P Q 80 M 101 N M 16 P N 29) AB // CD; AC = BC; <DCA = ? D 30) CG = GF; <DFE = ? C C 72 F 46 G 115 A a B E A D b a b E B TRIÁNGULOS: Guía 3 1) RT = RS = PS; <x = ? R 2) DF = BF; AC // DE; x+y=? T y x A P C Fx a 3) AC // DE; BC // DF; AB // FE; <ABC = ? F C 4) AC = BC; a = 2b; x = ? C E 70 60 α D A B D Q S A B 5) <CAF = <FAD = <DAB; 10 x D β 6) x = ? EF perpendicular a BC; x=? C x E x α+β F α D A 36 E B 17 β 35 B 7) x = ? 8) AC = BC; <CBE = ? C x 32 E b x b A a 9) Determina cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdaderas: I) <CAB > <DEB II) <DEB > <CAB III) <CAB + <DEB = 80º C 12) RS bisectriz del <PRQ; RT bisectriz del <SRQ; <PTR = ? R E β F A B A 11) AE bisectriz del <CAB; EB bisectriz del <AED; a : b = 1 : 2; <ABC = C 10 126 B D P 40 13) a = 0,5b =0,5g; x = ? T S Q 136 14) z = ? x x α x + 20 2x + 30 60 D A D 10) AC = BC; <ACB = ? B α B E C 40 a β γ x z 18 z 15) RS = TS; VS bisectriz del <RVU; RT // SV; x = ? 16) x + y E V T C D x y x x y R 18 S U 17) a - b = ? 18) Los ángulos a, d y c son congruentes; <QPO = ? a O d Q a c b c 19) x = ? P N 20) a + b = 160º; L1 // QR; L2 // PR; x = ? C a b a c b M A B 80 A R E x b D a P 40 B L2 x Q L1 L2 22) D punto medio de AB; CD = BD; <CBA = 70º; <CAB = ? 21) PQ = QR; L1 // L2; L1 bisectriz del <RPQ; x=? R 40 b C L1 x P A Q 19 D B 23) NQ altura; MP bisectriz del <OMN; <MON = ? 24) CA perpendicular a BA; DE = AE; <DBC = 30º; <DAB = 130º; <ACB = ? O B Q C D 110 E 18 M N B A 25) Triángulo ABC equilátero; AB = BD; <ADC = ? 26) Triángulo ABC equilátero; AF altura; <GDE = 1/3 <BDE; x=? E C C x F A D B B DG A 27) Los triángulos ABC y BDE son congruentes; BF bisectriz del <CBE; AB = AC = BD = DE; <CBF = ? 28) UP perpendicular a PQ; TS // RQ; x=? U E C F T V 60 x A B 70 x 2 120 P Q S D 29) x = ? π R 30) MN = MO; ON // RQ; RP altura; <PRQ = ? O π 3π 3 M 20 38 R N P Q CUADRILATEROS: Guía 1 1) ABCD trapezoide 2) ABCD trapezoide, x = ? x + y + w = 290º; z=? A D C z D w x y B A C 50 B 4) PQRS cuadrado; x + y = ? y S R x b a P B 5) ABCD trapecio, x + y = ? D x 110 x A 3) ABCD trapezoide, x =? D c C 30 Q x 6) ABCD rombo; a + b = ? D C y α 110 60 A β C A 110 B B 7) MNOP rectángulo, <PMO = 60º, x = ? P M O 8) ABCD trapecio; CE altura, <DCB = 110º, x-y=? D x x A N 21 C y y E B 9) PQRS rombo, SQ x=? UT; 10) ABCD trapecio isósceles, <DAB = ? S U x T P 135 D R A C 4x -5 3x +10 B Q 11) ABCD cuadrado, AD // EF, <1 + <2 + <3 = ? D C F D 12) ABCD rombo, a = ¼ b; b = ? α 3 C Aβ 2 A 1 B E B 13) PQRS rombo, <PSQ = 20º, <TRQ = ? 14) MNOP trapecio, PM = OQ = QN, <MPO = 110º <MNO = ? S O P T P R M Q x N Q 15) ABCD romboide AD = DE = CE, <ECB = 50º <AEB = ? D A E 16) ABCD trapecio isósceles, <BCD = x + 35, <DAB = x+10, x = ? D C B A 22 C B 17) ABCD rombo, <ADC = 130º, <BAC = ? 18) ABCD cuadrado, ACE triángulo equilátero, <ECD = ? E D C D C A B A 19) ABCD rombo, AD = 5cm, BD = 8 cm., AC = ? 20) ABCD cuadrado de 4 cm. de lado, CE BE, BE = ? A B B D D C E A C B Respuestas: 1) 70 2) 90 3) b+c-a 4) 270 5) 190 6) 180 7) 120 8) 40 9) 112,5 10) 55 11) 225 12) 144 13) 70 14) 35 15) 90 16) 67,5 17) 25 18) 15 19) 6 20) 2 raíz de 2 23 CUADRILATEROS: Guía 2 2) ABCD rectángulo, ángulo DCA = 20º; ángulo EGB = 40º; ángulo AFE = 1) PQRS rectángulo; x = T x V U S R 135 G 15 Q P A 3) ABCD cuadrado; AC = 6 cm., AD = B E 4) PQRS trapecio rectángulo, TU mediana del trapecio; ángulo SRQ = C D R S U T B A O M x Q D C E F A B 62 N D 8) ABCD rectángulo; α:β = 2:1; x= β C x 100 A 150 B U L 10) MNOP trapezoide; ángulo MPQ = 37º; <PON=2<PMN=4<MNO; ángulo PMN = S R T x α 9) PQRS rectángulo; PT=TR=TU=UP; ángulo TRQ = P Q 6) ABCD cuadrado de lado 6 cm.; AB//EF; DE + CF = AB; AF = 7) ABCD trapecio; L//AD; x= S 18 P 5) MNOP paralelogramo; PM=OQ; x = P F C D M Q 24 . Q P O N 11) ABCD trapecio; AB//CD; x + y = D C 40 12) ABCD rombo; AE perpendicular a CD; ángulo DAE = D y E x A 110 B 130 C A B 13) ABCD paralelogramo; AD=AE; x= D 105 A x 14) ABCD cuadrilátero; a+b=160; x+y = C y 65 F B α x β E 15) ABCD paralelogramo; BE bisectriz del ángulo ABC; ángulo BED = 16) PQRS cuadrado. PT bisectriz del ángulo RPQ ángulo PTR = S D 50 A E R T C F P 30 Q B 17) ABCD trapecio γ α:β: 18) ABCD cuadrado; : δ=1 : 2 : 3 : 4; DF = DC; ángulo FCB = 20º; x= δ-β= D D δ C C γ x A β α B A 19) ABCD trapecio isósceles; ángulo DAB = D 4x A B E 20) RSTQ cuadrado; RP = RT; ángulo STP = C x F Q T R S B 25 P Respuestas: 2) 30 3) 3 2 4) 162 5) 31 6) 3 5 7) 110 8) 120 12) 40 13) 95 14) 160 15) 130 16) 112,5 17) 72 18) 130 1) 60 11) 210 9) 30 10) 62 19) 36 20) 22,5 Circunferencia Resuelve los siguientes ejercicios, considerando siempre el punto O como centro de la circunferencia: 1) x = ? 2) x = ? 3) <ABC 60º, AB diámetro; x = ? C 30 40 O O x 4) <CAO = 20º; <AOB = 100º; x=? x x O A 5) <BOC = 140º <ABC = 80º; <OAB = ? 6) <OCB = 55º; x=? C B A B B x x A O O B O C A C 7) AB//CD; <COE = 30º; <EOD = 70º; <DOB = ? 8) Recta AB tangente; <AOC = 110º; x=? 9) <CAB = 50º; <ABO = 30º; x=? C x O A C E B x C O D B x A 26 O A B 10) Los arcos MN, NP, y PQ son iguales; <MOP = 100º; <PRQ = ? . 11) Los arcos MN, NP = 120º; y PQ son iguales; <MOQ, <MRP = ? 12) <PQR = 34º; <POR = ? R R Q R O O O Q Q P P M M N P N 13) OS//QP; <PQR = 30º ; <SOP = ? 14) OA = AB; x = ? C Q 15) Los arco AB, BC y CA son iguales x + 2z = ? C O x z O O B A P B x R A S 16) z = 100º; x + y = ? 17) <SOD = 140º; <LSD = 80º; x = ? 18) <MPQ = 20º; x = ? A M x L D x z O O O x C x B P S 19) ¿Qué parte del circulo representa el sector OBA? Q 20) x = ? A O O x 20 B B 40 Resp.: 1) 60 2) 80 3) 120 4) 30 5) 60 6) 110 7) 40 8) 160 9) 60 10) 25 11) 40 12) 44 13) 30 14) 30 15) 30 27 N CIRCUNFERENCIA: Guía 2 Determina el valor de x en las siguientes figuras considerando siempre el punto O como centro de la circunferencia: 1) x = ? 2) El arco AB es el 15% de la circunferencia; <AOB = ? 3) x = ? B A Ox A O x C a D O x B 4) <COB = 120º; <AED = 85º; x = ? 3a 6a 5) AB tangente; <AOB = 70º 6) x + y = ? C 65 x A B x O O 120 7) AB = AO; <ACB = ? 8) 2·AB = AC; <ADO = ? 9) ABC triángulo equilátero; rectas DA y DC tangentes, x = ? C A O D C D 10) AB tangente; <AOB = aº; x=? A 11) AB diámetro; <OCB = 55º; x=? C B O x O B A C C O B x x O A A 28 y 60 A B E x B B Resp.: 1) 60 2) 54 90+a 11) 35 3) 54 4) 25 5) 160 6) 250 7) 30 8) 30 9) 60 10) PERÍMETRO Y ÁREA 1) ABCD cuadrado, determina BC si: D C a) área de ABCD = 441 cm2. b) perímetro de ABCD = 38 cm. c) AC = cm. d) BD = 4 m. A B 2) PQRS rectángulo, determina PS si: S R a) PQ = 12 cm., perímetro de PQRS = 32 cm. b) PQ = 8 m., área de PQRS = 136 m2. c) PQ = 2QR, perímetro de PQRS = 42 cm. d) PR = 20 mm., PQ = 16 mm. P Q 3) FGHI rombo, determina FH si: I P F H a) FP = 7 cm. b) GP = 2 cm., área de FGHI = 32 cm2. c) IG = 12 m., perímetro de FGHI = 40 m. G 4) O es el centro de la circunferencia, determina OS si: O a) diámetro de la circunferencia = 17 cm. b) perímetro de la circunferencia = 16p m. c) área de la circunferencia = 225p m². 29 5) O centro del círculo, <POQ = 40º, determina OP si: P Q O a) OP = 4 m., <POQ = 60º b) OQ = 9 cm., <POQ = 40º c) OP OQ, OQ = 12 cm. PERÍMETRO Y ÁREA 1) ABCDEF exágono regular, 2) ABCD cuadrado, M, N, P, Q, AB = 4 cm E puntos medios, BN = 3 cm. D C F A B N A B M 4) AC = AB, <CAB recto, las 8 semicircunferencias iguales. A C Q 3) ABCD cuadrado de lado 12 m., D P D BC = 10 cm. C C D A B 5) AC y AB tangentes, radio de la circunferencia 4 m., <CAB = 60º C M B E 6) ABCD cuadrado de 6 cm de lado, ABE triángulo equilátero. C B E A O D B 30 A 7) ABC triángulo equilátero, 8) AB CD, OB = 10 cm. D, E y F puntos medios, AB = 4 cm. D C D A F O A B E B E C 9) ABCD cuadrado, AB = 6 cm., A es centro de los arcos BD y EC. D C A B 10) La figura representa un cuadrado de lado 24 cm. E 11) ABCD cuadrado, BC = 6 m., 12) A, B, C y D puntos cada lado está dividido en tres medios de los lados del partes iguales. cuadrado. BC = cm. D C D A C B A B 13) ABC triángulo equilátero, circunscrito a la circunferencia de radio 10 cm. 14) Circunferencias congruentes de radio 6 m. C O´´ O A B 31 O´ 15) Cuadrado de lado 12 cm. 16 Cuadrado de lado 8 cm. CD = D C A B 17) Semicircunferencias congruentes de 6 cm. de diámetros 18) Circunferencia de radio 4 cm. perpendiculares entre sí AB y AC tangentes, <BAC = 60º. B A C 19) Cuadrado de lado 12 m. 20) Circunferencia de radio 8 cm. y hexágono regular crcunscrito. 32