Métodos Numéricos: Método de Euler y Euler Mejorado (EDO 1).

Universidad de San Carlos
Escuela de Ciencias Fı́sicas y Matemáticas
Licenciatura en Matemática
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 1
Segundo Semestre
2015
Métodos Numéricos: Método de Euler y Euler Mejorado (EDO 1).
En 1675 luego del desarrollo del cálculo, Leibnitz escribe que la integral de y con diferenciales de y
(dy) es igual a la mitad del cuadrado de y, este es uno de los primeros indicios acerca del desarrollo de
ecuaciones diferenciales, hasta el momento sus aplicaciones han sido diversas en todos los campos de la
ciencia. La dificultad en resolver una ecuación diferencial es que las soluciones pueden ser muy complicadas
o que no se tenga una solución analı́tica, para ello se han desarrollado métodos que permiten aproximar
las soluciones y cada vez se han refinado más para que el error obtenido en la aproximación se minimize.
En este caso se ejemplificarán dos métodos numéricos muy conocidos: El método de Euler (uno de los
primeros métodos que se conoce) y Euler mejorado, para aproximar ecuaciones diferenciales ordinarias de
primer orden.
Primera parte. Consideremos la ecuación diferencial
dy
y
1
+ = ln x +
dx x
2
(1)
Con condición inicial y(1) = 0.
Resuelva analı́ticamente la ecuación.
Grafique la solución.
Utilizando el método de Euler con tamaño de paso h = 0.5, grafique las primeras 10 iteraciones y
nombremos a esta función y1 (x)
Compare con las primeras 20 iteraciones en el método de Euler con tamaño de paso h = 0.25.
Ahora repita los incisos anteriores con el método de Euler mejorado. Nombremos a esta función
y2 (x).
Elabore una tabla (con h = 0.25) colocando en la primera columna los valores xi = x0 + ih, en
la segunda columna los valores de y(xi ) (solución real), en la tercera columna los valoes de y1 (xi )
(método de Euler), en la cuarta columna los valores de y2 (xi ) (método de Euler mejorado), en la
quinta columna los errores relativos de y1 con respecto a y y en la sexta columna los errores relativos
de y2 con respecto a y.
Calcule las cotas de error para cada método.
xi
1
1.25
..
.
y(xi )
y1 (xi )
y2 (xi )
|y(xi ) − y1 (xi )|
|y(xi ) − y2 (xi )|
6
—1—
Grafique la solución analı́tica y luego las aproximaciones dadas por el método de Euler y Euler
mejorado (para el caso h = 0.5).
Segunda parte. Considere ahora la ecuación diferencial dada por
dy
+ x2 ln y = 5x + e−x
dx
(2)
Con condición inicial y(0) = 1.
Observe que no es posible encontrar fácilmente una solución con funciones elementales para esta
ecuación, para aproximar la solución utilizaremos el método de Euler mejorado con tamaño de paso
h = 0, 5 y graficamos las primeras 10 iteraciones.
Elabore una tabla con los valores obtenidos.
Grafique la curva aproximada.
5. Referencias
James Stewar. Cálculo, Trascendentes Tempranas. Séptima Edición. CENGAGE Learning.
Dennis G. Zill. Ecuaciones Diferenciales con Valores en la Frontera. Séptima Edición. CENGAGE
Learning.
Richard L. Burden, J. Douglas Faires. Numerical Analysis. Ninth Edition. CENGAGE Learning.
maxima.sourceforge.net/es/
www.gnu.org/software/octave/
www.scilab.org/
www.geogebra.org/
wiki.geogebra.org/es/Comando ResuelveEDO
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