Control de recepción

Capítulo 2
Control de recepción
1. Introducción
2. Curva característica
3. Plan de muestreo simple
4. Plan de muestreo doble
5. Plan de muestreo secuencial
6. Plan de muestreo rectificativo
7. Plan Military Standard 105E
ANEXO El Proceso de Bernoulli
0 Apuntes realzados por el Profesor Ismael Sánchez para la asignatura: Métodos Estadísticos para la Mejora de
la Calidad, de la titulación de Ingeniería de Telecomunicaciones. Universidad Carlos III de Madrid
1
2
Control de recepción
2.1.
Introducción
Llamaremos lote a un conjunto elevado de artículos del que tenemos que decidir si adquirimos
o rechazamos en función de la proporción de artículos defectuosos que tenga. Normalmente, un lote
tiene un número de artículos demasiado elevado para poder inspeccionar todos ellos, por lo que sólo
será factible el análisis de un conjunto de esos artículos extraídos del lote. Llamaremos muestra
al conjunto de artículos que extraemos del lote y que serán los únicos que examinaremos para ver
si son defectuosos o aceptables. Esta es con frecuencia la situación en el suministro de artículos
manufacturados. Los artículo son suministrados en lotes, los cuales pueden ser examinados bien
por el fabricante antes de su envío, o bien por el comprador antes de aceptarlos. Esta inspección
consiste en examinar una muestra o conjunto de muestras de los lotes y tomar una decisión en
función de la evidencia observada en la muestra. En este tema estudiaremos la selección de este
tamaño muestral de manera que las conclusiones que se obtengan del análisis de la muestra puedan
ser extendidas al lote completo con cierta fiabilidad. Por tanto, tomaremos una decisión sobre
el lote completo en función de lo que observemos en la muestra. En la mayoría de los
procedimientos supondremos que el lote es muy grande comparado con el tamaño de la muestra y,
por tanto, a efectos prácticos podría considerarse que el lote es una población de tamaño infinito.
Existe una gran variedad de procedimientos estadísticos para la realización de este muestreo de
aceptación. Aquí se describirán sólo los más importantes. Por ejemplo, un procedimiento sencillo
para realizar el muestreo consistiría en la extracción de una única muestra de cada lote y aceptar
el lote entero si en la muestra hay menos de cierto número de artículos defectuosos. Ejemplos más
sofisticados podrían ser tomar muestras sucesivas de pequeño tamaño y en cada muestra tomamos
la decisión de aceptar el lote, rechazar el lote o seguir muestreando.
El muestreo de aceptación se realiza cuando no es factible, o es antieconómico, la inspección del
100 % de los artículos. Por ejemplo, los ensayos requeridos pueden ser muy caros o incluso pueden
requerir la destrucción del artículo. En otras ocasiones, la inspección puede necesitar mucho tiempo. En productos de alta precisión suele ser habitual la inspección de todos los artículos. Existe
todo un sector de la industria dedicado al diseño de instrumentos de medida que permitan una
inspección rápida o incluso automatica.
El muestreo de aceptación puede dividirse en dos tipos fundamentales:
Muestreo por atributos: cuando en la inspección los artículos se dividen en defectuosos y en
no defectuosos, según cumplan con un conjunto de requerimientos establecidos.
Muestreo por variables: en la inspección se mide una variable cuantitativa: longitudes, pesos,
etc, y se evalúa la distancia entre dicha cantidad y la requerida en las especificaciones.
En este tema centraremos nuestra atención en el muestreo por atributos por ser el más
frecuente, aunque muchos de los principios de este tipo de muestreo también son aplicables al
muestreo por variables.
2.2.
Curva característica
Un muestreo de aceptación será eficaz si las conclusiones que se extraen de la muestra son
muy similares a las que se extraerían si se examinase todo el lote. Es decir, que si el lote tiene
2.2 Curva característica
3
un número reducido de artículos defectuosos, la muuestra también los tenga; o si el lote tiene
una proporción elevada de artículos defectuosos, la muestra también los tenga. La eficacia de un
procedimiento de muestreo de aceptación se resume en la llamada curva característica, curva OC
o curva característica de operaciones (en inglés Operating Characteristic curve o más conocida por
OC curve). La curva característica es un gráfico que expresa, para un plan de muestreo
concreto, la probabilidad de aceptar un lote en función del procentaje p de artículos
defectuosos existentes en el lote. Llamemos OC(p) a esta probabilidad. Nótese que p es una
propiedad del lote: es la probabilidad de que un artículo extraído al azar del lote sea defectuoso. . Si
p = 0 aceptaremos siempre ese lote, pues cualquier muestra que extraigamos estará libre de artículos defectuosos. Por tanto, OC(0) = 1. Asímismo, si todos los artículos son defectuosos (p = 1)
rechazaremos siempre ese lote, pues cualquier muestra que se extraiga tendrá todos los artículos
defectuosos. Por tanto, la probabilidad de aceptar el lote será cero: OC(1) = 0.
Si un lote se acepta en función del resultado de la observación de una muestra y 0 < p < 1,
está claro que se ha de estar siempre dispuesto a aceptar artículos defectuosos, pues incluso si en
la muestra no hay artículos defectuosos, el lote sí podría tenerlos si p > 0. Supongamos que la
proporción de artículos defectuosos que se está dispuesto a admitir para un lote es pA . En ese
caso, aceptamos un lote si su proporción de artículos defectuosos es p ≤ pA y rechazamos el lote
si p > pA . Un plan de muestreo ideal debería llevar siempre a aceptar un lote que tenga una
proporción de defectuosos p ≤ pA , es decir OC(p ≤ pA ) = 1. Por el contrario, si p > pA dicho plan
ideal debería siempre llevar a rechazar el lote, por tanto OC(p > pA ) = 0. La curva característica
de este plan ideal sería la expresada en la figura 2.1
Curva característica de operación
1.2
1
OC(p)
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
Proporción de defectuosos
0.8
1
Prop. de defectuosos admisible
Figura 2.1: Curva OC de un plan de muestreo ideal
Un plan ideal no podrá establecerse nunca. La razón está en que la proporción de artículos
defectuosos del lote, p, es un dato desconocido, puesto que no examinamos el lote sino sólo
una muestra. Una vez extraída una muestra de tamaño n de un lote de tamaño N >> n, la
proporción de artículos defectuosos que se encuentren en la muestra puede no coincidir con la
proporción que se encuentre en el lote. Supongamos que se tiene un lote no admisible por tener
una proporción de defectuosos alta, p > pA . El comprador de ese lote puede tener mala suerte
4
Control de recepción
y seleccionar una muestra con muy pocos artículos defectuosos, llevándole a adquirir un lote no
admisible. Análogamente, un lote con muy pocos artículos defectuosos, p ≤ pA puede ser rechazado
si se selecciona una muestra donde, por azar, haya muchos artículos defectuosos. Por tanto, en un
muestreo de aceptación siempre existe el riesgo de tomar una decisión equivocada.
Vemos, además, que las equivocaciones son en dos sentidos: rechazar lotes buenos (riesgo para el
vendedor) y aceptar lotes malos (riesgo para el comprador). La efectividad de un plan de muestreo
se determinará por la capacidad de minimizar estos dos riesgos. Gráficamente, equivale a diseñar
un plan de muestreo cuya curva OC no se aleje mucho de la curva ideal mostrada en la figura 2.1
anterior. El objetivo de un diseño de un plan de muestreo es, pues, doble:
1. Garantizar que, aplicando dicho plan, lotes con un porcentaje de defectuosos bajo se acepten
con una probabilidad muy alta. Esto es equivalente a decir, que a la izquierda de pA la curva
OC(p) se aproxime a la unidad.
2. Garantizar que lotes con un porcentaje de defectuosos alto sean aceptados con una probabilidad muy baja. Por tanto, a la derecha de pA la curva OC(p) correspondiente se aproxime a
cero.
Veamos esta idea con un ejemplo. Supongamos que un comprador está dispuesto a aceptar
aquellos lotes que tengan un porcentaje de defectuosos menor o igual al 6 % (pA = 0,06). Supongamos que dicho comprador aplica el siguiente plan: se toma una muestra de n =50 artículos de un
lote y se acepta el lote entero si se encuentran 3 ó menos artículos defectuosos en dicha muestra. Si
llamamos p al porcentaje de artículos defectuosos del lote (número desconocido) y p∗ al porcentaje
de artículos defectuosos observados en la muestra, el plan descrito anteriormente equivale a aceptar
lotes cuya muestra tenga un porcentaje de defectuosos p∗ menor o igual a pA = 0,06. Vamos a
obtener la curva OC de este plan, y así poder juzgar si ese plan es adecuado o no.
Llamaremos d∗ al número de artículos defectuosos encontrados en la muestra. Entonces,
p∗ = d∗ /n = d∗ /50.
El número de artícuos defectuosos de la muestra, d∗ es una variable aleatoria, pues variará de
unas muestras a otras. Dependiendo de la muestra podremos encontrar cero, uno, dos y hasta un
máximo de d∗ = n =50 artículos defectuosos. Por el mismo motivo, p∗ será también una variable
aleatoria. Su valor variará de unas muestras a otras. Si suponemos que el tamaño del lote, N, es
muy grande comparado con el tamaño de la muestra, n, podemos aplicar el modelo de distribución
binomial para determinar la probabilidad de cada uno de dichos valores de d∗ .
Estrictamente, el número de artículos defectuosos en una muestra de tamaño n extraída de un
lote de tamaño N, en el que hay una proporción de artículos defectuosos p, sigue un modelo de
distribución llamada distribución hipergeométrica. Si N es muy grande comparado con el tamaño
de la muestra n, puede utilizarse como aproximación el modelo de distribución binomial, en la
que se supone que la muestra es extraída de una población de dimensión infinita. En esta sección
supondremos que N es suficientemente grande y utilizaremos la distribución binomial como modelo
de probabilidad de d∗ .
Tendremos, por tanto, que el número de artículos defectuosos d∗ en una muestra de tamaño n
procedente de una población donde la probabilidad de que un artículo sea defectuoso es de p es
d∗ ∼ B(n, p).
2.2 Curva característica
5
A partir de este modelo de probabilidad podemos ya obtener la curva OC. Veamos primeramente el
caso en que la proporción de artículos defectuosos del lote es precisamente p = pA = 0,06. En este
caso, aceptaríamos el lote si lo exáminásemos entero. Sin embargo, la decisión se tomará en base
al resultado de la muestra de tamaño n = 50. El número de artículos defectuosos en una muestra
de tamaño 50 será d∗ ∼ B(50, 0,06). La probabilidad de obtener 0, 1, 2 ó 3 artículos defectuosos
(que será cuando se acepte el lote) se puede evaluar con la función de probabilidad de la binomial.
En el modelo binomial, la probabilidad de que la variable aleatoria d∗ ∼ B(n, p) tome el valor r es
³
´
r
n−r
; r = 0, 1, ..., n.
P (d∗ = r) = n
r p (1 − p)
Estas probabilidades se resumen en la tabla 2.1:
r =número de
art. defectuosos
0
1
2
3
P (d∗ = r) P (d∗ ≤ r) P (d∗ > r)
0.045
0.145
0.226
0.231
0.045
0.190
0.416
0.647
0.955
0.810
0.584
0.353
Cuadro 2.1: Número de artículos defectuosos en una binomial B(50,0.06)
En la primera columna de esta tabla están distintos valores de artículos defectuosos, desde r = 0
hasta r = 3. En la segunda columna se encuentra la probablidad de encontrar dichos artículos defectuosos. Por ejemplo, la probabilidad de que en la muestra haya exactamente d∗ = 3 artículos
defectuosos (p∗ = d∗ /50 = 0,06 = pA ) es muy baja, tan solo del 23,1 %. La segunda columna muestra la probabilidad acumulada de obtener valores menores o iguales a los señalados. Esta columna
se ha construido sumando los valores de la columna de la izquierda hasta el valor r considerado.
Por ejemplo, la probabilidad de obtener 3 artículos defectuosos o menos (3,2,1, ó ninguno) es del
64,7 %. La última columna es la complementaria de la anterior (P (d∗ > r) = 1 − P (d∗ ≤ r)) y
refleja la probabilidad de obtener un número de artículos defectuosos superior al indicado. Por
ejemplo, la probabilidad de obtener más de tres artículos defectuosos es del 35,3 %. Si el plan
de muestreo determina que se acepta el lote si en la muestra hay tres artículos defectuosos o
menos, se aceptará este lote con una probabilidad del 64,7 %. Por tanto, en este plan de muestreo
OC(p = pA = 0,06) = 0,647. Por tanto, con este plan, un lote aceptable se acepta sólo el 64,7 % de
las veces, pues el resto de las veces las muestras extraídas darán una visión pesimista del lote (más
de tres artículos defectuosos de cincuenta). El gráfico 2.2 extiende los valores de la tabla anterior
a más valores de r. En este gráfico puede verse que, aunque este lote sea aceptable (p = pA ) la
probabilidad de obtener muestras donde p∗ > pA no es baja. Por ejemplo, la probabilidad de encontrar una muestra con un 8 % de artículos defectuosos (lo que equivale a d∗ = 4) es superior al 16 %.
En este ejemplo, el lote contenía una porporción de artículos defectuosos que estaba justo en
el límite de lo admisible (p = pA = 0,06). En el caso en que el lote contenga un 10 % de artículos
defectuosos (p = 0,10 > pA ) el lote sería claramente rechazable. Sin embargo, es posibe que con
el presente plan se acepte. Para verlo basta con usar la distribución binomial para evaluar la
probabilidad de obtener tres o menos artículos defectuosos en una muestra de tamaño 50 de dicho
lote. Los resultados se recogen en la tabla 2.2:
6
Control de recepción
Distribución binomial
Probabilidad
0,24
Muestra:
n=50
p=0.06
0,2
0,16
0,12
0,08
0,04
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Número de defectuosos
Figura 2.2: Función de probabilidad de una distribución B(50, 0,06).
r =número de
art. defectuosos
0
1
2
3
P (d∗ = r) P (d∗ ≤ r) P (d∗ > r)
0.005
0.029
0.078
0.139
0.005
0.034
0.112
0.251
0.995
0.966
0.888
0.749
Cuadro 2.2: Número de artículos defectuosos en una binomial B(50,0.10)
Vemos en esta tabla que la probabilidad de aceptar este lote no admisible con el presente plan es
del 25,1 %, que es la probabilidad de encontrar una muestra con tres o menos artículos defectuosos.
Este será otro punto más de la curva característica de este plan: OC(p = 0,10) = 0,251. Este lote
se rechazará, por tanto, el 74,9 % de las veces. La figura 2.3 muestra más valores correspondientes
a la binomial B(50,0.10).
Hasta ahora hemos visto el caso de un lote con una proporción de artículos defectuosos igual
a la máxima admisible, donde hemos visto que se aceptaba sólo el 64,7 % de las veces con el plan
propuesto. Hemos visto también el caso de un lote cuya poporción de artículos defectuosos era
superior al límite admisible y que, por azar de la muestra, podía aceptarse el 25,1 % de las veces.
Por último, vamos a ver el caso en que el lote tiene una proporción de artículos defectuosos menor
a la máxima admisible. Supongamos ahora que la proporción de artículos defectuosos es de sólo
p = 0,03, la mitad de la proporción máxima admisible pA . En este caso, la probabilidad de obtener
hasta tres artículos defectuosos en una muestra de tamaño 50 viene recogida en la tabla 2.3
Vemos en esta tabla que la probabilidad de aceptar el lote es del 93,7 %. Por tanto, OC(p =
0,03) = 0,937. Con este dato ya serían cinco los puntos que se han obtenido para el plan de
muestreo. Estos cinco puntos se recogen en la tabla 2.4.
2.2 Curva característica
7
Distribución binomial
Probabilidad
0,2
Muestra:
n=50
p=0.10
0,16
0,12
0,08
0,04
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Número de defectuosos
Figura 2.3: Función de probabilidad de la distribución B(50, 0,10).
r =número de
art. defectuosos
0
1
2
3
P (d∗ = r) P (d∗ ≤ r) P (d∗ > r)
0.218
0.337
0.256
0.126
0.218
0.555
0.811
0.937
0.782
0.445
0.189
0.063
Cuadro 2.3: Número de artículos defectuosos en una binomial B(50,0.03)
De esta forma se podrían obtener más puntos de la curva OC. Para ello, basta con calcular,
para distintos valores de p, la probabilidad de obtener tres defectuosos o menos con ayuda de la
binomial B(50, p). La figura 2.4 muestra la representación gráfica de esta curva utilizando los cinco
datos anteriores así como los correspondientes a los puntos p = 0,15, 0,20 y 0,30, los cuales se
han obtenido siguiendo el mismo procedimiento anterior. En esta figura, la curva OC se muestra
superpuesta a la correspondiente a la del hipotético plan ideal.
De esta curva OC puede deducirse que, dado un plan de muestreo, tanto el comprador como el
vendedor corren sus riesgos. El comprador corre el riego de adquirir un lote que sea peor de lo que
mostraba la muestra y por tanto quedarse con un lote con un porcentaje de defectuosos superior al
que estaría dispuesto a admitir. Por otra parte, el vendedor corre el riesgo de que un lote ’bueno’
parezca ’malo’ porque en la muestra aparecieron una proporción de defectuosos muy superior a la
del lote.
p OC(p) = P (d∗ ≤ 3)
0,00
1,000
0,937
0,03
0,647
0,06
0,251
0,10
0,000
1,00
Cuadro 2.4: Probabilidad de aceptar un lote con una proporción de artículos defectuosos p. Plan de muestreo: se
extrae una muestra de tamaño 50 y se acepta el lote si hay tres o menos artículos defectuosos en la muestra.
8
Control de recepción
Curva característica de operación
1.2
plan ideal
ejemplo
1
OC(p)
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.2
p=0.06
0.4
0.6
Proporción de defectuosos
0.8
1
Figura 2.4:
Por esta razón, para determinar un plan de muestreo, el comprador y el vendedor deben acordar
un plan que sea justo para ambos. Es decir, deben negociar un plan de muestreo con una curva
OC que les interese a ambos. Negociar una curva OC puede ser complicado, por lo que el acuerdo
entre comprador y vendedor se suele limitar a fijar unos pocos puntos de ella. En primer lugar, el
comprador debe especificar el nivel de calidad que le gustaría que le suministrase el vendedor. La
proporción de artículos defectuosos de un lote que es aceptable para el comprador se le denomina
nivel de calidad aceptable (NCA, y en inglés AQL, acceptable quality level ) y corresponde
al valor pA mencionado anteriormente. La probabilidad de que un lote de calidad aceptable sea
rechazado por azar de la muestra se denomina riesgo del vendedor y la denotaremos por α. Este
riesgo coincide con la probabilidad de rechazar el lote cuando p = pA y es igual a α = 1−OC(pA ).
Por tanto:
α = riesgo del vendedor=probabilidad de rechazar un lote con p = pA .
Usualmente, un plan de muestreo se diseña de forma tal que este riesgo α esté cercano al 5 %.
En el caso del plan de muestro del ejemplo anterior, este riesgo coincide con la probabilidad de
rechazar el lote cuando p = pA = 0,06 y es igual a α = 1−OC(pA ) = 0,353 (ver tabla 2.1), por lo
que dicho plan sería difícilmente aceptado por un vendedor.
Por otra parte, para determinar la probabilidad de aceptar un lote de mala calidad, el comprador debe también decidir qué nivel de calidad es absolutamente inaceptable. A la proporción
de artículos defectuosos en un lote que es inaceptable para el comprador se le denomina nivel de
calidad rechazable (NCR, en inglés se suele denominar limiting quality level -LQL- o lot tolerance percentage defective -LTPD). A esta proporción de defectuosos inaceptable la denotaremos
por pR . Normalmente pR /pA está entre 4 y 10. La probabilidad de que un lote de nivel de calidad
rechazable sea aceptado por azar de la muestra se denomina riesgo del comprador y se le denota
por β. Usualmente, los planes de muestreo se diseñan de forma tal que este riesgo sea alrededor
del 10 %. Por tanto:
2.3 Plan de muestreo simple
9
β = riesgo del comprador=prob. de aceptar un lote con p = pR =OC(pR ).
En el ejemplo anterior, si tomamos pR = 4pA = 0,24, se obtiene que el riesgo del comprador es
β =OC(0,24) ≈ 0, por lo que dicho plan es muy ventajoso para el comprador mientras que no lo
es para el vendedor.
En la práctica, los planes de muestreo se determinan fijando a priori los valores α, pA , β y pR .
Habitualmente, los valores de α están alrededor del 5 % y β alrededor del 10 %. A continuación se
describirán diferentes alternativas para diseñar un plan de muestreo. Estos planes son los siguientes:
Plan de muestreo simple: se toma una muestra y se rechaza el lote si en la muestra hay más
de cierto número de artículos defectuosos
Plan de muestreo doble: similar al simple. Si el número de artículos defectuosos deja duda
sobre la aceptación del lote se toma una segunda muestra
Plan de muestreo secuencial: se amplía la muestra artículo a artículo y se decide si se acepta
el lote, se rechaza o se sigue muestreando.
Plan de muestreo rectificativo: los lotes rechazados se revisan al 100 % y los artículos defectuosos se sustituyen por artículos aceptable.
Plan Military Standard 105E: conjunto de tablas que determina el plan de muestreo según
diferentes características de los lotes.
2.3.
Plan de muestreo simple
El muestreo simple es el tipo de plan más sencillo. Consiste en tomar una muestra de tamaño
n de cada lote y aceptar dicho lote si el número de artículos defectuosos no supera cierto número
predeterminado c. A dicha cantidad c se le denomina número de aceptación. El plan utilizado
como ejemplo en la sección anterior, consistente en extraer 50 artículos y rechazar si hay más de 3
defectuosos, es un ejemplo de este tipo de plan.
Prefijados uno valores de pA , pR , α y β puede ser imposible encontrar un plan que se ajuste
a nuestros requerimientos. Sin embargo, se puede encontrar alguna aproximación razonable. Un
programa estadístico puede ayudarnos a encontrar una solución a un determinado plan de muestreo.
Una forma fácil de diseñar el plan es utilizando las propiedades de la distribución binomial,
como se expuso en la sección anterior. También puede utilizarse la aproximación a la normal si el
tamaño muestral es suficientemente grande. Veamos a continuación un ejemplo.
Ejemplo 1:
Se desea diseñar un plan de muestreo simple con los siguientes parámetros: pA = 0,02; α =
0,05; pR = 0,04; β = 0,05. El resultado del plan será la determinación del tamaño muestral n
y del número de aceptación c. Vamos a suponer que el tamaño muestral n que hay que calcular
10
Control de recepción
será lo suficientemente grande como para poder utilizar la aproximación a la normal (y tal que
np(1 − p) > 5). Sea d∗ el número de artículos defectuosos de la muestra. Entonces
d∗ ≈ B(n, p) ≈ N (np, np(1 − p)) .
Los valores pA = 0,02 y α = 0,05 significan que la probabilidad de rechazar un lote con una
proporción de defectuosos igual a pA = 0,02 es α = 0,05. Es decir:
P (d∗ > c | p = pA = 0,02) = 0,05.
Estandarizando:
∗
P (d > c) = P
Ã
c − npA
d∗ − npA
p
>p
npA (1 − pA )
npA (1 − pA )
!
= 0,05
Consultando las tablas de la N (0, 1) vemos que el valor que deja a la derecha un área igual a 0.05
es zα = 1,64. Por tanto:
c − npA
= 1,64.
(2.1)
zα = p
npA (1 − pA )
Despejando c y aplicando que pA = 0,02 se obtiene:
p
c = npA + zα npA (1 − pA )
√
≈ 0,02n + 0,23 n.
(2.2)
(2.3)
Análogamente, de las especificaciones de pR = 0,04 y β = 0,05 se obtiene que la probabilidad
de aceptar un lote con un porcentaje de defectuosos del 4 % será de β = 0,05. Por tanto
P (d∗ ≤ c | p = pR = 0,04) = 0,05.
Estandarizando:
∗
P (d ≤ c) = P
Ã
c − npR
d∗ − npR
p
≤p
npR (1 − pR )
npR (1 − pR )
!
= 0,05.
De las tablas de la normal N (0, 1) se obtiene que el valor que deja a la izquierda un área igual a
0.05 es zβ = −1,64. Entonces:
c − npR
= −1,64.
npR (1 − pR )
Despejando c se obtiene:
zβ = p
p
npR (1 − pR )
√
≈ 0,04n − 0,32 n
c = npR + zβ
Igualando (2.2) y (2.5) se obtiene que
p
p
npA + zα npA (1 − pA ) = npR + zβ npR (1 − pR )
´
p
√ ³ p
⇒ n (pA − pR ) = n zβ pR (1 − pR ) − zα pA (1 − pA )
à p
!2
p
zβ pR (1 − pR ) − zα pA (1 − pA )
⇒n=
pA − pR
(2.4)
(2.5)
(2.6)
(2.7)
2.4 Plan de muestreo doble
11
n ≈ 759.
Sustituyendo en (2.5) se tiene que
c ≈ 22.
Por tanto, el plan que se busca es el siguiente: se toma una muestra de tamaño n = 759 elementos.
Se rechaza el lote si se encuentran más de c = 22 artículos defectuosos en dicha muestra.
Para el diseño de planes de muestreo simple con α = 0,05 y β = 0,10 puede aplicarse también el
plan JIS Z 9002. Esta norma consiste en la aplicación de una tabla que proporciona, para unos valores de pA y pR , unos valores de n y c que satisfacen, aproximadamente, las condiciones requeridas.
Ejemplo 2:
Se desea diseñar un plan de muestreo simple utilizando la norma JIS Z 9002 (plan japonés)
con los siguientes parámetros:
nivel de calidad aceptable=0.4 % de artículos defectuosos; nivel de calidad rechazable=2 %
nivel de calidad aceptable=0.32 % de artículos defectuosos; nivel de calidad rechazable=4.6 %
En el primer caso, la Tabla determina que n = 300 y c = 3. Se inspeccionan 300 artículos y se
rechaza el lote si hay más de 3 artículos defectuosos. En el segundo caso, nos encontramos con una
flecha en la celda correspondiente. Siguiendo la dirección de la flecha encontramos que n = 100 y
c = 1. Inspeccionamos 100 artículos y rechazamos si hay más de un artículo defectuoso.
Estos resultados se pueden comparar con los que se obtendrían con la aproximación normal del
ejemplo 1. Utilizando las expresiones (2.7) y (2.5) se tiene que (cálculos hechos con Matlab)
para pA = 0,004, α = 0,05; pR = 0,02; β = 0,10 ⇒ n ≈ 313, c ≈ 3,
para pA = 0,0032, α = 0,05; pR = 0,046; β = 0,10 ⇒ n ≈ 71, c ≈ 1.
En el primer caso es aproximadamente el mismo plan. En el segundo caso hay una diferencia
en n, debido a que el tamaño muestral no es lo suficientemente grande para usra la aproximación
a la normal.
2.4.
Plan de muestreo doble
El plan de muestreo doble es una extensión del simple. Se extrae primeramente una muestra
de tamaño n1 y se cuenta el número de artículos defectuosos d1 . Si este número es muy elevado,
digamos superior a cierto valor c2 , el lote se rechaza. Por el contrario, si el número d1 es muy bajo,
menor o igual que cierto valor c1 (< c2 ), el lote se acepta. Sin embargo, si el número de defectuosos
12
Control de recepción
d1 se encuentra entre estos valores extremos: c1 < d1 ≤ c2 se concluirá que la muestra no arroja
evidencia suficiente para tomar la decisión. En ese caso, se toma una segunda muestra de tamaño
n2 y se evalúa el número de defectuosos de dicha muestra. Si d1 + d2 es mayor que cierta cantidad
c3 el lote se rechaza definitivamente. En caso contrario se acepta. La figura ?? muestra un esquema
de este plan de muestreo. Para la selección de los valores n1 , n2 , c1 , c2 y c3 existen tablas. Véase,
por ejemplo Duncan (1971) capítulo 8. El primer tamaño muestral n1 suele ser mucho menor que
el que se requiere en el muestreo simple. Por esta razón, aunque este plan es de aplicación algo
más compleja que el anterior, es más económico, pues permite reconocer en la primera muestra a
los lotes muy malos o muy buenos.
Figura 2.5:
El diseño de planes de muestreo dobles es, en general, complejo. Este diseño se puede simplificar
con la ayuda de tablas publicadas. Para ver su utilización usaremos un ejemplo.
Ejemplo 3:
Vamos a diseñar un plan de muestreo doble con n1 = n2 para lotes de tamaño 5000 con un
pA =0.01; α = 0,05; pR = 0,045; β = 0,10. En las tablas, la notación empleada es p1 ≡ pA y
p2 ≡ pR . En nuestro caso se tiene que
R=
0,045
p2
=
= 4,5.
p1
0,01
Buscando este valor en la columna correspondiente a R vemos que el plan más cercano es el PLAN
5: c1 = 2, c2 = c3 = 4. Tenemos así, por tanto, los números de aceptación de cada muestra. Para
obtener el tamaño muestral n1 se han de mirar las columnas correspondientes a Approximate
values of n1 p, donde Pa es la probabilidad de aceptar un lote con una proporción de defectuosos
p. Si utilizamos la información del vendedor, aceptaremos con probabilidad 1 − α un lote con
2.5 Plan de muestreo secuencial
13
proporción de defectuosos p = pA = 0,01. Por tanto tendremos que
Pa = 1 − α = 0,95
Utilizaríamos, entonces, la columna correspondiente a Pa = 0,95. Para el plan 5 se tiene que
n1 p = 1,16. Por tanto:
n1 p = n1 pA = 1,16 ⇒ n1 =
1,16
1,16
=
= 116.
pA
0,01
El plan de muestreo es, entonces:
Se extrae una muestra de tamaño n1 =116 y se cuenta el número de artículos defectuosos
d1 .
Si d1 ≤2 se acepta el lote.
Si d1 > 4 se rechaza el lote.
Si 2 < d1 ≤ 4 se extrae una segunda muestra de tamaño n2 =116 y se cuenta el número de
artículos defectuosos d2 .
Si d1 + d2 > 4 se rechaza el lote, en caso contrario se acepta.
Una segunda opción es haber utilizado, en las columnas de Approximate values of n1 p la información del comprador, es decir, se acepta con probabilidad β un lote de p = pR . En este caso
tendríamos:
Pa = β = 0,10,
y para el plan 5 tendríamos n1 p = 5,39. Por tanto,
n1 p = n1 pR = 5,39 ⇒ n1 =
5,39
5,39
=
≈ 120.
pR
0,045
Han de ser las partes implicadas quienes decidan cuál de las dos opciones usar. Una tercera alternativa es utilizar un punto intermedio, es decir, decidir cómo ha de ser el lote (valor de p) que se
acepta con probabilidad 50 %.
2.5.
Plan de muestreo secuencial
La idea del muestreo doble puede extenderse al muestreo secuencial. En este caso el tamaño
muestral se va aumentando unidad a unidad. Después de cada observación se decide si el lote se
acepta, se rechaza o se continúa muestreando. Primero, y al igual que en los planes anteriores,
se han de fijar las cantidades α, pA , β y pR . El plan viene caracterizado por tres constantes que
14
Control de recepción
dependen de los anteriores parámetros. Estas constantes h1 , h2 y s se obtienen de la siguiente
forma:
¶
µ
1−α
ln
β
¸,
h1 = ∙
pR (1 − pA )
ln
pA (1 − pR )
¶
µ
1−β
ln
α
¸,
h2 = ∙
pR (1 − pA )
ln
pA (1 − pR )
¶
µ
1 − pA
ln
1 − pR
¸.
s= ∙
pR (1 − pA )
ln
pA (1 − pR )
Después de inspeccionar cada artículo se tendrá un tamaño muestral acumulado n y un número de
artículos defectuosos acumulado d. Entonces, si d > sn + h2 se rechaza el lote y si d ≤ sn − h1 se
acepta el lote. En caso contrario se inspecciona un artículo más y se repite el proceso. Esta regla
de decisión puede verse gráficamente en la siguiente figura. En esta figura, (sn + h2 ) y (sn − h1 )
constituyen dos rectas paralelas de manera que al cruzarlas se toma la decisión de rechazar o
aceptar el lote.
Plan de muestreo secuencial
7
6
d=sn+h2
Rechazar lote
Número de defectuosos acumulado
5
4
3
Continuar inspeccionando
2
d=sn-h1
1
Aceptar lote
0
-1
-2
0
2.6.
20
40
60
80
100
120
Tamaño muestral acumulado
140
160
180
200
Plan de muestreo rectificativo
En este tipo de plan, cualquier lote que sea rechazado es sometido a una inspección al 100 % y
se sustituyen todos los artículos defectuosos por artículos buenos (lote rectificado). De esta manera, el comprador recibe dos tipos de lotes. El primer tipo de lote corresponde a aquellos que
han superado la etapa de muestreo, por lo que contendrán una pequeña proporción de artículos
2.6 Plan de muestreo rectificativo
15
defectuosos. El segundo tipo de lotes serán aquellos que han sido revisados al 100 % y rectificados. De estos dos tipos de lotes puede calcularse la calidad media de salida ( en inglés average
outgoing quality AOQ), que es la proporción media de atículos defectuosos que recibe el comprador.
Supongamos que un lote tiene una proporción p de artículos defectuosos antes de ser inspeccionado. Si p = 0 está claro que AOQ=0. Si, por el contrario, p = 1, todos los lotes serán sometidos
a inspección al 100 % y rectificación por lo que de nuevo AOQ=0. Entre medias de estos dos valores
el AOQ tendrá un máximo, que llamaremos AOQL (average outgoing quality limit). Si p es baja
la AOQ será baja y próxima a p, pues casi todos los lotes se aceptarán. A medida que p aumenta
también aumentará AOQ, aunque en menor proporción, pues los lotes rechazados se revisan y
rectifican. A partir de cierto valor de p el número de lotes rechazados comenzará a ser ya una
proporción importante de los lotes. Puesto que todos estos lotes rechazados se rectifican, la AOQ
bajará de nuevo. La AOQ será por tanto una curva semejante a la que se muestra en la figura 2.6.
Curva de calidad media de salida (AOQ)
0.3
0.25
AOQ
0.2
AOQL
0.15
0.1
0.05
0
Proporción de defectuosos
Figura 2.6: Plan de muestreo rectificativo. Calidad media de salida
Existen tablas para diseñar un plan de muestreo rectificativo. Las más conocidas se deben
a Dodge y Roming. Por esta razón, a este tipo de plan se le conoce también como plan DodgeRomig. Estas tablas pueden usarse de varias maneras, dependiendo de la información que se utilice.
Puede fijarse un tamaño del lote N, la calidad promedio que se desea -AQL- (en porcentaje de
defectuosos), el nivel de calidad rechazable y el riesgo del comprador. Entonces se obtiene el tamaño
de la muestra n, el número de aceptación c y el nivel de calidad rpomedio máxima que se obtiene AOQL-. También puede entrarse con el AOQL y el tamaño del lote y se obtiene la calidad promedio,
n y c.
Ejemplo 4:
Para un lote de tamaño 5000, diseñar un plan de muestreo rectificativo con pR = 0,04, β = 0,10
que permita aceptar lotes que tengan, como máximo un porcentaje de defectos del 1 %. ¿Cuál será
la calidad promedio?
16
Control de recepción
Consultando la Tabla se obtiene que n = 130 y c = 2. Unos lotes se aceptarán como resultado
de la inspección, y por tanto tendrán cierto porcentaje de artículos defectuosos. Otros lotes se revisarán al 100 % y se sustituirán los artículos defectuosos por otros aceptables. Esos lotes no tendrán,
entonces, artículos defectuosos. En promedio, el porcentaje medio de defectuosos será inferior al
0.41 %.
2.7.
Plan Military Standard 105E
La estandarización de los procedimientos de muestreo de aceptación comenzó a producirse durante la II gerra mundial por el ejercito en EEUU. Dicho estándar se denominó Mílitary Standard
(MIL STD). Desde entonces, el plan Military Standard se ha convertido en el estandar más popular. El plan original, el Miltary Standard 105A fue diseñado en 1950. La última revisión, el plan
Military Standard 105E data de 1989. Existe una versión civil de este plan militar, el plan ANSI/ASQC Z1.4, pero supone sólo pequeñas modificaciones de éste. Este estándar ha sido también
adoptado por la International Organization for Standarization bajo la denominación ISO 2859.
Este estándar cubre tres tipos de muestreo: simple, doble y múltiple. Para cada tipo de muestreo
existen planes específicos dependiendo del nivel de calidad que el comprador espera del vendedor.
En este tema nos ocuparemos sólo de los planes simples.
Para un mismo tamaño de lote y un mismo nivel de calidad aceptable (NCA o AQL o valor
pA ) se especifican tres planes de inspección:
1. Normal: para aquellos casos en los que la calidad que se espera del proveedor es similar al
NCA
2. Reducido: para aquellos casos en los que la calidad esperada sea muy alta (p < pA ). En este
tipo de muestreo, el tamaño muestral es inferior al plan normal.
3. Riguroso: implica un elevado tamaño muestral. Se utiliza cuando se espera una calidad inferior a la AQL (p > pA ).
Existen una serie de reglas que determinan el plan de muestreo anterior. Estas reglas pueden
resumirse en los siguientes puntos:
El plan de inspección normal se realizará al comienzo de la tarea de inspección.
Cambio de plan normal a riguroso: se pasará de inspección normal a rigurosa si dos de cinco
lotes consecutivos han sido rechazados.
Cambio de plan riguroso a normal : se pasará de control riguroso a normal cuando se acepten
cinco lotes consecutivos
Cambio de plan normal a reducido: se pasará de muestreo normal a reducido si no se rechaza
ningún lote durante diez lotes seguidos.
2.7 Plan Military Standard 105E
17
Cambio de plan reducido a normal: se pasará de muestreo reducido a normal si un lote es
rechazado. También puede volverse al plan normal cuando el número de defectuosos no lleva
ni a aceptar ni a rechazar el lote.
Si se está en el plan de inspección riguroso durante más de diez lotes, la inspección debe
concluir y se debe proponer el vendedor que aumente los niveles de calidad de su producción.
Este conjunto de reglas se resumen en la figura 2.7
El plan MIL STD 105E varía también en función del coste del muestreo, existiendo varios
niveles según el coste de inspección. Estos niveles son:
Coste de inspección alto: Nivel I.
Coste de inspección estándar: Nivel II.
Coste de inspección bajo: Nivel III.
Niveles especiales (por ejemplo, en ensayos destructivos): Niveles S-1 a S-4
Los planes están diseñados teniendo en cuenta el riesgo del vendedor, AQL o pA . El riesgo del
comprador β y pR no se tienen en cuenta explicitamente al utilizar las tablas, pero los valores
de β son muy pequeños si pR > 5pA . Para aplicar el plan hay que seguir los siguientes pasos
(consideramos muestreo simple):
1. Decidir el AQL o pA .
2. Determinar el nivel de inspección en función de su coste (nivel I, II, III, o niveles especiales).
3. Con el tamaño del lote y el nivel de inspección anterior ir a la tabla de códigos y encontrar
el código de inspección.
4. Determinar el plan de inspección (normal, riguroso (o estricto) y reducido).
5. Con el código de inspección y el plan de inspección, acudir a la tabla correspondiente: Tabla
de inspección normal, reducida o estricta, y encontar el plan de muestreo.
6. Tomar la muestra y ejecutar la inspección. Con el resultado evaluar un posible cambio de
plan.
Veamos algunos ejemplos:
Ejemplo 5:
Se desea diseñar un plan de muestreo con el plan japones JIS Z 9002 y con MIL STD 105E con
las siguientes características: pA = 0,004; α = 0,05; β = 0,10; pR = 0,05. Lotes de 1000 unidades.
Para elaborar el plan japonés acudimos a la Tabla. Con los valores pA = 0,4 % y pR = 5 %
encontramos que se han de tomar muestras de tamaño 80 y rechazamos el lote si encontramos más
de un artículo defectuoso (c > 1) (la tabla muestra el máximo número de defectuosos admisibles).
18
Control de recepción
Para diseñar el plan MIL STD supondremos un nivel II (coste estándar). En la Tabla leemos
el código de inspección, que es J. Si utilizamos el plan de muestreo normal acudiremos a la tabla.
En esa tabla, con el código J y un valor de pA = 0,4 % nos encontramos con una flecha. Por tanto
utilizaremos el primer plan en la dirección de la flecha. En este caso el plan pasará de código J
a código K; se inspeccionan 125 artículos y se rechaza el lote si se encuentran c ≥ 2 artículos
defectuosos. Se acepta si se encuentra un defectuoso o ninguno.
Ejemplo 6:
Un producto se recibe en lotes de 2000 unidades. El AQL es 0.65 %. Se desea diseñar un plan
de muestreo de nivel II para inspección normal, reducida y rigurosa (o estricta).
De la Tabla deducimos que el código de inspección es K.
Inspección normal: En ella se obtiene n = 125. Se rechaza si hay 3 ó más defectuosos. Se
acepta en caso contrario
Inspección rigurosa: Se obtiene n = 125, igual que antes, pero se rechaza con 2 ó más defectuosos
Inspección reducida: Ahora n = 50. Se rechaza con 3 ó más artículos defectuosos. En ese
caso el siguiente lote seguiría inspección normal. Se acepta con 1 ó ningún artículo defectuosos. Si se observan 2 artículos defectuosos podríamos aceptar o no, según lo aconsejasen
las circunstancias. En cualquier caso, si se observan 2 artículos defectuosos habría que pasar
plan normal para inspeccionar el siguiente lote.
2.7 Plan Military Standard 105E
Figura 2.7: Plan MIL STD 105E. Reglas para el cambio de nivel de muestreo
19
20
Control de recepción
APÉNDICE: El proceso de Bernoulli
Supongamos un experimento cuyo resultado puede resumirse en la presencia o ausencia de cierto
atributo. El experimento tendrá, por tanto, dos únicos resultados, que serán complementarios. Por
ejemplo: analizar si una pieza es defectuosa o aceptable, averiguar si una persona simpatiza con
el candidato A o no, descubrir si una persona ha desarrollado cierta enfermedad o no, conseguir
terminar cierto procedimiento con éxito o no conseguirlo, etc. Muchos experimentos de interés en
ingeniería pueden ser descritos en términos de observar cierto atributo o no observarlo. Este tipo
de experimento recibe el nombre de experimento de Bernoulli.
Llamemos x al resultado de un experimento de Bernoulli. Entonces x tendrá dos valores, que
denotaremos por x = 0 si no se observa el atributo de interés, y x = 1 si observamos el atributo
de interés. Antes de realizar el experimento no sabremos qué valor tendrá x, por lo que x es una
variable aleatoria. Esta variable aleatoria recibe el nombre de variable aleatoria de Bernoulli.
Vamos a describir esta variable aleatoria de Bernoulli. Si llamamos p a la probabilidad de que al
realizar un experimento de Bernoulli observemos el valor x = 1, y llamamos q = 1 − p, la función
de probabilidad de esta variable de Bernoulli es
n
x = 1;
p(x) = pq si
si x = 0.
Es fácil deducir que si x es una variable de Bernoulli
E(x) = 1 × p + 0 × q = p
Var(x) = (1 − p)2 p + (0 − p)2 q = p(1 − p) = pq
Si deseamos repetir un experimento de Bernoulli tendremos una sucesión de variables aleatorias
de Bernoulli x1 , x2 , ... todas ellas con la misma función de probabilidad. En estadística, a una sucesión de variables aleatorias se le denomina proceso (o proceso estocástico) independientemente de
cómo sean esas variables aleatorias. A una sucesión de variables aleatorias de Bernoulli procedentes
de repetir un mismo experimento de Bernoulli, se le denomina proceso de Bernoulli.
Puesto que en un proceso de Bernoulli se tiene una sucesión de variable de Bernoulli idénticas,
procedentes de repetir un mismo experimento, un proceso de Bernoulli, debe tener las siguientes
características:
1. El experimento sólo tiene dos resultados posibles, que pueden interpretarse como ausencia
o presencia de cierto atributo de interés.
2. El resultado de cada experimento es independiente del resultado obtenido en repeticiones
anteriores. Esta hipótesis de independencia también uede interpretarse como ausencia de
memoria: el proceso no recuerda los resultados de los anteriores experimentos.
3. El proceso es estable, en el sentido de que en cada repetición P (x = 1) = p.
Cuando se posee una sucesión de variables aleatorias independientes e idénticas se les suele
denotar por iid (independientes e idénticamente distribuidas).
Variables aleatorias asociadas al proceso de Bernoulli
La sucesión de variables que se obtienen al repetir un experimento de Bernoulli puede analizarse
desde varios puntos de vista, obteniéndose diferentes variables aleatorias. Si analizamos una sola
2.7 Plan Military Standard 105E
21
de las variables del proceso de Bernoulli, tenemos la ya conocida variable de Bernoulli. Por el contrario, si sumamos los valores de n variables de Bernoulli tendremos una variable aleatoria llamada
binomial. Si contamos el número de repeticiones de un experimento de Bernoulli que realizamos
hasta que obtenemos una repetición en la que se observa el atributo por primera vez, tendremos
la llamada variable aleatoria geométrica. A continuación veremos estas dos distribuciones con más
detalle.
Variable aleatoria binomial
Supongamos, por ejemplo, un proceso productivo que produce artículos con un porcentaje
de defectuosos p. Supongamos que el proceso es estable (el porcentaje de artículos defectuosos
no aumenta ni disminuye a lo largo del tiempo; lo que ocurriría, por ejemplo, si la maquinaria se
fuese deteriorando o el proceso productivo fuese mejorando por cambios tecnológicos). Supongamos
asímismo que la aparición de un artículo defectuoso es impredecible, y por tanto independiente de la
producción anterior. Si asignamos a cada artículo con una variable de Bernoulli xi que toma el valor
1 si el artículo i-ésimo es defectuoso y 0 en caso contrario tendremos que la sucesión x1 , x2 , ..., xi , ...,
será un proceso de Bernoulli. Supongamos ahora que deseamos extraer n artículos de la producción.
Queremos saber cuántos artículos defectuosos tendremos en esos n artículos seleccionados. A priori,
no sabremos cuántos artículos serán defectuosos hasta que no les hagamos las pruebas pertinentes.
Aunque el proceso produzca una proporción de defectuosos p, en una muestra concreta puede haber
más o menos artículos defectuosos de dicha proporción, dependiendo del azar en la selección de
los n artículos. Sea x= número de artículos defectuosos en una muestra de tamaño n. La
variable x será una variable aleatoria que puede tomar valores entre 0 y n. Esta variable x recibe
el nombre de variable aleatoria binomial (o que sigue una distribución binomial) y se simboliza
como
x ∼ B(n, p).
En un contexto más general, una variable aleatoria binomial x ∼ B(n, p) se define como el número
de sucesos observados en n realizaciones de un experimento de Bernoulli (estable e
independiente). La función de probabilidad de una variable binomial es:
³
´
r
n−r
p(r) = P (x = r) = n
; r = 0, 1, ..., n;
(2.8a)
r p (1 − p)
donde
³
´
n!
.
r!(n − r)!
El cálculo de la media y la varianza de una variable binomial se puede obtener aplicando la
definición de estas medidas características en (2.8a). Otra forma más sencilla es escribiendo la
variable binomial como la suma de las n variables de Bernoulli x1 , x2 , ..., xn :
n
r
=
x = x1 + x2 + · · · + xn .
Como E(xi ) = p, Var(xi ) = pq, i = 1, .., n y por la independencia de estas variables de Bernoulli
xi es fácil deducir que
E(x) = E (x1 + x2 + · · · + xn ) =
n
X
E(xi ) = np,
i=1
n
X
Var(x) = Var (x1 + x2 + · · · + xn ) =
i=1
Var(xi ) = npq.
22
Control de recepción
Variable aleatoria geométrica
Supongamos, por ejemplo, que tenemos un conjunto muy elevado de artículos. Supongamos
también que nuestro objetivo es detectar si existen artículos defectuosos. Si existe un porcentaje
de artículos defectuosos de p × 100 %, ¿cuántos artículos tendremos que analizar para que encontremos un primer artículo defectuosos? Llamaremos x = número de artículos analizados hasta
encontrar el primer artículo defectuosos. La variable x será una variable aleatoria, pues dependerá de la suerte que se tenga al seleccionar los artículos. La variable x se denomina variable
aleatoria geométrica (o distribución geométrica) y puede tomar los valores x = 1, 2, ... hasta,
idealmente, infinito (x = 1 representa que el primer artículo ya es defectuosos). Más genéricamente
x es el número de repeticiones de un experimentos de Bernoulli que hay que ejecutar
para observar el atributo de interés por primera vez. La función de probabilidad de una
variable geométrica es
P (x = r) = q r−1 p; r = 1, 2, ...
la variable aleatoria geométrica tiene las siguietes propiedades
E(x) =
Var(x) =
1
,
p
q
.
p2
Ejemplo: supongamos que una máquina produce un 1 % de artículos defectuosos. ¿Cuántos
artículos se producirán por término medio hasta que se produzca un artículo defectuoso? El número
de artícuos hasta el primer defectuosos es una variable geométrica con p = 0,01. Por tanto, por
término medio se producirán 1/p = 100 artículos (99 aceptables y el último defectuoso).
El número medio de repeticiones del experimento ANTES de encontrar el primer atributo será
E(x) − 1 = 1/p − 1 = q/p.