Pág. Tema: “Campos escalares y vectoriales”. Facultad de

Tema:
“Campos escalares y vectoriales”.
Facultad de Ingeniería.
Escuela de Eléctrica.
Asignatura: Teoría
Electromagnética.
I. Objetivos.
•
•
Verificar instrucciones y comandos en Matlab para graficar campos escalares y vectoriales aplicado a
superficies equipotenciales.
Utilizar instrucciones en Matlab para encontrar el producto vectorial y escalar de dos y tres vectores.
II. Introducción.
Teoría de campos
Escalares: Longitud, Volumen, Energía, Trabajo, Potencia, Intensidad de
corriente, Temperatura, Presión, Potencial eléctrico, Densidad.
Magnitudes físicas
Vectoriales: Velocidad, Aceleración, Fuerza, Campo eléctrico, Campo
magnético
Campos escalares
Un campo escalar corresponde a una magnitud física que requiere sólo de un número para su caracterización.
Esto puede corresponder, por ejemplo, a la distribución de temperaturas dentro de un cuerpo, a las presiones
dentro de un fluido, o a un potencial electrostático. Un campo vectorial, en cambio, corresponde a una magnitud
física que requiere de varios números para su descripción, como puede ser un campo de fuerzas
gravitacionales o eléctricas.
Matemáticamente, un campo escalar es una función, escalar, cuyo valor depende del punto del espacio en que
se considere, y que escribimos en la forma
en que es un vector que representa la posición del un punto de observación en el espacio, de coordenadas
(cartesianas) (x,y,z).
Recordamos la noción de superficie equipotencial, de valor, que corresponde al lugar geométrico de los puntos
que tienen igual potencial,
Un ejemplo conocido, y por lo tanto intuitivo, es el de las curvas de nivel en cartografía, que se usa para poder
representar la topografía de una región en un mapa bidimensional. En este caso, el campo escalar que
corresponde es el campo de alturas H(x,y), de una región de la superficie de la tierra, en función de la posición
de puntos sobre un plano (proyección). Se trata, evidentemente de un campo escalar en el espacio
bidimensional, la altura de un punto está dada por z = H(x,y).
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Función escalar de punto (fep): magnitud escalar que
depende de las coordenadas del punto en que se mida.
•Derivables
Campo escalar: Región del espacio en la que se ha
definido una fep.
Ejemplos: V= V(x,y,z), T=T(x,y,z)
24ºC
18ºC
24ºC
20ºC
26ºC
•Valor único en cada punto
•Valor intrínseco
22ºC
28ºC
Campos escalares. Superficies isoescalares
Fig. 1.1 Curvas indican temperatura en la región.
Fig. 1.2 Campo escalares en superficies isoescalares.
Campos vectoriales
Las expresiones vectoriales en electromagnetismo son de tal naturaleza que generalmente los coeficientes de
los vectores unidad contienen las variables. Por esto, la expresión cambia de magnitud y dirección, de punto a
punto, a través de la región de interés. Considere por ejemplo, el vector
E = - xax + yay
Dando diferentes valores a x y a y se obtiene E en varios puntos. Después que varios puntos han sido
examinados, el patrón resulta evidente. La Fig. 1.3 muestra este campo.
Además, un campo vectorial puede variar con el tiempo. De esta manera al campo bidimensional examinado
puede agregársele una variación temporal mediante la expresión
E= (-xax + yay) sen ωt o
E= (-xax + yay) e ωt
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Los campos magnéticos y eléctricos que serán vistos posteriormente variarán todos con respecto al tiempo
Fig. 1.3 Campo invariante en el tiempo.
Sin embargo, ambas operaciones tendrán un curso natural y muy raramente causarán gran dificultad.
Otras definiciones.
Función vectorial de punto (fep): magnitud vectorial que depende de las coordenadas del punto en que se mida.
•Derivables
Campo vectorial: Región del espacio en la que se ha definido una fep.
Ejemplos: F=Fx(x,y,z)i + Fy(x,y,z)j + Fz(x,y,z)k
•Valor único en cada punto
•Valor-intrínseco.
Fig. 1.5 Campos vectoriales.
Fig. 1.4 Líneas de Campo.
Producto Escalar.
El producto escalar de vectores se puede definir de dos maneras equivalentes, una manera algebraica, y otra
geométrica. Comenzaremos con la manera geométrica, que tiene un significado intuitivo.
Tomemos dos vectores
dichos vectores es:
y
, y llamemos
al ángulo que ellos forman. Entonces, el producto escalar entre
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en que
y
cumplirse que
corresponden a las longitudes de los vectores
y
, respectivamente. Naturalmente, debe
Si usamos la representación cartesiana, se tiene que:
es decir, se satisface el teorema de Pitágoras, conocido de nuestros estudios de geometría elemental.
Indudablemente, la definición del producto escalar de vectores puede usarse para definir el ángulo entre dos
vectores,
De acuerdo a la definición dada, es fácil ver que el producto escalar de dos vectores puede también definirse
usando las componentes cartesianas de los vectores,
Producto Vectorial
Se acostumbra definir también una segunda clase de producto entre vectores, cuyo resultado es esta vez un
. El producto
vector. Partiremos con la definición geométrica primero, llamemos
i)
Es perpendicular al plano generado por los vectores
derecha.
ii)
, en que
y
es tal que:
. La dirección es la dada por la regla de la mano
es el ángulo que forman los vectores
y
.
De acuerdo a las reglas de cálculo de determinantes, es posible reescribir los resultados anteriores en la forma
Hay algunas combinaciones de productos que son interesantes, y que aparecen con alguna frecuencia en los
cálculos, como por ejemplo el llamado triple producto escalar (como ejercicio, demostrar la igualdad que sigue)
Finalmente, el triple producto vectorial aparece también con frecuencia demostrar la igualdad que sigue)
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Para finalizar, indiquemos que la diferencia entre el punto de vista matemático y físico respecto a los vectores
consiste en que, en física usamos una definición algo más restringida, pues los vectores que se consideran
tienen una medida (euclídea). Para los vectores del espacio, entonces, existe siempre una cantidad que es
invariante bajo rotaciones, que es la longitud del vector. También (y muy importante), las ecuaciones físicas que
escribimos son invariantes bajo este grupo de rotaciones; dicho en otras palabras, una igualdad entre vectores
es independiente del sistema de coordenadas utilizadas.
Gradiente
Consideremos un campo escalar,
, y tomemos dos puntos vecinos, de coordenadas
y
.
Calculemos la variación que experimenta el campo entre estos dos puntos vecinos
Indudablemente,
es un escalar, ya que es la diferencia entre dos escalares, y puede escribirse en la forma:
en que hemos definido el operador diferencial
, cuya acción sobre un campo escalar está dada por
Como hemos dicho,
es un escalar, y
es un vector, por lo tanto, la cantidad
pues solamente el producto de un vector por otro vector puede ser escalar.
debe ser un vector,
El gradiente tiene algunas propiedades interesantes; en primer lugar se puede demostrar que: el gradiente de
,
, es perpendicular a la superficie equipotencial que pasa
una función escalar en un punto dado,
por dicho punto. En efecto, cuando consideramos desplazamientos sobre la superficie equipotencial, se tiene
, por lo tanto
por lo tanto, como
es paralelo a la superficie, se concluye que
es perpendicular a ella.
Dirección, Sentido del vector Gradiente
dV
=| ∇V | cos α
dr
dV = |∇V|dr cosα
• Perpendicular a la superficie isoescalar
• Hacia valores crecientes.
• Módulo igual a |dV/dr|.
Fig. 1.7 Vector Gradiente.
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III. Equipos y Recursos.
No. Cantidad
Descripción
1
1
Computadora Personal con Matlab
1
2
Guía de Laboratorio
IV. Procedimiento.
Parte I. Generación en Matlab de Campos Escalares y Vectoriales.
PREÁMBULO. Matlab.
El Objetivo de esta introducción al programa Matlab, es que el estudiante utilice algunas funciones que faciliten
el conocimiento de campos escalares , campos vectoriales , el vector gradiente, multiplicaciones de vectores y
otras funciones matemáticas de interés.
Paso 1) Entre a la versión 5.3 estudiante de Matlab y le aparecerá la ventana de Comandos de Matlab, como se
muestra en la Figura 1.8.
Figura 1. 8 Ventana de Comandos de Matlab.
Paso 2) Entre al Editor/ Debugger para editar un archivo con extensión “.m”, accionando File y New en la
ventana de comandos de Matlab. La Fig. 1.9 presenta la ventana donde se editan los archivos de Matlab.
Fig. 1.9. Ventana del Editor de Programas de Matlab.
También puede verificar conjuntamente , en la ventana de Comandos de Matlab (Fig. 1.8),
1
algunas funciones básicas, pero de preferencia cree un archivo .m para poder guardarlo
1
Al final se presentará disco flexible para verificar asimilación.
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Definición de variables,
EDU>> a=2, b=2
(enter)
Se obtendrá (resultado en negrilla):
a=
2
b=
2
Operaciones básicas (+,-,*,/);
“ans” = respuesta
EDU>> a+b
ans =
4
EDU>> a-b
ans =
0
EDU» a*b
ans =
4
EDU» a/b
ans =
1
Caracteres especiales [ ] ; (corchete y punto y coma), %(Comentario) .^
EDU» A=[2 3 4]
A=
2
3
% Vector Fila
4
EDU» B= [1; 2; 3]
% Vector columna
B=
1
2
3
Operador :
Forme la Matriz:
a=[2 3 4; 5 4 3]
%formando matriz a
a=
2
5
3
4
4
3
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EDU>> a(:,3)
%Todos los valores de la columna 3
ans =
4
3
EDU» a(2,:)
ans =
5
4
% Todos los valores de la fila 2
3
x=0 :0.5 :1
% incrementos de 0.5 hasta 1
x=
0
0.5000
1.0000
EDU» y= 10: -3 : 0
y=
10
7
EDU» a.^5
4
% decrementos de –3 hasta 0
1
% potencia a la quinta
ans =
32
Funciones especiales
[X,Y] = meshgrid(-2:.2:2,-2:.2:2);
Z = X.*exp(-X.^2-Y.^2);
[C,h] = contour(X,Y,Z);
Fig. 1.10 Campo de función
% Genera o produce arreglos tridimensionales para luego ser ploteados.
% función
% Plotea y presenta líneas constantes de una función.
.
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Agregue al fragmento de programa la función clabel
clabel(C,h)
% Etiqueta de las líneas de contour
con delimitada.
Fig. 1.10 Campo de función
Cambie la función
por
Ζ = sen( x) + cos( x)
[X,Y] = meshgrid(-2:.5:2);
Z= sin(X)+cos(Y);
[C,h] = contour(X,Y,Z);
clabel(C,h)
Fig. 1.11 Campo de función Ζ = sen( x) + cos( x) .
Parte II. Producto Escalar y Producto Vectorial.
1. Dados los vectores A = ax+2ay+3az,
B= 4ax+5ay+6az
A = [1 2 3]; B = [4 5 6]; %Definiendo vectores A y B
c = cross(A,B)
% c = producto vectorial de A X B
c=
-3 6 -3
Equivale a tener c = -3ax+6ay-3az
d = sum(A.*B)
% Producto escalar de A . B
d=
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2. Dados los vectores. Dados los vectores A = ax+a,y , B= ax+2az y C= 2ay+ az,
Halle (A x B) x C y compárelo con A x (B x C)
3. Utilizando los vectores A, B y C de 2., encuentre A.B x C y compárelo con A x B.C
V. Análisis de Resultados.
•
•
Asigne valores (de 0 a 50) para graficar las funciones antes utilizadas con Matlab.
Encuentre los producto escalar y vectorial de la parte II.
VI. Discusión Complementaria.
•
•
Transforme el campo vectorial F= 2Cos θ ar + sen θ aθ a coordenadas cartesianas.
Dibuje el campo vectorial de la función anterior, usando coordenadas esféricas.
VII. Bibliografía.
•
Jhonk, Carl T;
“Ingeniería Electromagnética, Campos y Ondas”
Limusa. Noriega México, 1993.
•
Edminister, Joseph A
“ Electromagnetismo”
Schaum- Mcgrawhill.
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