Sistemas LTI

eman ta zabal zazu
Universidad del País Vasco
Departamento de Arquitectura y Tecnología de Computadores
upv
ehu
Procesado digital de imagen y sonido
Tema 4_ Sistemas LTI
•
•
Definición y principal ventaja
Análisis temporal de la respuesta de los sistemas LTI
–
–
–
–
•
Análisis frecuencial de los sistemas LTI
–
–
–
–
•
Convolución en el dominio de la frecuencia
Respuesta frecuencial
Filtros y filtro ideal
Sistemas bidimensionales
Descripción recursiva de los sistemas LTI.
–
–
–
–
–
PDI 2007-08
Respuesta a impulso
Convolución:
Respuesta a impulso y propiedades del sistema
Sistemas bidimensionales
Ecuaciones en diferencias.
Sistemas bidimensionales
Relación con h(n)
Resolución de las ecuaciones en diferencias
Ecuaciones en diferencias y estabilidad.
4.1
Sistemas LTI: definición
• Un sistema T es LTI (Linear Time-Invariant) si cumple dos
propiedades:
• Linealidad
T [a1 x1 (n) + a2 x2 (n)] = a1T [ x1 (n)] + a2T [ x2 (n)]
x1 (n)
x1 (n)
a1
y (n)
+
x2 (n)
T
≡
x2 (n)
a2
∀a1 , a2 , x1 (n), x2 (n)
T
a1
y (n)
+
T
a2
• Invarianza a desplazamientos (invarianza en el “tiempo”)
Si T [ x(n)] = y (n) entonces T [ x(n − k )] = y (n − k )
x(n)
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T
y(n)
x(n)
T
∀x(n), k
y(n)
4.2
Sistemas LTI: principal ventaja
• Para analizar el comportamiento del sistema nos basta conocer
su respuesta a algún tipo de señal básico (por ejemplo impulso) a
partir del cual, se pueda construir cualquier señal
• La respuesta a cualquier entrada la podremos obtener sumando
y desplazando la respuesta a esa señal básica
• Diferentes señales básicas dan lugar a distintos tipos de análisis:
• Impulsos unidad
→
Análisis temporal
• Sinusoides
→
Análisis frecuencial
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4.3
Descomposición de una señal en impulsos
Cualquier señal se puede expresar
como combinación de impulsos
x ( n) =
+∞
∑ x(k )δ (n − k )
x(−1)δ (n + 1)
x(0)δ (n)
k = −∞
x(1)δ (n − 1)
x(n)
=∑
x(2)δ (n − 2)
x(3)δ (n − 3)
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4.4
Respuesta a impulso de un sistema
Dado un sistema T, se llama respuesta a impulso del sistema a la señal:
h(n) = T [δ (n)]
Es decir, a la salida del sistema cuando la entrada es la función impulso
unidad δ(n)
δ (n)
T
h(n)
Un sistema LTI queda completamente caracterizado por su respuesta a
impulso, porque como cualquier señal se puede descomponer en suma de
impulsos, basta conocer esta respuesta para conocer la respuesta a
cualquier señal.
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4.5
Respuesta a cualquier señal. Convolución
Dado un sistema T LTI, del que conocemos su respuesta a impulso h(n)
x(n)
T
y (n) = T [x(n)]
≡
x(n)
y (n)
h(n)
Para una entrada cualquiera x(n) expresada como suma de impulsos la salida será:
 +∞

y (n) = T  ∑ x(k )δ (n − k )
k =−∞

Por ser lineal
+∞
y ( n) =
∑ x(k )T [δ (n − k )]
k = −∞
Y por ser invariante
y ( n) =
+∞
∑ x ( k ) h( n − k ) = x ( n) ∗ h( n)
k = −∞
A esta operación se la llama convolución y se representa mediante un ∗. La salida
de un sistema LTI es la convolución de la entrada y de la respuesta a impulso.
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4.6
Interpretación gráfica de la convolución (I)
x(n)
y (n)
y ( n) =
h(n)
+∞
∑ x ( k ) h( n − k ) = x ( n) ∗ h( n)
k = −∞
Desde el punto de vista de la señal de entrada, la convolución puede calcularse
sumando las respuestas producidas por cada punto de la entrada (respuestas a
impulso).
x ( 0) h ( n )
x(n)
x(1)h(n − 1)
h(n)
∗
y (n)
=∑
=
x ( 2) h ( n − 2)
x(3)h(n − 3)
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4.7
Interpretación gráfica de la convolución (II)
x(n)
y (n)
y ( n) =
h(n)
+∞
∑ x ( k ) h( n − k ) = x ( n) ∗ h( n)
k = −∞
Desde el punto de vista de la señal de salida, la convolución en un instante
puede calcularse sumando las respuestas producidas por todos los puntos de
la entrada en ese instante
x(k )
nn == 25
1037
64
y (n)
k
h(15
37
64
2−−k−)kk))
∑×
k
h(k )
k
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4.8
Propiedades de la convolución y por tanto de los sistemas LTI
x ( n) ∗ h( n) = h( n) ∗ x ( n)
• Conmutativa:
+∞
+∞
k = −∞
k = −∞
∑ x ( k ) h( n − k ) = ∑ h( k ) x ( n − k )
• Asociativa:
x(n) ∗ (h1 (n) ∗ h2 (n)) = ( x(n) ∗ h1 (n)) ∗ h2 (n)
A partir de estas 2 propiedades, puede verse que la conexión en serie de
sistemas LTI cumple:
x(n)
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h1 (n)
h2 (n)
y (n)
≡
x(n)
≡
x(n)
h1 (n) ∗ h2 (n)
h2 (n)
h1 (n)
y (n)
y (n)
4.9
Propiedades de la convolución y por tanto de los sistemas LTI
• Distributiva:
x(n) ∗ (h1 (n) + h2 (n)) = x(n) ∗ h1 (n) + x(n) ∗ h2 (n)
Por tanto, la conexión en paralelo de sistemas LTI cumple:
h1 (n)
x(n)
y (n)
+
≡
x(n)
h1 (n) + h2 (n)
y (n)
h2 (n)
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4.10
Descripción entrada-salida de los sistemas LTI
• Conocida h(n) la convolución nos proporciona la descripción entradasalida de cualquier sistema LTI.
y ( n) = x ( n) ∗ h( n) =
o desarrollando el sumatorio:
+∞
+∞
k = −∞
k = −∞
∑ x ( k ) h( n − k ) = ∑ h( k ) x ( n − k )
y (n) = K + h(−1) x(n + 1) + h(0) x(n) + h(1) x(n − 1) + h(2) x(n − 2) + K
Esta descripción es muy sencilla y fácil de manejar y nos servirá para
estudiar las propiedades de estos sistemas.
• A la inversa, dada la descripción entrada-salida de un sistema LTI podemos
obtener directamente h(n)
Ejemplo:
1
h(n)
y (n) = 0.5 x(n + 1) + 2 x(n) + x(n − 1)
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4.11
Sistemas FIR e IIR
Una clasificación muy habitual de los sistemas LTI es la siguiente:
• Un sistema LTI es un sistema FIR (Finite Impulse Response) si su
respuesta a impulso es de longitud finita
h( n ) ≠ 0
en un número finito de puntos
• Un sistema LTI es un sistema IIR (Infinite Impulse Response) si su
respuesta a impulso es de longitud infinita :
h( n ) ≠ 0
en un número infinito de puntos
Nota: La descripción vista hasta ahora (convolución), en el caso de
los sistemas IIR no es muy manejable
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4.12
h(n) y propiedades del sistema: memoria
• Decir que un sistema LTI no tiene memoria equivale a decir que:
h( n ) = 0
es decir:
h ( n ) = kδ ( n )
para n ≠ 0
o
k
h(n)
y (n) = kx(n)
• Un sistema LTI tiene memoria finita de orden M si cumple:
h( n ) = 0
es decir:
para n < 0 y para n > M − 1
h(n)
M −1
y ( n) = ∑ h( k ) x ( n − k )
k =0
• Un sistema LTI tiene memoria infinita si cumple:
h(n) = 0 para
es decir:
n < 0 y no existe M tal que h(n) = 0 para n > M
∞
y ( n) = ∑ h( k ) x ( n − k )
k =0
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h(n)
.....
4.13
h(n) y propiedades del sistema : causalidad
• Un sistema LTI será causal si cumple;
h( n) = 0
para n < 0
h(n)
• Por extensión se dice que una señal x(n) es causal si cumple;
x ( n) = 0
para n < 0
• La respuesta de un sistema LTI causal a una entrada causal se puede
escribir:
n
y ( n) =
∑ x(k )h(n − k )
k =0
• Un sistema LTI se dice que es anticausal si cumple;
h( n) = 0
PDI 2007-08
para n > 0
h(n)
4.14
h(n) y propiedades del sistema : estabilidad
Para analizar si un sistema LTI es estable hay que estudiar si la respuesta
a una entrada acotada es también acotada
x( n) acotada ⇒ ∃M < ∞ /
x (n) ≤ M ∀n
La respuesta podemos escribirla mediante la convolución:
+∞
y ( n) =
∑ h( k ) x ( n − k )
k = −∞
y ( n) =
+∞
+∞
+∞
k = −∞
k = −∞
k = −∞
∑ h( k ) x ( n − k ) ≤ ∑ h( k ) x ( n − k ) ≤ ∑ h( k ) M
Por tanto, si h(n) es absolutamente sumable, es decir:
+∞
∑ h( k ) < ∞
k = −∞
Entonces el sistema es estable.
Los sistemas FIR siempre son estables
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4.15
Sistemas bidimensionales
Generalizando los conceptos anteriores a un sistema T LTI bidimensional:
• La respuesta a impulso es la salida de T para una entrada impulso unidad
H (m, n) = T [δ (m, n)]
• H(m,n) caracteriza completamente el comportamiento del sistema T, y la
respuesta a cualquier entrada puede obtenerse mediante la convolución
+∞
Y (m, n) = X (m, n) ∗ H (m, n) =
+∞
∑ ∑ X (i, k ) H (m − i, n − k )
i = −∞ k = −∞
n −1 n n + 1
n
m
•
=
m −1
m
m +1
8
7
6
5
•4
3
2
1
0
0
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
H (m, n)
máscara
Y (m, n)
X (m, n)
Ejemplo de interpretación gráfica con respuesta a impulso de tamaño 3x3:
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4.16
Análisis frecuencial de los sistemas LTI
• Idea de partida: trabajar con las señales en el dominio de la frecuencia,
es decir, descomponer las señales en sinusoides (exponenciales
complejas)
• ¿Por qué es interesante?
– En el dominio de la frecuencia la convolución se convierte en un
producto.
– En sistemas LTI, las sinusoides cumplen una propiedad que no
verifican otras señales:
La respuesta de un sistema LTI a una entrada sinusoidal es otra
sinusoide de la misma frecuencia pero de diferente amplitud y
fase
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4.17
Convolución en el dominio de la frecuencia
Convolución y DTFT:
x1 (n) ∗ x2 (n)
DTFT
→
X1(F ) X 2 (F )
Convolución circular y DFT:
x1 ( n) ∗ x2 (n)
,N
DFT

→
X 1 (k ) X 2 (k )
N −1
siendo
x1 (n) ∗ x2 (n) = ∑ x1 (l ) x2 ((n − l )) N
l =0
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4.18
Respuesta a una sinusoide de un sistema LTI
• Analizaremos primero la respuesta a una exponencial compleja
imaginaria pura de frecuencia F:
x ( n) = e
y ( n) =
j 2πFn
h(n)
+∞
+∞
k = −∞
k = −∞
∑ h ( k ) x ( n − k ) = ∑ h ( k )e
j 2πF ( n − k )
=e
j 2πFn
+∞
∑ h( k )e
− j 2πFk
k = −∞
H (F )
y (n) = e j 2πFn H ( F )
La salida es otra exponencial compleja de la misma frecuencia F,
multiplicada por un valor complejo H(F), que depende de la frecuencia y se
llama respuesta frecuencial. H(F) es la DTFT de la respuesta a impulso
(
)
1 j 2πFn − j 2πFn
e
+e
2
1
1
y (n) = e j 2πFn H ( F ) + e − j 2πFn H (− F ) = H ( F ) e j 2πFn + arg [H ( F ) ] + e − j 2πFn + arg [H ( F ) ]
2
2
• Para una sinusoide:
(
x (n) = cos(2πFn) =
)
(
)
y (n) = H ( F ) cos(2πFn + arg[H ( F )])
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4.19
Respuesta frecuencial
Utilizando la transformada de Fourier es muy fácil analizar el comportamiento de un
sistema LTI en el dominio frecuencial
X (F )
Y(F)
H(F)
h(n) → H ( F ) =
DTFT
+∞
∑ h( k )e
− j 2πFk
k = −∞
Por la propiedad de convolución, la ecuación del comportamiento del sistema es::
X (F ) H (F ) = Y (F )
X (F )H (F ) = Y (F )
arg[ X ( F )] + arg[H ( F )] = arg[Y ( F )]
X (F )
Y (F )
1
F
H (F )
1
1
1
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F
F
4.20
Sistemas LTI como filtros selectivos en frecuencia. Filtro ideal
Si el objetivo del sistema LTI es dejar pasar selectivamente un rango de frecuencias
determinado, se le denomina filtro.
Se denomina filtro ideal al que cumple:
• Su ganancia (|H(F)|) es constante en la banda de paso y cero fuera de ella.
• Su respuesta de fase (arg(H(F))) es lineal.
Ce − j 2πFk
si F1 < F < F2
H (F ) = 
con C y k constantes
0
en
otros
puntos

F1 < F < F2
Si la señal de entrada sólo tiene frecuencias en
Y ( F ) = H ( F ) X ( F ) = CX ( F )e − j 2πFk IDTFT
→ y ( n) = Cx (n − k )
el filtro no cambia la forma de la señal
Ej: Filtro paso bajo ideal con frecuencia de corte FC
H (F )
FC
1
F
h( n) =
IDTFT
sin( 2πFC n)
πn
arg(H ( F ) )
1
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F
Sistema
no causal
e
inestable
n
4.21
Uso de la DFT para filtrado lineal
Debido a la existencia de algoritmos FFT rápidos, en muchas ocasiones se utiliza la DFT en
lugar de la convolución para filtrar señales.
Sea x(n) una señal finita de longitud L que excita un filtro FIR de longitud M
FIR
x(n)
h(n)
Sabemos que:
y(n)
y ( n) = x ( n) ∗ h( n)
Y en el dominio de la frecuencia:
Y (F ) = X (F )H (F )
¡OJO! Para poder usar la DFT la convolución debe coincidir con la convolución circular. Esto
sólo se cumple si usamos DFTs de N puntos (ampliadas con ceros) de forma que N ≥ L + M –1
Los cálculos a realizar son:
,N
[x(n) 0 L 0] DFT

→ X (k ) 
IDFT , N
 → X (k ) H (k )  → y (n)
DFT , N
[h(n) 0 L 0] → H (k )
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4.22
Sistemas bidimensionales: DFT y respuesta frecuencial
Todo lo dicho en el tema sobre análisis frecuencial de sistemas LTI unidimensionales, se puede
generalizar a sistemas bidimensionales (imágenes). Por ejemplo:
La DFT de la respuesta a impulso h(m,n) de un filtro bidimensional recibe el nombre de
respuesta frecuencial y caracteriza el comportamiento del filtro según la composición frecuencial
de la entrada.
l 
 k
M −1 N −1
H (k , l ) = ∑∑ h(m, n)e
− j 2π  m + n 
N 
M
m =0 n =0
Ejemplo:
y( m, n) =
1
1
1
x(m − 1, n − 1) + x(m − 1, n) + x(m − 1, n + 1) +
9
9
9
1
1
1
x(m, n − 1)
+ x(m, n)
+ x(m, n + 1)
+
9
9
9
1
1
1
x(m + 1, n − 1) + x(m + 1, n) + x(m + 1, n + 1)
9
9
9
h(m, n)
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H (k , l )
4.23
Sistemas bidimensionales: DFT y filtrado
En filtros bidimensionales, la operación convolución puede realizarse mediante la DFT. Esto cuando
se utiliza un algoritmo rápido FFT, es de gran interés pues en imágenes el coste computacional
suele ser muy alto.
Ejemplo:
x(m, n)
240x 240
, 256
FFT

→
X (k , l )
256x 256
0.14
h(m, n)
15x15
0.12
, 256
FFT

→
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
H (k , l )
256x 256
X
-0.02
15
15
10
10
5
5
0
y (m, n)
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0
IFFT , 256
←


Y (k , l )
256x 256
4.24
Sistemas IIR y descripciones recursivas
¿Qué podemos hacer para manejar sistemas IIR?
En algunos casos es fácil ver que existen descripciones recursivas
equivalentes.
Ejemplo:
y (n) = x(n) + x(n − 1) + x(n − 2) + x(n − 3) + x(n − 4) + L
y (n − 1)
y (n) = y (n − 1) + x(n)
Ejercicio: Calcular la respuesta a impulso del sistema
y (n) = y (n − 1) + x(n)
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4.25
Sistemas IIR y descripciones recursivas
y (n) = y (n − 1) + x(n)
Tendremos que calcular la salida para una entrada impulso unidad:
x(n)
x ( n) = δ ( n )
Si suponemos que el sistema es causal, la salida será nula para n<0
h(n)
h(−1) = 0
h(n) = h(n − 1) + δ (n)
h ( 0)
= h(−1) + δ (0) = 1
h(1)
h ( 2)
= h ( 0)
= h(1)
L
+ δ (1) = 1
+ δ ( 2) = 1
M
Pero si es anticausal, hay otra solución
h(n − 1) = h(n) − δ (n)
h ( 0)
=0
h(−1)
= h(0)
− δ (0)
h(n)
= −1
h(−2) = h(−1) − δ (−1) = −1
h(−3) = h(−2) − δ (−2) = −1
L
M
PDI 2007-08
4.26
Descripciones recursivas: ecuación en diferencias
En general, se llama ecuación en diferencias lineal con coeficientes
constantes de orden N a la descripción recursiva del tipo siguiente:
N
∑a
k =0
M
k
y (n − k ) = ∑ bk x(n − k )
k =0
Puede demostrarse que se trata de un sistema LTI
Ventajas:
• Descripción compacta
• Nº finito de operaciones
Inconvenientes:
• Para calcular un valor de la salida se parte de salidas previas
• Se necesitan valores iniciales de salida
• Se pierde información sobre causalidad
PDI 2007-08
4.27
Interpretación gráfica de las ec. en diferencias
x(n)
y (n)
h(n)
M
N
k =0
k =1
y (n) = ∑ bk x(n − k ) − ∑ ak y (n − k )
Para calcular la salida de un sistema LTI, dada su ecuación en diferencias, y
suponiendo causalidad, debemos hacerlo de modo recursivo y suponiendo
algunos valores iniciales:
x(n)
y (n)
y (n)
−
=
b2 b21 b021 b021 b021 b021 b01 b0
a2 a21 a21 a21 a21 a21 a1
∑×
PDI 2007-08
4.28
Ec. en diferencias y respuesta frecuencial
Hemos visto que la respuesta frecuencial de un sistema LTI se obtiene calculando
la DTFT de la respuesta a impulso
x(n)
X (F )
y(n)
h(n)
H(F)
Y(F)
y (n) = x(n) ∗ h(n) DTFT
→ Y ( F ) = X ( F ) H ( F )
Pero si la descripción de la que disponemos es una ecuación en diferencias, ¿cómo
podemos obtener la respuesta frecuencial?
N
M
N
∑ ak y(n − k ) = ∑ bk x(n − k ) → ∑ ak e
DTFT
k =0
k =0
− j 2πFk
k =0
M
Y ( F ) = ∑ bk e − j 2πFk X ( F )
k =0
M
Y (F ) =
H (F )
PDI 2007-08
∑b e
k =0
N
∑a e
k =0
− j 2πFk
k
X (F )
− j 2πFk
k
4.29
Sistemas bidimensionales
Como en el caso de la convolución, también las ecuaciones en diferencias
pueden generalizarse al caso de los sistemas bidimensionales.
• Un sistema LTI bidimensional de tipo IIR en muchos casos puede
describirse mediante una ecuación en diferencias del tipo siguiente:
N1
N2
∑ ∑a
k1 = 0 k 2 = 0
M1 M 2
k1k 2
y (m − k1 , n − k 2 ) = ∑ ∑ bk1k 2 x(m − k1 , n − k 2 )
k1 = 0 k 2 = 0
n −1
n
n−2
n
=
m
•
m−2
m −1
m
Y (m, n)
Ejemplo de interpretación gráfica con
PDI 2007-08
b22 b21 b20
b12 b11 b10
b02 b01 b•00
n −1
n
n−2
−
m−2
m −1
m
X (m, n)
a22 a21 a20
a12 a11 a10
a02 a01 •
Y (m, n)
N1 = N 2 = M 1 = M 2 = 2
4.30
Relación de la ecuación en diferencias con h(n)
• Dada una ecuación en diferencias y suponiendo causalidad es fácil
obtener h(n) numéricamente:
 x ( n) = δ ( n )
h(0) = y (0), h(1) = y (1), h(2) = y (2), K

y
(
−
1
)
=
0

el resultado, en general, será de duración infinita (sistema IIR)
• Dada h(n) ¿podemos escribir una ecuación en diferencias?
– El caso de sistemas FIR es trivial. La descripción entrada - salida ya
es una ecuación en diferencias de orden 0 (ecuación no recursiva)
M
N = 0
y ( n ) = ∑ h( k ) x ( n − k ) ← 
k =0
bk = h(k ) k = 1,..., M
– En el caso de sistemas IIR, en general no es fácil encontrar una
ecuación en diferencias equivalente y además no tiene por qué
existir.
PDI 2007-08
4.31
Resolución de las ec. en diferencias lineales y con
coeficientes constantes
Dada una ecuación en diferencias lineal con coeficientes constantes
N
∑a
k =0
M
k
y (n − k ) = ∑ bk x(n − k )
k =0
existen métodos bien establecidos para su resolución general (no numérica).
El problema se divide en dos partes:
• Primero se obtiene la respuesta a entrada nula (ecuación homogénea)
N
∑a
k =0
k
y H (n − k ) = 0
• La solución general se obtiene sumando a la solución de la ecuación
homogénea yH(n) una solución particular yP(n) que se suele obtener
probando funciones similares a la entrada x(n).
y ( n) = y H ( n) + y P ( n)
En realidad, la respuesta a entrada nula tiene mucho que ver con la
respuesta a impulso
PDI 2007-08
4.32
Obtención de la respuesta a entrada nula
Se supone que la solución es un función exponencial (compleja)
N
∑a
k =0
k
y H ( n) = λn
yH (n − k ) = 0
λ ∈C
y sustituyendo la solución supuesta en la ecuación:
N
∑a λ
k =0
n−k
k
(
)
= 0 ⇒ λn + a1λn −1 + K + a N λn − N = λn − N λN + a1λN −1 + K + a N = 0
polinomio característico
habrá N soluciones. Una por cada raíz del polinomio característico. La solución
general de la ecuación homogénea puede expresarse en función de ellas:
y H ( n) = C1λ1 + C2 λ2 + K + Ci λi + Ci +1nλi + K + Ci + m −1n m −1λi + K
n
raíces simples
n
n
n
n
(N sumandos)
raíz de multiplicidad m
los coeficientes Ci (que son complejos) se calculan imponiendo que se
cumplan las condiciones iniciales.
PDI 2007-08
4.33
Obtención de la respuesta a impulso a partir de una
ec. en diferencias
En realidad un impulso es una entrada nula, salvo en n=0. Por tanto, si
suponemos causalidad, bastará obtener los valores de salida necesarios
hasta n=0, y de ahí en adelante, utilizar la respuesta a una entrada nula.
Los pasos a seguir son:
• Obtener mediante la ecuación en diferencias los valores iniciales de la
señal de salida.
• Calcular las raíces del polinomio característico.
λN + a1λN −1 + K + a N = 0 → λ1 , λ2 , L λ N
• Suponer una solución de la forma:
h(n) = C1λ1 + C 2 λ2 + K + Ci λi + Ci +1nλi + K + Ci + m −1n m −1λi + K
n
n
n
n
n
n>0
y calcular los coeficientes Ci de forma que se cumplan las
condiciones iniciales.
PDI 2007-08
4.34
Ecuaciones en diferencias y estabilidad
• Para un sistema descrito con una ecuación en diferencias y suponiendo
causalidad, h(n) es de la forma:
n
n
n
n
n
h(n) = C1λ1 + C 2 λ2 + K + Ci λi + Ci +1nλi + K + Ci + m −1n m −1λi + K
n>0
N
N −1
Siendo λi las raíces del polinomio característico: λ + a1λ + K + a N = 0
• Para que un sistema LTI sea estable, h(n) debe ser absolutamente
+∞
sumable.
∑ h( k ) < ∞
k = −∞
Sustituyendo la ecuación de h(n) en la condición de estabilidad:
+∞
+∞
∑ h( k ) = ∑ C λ
k = −∞
k = −∞
+∞
k
1 1
+ C2 λ2 + K + Ci λi + Ci +1kλi + K + Ci + m −1k m −1λi + K <
< C1 ∑ λ1 + C2
k = −∞
k
k
k
+∞
∑λ
k = −∞
k
2
+ K + Ci
k
+∞
∑λ
k = −∞
El sistema es estable si y sólo si :
i
k
k
+∞
+∞
+ Ci +1 ∑ kλi + K + Ci + m −1 ∑ k m −1λi + K < ∞
k = −∞
k
k
k = −∞
λi < 1 ∀i
las raíces del polinomio característico están dentro del círculo unidad.
PDI 2007-08
4.35