Flexión de vigas - Universidad Politécnica de Madrid

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Flexión de vigas
Ignacio Romero
ignacio.romero@upm.es
Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales
Universidad Politécnica de Madrid
Curso 2015/16
Definiciones
1
Definiciones
2
Modelo
3
Ampliación
Flexión de vigas, Resistencia de Materiales. Curso 2015/16
Modelo
Ampliación
I. Romero
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Definiciones
Modelo
Ampliación
Definiciones
• Una sección de un sólido prismático está sometida a flexión
cuando las componentes y, z del momento interno, que
llamamos My , Mz , no son nulas.
• Si un sólido prismático está sometido a momento flector
constante y el resto de esfuerzos son nulos, decimos que está a
flexión pura. Si la flexión no es constante y está sometido sólo a
flexión y cortante, decimos que el estado es de flexión simple.
• Se llama flexión oblicua o esviada a aquella en la que Mz 6= 0,
My 6= 0.
• Cuando una sección está sometida a flexión y esfuerzo normal, se
dice está sometida a flexión compuesta.
• Cuando una sección está sometida a flexión y torsión, se dice que
está a flexotorsión.
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I. Romero
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Definiciones
Modelo
Ampliación
Tensión y equilibrio
Las tensiones sobre una sección debidas al momento flector vienen
dadas por la fórmula de Navier:
σx = −
Mz
y
Iz
Ecuación del equilibrio: (cuidado con los sentidos!)
dT (x)
+ q(x) = 0
dx
dMz (x)
− T (x) = 0
dx
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Definiciones
Modelo
Ampliación
Deformación
La deformación conjugada al momento flector es la curvatura
κ ≈ v 00 de la directriz de la viga
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Definiciones
Modelo
Ampliación
Relación constitutiva
La relación entre flector y curvatura es
κ=
Mz
EIz
Ecuación de la elástica:
EI v 0000 (x) + q(x) = 0
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Definiciones
Modelo
Ampliación
Energı́a
La energı́a de una barra a flexión es
Z
U=
0
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L
Mz2
dx
2EIz
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Modelo
Ampliación
Ecuación universal
La ecuación de la elástica para un viga recta, con rigidez EIz
constante, y sin rótulas es
EIz v(x) = EIz v0 + EIz θ0 x
X Mi
Fi
qi
2
3
4
4
hx − ai i + hx − bi i + (hx − ci i − hx − di i )
+
2!
3!
4!
i
M1
x
a1
F1
b1
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q1
c1
M2
d1
a2
F2
b2
q2
c2 d2
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Definiciones
Modelo
Ampliación
Cortante en vigas
b
El cortante en vigas se
distribuye en una sección
de acuerdo a la fórmula de
Colignon:
τ=
T mz (Ã)
b Iz
Ã
y
z
Ã
τ
x
T
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Definiciones
Modelo
Ampliación
Flexión oblicua
Fórmula de Navier para flexión oblicua:
σx = −
My
Mz
y+
z
EIz
EIy
Elástica para flexión oblicua:
v 00 (x) =
Mz (x)
,
EIz
w00 (x) = −
My (x)
EIy
Energı́a de una viga sometida a flexión oblicua:
Z
U=
0
L
Mz2
dx +
2EIz
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Z
0
L
My2
dx
2EIy
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Definiciones
Modelo
Ampliación
Solicitaciones combinadas
Todos los modelos estudiados son lineales → la combinación de las
acciones da lugar a la suma de las respuestas.
• Las tensiones debida a una combinación de N, T, M, Mt son la
suma tensorial de los desplazamientos individuales.
• El desplazamiento y giro debidos a una combinación de
N, T, M, Mt es la suma vectorial de los desplazamientos
individuales.
• La energı́a de una combinación de N, T, M, Mt es la suma de las
energı́as individuales.
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