distinción entre aplicación teórica y práctica en la docencia de las

DISTINCIÓN ENTRE APLICACIÓN TEÓRICA Y
PRÁCTICA EN LA DOCENCIA DE LAS MATEMÁTICAS
EN LA ECONOMÍA.
Álvarez Martínez, Pedro
Corcho Sánchez, Paula
Guerrero Manzano, Mª del Mar
Facultad de Ciencias. Económicas y Empresariales
Universidad de Extremadura
Avda. de Elvas s/n
06071 Badajoz
e-mail: palvarez@unex.es, pcorcho@unex.es y marguerm@unex.es
ABSTRACT:
La presencia de las Matemáticas en LADE (Licenciatura en Administración y Dirección
de Empresas) y LE (Licenciatura en Economía) está justificada por su carácter
instrumental. Esta instrumentalización se refleja en una terminología económica,
(marginalidad, elasticidad, tablas input-output, agotamiento, equilibrio, etc)
fundamentada en una interpretación de la formulación teórica matemática necesaria para
entender la realidad en la economía y empresa. El carácter instrumental de las
matemáticas en este ámbito es el factor determinante en la selección de los contenidos
matemáticos más idóneos para su docencia en LADE y LE. Este referencial teórico
deberá ir acompañado de una práctica operacional que faculte a los alumnos la
adquisición de la necesaria destreza en el cálculo. El objetivo de este trabajo es el
diferenciar entre aplicaciones prácticas (cálculo matemático en situaciones económicas)
y aplicaciones teóricas (interpretación económica de ciertas herramientas matemáticas)
en la docencia de la Matemáticas en la Economía y Empresa.
Palabras clave: Ciencias Económicas y Empresariales, Matemáticas, Conceptos
económicos, Marginalidad, Programa, Didáctica.
1. ESTADO DE LA CUESTIÓN
Una característica común que toda ciencia experimental comparte es su soporte
cuantitativo que le cataloga como tal. El progreso científico de la Economía como
ciencia ha experimentado un gran avance en los últimos 20 años. Este progreso ha
supuesto un incremento de la aportación matemática al área económico-social.
Este crecimiento de la aportación matemática ha venido impuesto por el
requerimiento de las demás disciplinas a la hora de dar solución a los problemas
económicos planteados. Las Matemáticas que se imparten en las titulaciones de
Economía y Empresa son pues, herramientas de trabajo, y su docencia le confiere una
peculiaridad distinta a las matemáticas en otras áreas (Física, Biología, ..etc.).
La diversidad de requerimiento matemático de las distintas disciplinas que
conforman las titulaciones de Economía y Empresa tiene su expresión en un mosaico
de contenidos que constituye el programa (Álvarez et. al. 2000 y Álvarez, Corcho y
Guerrero, 2001) de las distintas titulaciones en Economía y Empresa: LADE
(Licenciatura en Administración y Dirección de Empresas), LE (Licenciatura en
Economía) y DCCEE (Diplomatura en Ciencias Empresariales). Una breve reseña de
estos contenidos son: funciones de una y varias variables, representación gráfica,
polinomios, sucesiones, límites, series, derivadas totales y parciales, isocuánticas,
gradientes, ecuaciones diferenciales y en diferencias finitas, sistemas de dichas
ecuaciones, matrices, determinantes, diagonalización de matrices, vectores, sistemas de
ecuaciones lineales, formas cuadráticas, autovalores, autovectores, convexidad,
optimización de una y más variables, integrales simples y dobles...).
Todos estos conceptos son necesarios para resolver problemas económicos
referentes a oferta, demanda, ingreso, coste, beneficio, producción, utilidad, recta de
presupuesto, etc... cuando están formulados en términos de funciones, elasticidad,
curvas de contratos, agotamiento de recursos energéticos, estabilidad en los procesos
económicos, crecimiento de la población, interés compuesto, valor actual, programación
lineal y no lineal, tablas inputs-output, distribución de rentas, etc. Que corresponde al
campo de Microeconomía, Macroeconomía, Estadística, Econometría, Economía de la
Empresa, Investigación Operativa, Historia del Pensamiento económico, Investigación
de Mercados, etc. Tan sólo aquellos que desconocen la realidad económica actual se
cuestionarían la utilidad de las matemáticas reseñadas.
Surge así las Matemáticas como una asignatura instrumental, cuya impartición
está condicionada por una temporización impuesta por los créditos, simultaneando, en la
medida de lo posible, con los conceptos económicos a los que presta servicio. Se
considera así lo que se entiende como Matemáticas aplicada a la economía y empresa,
cuya enseñanza está caracterizada por enseñar Matemáticas, no a los matemáticos, sino
a los economistas.
2. APLICACIÓN TEÓRICA Y APLICACIÓN PRÁCTICA
El Objetivo de este trabajo es como llevar a cabo esta aplicación de las
matemáticas a la economía y empresa. En primer lugar hay que distinguir entre
aplicación teórica y aplicación práctica. Entendemos como aplicación teórica la
interpretación económica de un concepto matemático, y por aplicación práctica la
resolución e interpretación de los resultados de un problema económico. Ambas utilizan
el lenguaje como vehículo. Es obvio que para la aplicación teórica se requiere una
terminología matemática y una terminología económica. Por otro lado, la aplicación
práctica, que se materializa en los ejemplos, además de ubicar el problema en el marco
teórico oportuno, involucra una destreza operacional en el ámbito del cálculo
matemático, para conseguir el resultado final e interpretación del mismo.
3. EL CASO DE LA DERIVACIÓN
El concepto de derivada es un concepto matemático y tiene, por ejemplo, su
aplicación en el campo de la física. La interpretación de la formulación matemática de
la derivada constituye un marco teórico donde tiene su justificación conceptos tales
como velocidad, aceleración, entropía, etc. Análogamente, la tasa de cambio, coste
marginal, elasticidad, etc., tienen su fundamento en una interpretación de la formulación
de la derivada.
En nuestra experiencia docente se ha observado que los alumnos no saben
porqué utilizan las derivadas a la hora de calcular el coste marginal, o la relación que
existe entre la tasa de cambio y las derivadas. Desconocen la interpretación económica
del concepto de derivada aplicado al análisis marginal, tasa de cambio, etc. Solo
conocen que dada la función coste, por ejemplo, para calcular el coste marginal lo que
se hace es derivar dicha función, pero desconocen el papel que juega las derivadas en
relación con la marginalidad que lo justifique. Es decir, en el ámbito práctico ven la
utilidad de saber la técnica de derivar, cayendo en un automatismo, denotando una falta
una falta de solidez argumental teórico, fundamental para dar sentido a lo que se está
haciendo.
El siguiente ejemplo nos facilita una de las forma de cómo llevar a cabo la
interpretación económica de la formulación de la derivada aplicado al concepto de coste
marginal.
El coste marginal es un concepto englobado en el Análisis Marginal, que es un
área de la economía en la cual se estima el efecto producido en el coste1 cuando el nivel
de producción cambia en una unidad. Por ejemplo, si C(x) es el coste de producir x
unidades de un cierto artículo determinado, el coste de producir la (x0 + 1) unidad es
C(x0 + 1) - C(x0).
Por otro lado, matemáticamente nuestros alumnos conocen la derivada de la
función coste (definición de función derivada construida punto a punto):
dC ( x)
C ( x + ∆x) − C ( x)
= C ′( x) = Lím
dx
∆x
∆x →0
De aquí se deduce que C ′( x0 ) se puede aproximar de la siguiente manera
(realizando las oportunas operaciones con el límite):
C ′( x0 ) ≈
C ( x0 + ∆x) − C ( x0 )
∆x
de modo que cuando ∆x = 1,
C ( x0 + ∆x) − C ( x0 )
= C ( x0 + ∆x) − C ( x0 )
∆x
con lo cual, se puede hacer la aproximación:
C ′( x0 ) ≈ C ( x0 + 1) − C ( x0 )
Esta relación nos expresa que, en el nivel de producción x = x0, el coste de
producir una unidad adicional (coste marginal) es aproximadamente igual a la derivada
en ese punto de la función coste C ′( x0 ) . De este modo relacionamos la derivada
(concepto matemático) con el concepto de coste marginal (concepto económico). Esto,
entre otras, es lo que consideramos como interpretación económica de la derivada.
Generalizando para cualquier función, obtenemos las siguientes relaciones, con
definiciones análogas a la comentada:
-
De la función de coste C(x), la función de coste marginal C’(x).
-
De la función de ingreso I(x), la función de ingreso marginal I’(x).
-
De la función de beneficio B(x), la función de beneficio marginal B’(x).
-
De la función de utilidad U(x), la función de utilidad marginal U´(x).
Se observa así, que los economistas utilizan la palabra marginal (concepto
económico) apoyándose en el cálculo de la derivada de una función (concepto
matemático), es decir, se ha obtenido una formulación económica en base a una
formulación matemática.
Otra faceta distinta y complementaria, es la de adquirir destreza en la técnica de
derivar mediante las prácticas aplicable a funciones formuladas desde el punto de vista
económico. Aparecen así los ejemplos, ejercicios, problemas, etc., como medio para
reforzar y afianzar la concepción teórica aprendida.
4. CONCLUSIONES
En la docencia de las Matemáticas aplicadas a la Economía cabe reseñar dos
facetas diferenciadas:
a) Interpretación de la formulación matemática donde se basa el concepto
económico definido.
b) Aplicaciones prácticas mediante ejemplos, ejercicios, etc.
Esto proporcionaría un mayor rendimiento en el aprendizaje en la temporización
adecuada.
A nuestro modo de ver, se necesita la adecuada combinación de profesionales
matemáticos y economistas, de forma que cada uno aporte su formación. Por un lado,
los matemáticos aportarán el rigor necesario en los conceptos y definiciones
matemáticas, y por otro, los economistas, realizarán las interpretaciones económicas de
los resultados obtenidos en el empleo de técnicas matemáticas y aportarán conceptos
económicos que pueden ser relacionados con las Matemáticas.
1
Análogamente, se puede estudiar en otras funciones económicas (Ingreso, Utilidad, ...).
Dado que las Universidades en la actualidad dan una gran importancia a los planes sobre la calidad de la
enseñanza (planes propios y planes nacionales).
5
REFERENCIAS
Álvarez, P. et. al. (2000): Determinación de los contenidos docentes matemáticos en
económicas. Ed. ASEPUMA, (pp 3 – 13). Sevilla.
Álvarez, P., Corcho, P. y Guerrero, M. (2001): Una forma eficiente de elaborar un
programa de matemáticas en LADE y LE. Ed. ASEPUMA, (pp 53), Las Palmas de
Gran Canaria.