La inercia rotacional

La inercia rotacional
La inercia de los cuerpos
El concepto de inercia no es nuevo para ti. En segundo año medio, estudiaste las leyes de Newton, y
en estas tiene un papel importante la inercia. ¿Recuerdas a qué se refiere? Pensemos en una
situación cotidiana como la siguiente.
Dos vehículos van rápido por una carretera recta: un camión de gran tonelaje y un automóvil
pequeño.
¿A cuál de los dos le es más difícil lograr reducir su rapidez o detenerse?
O, si están detenidos, ¿cuál tiene una partida más lenta?
El camión tiene una masa inercial mucho mayor que la del vehículo menor, entonces si está en
movimiento, tenderá por supuesto a conservar su movimiento, igual que el otro vehículo, y si se
intenta detenerlos, al camión se le debe aplicar una fuerza también mucho mayor. A la inversa, para
tratar de moverlos desde el estado de reposo, es más fácil mover al auto pequeño que al camión. La
masa inercial puede interpretarse como una especie de resistencia de los cuerpos a cambiar su
estado de reposo o de movimiento, según sea el caso.
Generalizando, la masa inercial es una medida de la resistencia de un cuerpo al cambio de
movimiento ( aceleración ).
La inercia rotacional de los cuerpos
En este capítulo estamos estudiando la rotación de los cuerpos. Veremos que, al igual que en los
cuerpos que se mueven rectilíneamente, sin rodar, en los cuerpos que rotan o que pueden rotar
también, hay un concepto similar al de la masa inercial y que explica la diferente resistencia de los
cuerpos a iniciar una rotación o, a la inversa, si se encuentran rotando, la diferente resistencia a dejar
de rotar.
Este nuevo concepto se denomina inercia rotacional.
Precisando el significado del concepto de inercia rotacional, podemos asegurar que:
§
§
un cuerpo que rota alrededor de un eje tiende a seguir rotando, suponiendo que no haya una
acción externa que intervenga en el movimiento.
el cuerpo que no rota tiende a seguir sin rotar.
La inercia rotacional, símbolo I, representa la propiedad de los cuerpos para resistir los cambios de
su estado de movimiento rotatorio.
¿De qué factores depende la inercia rotacional de los cuerpos?
La inercia rotacional de un cuerpo dado depende de:
§
sus dimensiones geométricas.
§
su masa.
§
la forma como está distribuida la masa; la inercia aumenta en la medida que la distribución de masa
se aleja del eje de rotación.
§
la posición del eje alrededor del cual rota el cuerpo.
Como la inercia rotacional aumenta en la medida que la masa se distribuye y aleja del centro de
rotación, entonces se entiende que los seres de patas más cortas se caracterizan por ofrecer menor
resistencia a la acción que consiste en doblar sus piernas y tener por lo tanto una mayor agilidad en
su movimiento. Los corredores doblan sus piernas para movilizarlas más rápidamente.
Para una partícula de masa “ m “que rota a la distancia ” r “ alrededor de un eje, la inercia
rotacional de la partícula se define como:
𝐼 = 𝑚 ∙ 𝑟 !
Ejercicio:
Dos cuerpos de masa 4,0 [kg] y 9,0 [kg] se encuentran cada uno en los extremos de una varilla
delgada de 6,0 [m] de longitud. Determina la inercia rotacional del sistema en los dos siguientes
casos:
a) La varilla rota alrededor de un eje que pasa por su punto medio.
b) La varilla rota alrededor de un eje a 0,50 [m] del cuerpo de menor masa, entre los dos cuerpos.
SÍNTESIS:
§
§
§
§
§
§
§
La inercia rotacional es un concepto comparable, no igual, al de la masa inercial en la
dinámica unidimensional.
En ausencia de acciones externas, todo cuerpo que rota tiene tendencia a seguir con su
movimiento de rotación.
Los cuerpos con menor inercia rotacional son más fáciles de hacerlos rotar,
comparativamente, que los que tienen una mayor inercia rotacional.
Los cuerpos con menor inercia rotacional son más fáciles de hacer que dejen de rotar,
comparativamente, que los que tienen una mayor inercia rotacional.
La inercia rotacional depende, entre otros factores, de la distribución de masa alrededor del
eje de rotación: aumenta al haber mayor concentración lejos del eje de rotación.
La inercia rotacional de un objeto también depende de la ubicación que tiene el eje de
rotación del cuerpo.
Una persona tiene mayor inercia rotacional cuando camina con una vara en sus manos o
cuando extiende sus brazos.
La energía cinética de rotación
Cuando un cuerpo de masa m se traslada con rapidez v, por lo tanto su energía cinética es igual a:
!
𝐾 = ∙ 𝑚 ∙ 𝑣 !
!
(*)
Esta se llama energía cinética de traslación. ¿Cambia esta descripción cuando el cuerpo rota
alrededor de un eje?
Un cuerpo rígido que rota está constituido por muchas partículas. Suponemos que
el cuerpo rota con rapidez angular ω constante.
Pero la rapidez lineal es:
𝑉 = 𝜔 ∙ 𝑟 → 𝑉 ! = 𝜔! ∙ 𝑟 ! 𝐾=
, por lo tanto al reemplazar e (*)
1
1
𝑚 ∙ 𝜔! ∙ 𝑟 ! → 𝐾 = ∙ 𝐼 ∙ 𝜔!
2
2
La energía cinética de rotación no es un nuevo tipo de energía. Se ha derivado a partir de la energía
cinética de traslación de todas las partículas que componen el cuerpo que rota.
La energía cinética de rotación no es un nuevo tipo de energía. Se ha derivado a partir de la energía
cinética de traslación de todas las partículas que componen el cuerpo que rota.
El momento angular y su conservación
Recordemos el concepto de momento lineal 𝑝 de una partícula de masa m que se traslada con
velocidad 𝑣:
𝑝 =𝑚∙𝑣
La expresión general para el momento lineal tiene carácter vectorial, pero la igualdad anterior
también se puede expresar en función de los módulos del momento lineal y de la velocidad, es decir
su rapidez.
Para una partícula en movimiento de rotación, se define su momento angular respecto al centro de
rotación, como:
𝐿 = 𝑟 𝑥 𝑝
El módulo del momento angular es: 𝐿 = 𝑟 ∙ 𝑝 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝛼
!"∙! !
•
La unidad S.I es
•
El vector momento angular es perpendicular al plano que forma el radio r y el
vector moméntum lineal o bien el vector velocidad
!"#
Si desglosamos la ecuación , llegaremos a la expresión :
𝐿 = 𝐼 ∙ 𝜔
Ejercicio:
1.- Determina el momento angular de la Tierra en su
movimiento de rotación alrededor del eje de rotación
norte-sur. Supón que la Tierra es una esfera uniforme.
Los datos que será necesario conocer para resolver
este problema, son la masa M y el radio R de la Tierra,
además de su periodo de rotación T en segundos. En
tablas de datos de la Tierra, encontramos:
M = 5,98 · 1024 kg
R = 6,40 · 106 m
T = 24 h = 24 · 60 · 60 s = 86 400 s
2.- Determinen el momento angular del movimiento de traslación de la Tierra alrededor del Sol,
para esto, consideren:
a. la Tierra como una partícula
b. que el periodo del movimiento es un año.
c. la distancia de la Tierra al Sol es de 150 millones de kilómetros
3.- La inercia rotacional de un cuerpo:
A)
B)
C)
D)
E)
depende de la ubicación del eje de rotación.
es proporcional a su masa, independiente del eje de rotación.
es una propiedad intrínseca del cuerpo.
depende del tamaño del cuerpo.
depende del eje de rotación y es proporcional a su masa.
4.- Una esfera maciza de masa M y radio R rueda por un plano inclinado de altura h y sin roce,
partiendo del reposo. La rapidez con la que sale del plano inclinado depende, además de la
aceleración de gravedad:
A)
B)
C)
D)
E)
solo de la masa de la esfera.
solo del radio de la esfera.
del radio de la esfera y de la altura del plano inclinado.
de la masa de la esfera y de la altura del plano inclinado.
solo de la altura del plano inclinado.
5.- Tres cuerpos que pueden rodar, sin deslizar, se sueltan en lo alto de un plano inclinado: una
bolita, un cilindro macizo y un anillo, de diferentes radio R y masa M.
¿Cuál o cuáles llega primero a la base del plano inclinado?
A)
B)
C)
D)
E)
la bolita.
el cilindro.
el anillo.
la bolita y el cilindro.
llegan todos juntos.
Ley de conservación del momento angular
En la dinámica de la traslación, existe la propiedad de la conservación del momento lineal total de
cualquier sistema cuando la fuerza externa neta es cero. Existe una ley de conservación análoga para
el movimiento de rotación, que enuncia lo siguiente:
El momento angular total de un sistema permanece constante cuando el torque externo neto
aplicado al sistema es cero.
Ι1 · ω 1 = I2 · ω 2
Un momento angular constante significa, en otras palabras, que si L1 y L2 son los momentos
angulares de un sistema en dos instantes cualesquiera t1 y t2, entonces se cumple:
L1 = L2
En la figura se observa una patinadora que maniobra sus brazos.
En las imágenes (a) y (b) se manifiestan la inercia rotacional y su efecto en la rapidez angular. Como
todo sistema que rota, ella posee una inercia rotacional que puede controlar a voluntad, cerrando o
abriendo los brazos.
Pues bien, los brazos extendidos hacen aumentar su inercia rotacional, como en (a), mientras rota
con cierta rapidez angular. Al juntar sus brazos, su inercia rotacional disminuye y simultáneamente
su rapidez angular aumenta en la misma proporción en que disminuye su inercia rotacional.
El torque
En la dinámica de la traslación, la causa de los cambios del movimiento de los cuerpos es la fuerza.
Si están en reposo, una fuerza los puede poner en movimiento; si están en movimiento, una fuerza
les puede provocar un cambio en el movimiento. La segunda ley de Newton permite explicar todas
estas situaciones: Fneta = m · a, relacionando la fuerza neta con la aceleración de los cuerpos.
Veremos a continuación que el torque es el concepto análogo al de fuerza. Aunque no es igual a una
fuerza, el torque es la causa que origina las rotaciones y produce aceleración angular.
Para hacer rotar un cuerpo rígido, hay que aplicarle un torque. El torque incluye una fuerza y un
punto de aplicación.
•
•
•
•
El punto de aplicación de la fuerza (P).
La línea de acción de la fuerza, formada por la prolongación del vector F.
El brazo de palanca (d), distancia más corta entre el eje de rotación del sistema y la línea de
acción.
La distancia (r) entre el eje de rotación del sistema y el punto de aplicación de la fuerza.
Se define el torque τ de la fuerza aplicada, como la proyección perpendicular de la fuerza que actúa
sobre un brazo de palanca:
𝜏 = r · F · sen θ
Donde: θ, es el ángulo que forman entre si, r y F. Si la fuerza y el brazo son perpendiculares,
entonces la expresión se reduce a:
τ=d·F
Según la definición, se deduce que:
•
•
el torque depende de la posición del eje de rotación del sistema.
como el torque es el producto de una distancia por una fuerza, su unidad es m · N
Ejercicios
1.- Determinar la expresión para el torque neto sobre el cilindro.
¿En qué sentido rota el cilindro compuesto si los datos del problema son los siguientes?:
r1 = 30 cm, F1 = 4 N, r2 = 60 cm, F2 = 16 N
2.- La figura muestra cuatro fuerzas actuando sobre una delgada barra. Si F1 y la barra están
horizontal, entonces es correcto afirmar que la(s) fuerza(s) que ejerce(n) torque respecto al
punto O, donde está pivotada, es (son)
A)
B)
C)
D)
E)
F4
F 1 y F2
F 3 y F4
F 2 y F4
F 2 , F 3 y F4
3.- Una barra de masa m está inclinada y se apoya en dos puntos, el piso y el muro (ver figura). La
barra está quieta, respecto a la situación planteada se hacen distintas afirmaciones:
I.
El torque neto sobre la barra es cero.
II.
II) La fuerza de roce presente en el piso realiza torque.
III.
III) La normal que ejerce el muro sobre la barra realiza torque.
Es (son) correcta(s):
A)
B)
C)
D)
E)
sólo I.
sólo II.
sólo III.
sólo I y II.
I, II y II
El nuevo Sistema Solar
El 26 de Agosto del 2006 fue aprobada por la XXVI Asamblea General de la UAI (Unidad
Astronómica Internacional) en Praga, incluye ocho "planetas": Mercurio, Venus, la Tierra, Marte,
Júpiter, Saturno, Urano, y Neptuno; tres "planetas enanos": Ceres, Plutón, y 2003 UB313; y miles
de "objetos menores". En la figura los tamaños de los planetas están a escala para ser comparados
entre sí, pero las distancias no lo están.
Leyes de Kepler
Las leyes de Kepler fueron enunciadas por Johannes Kepler para explicar el movimiento de los
planetas en sus órbitas alrededor del Sol. Aunque él no las enunció en el mismo orden, en la
actualidad las leyes se numeran como sigue:
Primera Ley (1609): Todos los planetas se desplazan alrededor del Sol describiendo órbitas
elípticas, estando el Sol situado en uno de los focos (fig.).
Segunda Ley (1609): El vector posición que une el planeta y el Sol, barre áreas iguales en tiempos
iguales (figura).
La ley de las áreas es equivalente a la conservación del momento angular, es decir, cuando el planeta
está más alejado del Sol (afelio) su velocidad es menor que cuando está más cercano al Sol
(perihelio).
Tercera Ley (1618): Para cualquier planeta, el cuadrado de su período orbital (tiempo que tarda
en dar una vuelta alrededor del Sol) es directamente proporcional al cubo del
radio medio con el Sol.
𝑇 ! = 𝐾 ∙ 𝑅!
K es una constante de proporcionalidad y el radio medio (R) para una orbita elíptica equivale al
semieje mayor (fig.).
La ley de Newton sobre la gravitación universal
La ley formulada por Newton y que recibe el nombre de ley de la gravitación universal, afirma que
la fuerza de atracción que experimentan dos cuerpos dotados de masa es directamente proporcional
al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa
(ley de la inversa del cuadrado de la distancia).
𝐹=𝐺
𝑚! ∙ 𝑚!
𝑑!
La ley incluye una constante de proporcionalidad (G) que recibe el nombre de constante de la
gravitación universal y cuyo valor es:
6,67𝑥10
Balanza de torsión de Cavendish
!!!
𝑁 ∙ 𝑚!
𝐾𝑔!
El aparato de Cavendish para obtener G consistía en una barra de 2 metros con dos esferas pequeñas
en cada extremo. Cuando gira la barra, hay una fuerza proporcional a la rotación de la barra.
Después, dos esferas grandes fueron puestas cerca de las esferas pequeñas y movió la barra hasta
que la fuerza de torsión fuera igual a la fuerza de gravitación. Con F, m y M conocidos, se puede
determinar G.
Campo gravitacional de la Tierra
Por definición, el campo gravitatorio (g) que produce un cuerpo en un punto cualquiera es igual al
cociente entre la fuerza de atracción gravitatoria que dicho cuerpo ejerce sobre una masa testigo o
masa de prueba colocada ahí y el valor de dicha masa de prueba.
∙𝑀∙𝑚
𝐹
𝑟! = 𝐺 ∙ 𝑀
𝑔 = = 𝑚
𝑚
𝑟!
𝐺
𝑔 = 𝐺∙𝑀
𝑟!
El valor de g , está determinado por la masa del planeta y el cuadrado de la distancia al centro del
planeta. De acuerdo con esto el valor de g en el polo es mayor que en el ecuador.
Velocidad satelital
Las órbitas satelitales pueden ser diversas , desde los geoestacionarios hasta los que poseen órbitas
polares. Vamos a considerar a aquellos que giran en una órbita circular.
Tenemos:
𝑎! = !!
!
𝑦 𝑔 = !∙!
!!
igualando ambas ecuaciones tenemos:
𝑉 = 𝐺∙𝑀
𝑟
Como G y M son constantes , el valor de la velocidad depende de la distancia al centro del planeta.
Mientras más lejos está menor es la velocidad que requiere en la órbita.
1.- Acerca de nuestro planeta, se afirma que
I)
II)
III)
se formo hace 450.000 años.
su periodo de traslación en torno al Sol es de 365 días.
su orbita en torno al Sol es elíptica.
Es (son) correcta(s)
A)
B)
C)
D)
E)
sólo I.
sólo II.
sólo III.
sólo II y III.
I, II y III.
2.- Cuando la Tierra está más próxima al Sol se dice que está en
A)
B)
C)
D)
E)
su cenit.
el afelio.
el eclíptico.
el perihelio.
solsticio.
3.- Las órbitas de la mayor parte de los planetas del Sistema Solar están contenidas o muy próximas
al plano de la
A)
B)
C)
D)
E)
eclíptica.
azimut.
astrolabio.
cromosfera.
cefeida.
4.- Sean F1 y F2 los focos de la elipse que describe la Tierra en torno al Sol. En el recorrido que
hace el planeta se han marcado 4 puntos. Al comparar la rapidez de la Tierra en los puntos
A, B, C y D es correcto que en:
A)
B)
C)
D)
E)
A es más rápido.
B es más rápido.
C es más rápido.
D es más rápido.
A, B, C y D la rapidez es la misma.
5.- La figura muestra dos satélites que describen orbitas circulares en torno a la Tierra. El satélite S1 ,
se encuentra respecto al centro de la Tierra a una distancia R0 y el satélite S2 , se encuentra a una
distancia 4R0 . Entonces, si el período del satélite S1 es 10 días, el período del satélite S2 será:
A)
B)
C)
D)
E)
20 días.
40 días.
80 días.
100 días.
1.000 días.
6.- La primera Ley de Kepler dice relación con:
A)
B)
C)
D)
E)
las distancias de los planetas al Sol.
las velocidades de rotación.
las formas geométricas de las órbitas.
los tiempos que demoran en hacer su traslación alrededor del sol.
las magnitudes de los radios ecuatoriales.
7.- La ley general de gravitación establecida por Newton establece que la fuerza de atracción entre
dos cuerpos celestes es:
A)
B)
C)
D)
E)
inversamente proporcional a las masas.
directamente proporcional a la distancia.
dependiente de las órbitas.
inversamente proporcional a la distancia.
inversamente proporcional al cuadrado de la distancia.
Ejercicios con desarrollo
1.- La Luna es, aproximadamente, esférica, con radio R = 1,74. 106 [m] y masa m = 7,35 .1022 [kg]:
a) Calcula la aceleración de la gravedad en la superficie lunar.
b) Si se deja caer una piedra desde una altura de 2 [m] sobre la superficie lunar, ¿cuál será su
velocidad al chocar con la superficie?
2.- Un satélite de 250 [kg] de masa describe una órbita circular en torno a la Tierra a una altura sobre
su superficie de 500 [km]. Calcula:
a) Su velocidad.
b) Su período de revolución.
c) Las energías cinética y potencial del satélite.
d) La energía necesaria para ponerlo en órbita.
3.- Un satélite artificial se dice geoestacionario si está siempre en la vertical de un cierto punto de la
Tierra:
a) ¿A qué altura están dichos satélites?
b) ¿Qué momento cinético respecto al centro de la Tierra tiene un satélite geoestacionario si su
masa es de 100 kg?
c) ¿Por qué no puede haber un satélite geoestacionario en la vertical de las islas Baleare
4.- Calcula la masa del Sol, considerando que la Tierra describe una ´orbita circular de 150 millones
de [km] de radio.
5.- Un satélite de 300 [kg] describe una órbita circular alrededor de la Tierra a una altura igual al
radio terrestre (figura). Calcular
a.
b.
c.
d.
la rapidez orbital del satélite
su período de revolución
la fuerza gravitacional sobre el satélite
comparar su peso en la órbita con su peso en la superficie de la Tierra