Sistemas de ecuaciones

2.- Sistemas lineales.
2.1.-Definiciones previa.
2.1.1.-Ecuación lineal con n incógnitas:
, donde ai, b , ú. Los valores
Cualquier expresión del tipo:
ai se denominan coeficientes, b término independiente y los valores xi incógnitas.
2.1.2.-Solución de una ecuación lineal
Cualquier conjunto de n números reales que verifica la ecuación se denomina solución de
la ecuación. La n-upla
si se verifica:
es solución de la ecuación lineal anterior
.
Ejemplo: Dada la ecuación x+y+z+t=0, son solución de ella:
(1,-1,1,-1), (-2,-2,0, -4).
2.1.3.-Sistema de m ecuaciones con n incógnitas
2.1.4.-Solución de un sistema de ecuaciones lineales
Una n-upla
es solución del sistema anterior si verifica las m
ecuaciones. Es decir:
-11-
2.1.5.-Forma matricial de un sistema de ecuaciones lineales:
El sistema de ecuaciones lineales anterior puede escribirse así:
donde la matriz A , Mmxn se denomina matriz de los coeficientes, X , Mnx1 se denomina
matriz de las incógnitas, B , Mmx1.se denomina matriz de los términos independientes.
La matriz A*=(A|B) se denomina matriz ampliada.
Ejemplo:
Por ejemplo, los triplas: (0, 0, 0), (-2,-1,1), (-6,-3,3) son solución del sistema anterior.
La expresión matricial es:
La matriz ampliada es:
-12-
2.1.6.-Clasificación de los sistemas según el número de soluciones.
Los sistemas compatibles son los sistema que tienen solución.
Los sistemas compatibles determinados son los sistema que tienen una única
solución.
Los sistemas compatibles indeterminados son los sistema que tienen infinitas
soluciones.
Los sistemas incompatibles son los sistema que no tienen solución.
Los sistemas cuyos términos independientes son nulos se denominan sistemas
homogéneos. Esto sistemas tienen siempre, al menos una solución: la solución nula.
Ejemplos:
Sistema compatible determinado:
.
Sistema compatible indeterminado:
Sistema incompatible:
.
.
-13-
2.2.-Interpretación geométrica de los sistema lineales con dos
incógnitas
2.2.1.-Representación gráfica de una ecuación lineal con dos incógnitas.
Cualquier ecuación lineal de dos incógnitas ax+by=c es posible representarla sobre unos
ejes cartesianos.
Ejemplos:
y=3x+2
-8
-6
-4
y=3
8
8
6
6
4
4
2
2
-2
2
4
6
-8
8
-6
-4
-2
2.2.2.Interpretació
n analítica y
2
4
6
8
gráfica de las
-2
-2
-4
-4
soluciones de
-6
-6
-8
-8
sistemas de
Efofex - Unregistered Evaluation Copy
Efofex - Unregistered Evaluation Copy
ecuaciones
lineales con
dos
incógnitas.
Cuando representamos gráficamente sistemas de ecuaciones con dos incógnitas
realizamos la representación de varias rectas; los puntos en común entre las rectas son las
soluciones del sistema.
8
4
6
4
2
Ejemplos:
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
-4
4
-2
-4
-6
-4
-8
Efofex - Unregistered Evaluation Copy
Efofex - Unregistered Evaluation Copy
-14-
2.3.-Método de Gauss
2.3.1.-Sistemas equivalentes
Dos sistemas se dicen equivalentes si tienen las mismas soluciones. El número de
ecuaciones que tienen puede ser distinto.
Ejemplo: Los siguientes sistema son equivalentes
2.3.2.-Transformaciones que se pueden realizar en un sistema para
obtener sistemas equivalentes.
1.- Cambiar el orden de las ecuaciones del sistema.
2.- Cambiar el orden de las incógnitas en la ecuación.
3.-Multiplicar los dos miembros de una ecuación por un número distinto de cero.
4.-Suprimir una ecuación del sistema que sea combinación lineal de las demás.
5.- Sustituir una ecuación por la suma de ella más otra ecuación multiplicada por un
número cualquiera.
-15-
6.- Sustituir una ecuación del sistema por una combinación lineal de ella y de las restantes
siempre que el coeficiente de la ecuación sustituida sea distinto de cero.
Ejercicio: Realizar las transformaciones anteriores en un sistema.
2.3.3.-Discusión y resolución de sistemas por el método de Gauss.
El método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otro equivalente
de forma que este sea escalonado.
Decimos que un sistema es escalonado si la matriz de los coeficientes es triangular.
Ejemplo:
De la tercera ecuación se obtiene z=2; sustituyendo este valor en la
segunda ecuación obtenemos y=1 y, por fin, sustituyendo estos valores en la primera ecuación
obtenemos x=-1.
Ejemplo 1:
1.-Escribimos la matriz ampliada
2.- La idea consiste en realizar dos ceros en la primera columna y uno en la segunda:
-F1+F2, -3F1+F3
; 2F2+F3
-16-
.
3.- El sistema equivalente que se obtiene es:
. Se trata de un sistema
compatible determinado. Solución: z=1, y=-4, x=-1
Ejemplo 2:.-
1.-
2.- -F1+2F2, -3F1+2F2
; -F2+F3
3.- El sistema equivalente que se obtiene es:
.
. Este sistema es incompatible
pues la última ecuación es absurda.
Ejemplo 3:
2.- -2F1+F2, -F1+F3
1.-
.
; -F2+F3
-17-
.
3.- El sistema equivalente obtenido es:
. La última ecuación no aporta
nada y, por tanto, el sistema es:
. Se trata de un sistema compatible
determinado. La solución es: y=5-6z; x=-8+9z, z cualquiera.
2.3.4.-Discusión de sistemas dependientes de un parámetro.
Analizamos ahora sistemas en los que uno o varios de los coeficientes son parámetros,
letras que pueden tomar cualquier valor, en función de los valores que tomen el sistema puede
presentar solución o no.
Ejemplo:
. Para facilitar los cálculos, haremos un cambio de columna de
forma que el parámetro m aparezca en la última:
; -2F1+F2 ; -3F1+F3 Y
. La matriz ampliada es:
.Realizamos un intercambio
de filas (lo único que hacemos es intercambiar las ecuaciones) y
obtenemos:
equivalente es:
.Teniendo en cuenta el cambio realizado el sistema
.
-18-
Si m=-4, el sistema se reduce a dos ecuaciones:
. Es un sistema compatible
indeterminado (SCI) con soluciones: z=(-7/6)x; y=(-1/3)x.
Si m…-4, el sistema es compatible determinado (SCD) con soluciones: x=0, y=0, z=0.
Ejercicios:
Resolver aplicando el método de Gauss: S1.-
S3.-
; S4.-
; S9.-
,
; S5 .-
Discutir y resolver en función del parámetro: S6.-
S8.-
, S2.-
; S10.-
-19-
; S7.-
;
.