Superficies mas comunes 1. Planos: Ax + By + Cz + D = 0. 2. Esferas: (x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 = R2 . (Polinomios de segundo grado en x, y, z sin términos cruzados (es decir, términos en xy, xz, yz). 3. Cilindros: en general, ecuaciones del tipo f (x, y) = 0 (análogamente, g(x, z) = 0, h(y, z) = 0); en el plano se corresponden con curvas, en el espacio queda una coordenada libre, luego se corresponden con cilindros, es decir, superficies formadas por rectas que se “levantan” sobre la curva f (x, y) = 0. Los más habituales: x2 y 2 + 2 = 1. Si a = b, se trata de un cilindro circular; si el eje del cilina2 b (x − x0 )2 (y − y0 )2 dro está desplazado, pero es paralelo al eje z, se tiene + = 1. a2 b2 Análogamente en x, z ó y, z. • Elı́pticos: • Parabólicos: y 2 = 2px. Si el eje está desplazado, pero es paralelo al eje z, (y − y0 )2 = 2p(x − x0 ). Análogamente en x, z ó y, z. x2 y 2 − 2 = 1. Si el eje del cilindro está desplazado, pero es paralelo a2 b (x − x0 )2 (y − y0 )2 al eje z, se tiene − = 1. Análogamente en x, z ó y, z. a2 b2 • Hiperbólicos: Los dibujos correspondientes a las superficies que vienen a continuación aparecen en el cuadernillo de la asignatura (al comienzo del cuadernillo). x2 y 2 z 2 + 2 + 2 =1 a2 b c Principales caracterı́sticas: 4. Elipsoides: • Si a = b = c, se trata de una esfera. • Los cortes con planos x = cte, y = cte, z = cte son elipses. Si el centro del elipsoide está desplazado, pero sus ejes son paralelos a los ejes coordenados, entonces (x − x0 )2 (y − y0 )2 (z − z0 )2 + + =1 a2 b2 c2 5. Hiperboloide de una hoja: x2 y 2 z 2 + 2 − 2 =1 a2 b c Principales caracterı́sticas: • La ecuación es similar al elipsoide, pero el signo del término correspondiente a z 2 es negativo. • Los cortes con planos x = cte, y = cte son hipérbolas. • Los cortes con planos z = cte son elipses (circunferencias, si a = b). • El eje del hiperboloide es el eje z. Si sustituimos en la ecuación anterior x por x − x0 , y por y − y0 , z por z − z0 , tenemos un hiperboloide cuyos ejes son paralelos a los coordenados. 6. Hiperboloide de dos hojas: x2 y 2 z 2 x2 y 2 z 2 + − = −1, o también − − 2 + 2 =1 a2 b2 c2 a2 b c Principales caracterı́sticas: • La ecuación es similar al elipsoide, pero de los tres cuadrados sólo uno es positivo. También se puede ver como análoga a la ecuación del hiperboloide de una hoja, pero con el término independiente cambiado de signo. • Los cortes con planos x = cte, y = cte son hipérbolas. • Los cortes con planos z = cte son elipses (circunferencias, si a = b). Pero hay ciertos valores de z para los cuáles los cortes con planos z = cte son vacı́os; z2 concretamente, esto sucede cuando 2 − 1 < 0. c • El eje del hiperboloide es el eje z. Si sustituimos en la ecuación anterior x por x − x0 , y por y − y0 , z por z − z0 , tenemos un hiperboloide cuyos ejes son paralelos a los coordenados. x2 y 2 z 2 + 2 − 2 = 0. a2 b c Principales caracterı́sticas: 7. Cono elı́ptico: • La ecuación es similar al hiperboloide de una hoja, pero el término independiente es nulo. • Los cortes con planos x = cte, y = cte son hipérbolas. • Los cortes con planos z = cte son elipses (circunferencias, si a = b). Para z = 0 se obtiene el vértice del cono. • El corte con x = 0 proporciona dos rectas que se cortan en el origen. • El eje del cono es el eje z. Si el vértice del cono está no en (0, 0, 0), sino en (x0 , y0 , z0 ), pero sus ejes son paralelos a los coordenados, basta sustituir en la ecuación anterior x por x − x0 , y por y − y0 , z por z − z0 . 8. Paraboloide elı́ptico: x2 y 2 x2 y 2 + − z = 0, o en forma explı́cita, z = + 2 a2 b2 a2 b Principales caracterı́sticas: • Los cortes con planos x = cte, y = cte son parábolas. • Los cortes con planos z = cte son elipses (circunferencias, si a = b). Para z = 0 se obtiene el vértice del paraboloide (el origen del sistema de coordenadas). Para z < 0, los cortes son vacı́os. • El eje del paraboloide es el eje z. Si el vértice del paraboloide está no en (0, 0, 0), sino en (x0 , y0 , z0 ), pero sus ejes son paralelos a los coordenados, basta sustituir en la ecuación anterior x por x − x0 , y por y − y0 , z por z − z0 . 9. Paraboloide hiperbólico: y 2 x2 y 2 x2 − − z = 0, o en forma explı́cita, z = − 2 b2 a2 b2 a Principales caracterı́sticas: • Los cortes con planos x = cte, y = cte son parábolas. • Los cortes con planos z = cte son hipérbolas. Cuando z > 0, el eje de la hipérbola es paralelo al eje y, y cuando z < 0, al eje x. Si z = 0, la intersección es un par de rectas que se cortan en el origen. • En el caso del paraboloide hiperbólico, se dice que el origen es un “punto de silla” (alrededor del origen, hay tanto puntos que quedan por encima del plano tangente a la superficie, como por debajo). • El eje del paraboloide es el eje z. Si el punto de silla está no en el origen, sino en (x0 , y0 , z0 ), pero sus ejes son paralelos a los coordenados, basta sustituir en la ecuación anterior x por x − x0 , y por y − y0 , z por z − z0 .