Dinámica newtoniana modificada

Dinámica newtoniana modificada
Renato Zamora Jofré
25 de junio de 2009
Resumen
galácticos alcanzando buenos resultados comparados
con los experimentales, dicha teorı́a es la llamada
La tendencia a querer modificar las dinámicas de Dinámica Newtoniana Modificada o MOND por sus
los sistemas galácticos data de los años 1960. Una siglas en inglés, una teorı́a que podrı́a llegar a ser
de estas tendencias es que la que se refiere de modi- una herramienta para la cosmologı́a actual.
ficar la dinámica newtoniana ( MOND ) , realizada
por Mordehai Milgrom en el año 1983, la cual puede ser un elemento fundamental para poder entenLa teorı́a MOND
der la dinámica propia de la galaxia sin involucrar la 2.
materia oscura. Tales entendimientos pueden ser , la
Milgrom consideró aceptable realizar una
velocidad de rotación de galaxias, poder predecir la
desviación
a las leyes de la dinámica de Newton,
relación Tully Fisher, entre otras. Con lo cual puede
donde
se
propone
que en remplazo de una fuerza
ser un candidato a sustituir la materia oscura.
proporcional a la aceleración, cuando la aceleración
de los sistemas a describir es más pequeña que
un cierta valor a0 ( donde a0 es una constante
1. Introducción
con dimensiones de aceleración con un valor de
8
2
El primero que utilzó la materia oscura para aproximadamente de 2 × 10 m/s ) la forma de la
explicar observaciones como la velocidad rotacional segunda ley de Newton cambia. La modificación se
de las galaxias y las velocidades orbitales de las trata de añadirle un factor de la forma
galacias en los cúmulos fue Fritz Zwicky. Sin embargo
en los resultados de Zwicky surgirı́an incosistencias
que pronto orientó el trabajo de astrónomos y
cosmólogos hacia lo que, hoy dı́a, se conoce como
el Paradigma de la Materia Oscura. Tal paradigma
establece la existencia de materia (bariónica o no
bariónica) que, aunque aumente el contenido masivo
de la galaxia , podrı́an ser cuerpos poco brllantes
que no son visibles desde la Tierra o sencillamente
no emiten ninguna lngitud de onda.
No obstante, desde 1960 algunos teóricos se
dieron la tarea de encontrar formas alternativas
a la materia oscura, buscando nuevas leyes en las
dinámicas en vez de buscarlos en la naturaleza. Con
esto, surge en 1983 Mordehai Milgrom atreviéndose
a modificar la segunda ley de Newton para sistemas
a
F~ = mµ
~a
a0
(1)
donde µ es una función que cumple con la condicion µ(x) = 1 si x 1 y µ(x) = x si x ≈ 1 . Es decir,
cuando las aceleraciones en el sistema son mayores
que la constante a0 se retorna al régimen newtoniano
y cuando las aceleraciones son del orden de a0 la segunda ley de Newton toma la forma
ma~a
F~ =
a0
1
(2)
ma =
3.
3.1.
GM m
r2
(4)
Éxitos y fracasos de MOND
Velocidad de rotación de las galaAproximando a una órbita circular y cancelando
los
m, tenemos
xias
Las variables que describen algunos sistev2
GM
mas dinámicos, como galaxias espirales son esenciala=
(5)
= 2
mente tres: la masa ( cantidad de materia bariónica
r
r
existente en estos sistemas), la velocidad de rotación
galáctica y el radio ( medido a partir de su centro) .
Si relacionamos estas cantidades fı́sicas se puede calDonde finalmente obtenemos
cular su contenido masivo.
Para poder estimar este contenido masivo, se han
r
GM
desarrollados variados métodos, uno de ellos es llamav=
(6)
do el método dinámico que se basa en una descripción
r
matemática entre la velocidad tangencial de rotación
de un fragmento de disco de la galaxia y la masa
contenido hasta cierto radio r, v 2 = GM
Entonces en este caso las curvas de rotacı́ón disr en donde G
representa la constante de gravitación universal.
minuye a radios más grandes, lo que no concuerda
A partir del método dinámico se puede construir con lo experimental. El siguiente gráfico muestra la
una gráfica velocidad vs distancia radial, siendo el diferencia
área bajo la curva proporcional a la masa encerrada
hasta un cierto radio. De los dos métodos descritos
cabrı́a esperarse idénticos resultados, sin embargo, los
datos del método dinámico no concuerdan con la experiencia, pues en galaxias reales las curvas de rotación no disminuyen a radios más grandes sino que
tienden a tomar un valor.
Calculemos la velocidad de rotación de las galaxias con la dinámica de Newton. Para ello pensemos
en una estrella muy lejos del centro de la galaxia, en
tal estrella la fuerza de gravitación que experimenta,
en buena aproximación es
F =
GM m
r2
(3)
Figura 1: Curva de rotación
Sin embargo, si ahora aplicamos MOND, tenemos
Donde G es la constante de gravitación universal,
M la masa de la galaxia, m la masa de la estrella y r
la distancia entre el centro de la galaxia y la estrella.
Usando Newton tenemos que
GM m
a
F =
= mµ
~a
r2
a0
2
(7)
3.2.
Relación Tully-Fisher
La relación de Tully-Fisher fue publicada por
A una distancia lejana tenemos que las aceleraciolos astrónomos R. Brent Tully y J. Richard Fisher
nes son del orden de a0 , entonces
en 1977 y permite estimar la distancia a la que se
encuentra una galaxia espiral a partir de la anchura
de las lı́neas de su espectro.
a
a
a
≈ 1 =⇒ µ
=
(8)
La relación, derivada de forma empı́rica, establece
a0
a0
a0
que la luminosidad de una galaxia espiral es proporcional a la cuarta potencia de su velocidad máxima
de rotación ( L ∝ v 4 ) que, a su vez, se determina a
partir de la anchura de las lı́neas espectrales, en parEntonces nos queda
ticular de la lı́nea a 21cm emitida por el hidrógeno
neutro de la galaxia.
Ahora si relacionamos la masa de la galaxia con la
ma2
GM m
=
F =
(9) luminosidad, tendremos que la relación toma la forma
r2
a0
( M ∝ v 4 ) , MOND puede predecir esta relación, ya
que la velocidad de una estrella en el campo de una
galaxia, a algun radio determinado esta dado por
Despejando a
√
a=
v=
GM a0
r
p
4
GM a0
(13)
(10)
LLegando trivialmente a la relación Tully-Fisher
Aproximando a una órbita circular
M ∝ v4
a=
v2
=
r
√
GM a0
r
(14)
(11)
3.3.
Finalmente obtenemos
Fracaso de MOND
Uno de los mayores problemas de la Dinámica
Modificada es que se postula que en sistemas como
cúmulos abiertos, el Principio de Equivalencia Fuerp
v = 4 GM a0
(12) te no se cumple. Esto es porque MOND postula que
la masa inercial de un objeto, y no la masa gravitacional depende del campo a la que esta sometida,
es decir que un campo externo puede modificad la
Por lo tanto, las curvas de velocidad se aplanan dinámica interna de tales sistema. Y el principio de
de manera asintótica después de cierto radio, ası́ la equivalencia fuerte nos dice que la masa inercial y no
precisión con que MOND predice las curvas de la masa gravitacional son exactamente iguales, lo que
rotación es muy alta.
impide que MOND sea compatible con la Relatividad
General.
3
4.
Conlusión
MOND modifica la ley de Newton para predecir
las curvas de rotación de las galaxias, o la magnitud
de la discrepancia en la masa de los cúmulos de galaxias, pero no tiene fundamentos teóricos sólidos. El
punto débil de MOND es el hecho de que sea una sugerencia fenomenológica, hecha ad hoc. Actualmente
no existe nnguna teorı́a fı́sica que avale a MOND para poder sustentar esta teorı́a en un universo a baja
aceleración.
Por lo tanto necesitamos buscar esa fı́sica relevante que pueda sustentar a MOND, donde tenemos un
campo abierto para investigar, la cual puede ser una
tarea de astrónomos, astrofı́sicos y fisicos actuales.
Referencias
[1] Mordehai Milgrom , arXiv:0706.0875v2 , Jun.
2007
[2] Mordehai Milgrom , arXiv:0801.3133v2 , Jan.
2008
[3] Mordehai Milgrom, Robert H. Sanders
arXiv:astro-ph/0611494v1 , Nov. 2006
,
[4] A. Yu. Ignatiev , arXiv:gr-qc/0612159v2 , Dec.
2006
[5] Jacob D. Bekenstein , arXiv:astro-ph/0701848v2
, Jan 2007
[6] Robert H. Sanders , arXiv:astro-ph/0601431v2 ,
Jan. 2006
[7] Mario Livio, The dark Universe : Matter, Energy
and Gravity (2004)
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