UNIVERSIDAD DE OVIEDO // ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE MINAS ASIGNATURA: TECNOLOGÍA CEMENTOS, VIDRIO Y CERÁMICAS SERIE PROBLEMAS: TEMA .- ESTRUCTURA CRISTALINA P1.- La celda unitaria del Al2O3 tiene una simetría hexagonal con los siguientes parámetros de red: a = 0.4759 nm b = 1.2989 nm Si la densidad del Al2O3 es 3.99 g/cm3, determinar su factor de empaquetamiento atómico. DATOS: RAl3+ = 0,053 nm , RO2- = 0,140 nm , MAl = 27 , MO = 16. R.- 84.15 %. ======================================================================== SOLUCIÓN: Volumen de átomos en la celda unidad VS Factor de empaqueta mi ento Volumen total de la celda unidad VT 1 a 3 3 3 2 VT Abase ( Altura) 6 a c a c 2 2 2 Sustituyendo valores: 2 3 3 0.4759 x107 1.2829 x107 0.7643x1021 cm3 2 0.7643 nm3 VT La expresión de la densidad viene dada por: n AC AA de donde : n VT N A VT N A AC AA Sustituyendo valores: n VT N A AC AA 3.99 g cm3 fórmula unidad 21 x 0.7643 x 10 x6.023x1023 3 celda unidad mol cm g (2 x 27 3x16) mol n 18 fórmula unidad celda unidad luego: n = 18 → 18x3 = 54 aniones oxígeno, 18x2 = 36 cationes aluminio 4 4 4 VS 54 x R3 36 x R3 54 R3 36 R3 3 3 3 O2 Al3 O2 Al3 Sustituyendo valores: 4 3 3 VS 54 x 0.140 36 x 0.053 0.64313 nm3 3 Factor de empaqueta mi ento VS 0.64313 0.8415, VT 0.7643 (84.15 %) UNIVERSIDAD DE OVIEDO // ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE MINAS ASIGNATURA: TECNOLOGÍA CEMENTOS, VIDRIO Y CERÁMICAS SERIE PROBLEMAS: TEMA .- ESTRUCTURA CRISTALINA P2.- Un tipo hipotético de material cerámico AX tiene una densidad de 2.10 g/cm3 y una celda unitaria de simetría cúbica cuyo lado tiene una longitud de 0.57 nm. Los pesos atómicos de A y X son 28.5 y 30 g/mol, respectivamente. Tomando como base la información anterior, cual o cuales de las siguientes estructuras cristalinas son posibles para dicho material: (a).- sal común (b).- cloruro de cesio (c).- Sulfuro de zinc. Justificar la respuesta. SOLUCIÓN: UNIVERSIDAD DE OVIEDO // ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE MINAS ASIGNATURA: TECNOLOGÍA CEMENTOS, VIDRIO Y CERÁMICAS SERIE PROBLEMAS: TEMA .- ESTRUCTURA CRISTALINA P3.- La celda unitaria del compuesto MgFe2O4 (MgO.Fe2O3) tiene una simetría cúbica con una longitud del lado igual a 0.836 nm. Si la densidad de este material es de 4.52 g/cm3 determinar su factor de empaquetamiento atómico. DATOS: RFe3+ = 0,069 nm , RO2- = 0,140 nm , RMg2+ = 0,072 nm MFe = 55.85 , MO = 16, MMg =24.32 ============================================================================ ============ SOLUCIÓN: Factor de empaqueta mi ento Volumen de átomos en la celda unidad VS Volumen total de la celda unidad VT VT (Volumen celda unidad ) a3 0.836 x107 3 0.5843x1021 cm3 0.5843 nm3 La expresión de la densidad viene dada por: n n AC AA VT N A VT N A AC AA de donde : n 4.52 VT N A AC AA y sustituyendo valores: g cm3 fórmula unidad 21 x 0.5843 x 10 x6.023x1023 3 celda unidad mol cm 8 g (24.32 2 x55.85 4 x16) mol luego: n=8 → 8x4 = 32 aniones oxígeno, 8x2 = 16 cationes hierro, 8x1 = 8 cationes magnesio 4 4 4 4 VS 32 x R3 16 x R3 8x R3 54R3 36R3 8xR3 3 3 3 3 O2 Fe3 Mg 2 O2 Al3 Mg 2 Sustituyendo valores: 4 3 3 3 VS 32 x 0.140 16 x 0.069 8 x 0.072 0.4023 nm3 3 Factor de empaqueta mi ento VS 0.4023 0.6885, VT 0.5843 (68.85 %) Estructura de la espinela Esta estructura de espinela se basa en un empaquetamiento cúbico compacto centrado en las caras de oxígenos, donde los huecos octaédricos y tetraédricos están parcialmente ocupados. La celda unidad está formada por ocho subunidades moleculares tipo AB2X4 con diferente estructura: NaCl y ZnS cúbico. Así pues, la celdilla unidad contiene 32 aniones en empaquetamiento compacto casi perfecto de fórmula A8B16X32. Existen 96 huecos entre los aniones en la celda unidad cúbica de la espinela; sin embargo, en los compuestos AB2X4, únicamente 24 están ocupados por cationes. De estos 96 huecos disponibles 64 son tetraédricos (de los cuales sólo 8 están ocupados por cationes, Cationes A2+) y 32 octaédricos (que son ocupados por los 16 cationes restantes, cationes B3+). La periodicidad de repetición entre los dos tipos de subunidades estructurales (cationes con coordinación tetraédrica y con coordinación octaédrica) define el parámetro de red de la espinela a. Este parámetro de red adopta valores comprendidos entre 8Å y 9Å, dependiendo del tipo de iones que formen la espinela. UNIVERSIDAD DE OVIEDO // ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE MINAS ASIGNATURA: TECNOLOGÍA CEMENTOS, VIDRIO Y CERÁMICAS SERIE PROBLEMAS: TEMA .- ESTRUCTURA CRISTALINA P4.- A partir de los datos de la tabla 3.4, determinar la densidad del fluoruro de calcio (CaF2), el cual tiene la estructura de la fluorita. ============================================================================ = SOLUCIÓN: Estructura de la fluorita UNIVERSIDAD DE OVIEDO // ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE MINAS ASIGNATURA: TECNOLOGÍA CEMENTOS, VIDRIO Y CERÁMICAS SERIE PROBLEMAS: TEMA .- ESTRUCTURA CRISTALINA P5.- (i).- Estructura cristalina del diamante, (i).- Determinar la densidad teórica del diamante sabiendo que la longitud y el ángulo del enlace C-C son 0.154 nm y 109.5 º, respectivamente. (iii).- Determinar el factor de empaquetamiento. Asumir que los átomos enlazados se tocan entre si. DATOS: MC = 12 R.- 3.53 g/cm3, 34 % SOLUCIÓN (i) E D (ii) La expresión de la densidad viene dada por: nA VT N A A = 12 n = Ni + (1/2)Nc + (1/4)Na + (1/8)Nv = 4 + 6(1/2) + 8(1/8) = 8 Interiores Caras Aristas Vértices VT (Volumen celda unidad ) a03 2 2 2 Triángulo rectángulo ABC: a a 2 y ; a x 2 Triángulo rectángulo ADE: tag ( ) y a 2 Triángulo rectángulo ADE: 90; 2a 2 4 y 2 ; a 2 2 y 2 ; 2 y a a 2 2 2 1 1 ; luego : arctag 35.26 º 2 2 90 90 35.26 54.74 Ángulo de enlace C-C = 2ϕ = 2x54.74 = 109.48 º ≈ 109.5 º Triángulo rectángulo ADE: AE = Longitud enlace C-C = 0.154 nm a0 a x x 2 4 sen( ) AE Longitud enlace C C Longitud enlace C C Longitud enlace C C luego a0 4 Longitud enlace C C sen( ) Sustituyendo valores: a0 4 Longitud enlace C C sen( ) 4 x0.154 xsen(35.26) 0.356 VT (Volumen celda unidad ) a03 0.356 x107 nA VT N A Factor de empaqueta mi ento 8 4.51x1021 3 4.51x1023 cm3 átomos g x12 celda unidad at.g 3.54 g / cm3 3 cm átomos x6.023x1023 celda unidad at.g Volumen de átomos en la celda unidad VS Volumen total de la celda unidad VT VT (Volumen celda unidad ) a03 4 4 32 VS (Volumen átomos celda unidad ) n R3 8 R3 R3 3 3 3 32 3 R VS 32 R3 3 Factor de empaqueta mi ento VT a03 3a03 Hay que encontrar una relación entre R y a0. 8R a0 3 Por tanto: Factor de empaqueta mi ento luego : R a0 3 8 3 32 R3 32 a0 3 3 32 3 0.34 ( 34%) 512 3a03 3a03 512 UNIVERSIDAD DE OVIEDO // ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE MINAS ASIGNATURA: TECNOLOGÍA CEMENTOS, VIDRIO Y CERÁMICAS SERIE PROBLEMAS: TEMA .- ESTRUCTURA CRISTALINA P6.- La estructura cristalina de la blenda (SZn) puede generarse a partir del apilamiento de planos compactos de aniones. (a).-¿Qué secuencias del apilamiento producirán estructuras FCC y HC? ¿Por qué? (b).- ¿Estarán los cationes en posiciones tetraédricas u octaédricas? ¿Por qué? (c).- ¿Qué fracción de las posiciones estarán ocupadas? SOLUCIÓN: UNIVERSIDAD DE OVIEDO // ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE MINAS ASIGNATURA: TECNOLOGÍA CEMENTOS, VIDRIO Y CERÁMICAS SERIE PROBLEMAS: TEMA .- ESTRUCTURA CRISTALINA P7.- La estructura cristalina del corindón, encontrada para el Al2O3, consiste en una estructura hexagonal compacta (HC) de iones O2- ; los iones Al3+ ocupan posiciones octaédricas (a).- ¿Qué fracción de las posiciones octaédricas existentes están ocupadas con iones Al3+? (b).- Dibujar dos planos compactos de iones O2- en una secuencia AB e indicar las posiciones octaédricas que estarán llenas con los iones Al3+. SOLUCIÓN: UNIVERSIDAD DE OVIEDO // ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE MINAS ASIGNATURA: TECNOLOGÍA CEMENTOS, VIDRIO Y CERÁMICAS SERIE PROBLEMAS: TEMA .- ESTRUCTURA CRISTALINA P8.- El óxido de berilio (BeO) puede formar una estructura cristalina que consiste en una distribución HC de iones O2-. Si el radio iónico del Be2+ es 0,035 nm, entonces: (a).- ¿Qué tipo de intersticios ocuparán los iones de Be2+? (b).- ¿Qué fracción de estos lugares intersticiales estarán ocupados por iones Be2+? SOLUCIÓN: UNIVERSIDAD DE OVIEDO // ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE MINAS ASIGNATURA: TECNOLOGÍA CEMENTOS, VIDRIO Y CERÁMICAS SERIE PROBLEMAS: TEMA .- ESTRUCTURA CRISTALINA P9.- El titanato de hierro, FeTiO3, tiene la estructura de la ilmenita, la cual consiste en una distribución hexagonal compacta (H) de iones O2-. (a).- ¿Qué lugares intersticiales ocuparán los iones Fe2+? ¿Por qué? (b).- ¿Qué lugares intersticiales ocuparán los iones Ti4+? ¿Por qué? (c).- ¿Qué fracción de todos los lugares tetraédricos estarán ocupados? (d).- ¿Qué fracción de todos los lugares octaédricos estarán ocupados? SOLUCIÓN: UNIVERSIDAD DE OVIEDO // ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE MINAS ASIGNATURA: TECNOLOGÍA CEMENTOS, VIDRIO Y CERÁMICAS SERIE PROBLEMAS: TEMA .- ESTRUCTURA CRISTALINA P10.- Una forma cristalina de la sílice (SiO2) tiene una celdilla unidad cúbica. A partir de los resultados de difracción de rayos X se sabe que la celdilla unidad tiene una arista de longitud 0,700 nm. Si la densidad medida es 2,32 g/cm3, ¿cuántos iones Si4+ y O2- hay por celdilla unidad?. SOLUCIÓN: UNIVERSIDAD DE OVIEDO // ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE MINAS ASIGNATURA: TECNOLOGÍA CEMENTOS, VIDRIO Y CERÁMICAS SERIE PROBLEMAS: TEMA .- ESTRUCTURA CRISTALINA P11.- El compuesto BaTiO3 presenta estructura perovskita. (a).- Dibujar la estructura de la celdilla unidad. (b).- Determinar los parámetros reticulares de la celdilla unidad. (c).- Determinar la densidad planar en el plano (101) en iones/nm2. (d).- Determinar la densidad volumétrica (g/cm3) y el factor de empaquetamiento. DATOS: RTi4+ = 0,071 nm, RO2-= 0,146 nm, RBa2+ = 0,113 nm, MBa = 137,33 , MTi = 47,88 MO =16, NA=6,023x1023 . SOLUCIÓN: (a).- Estructura de la celdilla unidad de la perovskita. Ba2+ Ti4+ O2- (b).- Determinar los parámetros reticulares de la celdilla unidad. RTi4+ = 0,071 nm, RO2-= 0,146 nm, RBa2+ = 0,113 nm Supongamos que el ión titanio no esta presente y determinemos las dimensiones del hueco intersticial. En este caso los iones se tocarán a lo largo de la diagonal de una cara, con lo cual el parámetro de red será: d a 2 siendo d 2R 2 2R 2 2 x0.113 2 x0.146 0.518 nm Ba luego: O 2 R 2 2 R 2 2 x0.113 2 x0.146 d O a Ba 0.366 2 2 2 El tamaño del hueco intersticial es: 2 RHueco 2R O2 a0 de donde: RHueco a0 2 R O2 2 0.366 2 x0.146 0.037 nm 2 Se puede observar que el radio del hueco intersticial (=0.037 nm) es menor que el radio del ion titanio (=0.071), por tanto dicho ion debe empujar a los iones circundantes separándolos. Ba2+ Ti4+ O2- En consecuencia, cuando el ion titanio se introduce en el hueco intersticial octaédrico, acomodándose en él, los iones que se tocan son el titanio y los oxígenos, por lo que el parámetro reticular real es: a0 2R Ti4 2R O2 2 x0.071 2 x0.146 0.434 nm (c).- Determinar la densidad planar en el plano (101) en iones/nm2. d Planar Ba 2 Ti 4 O 2 Número iones 4(1/ 4) 1 2(1/ 2) 3 2 2 Superficie a0 d S (nm ) a0 2 d Planar 3 a02 2 3 0.434 2 11.26 iones 2 nm2 (d).- Determinar la densidad volumétrica (g/cm3) y el factor de empaquetamiento. La expresión de la densidad viene dada por: n AC AA VT N A n=1 N A 6.023x1023 átomos at.g VT (Volumen celda unidad ) a03 0.434 x107 3 8.175 x1023 cm3 Fórmula unidad g x 137.33 47.88 3x16 n AC AA celda unidad mol 4.736 g / cm3 3 VT N A cm Fórmula unidad 8.175 x1023 x6.023x1023 celda unidad mol 1 Factor de empaqueta mi ento n=1 → 3 aniones oxígeno, Volumen de átomos en la celda unidad VS Volumen total de la celda unidad VT 1 catión titanio, 1 catión bario 4 4 4 4 VS 3x R3 1x R3 1x R3 3R 3 R 3 R3 3 3 3 3 O2 O2 Ba2 Ti4 Ba2 Ti4 Sustituyendo valores: 4 3 3 3 VS 3x 0.146 0.113 0.071 0.04665 nm3 3 Factor de empaqueta mi ento VS 0.04665 0.5707, VT 0.08174 (57.07 %) UNIVERSIDAD DE OVIEDO // ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE MINAS ASIGNATURA: TECNOLOGÍA CEMENTOS, VIDRIO Y CERÁMICAS SERIE PROBLEMAS: TEMA .- ESTRUCTURA CRISTALINA P12.- La figura muestra los resultados de un ensayo de difracción de Rayos X en la forma de la intensidad del pico difractado en función del ángulo 2θ de difracción. Si se utilizan Rayos X con una longitud de onda de 0,07107 nm, determinar: (a).- La estructura cristalina del material (b).- Los índices de los planos que produce cada pico (c).- El parámetro de red SOLUCIÓN: Ecuación de Bragg: n 2dsen (1) donde: λ = Longitud de onda d = Distancia interplanar entre planos atómicos adyacentes θ = Ángulo de dispersión o de Bragg(Figura 1), 2θ = Ángulo de difracción (Figura 2), ya que éste es el ángulo medido experimentalmente La figura muestra los resultados de un análisis de difracción de Rayos X representando la intensidad de los diferentes picos difractados en función del ángulo de difracción 2θ. Se utilizan Rayos X con una longitud de onda de 0,07107 nm. Las estructuras cristalinas con celdas unidad no primitivas tienen átomos en puntos reticulares adicionales situados a lo largo de las aristas, en las caras o en el interior de la celda unidad. Los centros de dispersión adicionales pueden provocar difracción fuera de fase para ciertos ángulos de Bragg. El resultado es que parte de la difracción que predice la ecuación 1 no tiene lugar. En la tabla 1 se muestra un ejemplo de este efecto, y se dan las reglas de reflexión para las estructuras metálicas comunes. En la tabla pueden verse los índices de Miller que no producen difracción como predice la ley de Bragg. Debería tenerse en mente que el término reflexión aquí es un término casual, puesto que lo que se está describiendo es la difracción, y no una verdadera reflexión. Tabla 1.- Reglas de reflexión de la difracción de rayos X en las estructuras metálicas comunes. Para identificar la estructura cristalina de un material cúbico, se anota el patrón de las líneas de difracción, típicamente, mediante la creación de una tabla de valores de sen2(θ). Al combinar las ecuaciones (1) y (2) se obtiene: sen 2 2 4a 2 h 2 k l 2 2 ; h k l 2 2 2 sen 2 2 (4) 4a 2 En los metales cúbicos simples, todos los planos posibles producirán difracciones, dando un patrón h2+k2+l2 de 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8.... En metales cúbicos centrados en el cuerpo, la difracción proviene únicamente de aquellos planos que tengan una suma de h2+k2+l2 entera par, es decir de 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16,... Por lo que se refiere a los metales cúbicos centrados en las caras existe más interferencia destructora y los planos que se difractarán son los que tengan una suma de h2+k2+l2 de 3, 4, 8, 11, 12, 16, 19, ..o bien de 3, 4, 8, 11, 12, 16, 19, Calculando los valores de sen2θ y a continuación encontrando el patrón apropiado, se puede determinar la estructura cristalina de los metales que tengan una de estas estructuras simples. h k l par h k l 2 h k l 2 par h2 k 2 l 2 2hk 2hl 2kl h 2 k 2 l 2 2 hk hl kl Par h2 k 2 l 2 Par h 2 k 2 l 2 Par h, k , l Todos pares h2 k 2 l 2 Par h, k , l Todos impares h2 k 2 l 2 (2 x 1) 2 (2 y 1) 2 (2 z 1) 2 2 2 x 2 2 x 2 y 2 2 y 2 z 2 2 z 1 1 Im par h, k , l Todos pares h2 k 2 l 2 4,8,12,16, 20, 24,...... h, k , l Todos impares h2 k 2 l 2 3,11,19, 27,....... Se puede determinar primero el valor de sen2(θ) para cada uno de los picos y a continuación dividirlo por el menor valor del sen2(θ) . Los valores de 2θ se pueden estimar a partir de la figura. Planos Pico 2θ θ θ(π/180) sen(θ) sen2(θ) sen2(θ)/m sen2(θ)/m:2 h k l d=λ/2sen(θ) a=d√(h2+k2+l2 ) 1 25,5 12,75 0,2225 0,2207 0,0487 1 2 1 1 0 0,1610 0,2277 2 36 18 0,3142 0,3090 0,0955 2 4 2 0 0 0,1150 0,2300 3 44,5 22,25 0,3883 0,3786 0,1434 3 6 2 1 1 0,0938 0,2299 4 51,5 25,75 0,4494 0,4344 0,1887 4 8 2 2 0 0,0818 0,2313 5 58 29 0,5061 0,4848 0,2350 5 10 3 1 0 0,0733 0,2318 6 64,5 32,25 0,5629 0,5336 0,2847 6 12 2 2 2 0,0666 0,2307 7 70 35 0,6109 0,5736 0,3290 7 14 3 2 1 0,0620 0,2318 8 75,5 37,75 0,6589 0,6122 0,3748 8 15 4 0 0 0,0580 0,2322 NO VALE VALE Al hacer lo anterior, se encuentra un patrón de valores de sen2(θ)/0.0308 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8. Si el material fuera cúbico simple, el 7 no estaría presente porque no existen planos h2+k2+l2 con un valor de 7. Por tanto, los valores del sen2(θ) se deben de dividir por 0.0154 [la mitad del primer valor de sen2(θ)] con el fin de dar lugar a una secuencia de números posibles. En este caso la secuencia que se encuentra es 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16..., por tanto, patrón debe ser realmente ese y debe tratarse de un material cúbico centrado en el cuerpo. Los valores (hkl) listados dan estos valores h2+k2+l2 requeridos. A continuación se utilizarán los valores 2θ para calcular el espaciamiento interplanar y de ahí el parámetro de red. Escogiendo el pico 8, se tiene: 2θ = 59,42, es decir: θ = 29,71 d 400 2sen 0, 7107 0, 71699 Å 2sen 29, 71 a dhkl h2 k 2 l 2 d400 42 02 02 4 x0.71699 2,868 Å Este es el parámetro de red correspondiente al hierro cúbico centrado en el cuerpo. UNIVERSIDAD DE OVIEDO // ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE MINAS ASIGNATURA: TECNOLOGÍA CEMENTOS, VIDRIO Y CERÁMICAS SERIE PROBLEMAS: TEMA .- ESTRUCTURA CRISTALINA P12.- Los resultados de un experimento de difracción de Rayos X, con una longitud de onda de 0,07107 nm (= 0.7107 Å), muestran que ocurren picos difractados en los siguientes ángulos 2θ: Pico Ángulo 2θ 1 20,20 2 28,72 3 35,36 4 41,07 5 46,19 6 50,90 7 55,28 8 59,42 Se pide: (a).- Determinar la estructura cristalina del material (b).- Los índices de los planos que produce cada pico (c).- El parámetro de red SOLUCIÓN: Ecuación de Bragg: n 2dsen (1) donde: λ = Longitud de onda d = Distancia interplanar entre planos atómicos adyacentes θ = Ángulo de dispersión o de Bragg(Figura 1), 2θ = Ángulo de difracción (Figura 2), ya que éste es el ángulo medido experimentalmente Figura 1.- Geometría del proceso de difracción de la radiación X. La estructura cristalina es una red de difracción tridimensional. La ley de Bragg describe la condición de difracción. Figura 2.- Relación entre el ángulo de Bragg (θ) y el ángulo de difracción medido experimentalmente (2θ). La magnitud del espaciado interplanar (d en la Ecuación 1) es una función directa de los índices de Miller del plano. En el caso del sistema cúbico la relación es bastante simple. El espaciado entre planos adyacentes es: a d hkl (2) h2 k 2 l 2 donde a es el parámetro de la red (longitud del lado de la celda unidad). En el caso de que la celda unidad presente formas más complejas, la relación es más complicada. Para el sistema hexagonal se tiene: a d hkl 4 3 h 2 hk k 2 l 2 c a2 (3) 2 donde a y c son los parámetros de red. La ley de Bragg (Ecuación 1) es una condición necesaria pero no suficiente para que se produzca difracción. Define la condición de difracción para celdas unidad primitivas, esto es, aquellas redes de Bravais con puntos reticulares sólo en los vértices de la celda unidad, como la cúbica simple y la tetragonal simple. Las estructuras cristalinas con celdas unidad no primitivas tienen átomos en puntos reticulares adicionales situados a lo largo de las aristas, en las caras o en el interior de la celda unidad. Los centros de dispersión adicionales pueden provocar difracción fuera de fase para ciertos ángulos de Bragg. El resultado es que parte de la difracción que predice la ecuación 1 no tiene lugar. En la tabla 1 se muestra un ejemplo de este efecto, y se dan las reglas de reflexión para las estructuras metálicas comunes. En la tabla pueden verse los índices de Miller que no producen difracción como predice la ley de Bragg. Debería tenerse en mente que el término reflexión aquí es un término casual, puesto que lo que se está describiendo es la difracción, y no una verdadera reflexión. Tabla 1.- Reglas de reflexión de la difracción de rayos X en las estructuras metálicas comunes. Para identificar la estructura cristalina de un material cúbico, se anota el patrón de las líneas de difracción, típicamente, mediante la creación de una tabla de valores de sen2(θ). Al combinar las ecuaciones (1) y (2) se obtiene: sen 2 2 4a 2 h 2 k l 2 2 ; h k l 2 2 2 sen 2 2 4a (4) 2 En los metales cúbicos simples, todos los planos posibles producirán difracciones, dando un patrón h2+k2+l2 de 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8.... En metales cúbicos centrados en el cuerpo, la difracción proviene únicamente de aquellos planos que tengan una suma de h2+k2+l2 entera par, es decir de 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16,... Por lo que se refiere a los metales cúbicos centrados en las caras existe más interferencia destructora y los planos que se difractarán son los que tengan una suma de h2+k2+l2 de 3, 4, 8, 11, 12, 16, 19, ..o bien de 3, 4, 8, 11, 12, 16, 19, Calculando los valores de sen2θ y a continuación encontrando el patrón apropiado, se puede determinar la estructura cristalina de los metales que tengan una de estas estructuras simples. h k l par h k l 2 h k l 2 par h2 k 2 l 2 2hk 2hl 2kl h 2 k 2 l 2 2 hk hl kl Par h2 k 2 l 2 Par h 2 k 2 l 2 Par h, k , l Todos pares h2 k 2 l 2 Par h, k , l Todos impares h2 k 2 l 2 (2 x 1) 2 (2 y 1) 2 (2 z 1) 2 2 2 x 2 2 x 2 y 2 2 y 2 z 2 2 z 1 1 Im par h, k , l Todos pares h2 k 2 l 2 4,8,12,16, 20, 24,...... h, k , l Todos impares h2 k 2 l 2 3,11,19, 27,....... Se puede determinar primero el valor de sen2(θ) para cada uno de los picos y a continuación dividirlo por el menor valor del sen2(θ) . Pico 1 2 3 4 5 6 7 8 2θ 20,2 28,72 35,36 41,07 46,19 50,9 55,28 59,42 θ 10,1 14,36 17,68 20,535 23,095 25,45 27,64 29,71 θ(π/180) 0,1763 0,2506 0,3086 0,3584 0,4031 0,4442 0,4824 0,5185 sen2(θ) 0,0308 0,0615 0,0922 0,1230 0,1539 0,1847 0,2152 0,2456 sen2(θ)/Mínimo sen2(θ)/Mínimo:2 Planos (hkl) (h2+k2+l2) (h2+k2+l2) (110) 1 2 (200) 2 4 (211) 3 6 (220) 4 8 (310) 5 10 (222) 6 12 (321) 7 14 (400) 8 16 Al hacer lo anterior, se encuentra un patrón de valores de sen2(θ)/0.0308 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8. Si el material fuera cúbico simple, el 7 no estaría presente porque no existen planos h2+k2+l2 con un valor de 7. Por tanto, los valores del sen2(θ) se deben de dividir por 0.0154 [la mitad del primer valor de sen2(θ)] con el fin de dar lugar a una secuencia de números posibles. En este caso la secuencia que se encuentra es 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16..., por tanto, patrón debe ser realmente ese y debe tratarse de un material cúbico centrado en el cuerpo. Los valores (hkl) listados dan estos valores h2+k2+l2 requeridos. A continuación se utilizarán los valores 2θ para calcular el espaciamiento interplanar y de ahí el parámetro de red. Escogiendo el pico 8, se tiene: 2θ = 59,42, es decir: θ = 29,71 d 400 2sen 0, 7107 0, 71699 Å 2sen 29, 71 a dhkl h2 k 2 l 2 d400 42 02 02 4 x0.71699 2,868 Å Este es el parámetro de red correspondiente al hierro cúbico centrado en el cuerpo.