Métodos de inversión en la investigación de la alta atmósfera D. L. Hysell Earth and Atmospheric Sciences, Cornell University, Ithaca, New York CEDAR 2008 – p. 1/2 anomalía de la gravidad data with noise true model 0.25 15 14 0.2 13 0.15 12 W(x) 0.1 0.05 11 0 10 20 30 40 10 0 LM model 20 30 40 2nd order reg. LM 25 15 D(x’) ρ 10 14 20 13 15 12 10 5 11 0 10 20 W (x) = ρM G 30 Z 40 10 0 10 20 30 40 D(x′ )dx′ (D2 + (x − x′ )2 )3/2 CEDAR 2008 – p. 2/2 problemas de inversión teoraa modelo z}|{ datos+‘ruido′ z}|{ d R discreto |{z} G |{z} m = |{z} d o continuo G(ψ, x)m(x)dx = d(ψ) z}|{ G ( m )= Rn×m Rm Rn o nonlineal e.g. convolución, transformada de Fourier, Abel, Radon, Hilbert, ... lineal – existencia, unicidad, estabilidad – “Riemann-Lebesque Lemma” CEDAR 2008 – p. 3/2 problemas de inversión filtrado (tomografía, SAR, radar planetario, decodifición de pulsos) métodos de longitud (vector velocidad, análisis de los perfiles de retardo) métodos de MAP (Abel inversión, imágines con apertura sintética) Estos son equivalentes! CEDAR 2008 – p. 4/2 métodos de longitud Gm = d, G ǫ Rnxm , rango[G]=p min. cuadrados longitud minima min. cuadrados con pesos amortiguados p=m<n p=n<m p < n, m nombre sobredeterminado bojodeterminado determinado mixto signif. sin solución exacta soluciones multiples aproximadas multiples min. (Gm − d)t Cd−1 (Gm − d) −1 mt Cm m −1 et Cd−1 e + α2 mt Cm m mest [Gt Cd−1 G]−1 Gt Cd−1 d −1 t −1 t −1 Cm G [GCm G ] d −1 −1 t −1 [Gt Cd−1 G + α2 Cm ] G Cd d rango −1 t −1 t Cm G [GCm G + α2 Cd−1 ]−1 d max chance la navaja de Occam 0, 1, 2 regularización CEDAR 2008 – p. 5/2 SVD Moore Penrose pseudoinversa: existencia, unicidad, estabilidad G = U ΛV t , Gm = d Gx = 0 xt G = 0 ¶ ¶µ ¶µ µ espacio de fillas Λpxp 0 columna izquierdo = 0 0 espacio espaco nulo espacio nulo {z }| {z }| | {z } nxn G† = V Λ−1 U t , = ¡ nxm mxm m = G† d Vmxp Vmx(m−p) {z | mxm t = Vmxp Λ−1 U pxp pxn ¶Ã µ ! t U Λ−1 0 pxn pxp t U(n−p)xn 0 0 } {z }| | {z } ¢ mxn nxn – no. condición ≡ Λmax /Λmin CEDAR 2008 – p. 6/2 regularización cuadratica los siguientes son equivalentes: gSVD usando factores de filtro de la forma fi = (s2i + α2 )/s2i , donde si son los valores singulares, y α es al asi-conocido parámetro de regularización. La matriz de covarianza de datos puede ser incorporada transformando y escalando G y d. Minimización de función de costo, −1 m, donde C −1 = Lt L. El (Gm − d)t Cd−1 (Gm − d) + α2 mt Cm m −1 )−1 Gt C −1 d. Esta modelo que ejecuta es mest = (Gt Cd−1 G + α2 Cm d strategia se llama los minimas cuadrados con pesos amortiguados. Minimización de los cuadrados minimos a travez del gradiente conjugado con pesos con supocisión inicial mest = 0 y con una terminación temprana de la iteración consistente con algún valor finito α. CEDAR 2008 – p. 7/2 regularización cuadratica II minimos cuadrados aumentados: °Ã ! à !°2 ° ° −1/2 −1/2 Cd d ° ° Cd G min ° m− ° ° ° αL 0 2 −1/2t donde Cd −1/2 Cd = Cd−1 . Resolviendo la ecuación característica µ ¶ ¢ ¡ t −1 G t m G Cd αL αL µ ¶ ¡ t −1 ¢ d t = G Cd αL 0 el resultado es el estimador de cuadrados minimos con pesos amordiguados como se menciónó. CEDAR 2008 – p. 8/2 el moviemento del plasma sobre Arecibo φ(t) v u d 2 6 4 2 cos φ(t) .. . 3 u(t) 6 7 2 3 3 6 .. 7 6 7 sin φ(t) d(t) 76 . 7 6 7 = 6 7 5 4 5 . .. 6 7 . v(t) . 6 7 . 4 . 5 . . CEDAR 2008 – p. 9/2 aplicaciónes de Jicamarca CEDAR 2008 – p. 10/2 dispersión incoherente rango vs. tiempo Range Te /Ti = 1, 2, 4, 8 Τ Time v1 v4 v5 v7 CEDAR 2008 – p. 11/2 función del instrumento 0.75 Weight 0.5 0.25 0 0 -5 -10 Range 0 5 Lag 10 -15 15 CEDAR 2008 – p. 12/2 los perfiles de retardo del radar CEDAR 2008 – p. 13/2 parámetros de regularización mínimos cuadrados no linealas aumentados la norma del error predicción et Cd−1 e ||Te′′ ||22 ||Ti′′ ||22 aspereza de la temperatura Ti /Te ≤ 1 razón de temperatura ′′ ||H + ||22 aspereza del ion hidrógeno fracción de la composición [0,1] CEDAR 2008 – p. 14/2 12 LT CEDAR 2008 – p. 15/2 métodos de MAP, teorema de Bayes P (m|d) = P (d|m) = P (d|m)P (m) P (d) 1 − 12 (Gm−d)t Cd−1 (Gm−d) e N/2 1/2 (2π) |Cd | P (m) = ?, eαS M mi = m X mi i=1 perm = i m M! Πm i=1 mi ! S = − m X mi log(mi /M ) i=1 CEDAR 2008 – p. 16/2 entropía máxima E = S + λt (d + e − Gm) + Λ(et Cd−1 e − Σ) mi = M Z = t [,i] −λ e G Z Iˆt m M E = λt (d + e) + M log Z + Λ(et Cd−1 e − Σ) CEDAR 2008 – p. 17/2 transformada de Abel x { { dx dr s φ(s) = 2C r Z ∞ rdr ne (r) √ r2 − s2 s 1 ne (r) = − πC Z r ∞ dφ ds √ ds s2 − r2 CEDAR 2008 – p. 18/2 simulación de occultación CEDAR 2008 – p. 19/2 irregularidades del plasma ionosférico CEDAR 2008 – p. 20/2 imágines con apertura sintética CEDAR 2008 – p. 21/2 inversión de datos z |k| = ωo/c k ξ η y r2 d12 r1 x hV ∗ (r1 , ω)V (r2 , ω)i Z √ 2 2 dηdξ p B(η, ξ, ω) A(η, ξ) eik(dx η+dy ξ+dz 1−η −ξ ) = | {z } 1 − η2 − ξ2 illumination d(kdx , kdy , ω; ω◦ ) F ↔ m(η, ξ, ω)A(η, ξ) CEDAR 2008 – p. 22/2 imágines de F dispersa movie 1 movie 2 CEDAR 2008 – p. 23/2 referencias Aster, R. C., B. Borchers, and C. H. Thurber, Parameter Estimation and Inverse Problems, Elsevier, New York, 2005. Gull, S. 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