Condiciones de potencia transferida máxima

3. Condiciones de potencia transferida máxima
La determinación de la máxima potencia transferida se conoce como teoremas de transferencia de la potencia máxima y consiste en
calcular el valor de las impedancias de carga que dan lugar a que esto ocurra entre los terminales de un circuito activo.
Se considera como circuito activo a una combinación, en serie, de una fuente de tensión y una impedancia fija (impedancia interna de
la fuente), suministrando potencia (potencia activa) a una carga formada por una resistencia variable o por una impedancia compleja,
también variable. Si el circuito activo constara de más elementos, se obtendría el equivalente de Thevenin para reducirlo a la fuente de
tensión y su impedancia interna. Consideraremos tres casos diferentes para determinar la máxima potencia transferida.
a) Caso 1. La carga es una resistencia variable, RL , según nos muestra la figura 4.12.
La corriente en el circuito es:
I=
(R
g
y su módulo:
I =
La potencia suministrada a RL es, entonces:
Zg=Rg+jXg
Vg
)
+ RL + jX g
Vg
A
RL
I
Vg
(R
+ RL
g
P = I 2 RL =
(R
)
2
+ X g2
B
Fig. 4.12
V g2 ⋅ RL
+ RL
g
)
2
+ X g2
Para determinar el valor de RL que nos haga máxima la potencia suministrada, por la fuente de tensión, a la carga, igualamos a
cero la primera derivada de la expresión anterior, respecto a RL :


V g2 ⋅ RL

d
2

2

2
2
 Rg + RL + X g − 2 RL Rg + RL
dP
 Rg + RL + X g 
2
=
= Vg ⋅ 
2
dRL
dRL
 R + R 2 + X 2

g
L
g




(
)
(
(
)
(
)

) = 0



Para que se cumpla la expresión anterior es suficiente que el numerador sea igual a cero:
Rg2 + 2 Rg RL + RL2 + X g2 − 2 Rg RL − 2 RL2 = 0
y simplificando:
RL2 = Rg2 + X g2
de donde:
RL =
Rg2 + X g2 = Z g
Por lo que deducimos que en el caso de una resistencia ideal variable, se transmite la potencia máxima entre los terminales de un
circuito activo, cuando la resistencia de carga es igual al valor absoluto de la impedancia del circuito (impedancia interna de la
fuente).
En el caso particular de que la componente reactiva de la impedancia interna de la fuente sea cero, X g = 0 , se transfiere la potencia
máxima cuando la resistencia de carga es igual a la resistencia de la fuente:
R L = Rg
b) Caso 2. La carga es una impedancia Z L , con resistencia y reactacia variables (figura 4.13).
La corriente en el circuito es:
y su módulo:
I=
(R
I =
Vg
g
) (
+ RL + j X g + X L
)
Zg=Rg+jXg
Vg
(R
g
+ RL
) + (X
2
+ XL
g
)
Vg
2
A
ZL=RL+jXL
I
B
La potencia suministrada por la fuente a la carga:
V g ⋅ RL
2
P = I 2 RL =
(R
g
+ RL
) + (X
2
+ XL
g
)
Fig. 4.13
2
si en esta ecuación se mantiene RL constante, el valor de P es máximo cuando X g = − X L , con lo que se convierte en:
P=
V g2 RL
(R
g
+ RL
)
2
Si, ahora, consideramos RL variable, nos encontramos en la situación particular correspondiente al caso 1, en el que teníamos
máxima potencia cuando RL = Rg , por lo que podemos decir que, en este caso, la máxima potencia transferida se produce cuando:
R L = Rg
XL = − Xg
y
*
ZL = Z g
por lo que:
es decir, que la impedancia de carga Z L sea igual al complejo conjugado de la impedancia interna de la fuente.
c) Caso 3. La carga Z L es una impedancia con resistencia variable y reactancia fija
(figura 4.14).
La corriente en el circuito es:
y su módulo:
I=
(R
I =
Vg
) (
+ RL + j X g + X L
g
Zg=Rg+jXg
)
jXL
Vg
(
Rg + RL
) (
2
A
)
+ Xg + XL
Vg
I
2
RL
con lo que la potencia suministrada a la carga:
P = I 2 RL =
(
V g2 ⋅ RL
Rg + R L
) (
2
+ Xg + XL
)
B
2
Fig. 4.14
y derivando, para igualar a cero:

V g2 ⋅ RL
d
2

dP
 Rg + RL + X g + X L
=
dRL
dRL
(
) (
(
efectuando operaciones:
Rg2 + 2 Rg RL + RL2 + X g + X L
simplificando:
RL2 = Rg2 + X g + X L
(
)
2
)
2
)
2





2
2
R
R
X
X
+
+
+
− 2 R L Rg + R L

g
L
g
L
= V g2 ⋅ 
2
 R + R 2 + X + X 2

g
L
g
L





(
(
) (
) (
)
(
)

) = 0



− 2 Rg RL − 2 RL2 = 0
(
RL = Rg2 + X g + X L
)
2
Como Z g y X L son magnitudes fijas, se pueden combinar en una única impedancia, por lo que, con R L variable, este caso se
reduce al caso 1 y la potencia máxima se obtiene cuando RL es igual al valor absoluto de la impedancia del circuito.
(Hacer los ejercicios 4.8, 4.9 y 4.20)