TEMA 12 INTRODUCCIÓN A LA OPTIMIZACIÓN Preparación y Requisitos Objetivos { { { { Distinguir extremos locales de globales Utilizar las condiciones necesarias y/o suficientes para calcular los extremos de funciones de dos variables Interpretar geométricamente las condiciones necesarias de primer orden de extremos libres y condicionados Justificar con ayuda del desarrollo de Taylor de segundo orden las condiciones suficientes para extremos libres Prerrequisitos { { { { Extremos de funciones de una variable Cálculo de derivadas parciales Derivadas direccionales y propiedades del vector gradiente Teorema de Taylor Dónde Encontrar el tema { { { { Caballero, R. et al p. 9 y 10 Caballero, R. et al .(problemas) 10 y 11 Chiang, A. Cap. 9, 11 y 12 Larson et al. Cap. 15.8, 15.9 y 15.10 Introducción Condición Necesaria para máximo o mínimo en x0 : - Algebráica: Si existe f '( x0 ) → f '( x0 ) = 0 - Geométrica: Si f ( x ) es suave en x0 → la tangente es horizontal Definiciones básicas Sea f : Domino f ⊂ R n → R y S ⊆ Domino f x0 es MAX en S: f ( x0 ) ≥ f ( x), ∀x ∈ S . x0 es MIN en S: f ( x0 ) ≤ f ( x), ∀x ∈ S . x0 es MAX ESTRICTO en S: f ( x0 ) > f ( x ), ∀x ∈ S . x0 es MIN ESTRICTO en S: f ( x0 ) < f ( x ), ∀x ∈ S . Preguntas: ¿Existen máximos y mínimos? ¿Cómo puedo buscarlos? a T2 M1 T1 M2 b Dos comportamientos Comportamiento global (absoluto) y comportamiento local (relativo) Los puntos M1 y T1 son máximos y mínimos absolutos ¿Pero qué sucede con M2 y T2? La característica común entre M2 y M1, y entre T2 y T1 se recoge en el concepto de: PUNTO CRÍTICO Puntos Críticos Teorema (Todo extremo relativo se produce en un punto fijo): Si f ( x0 , y0 ) es un extremo relativo en una región abierta R, entonces ( x0 , y0 ) es un punto crítico de f . Ejemplo f ( x, y ) = x 2 + y 2 1- Puntos Críticos: Aquellos puntos del dominio que tienen derivada nula ⎧2 x = 0 → ( xc , yc ) = (0, 0), f (0, 0) = 0 ⎨ ⎩2 y = 0 2- El resto de puntos del domino siempre van a ser estrictamente mayores a 0, Luego se trata de un MÍNIMO GLOBAL ESTRICTO 3.- Hemos resuelto el problema algebráicamente f ( x, y ) = y 2 − x 2 ⎧2 y 1- Puntos críticos. ⎨ → (0, 0) → f (0, 0) = 0 2 − x ⎩ sin embargo, para x ≠ 0 f ( x, 0) = − x 2 < 0, luego (0,0) no es MIN incluso, para y ≠ 0 f (0, y ) = y 2 > 0, y no puede (0,0) MAX PUNTO de SILLA 2.- Hemos resuelto el problema intersecando planos verticales, y viendo que quedan puntos por encima y debajo Clasificación de los puntos fijos: Método del Hessiano Aplicar Taylor de orden 2 a f ( x, y ) en ( x0 , y0 ) : 1 f ( x0 + h, y0 + k ) − f ( x0 , y0 ) = hf x '( x0 , y0 ) + kf y '( x0 , y0 ) + [h 2 f xx ''( x0 , y0 ) + 2hkf xy ''( x0 , y0 ) + 2 2 + k f yy ''( x0 , y0 )] + R2 (h, k ) Dado que es punto crt. su derivadas parciales son nulas, luego lo importante es el signo del determinante HESSIANO Formas cuadraticas: Definida positiva: A1 > 0,... An > 0 ⎧> 0 n − par Definida negativa: A1 < 0, A2 > 0... An ⎨ ⎩< 0 n − impar Semidefinida positiva: los menores NO-nulos >0 Semidefinida negativa: los menores NO-nulos siguen los signos -,+,-,+.... ⎛ f ''xx Dado el hessiano H ( x, y ) = ⎜ ⎝ f ''xy A1 = f xx ''; A2 = H ( x, y ) f ''xy ⎞ ⎟ f '' yy ⎠ Luego, caben las posibilidades siguientes: 1. f ''xx > 0, H ( x0 , y0 ) > 0 → F .D. + → f ( x0 + h, y0 + k ) − f ( x0 , y0 ) > 0 → f ( x0 , y0 ) es MIN local 2. f ''xx < 0, H ( x0 , y0 ) > 0 → F .D. − → f ( x0 + h, y0 + k ) − f ( x0 , y0 ) < 0 → f ( x0 , y0 ) es MAX local 3. H ( x0 , y0 ) < 0 → NO DEFINIDA → f ( x0 + h, y0 + k ) − f ( x0 , y0 ) CAMBIANTE → P.SILLA Ejemplo Método del Hessiano en funciones compuestas Objetivo: Estudiar los puntos crtc de funciones objetivo complicadas (compuestas) Técnica: Sustituir las funciones objetivo por otras más simples ¿Cuándo es posible hacerlo? Cuando la función objetivo es la composición de una función con una función monótona Ejemplo 1. f ( x, y ) = e g ( x , y ) es el resultado de componer et y la función g ( x, y ). El resultado es que f ( x, y ) y g ( x, y ) comparten los puntos fijos dado que et es una transformación monótona de g ( x, y ) Ejemplo 2. f ( x, y ) = ln( g ( x, y )) comparte los mismos puntos críticos que g ( x, y), exceptuando aquellos para los que el logaritmo no está definido. Ejemplo 3. f ( x, y ) = g ( x, y ) comparte los mismos puntos críticos que g ( x, y ), exceptuando aquellos para los que la raíz no está definida Extremos condicionados Objetivo: Optimizar f ( x, y ) sujetos a una restricción sobre las variables g ( x, y ) = 0 Solución: Corte Vertical Corte Horizontal (Multiplicadores de Lagrange) Corte Vertical: Despejar y = φ ( x ) de la función restricción g ( x, y ) = 0 Sustituir en la función objetivo: f ( x, φ ( x)) = h( x) El problema se convierte en una optimización de una sola variable Observaciones: a.- El extremo obtenido de h( x) no es un extremo de f ( x, y ) considerada aisladamente. b.- Sí es el extremo de la intersección vertical entre f ( x, y ) y el plano g ( x, y ) c.- La dificultad aparece cuando no es posible despejar y en la función restricción g ( x, y ) Ejemplo 1 Objetivo: Minimizar la siguiente función sujeto a Solución Despejar y Método de las curvas de nivel Hallar las curvas de nivel de la función objetivo: Optimizar (máximo o mínimo) implica encontrar el z óptimo que cumpla la restricción g (x, y) = 0. Por tanto buscamos el corte entre la curva de nivel y g (x, y) = 0 El MÍNIMO se produce en el punto de tangencia Método de los multiplicadores de Lagrange El método gráfico muestra que se busca la TANGENCIA entre la función objetivo y la restricción Dos curvas son TANGENTES si sus vectores normales son PARALELOS Los vectores GRADIENTES de cada curva son vectores NORMALES En el punto de TANGENCIA se satisface que ∇f debe ser múltiplo de ∇g : ∇f ( x, y ) = λ ∇g ( x , y ) Criterios de clasificación Teorema de la Función Implícita: g ( x, y ) = 0 define IMPL. una func. y = ϕ ( x) y ϕ '( x* ) = − g 'x * * (x , y ) g 'y Dado que es opt. en x* , x → φ ( x ) ≡ f ( x, ϕ ( x )) debe satisfacer condiciones dφ * ( x ) = f 'x + f ' y ϕ '( x) = 0 dx IDEA : Para clasificarlos usamos el criterio de la segunda derivada φ ''( x) de primer orden (derivada respecto de x nula):φ '( x*) = Se pude demostrar que: 0 1 d 2φ g 'x =− dx 2 g ' y ( x0 , y 0 )2 g 'y g 'x L ''xx g 'y L ''xy , luego L ''xy L '' yy si f y g son de clase 2 sobre un conjunto abierto de R 2 , y (x0 , y0 , λ0 ) punto crit. de L( x, y, λ ), entonces: (1) H(x0 , y0 , λ0 ) < 0 → Min. Local de f (2) H(x0 , y0 , λ0 ) > 0 → Max. Local de f (3) H(x0 , y0 , λ0 ) = 0 → Caso dudoso Maximizando la utilidad Dada la función de utilidad de un consumidor representada por con ingreso de Y euros, y unos precios de 3 y 1 euro de cada bien El problema es Sujeto a Solución: Formamos el lagrangiano C.P.O De las dos primera ecuaciones obtenemos, por cociente: C 3 = 2 ⇔ 3C1 = C2 C1 Sustituyendo en la ecuación #3: Y − 3C1 − 3C1 = 0 ⇔ ⇔ C1 = Nivel de utilidad óptima es C1 1 Y Y → C2 = → λ = = 6 2 C2 3 Condiciones de segundo orden Formamos el Hessiano Orlado y lo evaluamos en el punto óptimo, ⎛Y Y 1 ⎞ HB ⎜ , , ⎟ 6 2 3 ⎝ ⎠ MÁXIMO Qué Hemos Aprendido Máximos y mínimos locales de funciones de dos variables { { { Condición necesaria. Puntos críticos Puntos de silla Condición suficiente. Criterio de las derivadas segundas Máximos y mínimos locales de funciones de dos o tres variables sujetas a una restricción de igualdad { { { Formulación del problema Método de eliminación de variables Método de Lagrange. Condiciones necesarias de primer orden